常微分方程期終考試試卷（1）

一、填空題（30%）

1,方程有只含的積分因子的充要條件是（）。有只含的積分

因子的充要條件是。

2、稱為黎卡提方程，它有積分因子。

3、稱為伯努利方程，它有積分因子o

4、若為階齊線性方程的個(gè)解，則它們線性無(wú)關(guān)的充要條件是

5、形如的方程稱為歐拉方程。

6、若和都是的基解矩陣，則和具有的關(guān)系是

7、當(dāng)方程的特性根為兩個(gè)共挽虛根是，則當(dāng)其實(shí)部為時(shí)，零解是

穩(wěn)定的，相應(yīng)的奇點(diǎn)稱為O

二、計(jì)算題（60%）

1、ydx-{x+yi）dy=Q

2、xn+x=sint-cos2t

~211「小

A=9⑺,0（0）=77=

3、若I-1句試求方程組￡=6的解L%」并求expAt

5、求方程通過(guò)（0,0）的第三次近似解

dx_dy__

6.求了二f-'7=的奇點(diǎn)，并判斷奇點(diǎn)的類型及穩(wěn)定性.

三、證明題（10%）

1、〃階齊線性方程一定存在〃個(gè)線性無(wú)關(guān)解。

試卷答案

一填空題

'dM-dN,-d-M----d-N

1、「dy^Gx2,、）七dyLdx。⑺zx

2、先P（x）/+Q（x）y+R（x）尸土

dy

3、區(qū)二p（x）y+Q（x》〃g,），）=廠〃*T/心）公

4、對(duì)項(xiàng)⑺,々“），…，/”"。

ndtilydf/z-ldy

X--4-6F.-+--'--.f'=n°

5、dxndxn-[

6、〃⑺=0Q）C

7、零穩(wěn)定中心

二計(jì)算題

1、解：由于，所以此方程不是恰當(dāng)方程，方程有積分因子，兩邊同乘

得

所以解為

X）3

—+—=（?

y2即2%=義/+。）此夕卜丫二。也是解

2、線性方程X〃+X=0的特性方程公+1=0故特性根A=±i

足特性單根，用方程疔特解代入聯(lián)方程1B-0不足特性IR,原方程方把解代入原方程D-0

x=CiCOS，+Gsin/一-rcosr+-cos2r

所以原方程的解為23

3、解：解得此時(shí)k=l

之，-3同7+，(-7+%)

。⑺=*彷

72/=0九，2+%)

n-\J

苦￡L(A-%方

由公式expAt=/=o"得

expAt=e3t[E+t(A-3￡)]=e3t<

1+r

4、解：方程可化為令則有

（*）兩邊對(duì)y求導(dǎo):

即由得即將y代入（*）即方程的含參數(shù)形式的通解為：p為參

數(shù)

又由得代入（*）得:也是方程的解

5、解：

6、解：由解得奇點(diǎn)（3,-2）令X=x-3,Y=y+2則

由于=1+10故有唯一零解（0,0）

由得故（3,-2）為穩(wěn)定焦點(diǎn)。

三、證明題

由解的存在唯一性定理知：n階齊線性方程一定存在滿足如下條件的n解:

為優(yōu)）二1,巧（10）=0,...，/《o）=°

為（才0）=。，々"0）=1'...,*〃優(yōu)）=。

Ni(，o)=Q用1(%)=Q…,片i("o)=1

100

01???0

wfX]?0),々仇)，…，的”0)]==1。0

????????????

考慮00???1

從而Xi⑺(iT，2,…〃)是線性無(wú)關(guān)的。

常微分方程期終試卷(2)

