專題22直線、平面位置關(guān)系（平行、垂直）的判定與性質(zhì)（核心考點(diǎn)精講精練）1.近幾年真題考點(diǎn)分布直線、平面位置關(guān)系（平行、垂直）的判定與性質(zhì)近幾年考情考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)2023年全國乙（文科），第16題,5分已知三棱錐外接求半徑，求線段長2023年全國乙（文科），第19題,12分1、證明線面平行；2、求三棱錐的體積；2023年全國乙（理科），第3題,5分2023年全國乙（文科），第3題,5分通過三視圖求幾何體的表面積2023年全國乙（理科），第8題,5分圓錐體積相關(guān)計算2023年全國乙（理科），第9題,5分證明面面垂直，由二面角求線段長，從而求線面角的正切值2023年全國乙（理科），第19題,12分1、證明線面平行；2、證明面面垂直；3、求二面角2023年全國甲（文科），第10題,5分證明線面垂直，求三棱錐的體積2023年全國甲（文科），第16題,5分正方體的外接球、棱切球問題2023年全國甲（文科），第18題,12分1、證明面面垂直；2、求四棱錐的高2023年全國甲（理科），第11題,5分四棱錐表面積有關(guān)計算余弦定理解三角形2023年全國甲（理科），第15題,5分正方體的棱切球問題2023年全國甲（理科），第18題,12分1、已知點(diǎn)面距，證明線面垂直，從而得到線線相等；2、已知平行線間的距離，求線面角的正弦值2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】1.本節(jié)為高考必考知識點(diǎn)，常在解答題中第一問考查證明問題；2.考查線線平行、線面平行、面面平行；3.考查線線垂直、線面垂直、面面垂直；【備考策略】1.能對空間中的平行關(guān)系進(jìn)行判斷或證明.2.能利用平行關(guān)系的性質(zhì)求解相關(guān)問題.3.能夠判斷并證明空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面垂直的關(guān)系.4.能利用垂直的性質(zhì)解決空間基本圖形位置關(guān)系的相關(guān)問題.【命題預(yù)測】1.考查線線平行、線面平行、面面平行；2.考查線線垂直、線面垂直、面面垂直；知識講解一、直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言判定定理如果一條直線與的一條直線平行,那么該直線與此平面平行(線線平行?線面平行)

a?α,b?α,性質(zhì)定理一條直線與一個平面,如果過該直線的平面與此平面相交,那么該直線與交線平行(線面平行?線線平行)

a∥α,a?β二、平面與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言判定定理如果一個平面內(nèi)的兩條與另一個平面平行,那么這兩個平面平行(線面平行?面面平行)

a∥α,b∥α,性質(zhì)定理兩個平面平行,如果另一個平面與這兩個平面,那么兩條平行(面面平行?線線平行)

α∥β,α?γ=a,平行關(guān)系中的三個重要結(jié)論(1)垂直于同一條直線的兩個平面平行,即若a⊥α,a⊥β,則α∥β.(2)平行于同一平面的兩個平面平行,即若,,則.(3)兩個平面平行,則其中任意一個平面內(nèi)的直線與另一個平面平行.利用線線平行證明直線與平面平行的關(guān)鍵是設(shè)法在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線,解題的思路是利用幾何體的特征,合理利用中位線定理、線面平行的性質(zhì),或者構(gòu)造平行四邊形、尋找比例式證明兩條直線平行.在證明過程中,注意內(nèi)、外、平行三個條件,缺一不可.應(yīng)用線面平行的性質(zhì)定理證明線線平行的關(guān)鍵是如何確定交線的位置,有時需要經(jīng)過已知直線作輔助平面來確定交線.要證線線平行,可把它們轉(zhuǎn)化為線面平行.即在應(yīng)用性質(zhì)定理時,一般遵循從“高維”到“低維”的轉(zhuǎn)化,即從“線面平行”到“線線平行”;而解決線面平行的判定時其順序恰好相反.證明平面與平面平行的常用方法(1)面面平行的判定定理(主要方法).(2)利用垂直于同一條直線的兩個平面平行(客觀題可用).(3)利用平面平行的傳遞性,如果兩個平面同時平行于第三個平面,那么這兩個平面平行(客觀題可用).(1)如果兩個平面平行,那么在一個平面中的所有直線都平行于另外一個平面;(2)如果兩個平行平面同時和第三個平面相交,那么它們的交線平行(簡記為“面面平行?線線平行”).在解決線面平行問題時,要恰當(dāng)應(yīng)用三種平行關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化:其中線面平行是核心,線線平行是基礎(chǔ),要注意它們之間的靈活轉(zhuǎn)化.三、直線與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理1.定義:如果直線與平面內(nèi)的直線都垂直,那么直線與平面垂直.

