第3講統(tǒng)計、成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析

感悟曲考*明確備考方向__）

⑥真題體驗

L［樣本的數(shù)字特征］（2022?全國甲卷,T2）某社區(qū)通過公益講座以

普及社區(qū)居民的垃圾分類知識.為了解講座效果，隨機(jī)抽取10位社區(qū)

居民，讓他們在講座前和講座后各回答一份垃圾分類知識問卷,這10

位社區(qū)居民在講座前和講座后問卷答題的正確率如圖，則（B）

*講座前?講座后

12345678910

居民編號

A.講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)小于70%

B.講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于85%

C.講座前問卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差小于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差

D.講座后問卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差

解析:對于A,講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)是二等工72.5覽所

以A錯誤;對于B,講座后問卷答題的正確率分別是

80%,85%,85%,85%,85%,90%,90%,95%,100%,100%,其平均數(shù)顯然大于

85%,所以B正確;對于C,由題圖可知,講座前問卷答題的正確率波動

較大,講座后問卷答題的正確率波動較小,所以講座前問卷答題的正

確率的標(biāo)準(zhǔn)差大于講座后問卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差，所以C錯誤；

對于D,講座前問卷答題的正確率的極差是95%-609k35%,講座后問卷

答題的正確率的極差是100%-80爐20覽所以講座前問卷答題的正確率

的極差大于講座后問卷答題的正確率的極差,所以D錯誤.故選B.

2.［頻率分布直方醫(yī)］(2021?全國甲卷,T2)為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟(jì)情

況,對該地農(nóng)戶家庭年收入進(jìn)行抽樣調(diào)查，將農(nóng)戶家庭年收入的調(diào)查

數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖：

，頻率

根據(jù)此頻率分布直方圖，下面結(jié)論中不正確的是(C)

A.該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶比率估計為6%

B.該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率估計為10%

C.估計該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值不超過6.5萬元

D.估計該地有一半以上的農(nóng)戶，其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬

元之間

解析:對于A,該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶比率估計為

(0.02+0.04)X1=0.06=6%,故選項A正確;

對于B,該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率估計為

(0.04+0.02X3)X1=0.1=10%,故選項B正確;

對于C,估計該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值為

3X0.02+4X0.04+5X0.10+6X0.14+7X0.20+8X0.20+9X0.10+10

XO.1O+11XO.04+12X0.02+13X0.02+14X0.02=7.68>6.5萬元,故

選項C錯誤；

對于D,該地農(nóng)戶家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間的比率為

（0.10+0.14+0.20+0.20）X1=0.64>0.5,故估計該地有一半以上的農(nóng)

戶，其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間，故選項D正確.故選

C.

3.［回歸分析］（2022?全國乙卷,T19）某地經(jīng)過多年的環(huán)境治理，已

將荒山改造成了綠水青山.為估計一林區(qū)某種樹木的總材積量,隨機(jī)

選取了10棵這種樹木,測量每棵樹的根部橫截面積（單位:a?）和材積

量（單位:m）得到如下數(shù)據(jù)：

樣本號i根部橫截面積Xi材積量Yi

10.040.25

20.060.40

30.040.22

40.080.54

50.080.51

60.050.34

70.050.36

80.070.46

90.070.42

100.060.40

總和0.63.9

101010

并計算得￡婷=0.038,Ly?=l.6158,ExiyE.2474.

i=li=li=l

⑴估計該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積

量;

⑵求該林區(qū)這種樹木的根部橫截面積與材積量的樣本相關(guān)系數(shù)（精

確到0.01）；

⑶現(xiàn)測量了該林區(qū)所有這種樹木的根部橫截面積,并得到所有這種

樹木的根部橫截面積總和為186m2.已知樹木的材積量與其根部橫截

面積近似成正比.利用以上數(shù)據(jù)給出該林區(qū)這種樹木的總材積量的估

計值.

附：相關(guān)系數(shù)廠二；絲=,^17896^1.377.

「的工卻萬產(chǎn)

解：（1）估計該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積

10

石馨二等。?。6,

10

估計該林區(qū)這種樹木平均一棵的材積量歹二譽(yù)祟0.39.

1010

(2)￡(x-x)(yj-y)=LXiYi-lOxy=0.0134,

i=li=l

1010

￡(Xi-x)2=￡x?-10x=0.002,

i=lt=i1

ioio

g(y「9￥-gy『T09-0.0948,

Iio?ioy(_______________

所以￡(xrx)E(yry)=<0,002x0.0948=V0.000lxl.896

Ni=li=l

^0.01X1.377=0.01377,

10

所以樣本相關(guān)系數(shù)之⑴一切力已器篝器0.97.