一、填空題30%

1、形如的方程，稱為變量分離方程，這里.分別為x.y

的連續(xù)函數(shù)。

2、形如的方程，稱為伯努利方程，這里的連續(xù)函

數(shù).n

3、假如存在常數(shù)使得不等式>.于所有

(x,y),(x,)，2)eR都成立，L稱為利普希茲常數(shù)。函數(shù)/(尤丁)稱為在R上關(guān)于丁滿

足利普希茲條件。

二、形如-的方程，稱為歐拉方程，這里

三、設(shè)的某一解，則它的任一解-o

四、計(jì)算題40%

?十七戶孚=6歲-盯2的通解。

1、求方程dxx

包+工小

2、求方程以x的通解。

3、求方程尸+6衣5x=的隱式解。

—?土口包=x+)’2通過(guò)點(diǎn)(°、°)的第三次近似解。

4、求方程dx

五、證明題30%

L實(shí)驗(yàn)證二是方程組x=x,x=,在任何不包含原點(diǎn)的區(qū)間a上的基

解矩陣。

2.設(shè)為方程x=Ax（A為nn常數(shù)矩陣）的標(biāo)準(zhǔn)基解矩陣（即（0）

二E）,證明.（t）=（t.t）其中t為某一值.

《常微分方程》期終試卷答卷

一、填空題（每空5分）

12.z=

3|/（x，凹）7（x,y2）|<一必|

,,dny

人+X㈡+—電+…。

4、dxndx'ldx"

5、y（/）=0Q）+。⑺

二、計(jì)算題（每題10分）

1.這是n=2時(shí)的伯努利不等式，令z二，算得

代入原方程得到，這是線性方程，求得它的通解為z二

帶回本來(lái)的變量y,得到=或者，這就是原方程的解。

此外方程尚有解尸0.

包=/?_孫=士2

解：dxx

xdy=(xexy-y)dx

xdy+ydx=xe"dx

dxy=xexxdx

也=3

r八-e-xy=-x2^c

積分：2

故通解為：

3、

解：齊線性方程的特性方程為

，故通解為

不是特性根，所以方程有形如

把麗代回原方程4Ae21+\2Ae2t+5Ae2f=e21

A」

21

于是原方程通解為=

4、

解8°(x)=0

X

(P\(x)=j[x+(^2(x)Uv=

0~2

0

x25

外(X)=J口+°」(工)]杰=—+餐

L220

:x2x5r8x”

外（x）-f[x+0」（x）Jt/r=--+——4----+----

3J22201604400

三、證明題（每題15分）

1.證明：令的第一列為（t）二，這時(shí)（t）二二（t）故（t）是

一個(gè)解。同樣假如以（。表達(dá)笫二列，我們有（t）==（t）這樣（t）

也是一個(gè)解。因此是解矩陣。又由于det=-t故是基解矩陣。

2?證明：(1),(t-t)是基解矩陣。

..(2)由于為方程x二Ax的解矩陣，所以(t)也是x=Ax

的解矩陣，而當(dāng)t.t時(shí)，(t)(t)=E.(t.t)=(0)=E.故由解的

存在唯一性定理，得(t'(t.t)

常微分方程期終試卷(3)

L..?解下列方程(10%*8二809。

2.1.2xylnydx+{/+),)l+'}dy=0

2.=6-x

3.二2

5.4.x=+y

6.5.tgydx-ctydy=0

7.6.{y-x(x2+>,2)}dx-xdy=0

7.一質(zhì)量為m質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)，從速度為零的時(shí)刻起，有一個(gè)和時(shí)間

成正比(比例系數(shù)為)的力作用在它上面，此外質(zhì)點(diǎn)又受到介質(zhì)的阻

力，這阻力和速度成正比(比例系數(shù)為)。試求此質(zhì)點(diǎn)的速度與時(shí)間

的關(guān)系。

8.已知f(x)x0,試求函數(shù)f(x)的一般表達(dá)式。

二.證明題(10%*2=20給

9.試證：在微分方程Mdx+Ndy=0中，假如M、N試同齊次函數(shù)，且

xM+yN0,則是該方程的一個(gè)積分因子。

10.證明：假如已知黎卡提方程的一個(gè)特解，則可用初等方法求得它的

通解。

1.試題答案：

2.解：=2xlny+2x,=2x,則==，故方

3.程有積分因子二二,原方程兩邊同乘以得dx+dy=0是恰當(dāng)方

程.d(lny)+ydy=0,兩邊積分得方程的解為lny+=C。

解：1)y=0是方程的特解。2)當(dāng)y0時(shí)，令z=得

=Z+X.這是線性方程，解得它的通解為7=

[cx

代回本來(lái)的變量y得方程解為7二7十不；y=0.