2.判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言一條直線與一個平面內(nèi)的都垂直,則該直線與此平面垂直

a,b?α,a?b=O垂直于同一個平面的兩條直線

a⊥α,b⊥α?a四、平面與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理1.定義:如果兩個平面所成的二面角是,就說這兩個平面互相垂直.

2.判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言一個平面過另一個平面的,則這兩個平面垂直

l⊥α,l?β?α兩個平面垂直,則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直

α⊥β,l?β,α?β=a1.垂直間的三種轉(zhuǎn)化關(guān)系2.直線與平面垂直的五個結(jié)論(1)若一條直線垂直于一個平面,則這條直線垂直于這個平面內(nèi)的任意直線.(2)若兩條平行線中的一條垂直于一個平面,則另一條也垂直于這個平面.(3)垂直于同一條直線的兩個平面平行.(4)一條直線垂直于兩平行平面中的一個,則這條直線與另一個平面也垂直.(5)兩個相交平面同時垂直于第三個平面,它們的交線也垂直于第三個平面.1.證明直線和平面垂直的常用方法:(1)判定定理;(2)垂直于平面的傳遞性(a∥b,a⊥α?b⊥α);(3)面面平行的性質(zhì)(a⊥α,α∥β?a⊥β);(4)面面垂直的性質(zhì).2.證明線面垂直的關(guān)鍵是證線線垂直,而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質(zhì).因此,判定定理與性質(zhì)定理的合理轉(zhuǎn)化是證明線面垂直的基本思想.1.垂直于同一平面的兩條直線平行.2.如果一條直線垂直于一個平面,那么該直線與平面內(nèi)所有直線都垂直.3.垂直于同一直線的兩個平面平行.線面角的幾何法解題步驟:1.找直線上一點(diǎn)P作平面的垂線;2.連接垂足與斜足,得線面角;3.解直角三角形,得到線面角.1.點(diǎn)到平面的距離的常見解法(1)定義法:找到(或作出)表示距離的線段,根據(jù)線段(所求距離)所在三角形求解.(2)等積法:利用同一個三棱錐的體積相等求解.(3)轉(zhuǎn)化法:將點(diǎn)面之間的距離轉(zhuǎn)化為線面之間(或面面之間)的距離求解.2.線到平面的距離,平面與平面的距離問題都是轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離求解.面面垂直常利用面面垂直的判定定理(線面垂直?面面垂直).證明時,先從現(xiàn)有的直線中尋找平面的垂線,若圖中不存在這樣的直線,則可通過作輔助線來解決.當(dāng)兩個平面垂直時,則需利用面面垂直的性質(zhì)定理,分三步走:第一步,找到兩個平面的交線;第二步,在其中一個面內(nèi)找與交線垂直的直線;第三步,得線面垂直.找二面角常常采用垂線法:第一步,找到兩個面的交線;第二步,從一個平面內(nèi)找一點(diǎn),向另一個平面作垂線;第三步,從垂足再向交線作垂線,連線構(gòu)造,得二面角的平面角或是補(bǔ)角;第四步,解三角形,得二面角的大小.1.平行關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化在證明線面、面面平行時,一般遵循從“低維”到“高維”的轉(zhuǎn)化,即從“線線平行”到“線面平行”,再到“面面平行”;而在應(yīng)用性質(zhì)定理時,其順序恰好相反,但也要注意,轉(zhuǎn)化的方向是由題目的具體條件而定的,不可過于“模式化”.2.垂直關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化在證明線面垂直、面面垂直時,一定要注意判定定理成立的條件,同時抓住線線、線面、面面垂直的轉(zhuǎn)化關(guān)系,即在證明兩平面垂直時,一般先從現(xiàn)有的直線中尋找平面的垂線,若這樣的直線在圖中不存在,則可通過作輔助線來解決.