抬叱才昌⑶中2

(3)設(shè)該林區(qū)這種樹木總材積量的估計值為Ym3,由題意可知,該種樹

木的材積量與其根部橫截面積近似成正比，所以盹二三，

0.6186

所以丫二竿F二］209,即該林區(qū)這種樹木的總材枳量的估計值為1

209ml

4.［獨(dú)立性檢驗］(2022?全國甲卷,T17)甲、乙兩城之間的長途客車

均由A和B兩家公司運(yùn)營.為了解這兩家公司長途客車的運(yùn)行情況，

隨機(jī)調(diào)查了甲、乙兩城之間的500個班次,得到下面列聯(lián)表:

準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)未準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)

A24020

B21030

(1)根據(jù)上表，分別估計這兩家公司甲、乙兩城之間的長途客車準(zhǔn)點(diǎn)的

概率；

⑵能否有90%的把握認(rèn)為甲、乙兩城之間的長途客車是否準(zhǔn)點(diǎn)與客

車所屬公司有關(guān)？

2

p/iiz2n(ad-bc)

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'

P(K2>k)0.1000.0500.010

k2.7063.8416.635

解：(1)由題意可得A公司甲、乙兩城之間的長途客車準(zhǔn)點(diǎn)的概率為

24012

240+2013’

B公司甲、乙兩城之間的長途客車準(zhǔn)點(diǎn)的概率為三

210+30o

(2)〃二~------50°的"3。2°X21°)：------勺3.205>2.706,

(240+20)X(210+30)X(240+210)X(20+30)

所以有90%的把握認(rèn)為甲、乙兩城之間的長途客車是否準(zhǔn)點(diǎn)與客車所

屬公司有關(guān).

6者情定位

統(tǒng)計知識主要考查:抽樣方法、樣本數(shù)字特征、統(tǒng)計圖表等.以選

擇題、填空題形式命題,難度較?。换貧w分析與獨(dú)立性檢驗常與概率交

匯命題，也是近年的熱點(diǎn)，常出現(xiàn)在第19或20題的位置，以中檔題為

主.此類題目重在考查考生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)

運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析等核心素養(yǎng).

突破熱^提升關(guān)鍵能力「

熱點(diǎn)一回歸分析在實際問題中的應(yīng)用

?核心必備?

1.方程y=bx+a是兩個具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)

AA

(xby.),(x2,yj,…，(Xn,y)的經(jīng)驗回歸方程,其中a,b是待定參數(shù)，經(jīng)

人￡(xrx)(yry)”

驗回歸方程的斜率和截距分別為----—,Q二歹一匕匕(元刃是

*2

Z(xx)

1=1r

樣本中心點(diǎn),經(jīng)驗回歸直線過樣本中心點(diǎn).

2.(1)正相關(guān)與負(fù)相關(guān)就看經(jīng)驗回歸直線的斜率,斜率為正則為正相

關(guān)，斜率為負(fù)則為負(fù)相關(guān).

⑵樣本相關(guān)系數(shù)r具有以下性質(zhì)：r>0表示兩個變量正相關(guān),r<0表示

兩個變量負(fù)相關(guān)；IrIW1,且|r|越接近于1,線性相關(guān)程度越強(qiáng)，Ir|越

接近于0,線性相關(guān)程度越弱.

典例1（2022?四川綿陽三模）隨著科技進(jìn)步,近來年,我國新能源汽

車產(chǎn)業(yè)迅速發(fā)展.以下是中國汽車工業(yè)協(xié)會2022年2月公布的近六年

我國新能源乘用車的年銷售量數(shù)據(jù)：

年份201620172018201920202021

年份代

123456

碼X

新能源

乘用車

5078126121137352

年銷售

Y（萬輛）

⑴根據(jù)表中數(shù)據(jù),求出Y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程；（結(jié)果保留整數(shù)）

⑵若用尸小建模型擬合Y與x的關(guān)系，可得回歸方程為y=37.71e（，-33x,

經(jīng)計算該模型和第（1）問中模型的R2（N為決定系數(shù)）分別為0.87和

0.71,請分別利用這兩個模型,求2022年我國新能源乘用車的年銷售

量的預(yù)測值；

⑶你認(rèn)為（2）中用哪個模型得到的預(yù)測值更可靠?請說明理由.