3...解：令x=u+3,y=v2.可將原方程變?yōu)槎?/p>

再令z=,得至ljz+=，即:，

J]_2dzCdu

分離變量并兩端積分得z1+Z1u+lnC

即In+2arctgz=+lnC,

v

-2aret

lrJZMl=-2arctgz+lnC代回原變量得v二ce〃

所以，原方程的解為y+2=C

解：將方程改寫(xiě)為=+(*)令u=，得到x=x+u,則(*)變?yōu)閤

變量分離并兩邊積分得arcsinu=ln+lnC,故方程的解為

arcsin=lnCxo

解：變量分離ctgxdy=tgydx,兩邊積分得In(siny)=In+C或

sinycosx=C(*)此外，由tgy=O或ctgx=O得y=k(k=0、1???),

x=t+(t=0、1…)也是方程的解。tgy=O或ctgx=O的解是(*)當(dāng)C=0時(shí)的

特殊情況，故原方程的解為sinycosx=Co

6..解：ydx-xdy-x(+)dx=O,兩邊同除以+得

ydx-xdy

---------x_1x_1

X+丁-xdx=O,即d(arctg丁)-2dx=0,故原方程的解為arctgy-2X=CO

解：由于F=ma=m，又F==,

即m=(v(0)=0),即=(v(0)=0),

kp卜k

---------7-2.N1m

解得v二化2'e"+M(t七).

解：令f(x)=y,=,兩邊求導(dǎo)得=y,

即二y,即二dx,兩邊求積得=2x+C,

從而y二,故f(x)二.

9???證明：如M、N都是n次齊次函數(shù)，則由于

x+y=nM,x+y=nN,故有

aMdN

dyxM+yNdxxM+yN-

xMxM

MS+yN)-M(xM:N、NJNS+yN)-NUM、+M+)：NV)

2

(A-M+yN)(尤M+yN)?

M(xNx+yN)—N(xM、+)'N)

(xM+)N)2

M(nN)-N(nM)

=(xM+yN)2=Q

故命題成立。

解：1)先找到一個(gè)特解尸。

2)令產(chǎn)+z,化為n=2的伯努利方程.

證明：由于尸為方程的解，

dy一

所以dx=p(x)y+Q(X))+R(X)(1)

令y=+z,則有

dydz2.

dx+dx=P(x)(C+Z)+Q(x)(0+Z)+R(x)(2)

dz2

(2)-(1)得疝=P(X)(2?Z+2)+Q(X)Z

蟲(chóng)2

即公二[2P(x)》+Q(x)]z+P(x)Z」

此為n=2的伯努利方程。

常微分方程期終試卷(4)