考點(diǎn)一、直線與平面平行1．（2023年河北省模擬數(shù)學(xué)試題）如圖所示，在四棱錐中，底面為平行四邊形，側(cè)面為正三角形，為線段上一點(diǎn)，為的中點(diǎn).(1)當(dāng)為的中點(diǎn)時，求證：平面.(2)當(dāng)平面，求出點(diǎn)的位置，說明理由.2．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，N，M，Q分別為PB，PD，PC的中點(diǎn)．(1)求證：QN平面PAD；(2)記平面CMN與底面ABCD的交線為l，試判斷直線l與平面PBD的位置關(guān)系，并證明．1．如圖，在三棱柱中，，，且，底面，為中點(diǎn),點(diǎn)為上一點(diǎn).求證：平面；2．（2020年北京市高考數(shù)學(xué)試題）如圖，在正方體中，E為的中點(diǎn)．求證：平面；3．如圖，在三棱柱中，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)．求證：∥平面．考點(diǎn)二、平面與平面平行1．（2013年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（江蘇卷））在三棱錐中，平面平面，，，過作，垂足為，點(diǎn)，分別是棱，的中點(diǎn)．（）求證：平面平面．（）求證：．2．（2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)（陜西卷））如圖,四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,O為底面中心,A1O⊥平面ABCD,.（1）證明:A1BD//平面CD1B1;（2）求三棱柱ABD－A1B1D1的體積.3．（2023屆浙江省名校新高考研究聯(lián)盟聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）如圖，在四棱錐中，已知，，，，，，為中點(diǎn)，為中點(diǎn).證明：平面平面；1．（2023年陜西省模擬文科數(shù)學(xué)試題）如圖，在正方體中，是的中點(diǎn)，分別是的中點(diǎn)，求證：(1)平面；(2)平面平面.2．（2023屆廣東省模擬數(shù)學(xué)試題）如圖所示的在多面體中，，平面平面，平面平面，點(diǎn)分別是中點(diǎn).證明：平面平面；3．如圖，已知正方體的棱長為分別是的中點(diǎn).(1)求證：平面平面；(2)求證：平面；考點(diǎn)三、平行關(guān)系的綜合應(yīng)用1．（2022年全國高考甲卷數(shù)學(xué)（文科）試題）小明同學(xué)參加綜合實(shí)踐活動，設(shè)計了一個封閉的包裝盒，包裝盒如圖所示：底面是邊長為8（單位：）的正方形，均為正三角形，且它們所在的平面都與平面垂直．(1)證明：平面；(2)求該包裝盒的容積（不計包裝盒材料的厚度）．2．（2022年北京市高考數(shù)學(xué)試題）如圖，在三棱柱中，側(cè)面為正方形，平面平面，，M，N分別為，AC的中點(diǎn)．求證：平面；3．如圖，正方體中，分別為的中點(diǎn)，求證：平面平面.1．（2023年天津市名校聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）如圖：在正方體中，為的中點(diǎn).(1)求三棱錐的體積；(2)求證：平面；(3)若為的中點(diǎn)，求證：平面平面.2．如圖，已知四棱錐中，底面ABCD為平行四邊形，點(diǎn)M、N、Q分別是PA、BD、PD的中點(diǎn).求證：(1)平面PCD；(2)平面平面PBC．3．如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)P是平面ABCD外一點(diǎn)，M是PC的中點(diǎn)，在DM上取一點(diǎn)G，過G和AP作平面交平面BDM于GH，H在BD上.(1)證明：；(2)若AB的中點(diǎn)為N，求證：平面APD.考點(diǎn)四、直線與平面的垂直關(guān)系1．（2022年全國高考甲卷數(shù)學(xué)（理科）試題）在四棱錐中，底面．證明：；2．（2023年新課標(biāo)全國Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題）如圖，三棱錐中，，，，E為BC的中點(diǎn)．