參考數(shù)據(jù):設(shè)u=lny,其中u二In

66

￡（Xi-X）?￡（Xi-x）?

i=li=l3.635.916.27

yUeee

（yi-y）（Ui-U）

1444.788415.7037.71380528

參考公式:對于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)（Xi,yj（i=l,2,3,…,n）,

其經(jīng)驗回歸方程y=bx+a的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為

人人

b二三\-------,a=y-bx.

2

.E（xrx）

解：⑴由表中數(shù)據(jù)得,數(shù)』+2+3：4+5+6=3.5,尸144,

6

66

￡(Xi-x)(yi-y)=841,￡(Xi-x)2=(xi-x)2+(x-x)2+(x-x)2+(x-x)(x

i=li=l2345

22

-%)+(x6-x)

=(1-3.5)2+(2-3.5尸+(3-3.5)2+(4-3.5)2+(5-3.5)2+(6-3.5)2=17.5,

A6

二匚三（勺一三）（％一羽）841

所以------^48,

￡（工廠元）2175

i=i

a=y-bx=144-48X3.5二-24,所以Y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程為

y=48x-24.

人

⑵由⑴知，Y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程為y=48x24,

當(dāng)x=7時,2022年我國新能源乘用車的年銷售量的預(yù)測值

人

y=48X7-24=312（萬輛）；

A

對于回歸方程y=37.71e°*,當(dāng)x=7時,2022年我國新能源乘用車的年

A

銷售量的預(yù)測值丫=37.7遂°皿7=/63乂020飛59二380（萬輛）.

（3）依題意,y=37.71e°,疥模型和第（1）問中模型的NG為決定系數(shù)）

分別為0.87和0.71,

由于決定系數(shù)越接近于1,兩個變量之間的關(guān)系就越強(qiáng),相應(yīng)的擬合程

度也越好，

所以y=37.71e°?物模型得到的預(yù)測值更可靠.

?總結(jié)提升?

⑴對于非線性歸分析問題,應(yīng)先進(jìn)行變量代換,求出代換后的經(jīng)驗

回歸直線方程，再求經(jīng)驗回歸曲線方程.

⑵成對樣本數(shù)據(jù)之間線性相關(guān)的程度，可以利用樣本相關(guān)系數(shù)判

斷，"I越趨近于1,兩變量的線性相關(guān)程度越強(qiáng).

熱點(diǎn)訓(xùn)練1某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi),需了解

年宣傳費(fèi)x（單位:千元）對年銷售量Y（單位:t）和年利潤z（單位:千元）

的影響,對近8年的年宣傳費(fèi)Xi和年銷售量2,…,8）數(shù)據(jù)作了

初步處理,得到散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計量的值.

年銷售量八

620

600

580

560

540

520

500

480

343638404244464850525456

年宣傳費(fèi)/干元

8

8￡(o-

X(Xi-X)?(y]i=l

88

2￡（3廣所丁i=la>)?(y-

Xyco￡(x-x)

i=li=ly)

y)

46.65636.8289.81.61469108.8

表中3i5.

（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷,y=a+bx與y=c+d曰哪一個適宜作為年銷售量Y

關(guān)于年宣傳費(fèi)x的經(jīng)驗回歸方程類型？（給出判斷即可,不必說明理

由）

(2)根據(jù)⑴的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù),建立Y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程；

(3)已知這種產(chǎn)品的年利潤z與x,Y的關(guān)系為z=0.2Y-x,根據(jù)(2)的結(jié)

果回答下列問題：

①年宣傳費(fèi)x:49時,年銷售量及年利潤的預(yù)報值是多少？

②年宣傳費(fèi)x為何值時,年利潤的預(yù)報值最大？

附:對于一組數(shù)據(jù)Q,“)，(th,V，…，(/v)其經(jīng)驗回歸方程

八AA

u=a+￡u的斜率和截距的最小二乘估計分別

.￡(uf-u)(vrv)八

為邛二)----,a=v-pu.

1=1

解：⑴由散點(diǎn)圖知，各點(diǎn)呈非線性遞增趨勢,所以y=c+dy作為經(jīng)驗

回歸方程比較合適.

-8

zox.r-m(1,g(3廠加(y廠歹)108.8公。

(2)由a貝ijd=-----'一一一68,

.￡(何國產(chǎn)16

1=1

人人

由萬二6.8,歹二563,得c二9-daJ=563-68X6.8=100.6,所以

人

y=100.6168V%.