一、填空題

1.()稱為變量分離方程，它有積分因子()o

2、當(dāng)()時(shí)，方程稱為恰當(dāng)方程，或稱全微分方程。

3、函數(shù)稱為在矩形域R上關(guān)于滿足利普希茲條件，假如

()O

4、對(duì)畢卡逼近序列，。

5、解線性方程的常用方法有

()o

6、若為齊線性方程的個(gè)線性無(wú)關(guān)解，則這一齊線性方程的所有解可表為

）。

7、方程組=（)O

8、若和都是的基解矩陣，則和具有關(guān)系：（）。

9、當(dāng)方程組的特性根為兩個(gè)共輒虛根時(shí)，則當(dāng)其實(shí)部（）時(shí)，零解

是穩(wěn)定的，相應(yīng)的奇點(diǎn)稱為（）。

10、當(dāng)方程組的特性方程有兩個(gè)相異的特性根時(shí)，則當(dāng)（）時(shí),

零解是漸近穩(wěn)定的，相應(yīng)的奇點(diǎn)稱為（）。當(dāng)（）時(shí)，

零解是不穩(wěn)定的，相應(yīng)的奇點(diǎn)稱為（）。

11、若是的基解矩陣，則滿足的解（）。

二、計(jì)算題

求下列方程的通解。

—=4e~ysinx-1

1dxo

y2h-（$-）2l=i

2、LdxJo

dy_2

3、求方程區(qū)，通過(guò)（。，0）的第三次近似解。

求解下列常系數(shù)線性方程。

4、x"+x'+x=0。

mr

5、x-x=eo

試求下列線性方程組的奇點(diǎn)，并通過(guò)變換將奇點(diǎn)變?yōu)樵c(diǎn)，進(jìn)一步判斷奇點(diǎn)的

類型及穩(wěn)定性：

三、證明題。

1、設(shè)為方程（A為常數(shù)矩陣）的標(biāo)準(zhǔn)基解矩陣（即，證明其中

為某一值。

答案：

一、填空題

1、形如先”加⑶的方程”而

dM_ON

2、3y泳

3、存在常數(shù)L>0,對(duì)于所有都有使得不等式成立

山

4、k\

5、常數(shù)變異法、待定系數(shù)法、幕級(jí)數(shù)解法、拉普拉斯變換法

6、，其中是任意常數(shù)

7、〃個(gè)線性無(wú)關(guān)的解不⑺?、?…%⑺稱之為尤,=4方的一個(gè)基本解組

8、〃⑺=。⑺c為非奇異常數(shù)矩陣

9、等于零穩(wěn)定中心

10、兩根同號(hào)且均為負(fù)實(shí)數(shù)穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)兩根異號(hào)或兩根同號(hào)且均為正

實(shí)數(shù)不穩(wěn)定鞍點(diǎn)或不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)

11、=阿，乜）…⑺"

二、計(jì)算題

解：方程可化為

令，得

由一階線性方程的求解公式，得

1、所以原方程為：=

2、解：設(shè)，則有，從而，故方程的解為，此外

也是方程的解

3、解：*。。）二°

0G)=￡工公=5,

02。)=]*+*)公=#+宗

%(x)=「x+(-x2+—x5)2dx=rfx+—A-4+-i―x10+—

3J。]22()JJ。I44(X)2())

J.I」,1、」

---XH----------XdX

204400160

解：相應(yīng)的特性方程為：，解得

所以方程的通解為:

4、解：齊線性方程的特性方程為，解得，故齊線性

方程的基本解組為：，由于是特性根，所以原方程有形如，代入

原方程得，，所以，所以原方程的通解為

二、解：解得所以奇點(diǎn)為（經(jīng)變換，

四、方程組化為由于又所以，故奇點(diǎn)

為穩(wěn)定焦點(diǎn)，所相應(yīng)的零解為漸近穩(wěn)定的。

五、證明題

1、證明：為方程的基解矩陣為一非奇異常數(shù)矩陣，所以

也是方程的基解矩陣.且也是方程的基解矩陣，且都滿足初始條件

所以。⑺）=。《一幻

常微分方程期終考試試卷（5）

一.填空題（30分）

1.稱為一階線性方程，它有積分因子，其通解為o

2.函數(shù)稱為在矩形域上關(guān)于滿足利普希茲條件，假如o

3.若為畢卡逼近序列的極限，則有_____o

4.方程定義在矩形域上，則通過(guò)點(diǎn)（0,0）的解的存在區(qū)間是

5.函數(shù)組的伏朗斯基行列式為o

6.若為齊線性方程的一個(gè)基本解組，為非齊線性方程的一個(gè)特解，則非

齊線性方程的所有解可表為o

7.若是的基解矩陣，則向量函數(shù)=______是的滿足初始條件的

解；向量函數(shù)=

是，=4方+/⑺的滿足初始條件*）=〃的解。

8.若矩陣具有個(gè)線性無(wú)關(guān)的特性向量，它們相應(yīng)的特性值分別為，

那么矩陣=___是常系數(shù)線性方程組的一個(gè)基解矩陣。

9.滿足的點(diǎn)，稱為駐定方程組。

二.計(jì)算題（60分）

10.求方程的通解。

11.求方程的通解。

12.求初值問(wèn)題的解的存在區(qū)間，并求第二次近似解，給出在解的存在

區(qū)間的誤差估計(jì)。

13.求方程的通解。

14.試求方程組的解

15.試求線性方程組的奇點(diǎn)，并判斷奇點(diǎn)的類型及穩(wěn)定性。

三.證明題（10分）

16.假如是滿足初始條件的解，那么

常微分方程期終考試試卷答案

一.填空題（30分）

1.