證明：；3．（2018年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試?yán)頂?shù)（全國卷II））如圖，在三棱錐中，，，為的中點(diǎn)．證明：平面；1．（2023年北京高考數(shù)學(xué)真題）如圖，在三棱錐中，平面，．

求證：平面PAB；2．如圖，在三棱錐P－ABC中，底面ABC，，D，E分別是AB，PB的中點(diǎn)．(1)求證：平面PAC；(2)求證：3．（2020年新高考全國卷Ⅱ數(shù)學(xué)考試題（海南卷））如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，PD底面ABCD．設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為．證明：平面PDC；考點(diǎn)五、平面與平面的垂直關(guān)系1．（2023年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（文）真題）如圖，在三棱柱中，平面．

(1)證明：平面平面；(2)設(shè)，求四棱錐的高．2．（2022年全國高考乙卷數(shù)學(xué)（理）試題）如圖，四面體中，，E為的中點(diǎn)．證明：平面平面；3．（2022年全國高考乙卷數(shù)學(xué)（文）試題）如圖，四面體中，，E為AC的中點(diǎn)．(1)證明：平面平面ACD；(2)設(shè)，點(diǎn)F在BD上，當(dāng)?shù)拿娣e最小時，求三棱錐的體積．4．（2021年全國新高考II卷數(shù)學(xué)試題）在四棱錐中，底面是正方形，若．證明：平面平面；1．（2021年全國高考乙卷數(shù)學(xué)（文）試題）如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，M為的中點(diǎn)，且．（1）證明：平面平面；（2）若，求四棱錐的體積．2．（2020年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標(biāo)Ⅱ））如圖，已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，側(cè)面BB1C1C是矩形，M，N分別為BC，B1C1的中點(diǎn)，P為AM上一點(diǎn)，過B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F.證明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥EB1C1F；3．（2020年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（新課標(biāo)Ⅰ））如圖，為圓錐的頂點(diǎn)，是圓錐底面的圓心，是底面的內(nèi)接正三角形，為上一點(diǎn)，∠APC=90°．（1）證明：平面PAB⊥平面PAC；（2）設(shè)DO=，圓錐的側(cè)面積為，求三棱錐P?ABC的體積.考點(diǎn)六、平行與垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用1．如圖所示，在四棱錐中，底面為平行四邊形，，為中點(diǎn)，平面，，為中點(diǎn).(1)證明：平面；(2)證明：平面平面.2．如圖，在四棱錐中，ABCD，，過點(diǎn)E的平面與棱PC，PD，AD分別交于點(diǎn)F?H?G，且平面PAB平面EFHG.(1)求證：EG平面PDC；(2)若平面，求三棱錐的體積.3．（2021年全國高考甲卷數(shù)學(xué)（文）試題）已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，E，F(xiàn)分別為和的中點(diǎn)，.（1）求三棱錐的體積；（2）已知D為棱上的點(diǎn)，證明：.1．如圖，在四面體PABD中，AD⊥平面PAB，PB⊥PA(1)求證：PB⊥平面APD；(2)若AG⊥PD，G為垂足，求證：AG⊥BD．2．在三棱錐中，分別為的中點(diǎn)，且.(1)證明：平面；(2)若平面平面，證明：.3．如圖，中，，是正方形，平面平面，若、分別是、的中點(diǎn)．

(1)求證：平面；(2)求證：平面.【基礎(chǔ)過關(guān)】1．如圖，在下列四個正方體中，A，B為正方體的兩個頂點(diǎn)，M，N，Q為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個正方體中，直線與平面0不平行的是（