2.在上連續(xù)，存在，使，對(duì)于任意

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

二.計(jì)算題(60分)

10.解:

叫_oN

6&=_J_p力I

-M2y積分因子〃(),)=e凡=),2

兩邊同乘以后方程變?yōu)榍‘?dāng)方程：

兩邊積分得：

11_1

——=2x3y2+。(y)=N=2x3y2-2y2

oy

得：

因此方程的通解為：

11.解：令則

得：

那么y=]〃公=JP0+")C加

=勺+pep-de

因此方程的通解為：

12.解：

解的存在區(qū)間為卜

即44

令」(x)=—=0

x4x11

@33「卜一胃十丁卜咤嘖-------------h-

18942

J=|-2y|<2=L

又分

誤差估計(jì)為:

13.解：

是方程的特性值，設(shè)

得：

則2A+12A〃+68i=f

得：

因此方程的通解為：

14.解:

4=—1,/12=5

a-I1

Vi=Vi—

（4七-4）匕=0得[-刈取_-1,

p"

v\p~\v=

^2E-A）V2=0得句取""

①⑺二

則基解矩陣

①⑺①-'(0)；7=

■312

/

-e+-e--

5/45

①⑺(①<s)f(s)ds2035r11

--/-

ee十

-25

.10

因此方程的通解為:

312

5fI-/

-e+-e-￡--

45

23O11

-sf-J-/-

ee+e十

-25

1O

15.解：

(1,3)是奇點(diǎn)

V195

.x-XH—,y-y——

令2)2

dX…rdY”

——=2X-7y,——=x-2Y

dtdt

,那么由

可得：

因此(1,3)是穩(wěn)定中心

三.證明題（10分）

16.證明：由定理8可知

,

又由于①(f)=exp4,中(r0)=(exp4()廣=exp(-Ar0)

/⑸二0

所以。⑺=exp4?exp（-4。）〃

又由于矩陣（4）,（-頷）=（-頷）?（4）

所以。（。=[expA"-。）》]

常微分方程期終考試試卷(6)

1、填空題(共30分，9小題，10個(gè)空格，每格3分)。

當(dāng)時(shí)，方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0稱為恰當(dāng)方程，或稱全

微分方程。

2.稱為齊次方程。

3.求二f(x,y)滿足的解等價(jià)于求積分方程的連續(xù)

解。

4、若函數(shù)f(x,y)在區(qū)域G內(nèi)連續(xù)，且關(guān)于y滿足利普希茲條件，則方程的

解y二作為的函數(shù)在它的存在范圍內(nèi)是o

5.若為n階齊線性方程的n個(gè)解，則它們線性無(wú)關(guān)的充要條件是

6.方程組的稱之為的一個(gè)基本解組。

7、若是常系數(shù)線性方程組的基解矩陣，則expAt二o

8、滿足的點(diǎn)()，稱為方程組的奇點(diǎn)。

9、當(dāng)方程組的特性根為兩個(gè)共加虛根時(shí)，則當(dāng)其實(shí)部時(shí)，零解是穩(wěn)

定

的，相應(yīng)的奇點(diǎn)稱為o

二、計(jì)算題(共6小題，每題10分)。

L求解方程：二

2.解方程：(2x+2yT)dx+(x+y-2)dy=0

3.討論方程在如何的區(qū)域中滿足解的存在唯一性定理的條件，并求通過(guò)點(diǎn)

(0,0)的一切解

4.求解常系數(shù)線性方程：

5.試求方程組的一個(gè)基解矩陣，并計(jì)算

6、試討論方程組(1)的奇點(diǎn)類型，其中a,b,c為常數(shù)，且ac0。

三、證明題(共一一題，滿分10分)。

試證：假如滿足初始條件的解，那么

0?)=卜"-'叫7

常微分方程期末考試答案卷

一、一、填空題。(30分)

_3N(x,y)

1、小-小

學(xué)=心)

2、dxx

3.y=+

4.連續(xù)的

5、w卜⑺，/“，)，…，工”(川。°

6.n個(gè)線性無(wú)關(guān)解

7、①⑺①7(())

8、X(x,y)=0,Y(x,y)=0

9、為零穩(wěn)定中心

二、計(jì)算題。(60分)

1.解：(x-y+1)dx-(x++3)dy=0

2

xdx-(ydx+xdy)+dx->,-dy-3dy=0

1"3

即2dx2-d(xy)+dx-3)-3dy=O

1,1,

所以萬(wàn)一……'=c

2.解：，令z=x+y

dz.dy

則LI—dx=1+—dx

dz2z—1z+1—z+2j.

——=I---------=---------,---------az=ax

dxz-2-z+2z+1

所以-z+31nlz+1|=x+,In=x+z+

即(x+y+=Ce2x+y

3.解：設(shè)f(x,y)=，則

故在的任何區(qū)域上存在且連續(xù),

因而方程在這樣的區(qū)域中滿足解的存在唯一性定理的條件,

顯然,是通過(guò)點(diǎn)(0,0)的一個(gè)解;

又由解得，y|=

所以,通過(guò)點(diǎn)(0,0)的一切解為及

0(工<「)

3

|y|二I*-(x>c),c2O是常數(shù)

4.解：(1)

齊次方程的通解為x=d(Gcos"+c”in")

(2)不是特性根，故取

代入方程比較系數(shù)得A二，B二-

54

口x=(—cosr---sinr)e-/

于是4141

通解為x二“(Gcos"+c2sin匹)+41。cos，-4sin"

5,解：det()=

所以，

設(shè)4=T相應(yīng)的特性向量為修

所以，

6.解：由于方程組(1)是二階線性駐定方程組，且滿足條件

,故奇點(diǎn)為原點(diǎn)(0,0)

a—A,b、

=AT-(a+c)A,+ac=0

又由det(A-2E)二°cT得

4=。4,=C

所以，方程組的奇點(diǎn)(0,0)可分為以下類型:

a,c為實(shí)數(shù)

三、證明題。（10分）

證明：設(shè)的形式為二（1）

（C為待定的常向量）

則由初始條件得"二*。）=”。

又（e"）T二ef

所以，C二=

代入（1）得"⑴=*=

即命題得證。

常微分方程期終試卷（7）

一、選擇題

1.階線性齊次微分方程基本解組中解的個(gè)數(shù)恰好是（）個(gè).（A）

（B）-1（C）+1（D）+2

2.李普希茲條件是保證一階微分方程初值問(wèn)題解惟一的（）條件.

（A）充足（B）必要（C）充足必要（D）必要非充足

3.方程過(guò)點(diǎn)共有??）個(gè)解.

(A)-（B）無(wú)數(shù)（C）兩（D）三

4,方程（）奇解.

（A）有一個(gè)（B）有兩個(gè)(C)無(wú)（D）有無(wú)數(shù)個(gè)

5.方程的奇解是（）.

(A))'=1(B))=1(Oy=~l(D))'二°

二、計(jì)算題

Lx”獷+y+y

2.tgydx-ctydy=O

3.(x+2y)dr-xdy=0

4...

—dr+(y3+Inx)dy=0

5.x

三、求下列方程的通解或通積分

曳=2.(與

2.dAxX

3..

四.證明

1.設(shè)，是方程

y〃+P(x)y'+g(x)y=O

的解，且滿足二=0,,這里在上連續(xù)，.試證明：存在常數(shù)C使

得=C?

2.在方程中，己知，在上連續(xù).求證：該方程的任一非零解在平

面上不能與x軸相切.

試卷答案

一、選擇題

l.A2.B3.B4.C5,D

二、計(jì)算題

解：將方程改寫(xiě)為=+(*)令u=，得到二X+u,貝!](*)變?yōu)閄=,

變量分離并兩邊積分得arcsinu=ln+lnC,故方程的解為arcsin=lnCxo

解：變量分離ctgxdy=tgydx,兩邊積分得In(siny)=-ln+C或sinycosx=C

(*)此外，由tgy=O或ctgx=O得y=k(k=0、1…),x=t+(t=0>1…)也

是方程的解。tgy=O或ctgx=O的解是(*)當(dāng)00時(shí)的特殊情況，故原方程的

解為sinycosx=Co

3.方程化為

曳=1+22

drx

令，則，代入上式，得

dw.