）A．B．C．D．2．若是兩條不同的直線，垂直于平面，則“”是“”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件3．設(shè)，是兩條不同的直線，是一個平面，則下列命題正確的是（）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則4．（2021年全國新高考Ⅰ卷數(shù)學(xué)試題）如圖，在三棱錐中，平面平面，，為的中點(diǎn).證明：；5．（2023年浙江省聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）如圖所求，四棱錐，底面為平行四邊形，為的中點(diǎn)，為中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)已知點(diǎn)在上滿足平面，求的值.6．（2021年全國高考甲卷數(shù)學(xué)（理）試題）已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，E，F(xiàn)分別為和的中點(diǎn)，D為棱上的點(diǎn)．證明：；7．如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，E為棱的中點(diǎn)，平面與棱交于點(diǎn)F．(1)求證：平面；(2)求證：F為的中點(diǎn)；(3)在棱上是否存在點(diǎn)N，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．8．如圖1，在中，，，，是的中點(diǎn)，在上，.沿著將折起，得到幾何體，如圖2(1)證明：平面平面；9．（2019年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（新課標(biāo)Ⅲ））如圖，點(diǎn)為正方形的中心，為正三角形，平面平面是線段的中點(diǎn)，則A．，且直線是相交直線B．，且直線是相交直線C．，且直線是異面直線D．，且直線是異面直線10．（2023年河南省模擬數(shù)學(xué)試題）如圖所示，在三棱柱中，分別是，，的中點(diǎn)，求證：(1)平面；(2)平面平面．11．如圖，已知，，，平面⊥平面，，，F(xiàn)為的中點(diǎn)．證明：平面；12．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，N，M，Q分別為PB，PD，PC的中點(diǎn)．(1)求證：QN平面PAD；(2)記平面CMN與底面ABCD的交線為l，試判斷直線l與平面PBD的位置關(guān)系，并證明．13．（2019年江蘇省高考數(shù)學(xué)試題）如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分別為BC，AC的中點(diǎn)，AB=BC．求證：（1）A1B1∥平面DEC1；（2）BE⊥C1E．14．如圖，在四面體PABD中，AD⊥平面PAB，PB⊥PA(1)求證：PB⊥平面APD；(2)若AG⊥PD，G為垂足，求證：AG⊥BD．15．如圖，在四棱錐中，是正方形，平面，，分別是的中點(diǎn)．(1)求證：；(2)求證：平面平面．【能力提升】1．如圖，在四棱錐中，側(cè)面底面ABCD，且，，8，.求證：；2．如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點(diǎn)．求證：(1)B，C，H，G四點(diǎn)共面；(2)平面EFA1平面BCHG.3．如圖所示，PA⊥平面ABC，點(diǎn)C在以AB為直徑的⊙O上，∠CBA＝30°，PA＝AB＝2，點(diǎn)E為線段PB的中點(diǎn)，點(diǎn)M在上，且．(1)求證：平面平面PAC；(2)求證：平面PAC；(3)求直線PB與平面PAC所成的角的正弦值．4．如圖，四邊形是菱形，且，P是平面外一點(diǎn)，為正三角形，平面平面.(1)若G為邊的中點(diǎn)，求證：平面；(2)若E為邊BC的中點(diǎn)，能否在邊PC上找出一點(diǎn)F，使平面平面？5．（2023屆江蘇省二模數(shù)學(xué)試題）如圖，在圓臺中，分別為上、下底面直徑，且，，為異于的一條母線．(1)若為的中點(diǎn)，證明：平面；6．如圖,在四棱錐P－ABCD中,四邊形ABCD是菱形,PA=PC,E為PB的中點(diǎn)．求證:(1)平面AEC;(2)平面AEC⊥平面PBD．7．（2019年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（新課標(biāo)Ⅱ））如圖，長方體ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，點(diǎn)E在棱AA1上，BE⊥EC1.（1）證明：BE⊥平面EB1C1；（2）若AE=A1E，AB=3，求四棱錐的體積．8．如圖，在四棱錐中，底面是矩形，，，平面，且是的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求異面直線與所成角的正切值；(3)求直線與平面所成角的正弦值.9．（2018年全國卷Ⅲ理數(shù)高考試題）如圖，邊長為2的正方形所在的平面與半圓弧所在平面垂直，是上異于，的點(diǎn)．證明：平面平面；10．如圖所示，在棱長為的正方體中，、分別是、的中點(diǎn)，過直線的平面平面，則平面截該正方體所得截面的面積為（

）.A．B．