x—=1+w

dr

分量變量，積分，通解為

u=Cx—l

原方程通解為

y=Cx2-x

4.解齊次方程的通解為

y=Cx

令非齊次方程的特解為

y=C(x)x

代入原方程，擬定出

原方程的通解為

)，=以+火中

5.解由于，所以原方程是全微分方程

取,原方程的通積分為

三、求下列方程的通解或通積分

L解當(dāng)時(shí)，分離變量得

y

—dy=xcLv

1-/

等式兩端積分得

=Jxdx+G

g帥一-x2+C,

2

1-/=Ccr,C=±e-2c,

方程的通積分為

y2=\-Cex

2.解令，則，代入原方程，得

當(dāng)時(shí)，分離變量，再積分，得

卜當(dāng)二隹+c

JuJx

即通積分為:

3.解齊次方程的通解為

y=Ce-3x

令非齊次方程的特解為

y=C（x）e-3x

代入原方程，擬定出

原方程的通解為

1八

e

y=Ce^+5

四.證明

1?證明設(shè)，是方程的兩個(gè)解，則它們?cè)谏嫌卸x，其朗斯基行列式為

必。）y（x）

W(x)=2

月*）

由已知條件,得

必（/））’2（工0）00

W&o)==0

乂（%）工（%）乂（%）月“0）

故這兩個(gè)解是線性相關(guān)的.由線性相關(guān)定義，存在

不全為零的常數(shù),使得

由于，可知.否則，若，則有，而，則，這與，線性相關(guān)矛

盾.故

（V

L

y2W=--y1W=Cy1（x）

%

2.證明由已知條件可知，該方程滿足解的存在惟一及解的延展定理?xiàng)l件,

且任一解的存在區(qū)間都是.

顯然，該方程有零解.假設(shè)該方程的任一非零解在x軸上某點(diǎn)

處與x軸相切，即有=0,那么由解的惟一性及該方程有零解可知，這

是由于零解也滿足初值條件=0,于是由解的惟一性，有.這與是

非零解矛盾.

常微分方程期終試卷(8)

一、填空(每空3分)

1.稱為一階線性方程，它有積分因

子，其通解

為。

2.函數(shù)稱為在矩形域上關(guān)于滿足利普希茲條件，假如

3.若為階齊線性方程的個(gè)解，則它們線性無(wú)關(guān)的充要條件

是。

4.形如的方程稱為歐拉

方程。

5.若和都是的基解矩陣，則和具有的關(guān)系：。

6.若向量函數(shù)在域上，則方程組的解

存在且惟一。

7、當(dāng)方程組的特性根為兩個(gè)共糖虛根時(shí)，則當(dāng)其實(shí)部，

零解是穩(wěn)定的，相應(yīng)的奇點(diǎn)稱為。

求下列方程的解

1.（6分）

2.（8分）

3.（8分）

4.（8分）

5.（6分）

6.（8分）

7、（8分）

求方程組的奇點(diǎn)，并判斷奇點(diǎn)的類型和穩(wěn)定性（8分）

——dx=2_x-7_y+19,—dy=j-2_y+5_

dt-dt

答案

一、填空（每空4分）

1、形如的方程,

2、存在常數(shù)，使得，有

3、心1⑺，八⑴，…%⑹工0

r￡+”產(chǎn)於+…+《I"今+%y=°

4、

5、￥（.）=①⑺c（C為非奇異方程）

6、連續(xù)且關(guān)于y滿足利普希茲條件

二、等于零，穩(wěn)定中心

三、求下列方程的解

1.（6分）解:

J(-x3)+dlvy-J(2/)=0

故方程的通解為一『+沖-2y2=

2.（8分）解：兩邊除以：

■/\2

d-=-+1心

ywJ

變量分離：

兩邊積分：

即:

3、（8分）解：令則

于是）/（2-w-l）=（w）2

得廣丁

y=2-x=2-(l-/2)=l+/2

—=l+r2

即dx

1-r2-2]

,dyi21

dx=-----=------=---t--dt=一一-dt

\+t~1+廣1+廠v

兩邊積分x=7+c

于是，通解為

4、(8分)解：

xdy=(xe"-y)dx

xdy+ydx=xexydx

dxy=xexxdx

xy=-x2+C

積分:2

故通解為:

5.（6分）解：齊線性方程的特性方程為，

，故通解為

小是特性秘，所以方程有形如

把NO代回原方程4A/，+i2Ae〃+54/，=/

一

21

一口h、-fr-t、=,）=Ge/+c,es'He~'

于是原萬(wàn)程通解為-21

6.（8分）解：齊線性方程的特性方程為，解得

于是齊線性方程通解為必）=qcos/+02sinI

令為原方程的解，則

C1'(r)cosr+c2'(/)sinr=0

-6?/(/)sint+r2*(/)cos/=—!—

sint

，/、1，/、cosr

得G")=F,

積分得；G⑺二。吆，十人/2（/）=―53+々

..cos2111

,,、，x（f）=Ir,cost-------4r-,si

故通解為sinr2sin/~

7、（8分）解：則

從而方程可化為，，

,（3V

X=—x+c

12）

y=\—x+c

積分得（2J

求方程組的奇點(diǎn)，并判斷奇點(diǎn)的類型和穩(wěn)定性（8分）

解：解方程組,解得

所以（1,3）為奇點(diǎn)。

令X=.I,y=y-3

-7

-2

令，得

為虛根,且，故奇點(diǎn)為柳定中心,零解是稔定的。

常微分期中測(cè)試卷⑵

3....解下列方程（10%*8=80/

tgydx-ctydy=O

{y-x(1+)廣)}dx-xdy=O

2xylnydx+{x2+//1+y}dy=O

6.=2

7.已知f(x)=1：x0,試求函數(shù)f(x)的一般表達(dá)式。

8.一質(zhì)量為m質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)，從速度為零的時(shí)刻起，有一個(gè)和時(shí)間

成正比(比例系數(shù)為)的力作用在它上面，此外質(zhì)點(diǎn)又受到介質(zhì)的阻

力，這阻力和速度成正比(比例系數(shù)為)。試求此質(zhì)點(diǎn)的速度與時(shí)間

的關(guān)系。

二.證明題(10%*2=20%)

L.證明：假如已知黎卡提方程的一個(gè)特解，則可用初等方法求得它

的通解。

2.試證：在微分方程Mdx+Ndy=0中，假如M、N試同齊次函數(shù)，且xM+yN0,

則是該方程的一個(gè)積分因子。

1.試題答案：

解：將方程改寫(xiě)為=+(*)令u=，得到x=x+u,貝!](*)變?yōu)閤

=,變量分離并兩邊積分得arcsinu=ln+lnC,故方程的解為

arcsin=lnCxo

解：變量分離ctgxdy=tgydx,兩邊積分得ln(siny)=In+C或

sinycosx=C(*)此外，由tgy=0或ctgx=0得y=k(k=0、1,

x=t+(t=0、1…)也是方程的解。tgy=0或ctgx=0的解是(*)當(dāng)C=0時(shí)的

特殊情況，故原方程的解為sinycosx=Co

3.ydx-xdy-x(+)dx=0,兩邊同除以+得

ydx-xdy

\——F￡1￡1

X+>-xdx=0,即d(arctg》)-2dx=0,故原方程的解為arctgy-2X=Co

4.解：=2xlny+2x,=2x,則==，故方

5.程有積分因子二二,原方程兩邊同奏以得dx+dy=0是恰當(dāng)方

程.d(lny)+ydy=0,兩邊積分得方程的解為lny+=CO

解：1)y=0是方程的特解。2)當(dāng)y0時(shí)，令z=得

=Z+X.這是^性方程，解得它的通解為2=

12

-，工

代回本來(lái)的變量y得方程解為》二/8；尸0.

6.解：令x=u+3,y=v2,可將原方程變?yōu)槎?/p>

再令z二,得至I」z十二，即二，

/、

r12,.

J-+-----7dz[du_

分離變量并兩端積分得M1+=V+lnC

即In+2arctgz=+lnC,

lrJZMl=-2arctgz+lnC

v

-2arctg—

代回原變量得”

所以，原方程的解為y+2二C.

解：令f(x)=y,=,兩邊求導(dǎo)得=y,

即=y,即=dx,兩邊求積得=2x+C,

7.從而y二,故f(x)二

解：由干F=ma=m，又F=

即m=(v(0)=0),即=(v(0)=0),

絲3晝上

m

解得v二左2e+3(t七).

解：1)先找到一個(gè)特解y二o

2)令y=+z,化為n=2的伯努利方程。

證