(3)①當(dāng)x=49時,年銷售量y=100.6+68)屈=576.6(t).此時年利潤

z二。2X576.6-49=66.32(千元).

②由題

意,z=0.2X(100.6+68V%)-x=20.12+13.6G(?)'-(?-6.8)2+66.

36,

所以當(dāng)?二6.8,即x=46.24時,年利潤的預(yù)報值最大.

熱點(diǎn)二獨(dú)立性檢驗

?核心必備?

2

2_n(ad-bc)

“卡方公式”n=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'

典例2（2021?山東濟(jì)南期末）為了研究某種疾病的治愈率，某醫(yī)院

從過往病例中隨機(jī)抽取了100名患者,其中一部分患者采用了外科療

法,另一部分患者采用了化學(xué)療法,并根據(jù)兩種治療方法的治愈情況

繪制了等高堆積條形圖,如圖.

⑴根據(jù)圖表完善以下關(guān)于治療方法和治愈情況的2X2列聯(lián)表:

療效

療法合計

未治愈治愈

外科療法

化學(xué)療法18

合計100

⑵依據(jù)小概率值。=0.05的獨(dú)立性檢驗，分析此種疾病治愈率是否與

治療方法有關(guān).

2

附:（如需計算x2,結(jié)果精確到0.001）,

X2獨(dú)立性檢驗中常用的小概率值和相應(yīng)的臨界值

a0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

治愈率等高堆積條形圖

100%---------

90%

80%

1~I冶俞

70%1_1m感

60%

去治布

JU%1_-_1不值型

4no/

anoz

xuzo

1v/b

nqz

外彳理療法4二學(xué)療法

解：(1)由題意及等高堆積條形圖可得,2義2列聯(lián)表如表.

療效

療法合計

未治愈治愈

外科療法202040

化學(xué)療法421860

合計6238100

(2)零假設(shè)為H。:是否治愈與治療方法無關(guān)聯(lián).

由列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可得，X2,100X(20X182OX42)2^^Q75>3.841,

根據(jù)小概率值a=0.05的獨(dú)立性檢驗,我們能推斷H。不成立，即認(rèn)為是

否治愈與治療方法有關(guān)聯(lián),此推斷犯錯誤的概率不大于0.05.

?總結(jié)提升?

獨(dú)立性檢驗的具體做法

⑴根據(jù)實際問題的需要確定容許推斷“兩個隨機(jī)事件有關(guān)系”犯錯

誤概率的小概率值a,然后查表確定臨界值.

⑵利用公式，計算xI

⑶如果x2>Xa,就推斷“X與Y有關(guān)系”，這種推斷犯錯誤的概率不超

過a；否則，就認(rèn)為在犯錯誤的概率不超過。的前提下不能推斷“X與

Y有關(guān)系”，或者在樣本數(shù)據(jù)中沒有發(fā)現(xiàn)足夠證據(jù)支持結(jié)論“X與Y有

關(guān)系”.

熱點(diǎn)訓(xùn)練2為進(jìn)一步做好新冠肺炎疫情防控工作，某社區(qū)以網(wǎng)上調(diào)

查問卷的形式對轄區(qū)內(nèi)部分居民做了新冠疫苗免費(fèi)接種的宣傳和調(diào)

查.調(diào)查數(shù)據(jù)如下:共95份有效問卷,40名男性中有10名不愿意接種

疫苗,55名女性中有5名不愿意接種疫苗.

(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù),完成下面的2X2列聯(lián)表,并根據(jù)列聯(lián)表,根據(jù)小概

率值a=0.050的x2獨(dú)立性檢驗,判斷是否有95%的把握認(rèn)為是否愿意

接種疫苗與性別有關(guān)？

態(tài)度

性另u合計

愿意接種不愿意接種

男

女

合計

⑵從不愿意接種的15份調(diào)查問卷中得到拒絕接種新冠疫苗的原因：

有3份身體原因不能接種;有2份認(rèn)為新冠肺炎已得到控制，無需接種;

有4份擔(dān)心疫苗的有效性;有6份擔(dān)心疫苗的安全性.求從這15份問

卷中隨機(jī)選出2份，在已知至少有一份擔(dān)心疫苗安全性的條件下,另

一份是擔(dān)心疫苗有效性的概率.

2

n(ad-bc)

?x二______________________________

(a+匕)(c+d)(a+c)(b+d)’

a0.0500.0100.005

Xa3.8416.6357.879

解：⑴補(bǔ)全2義2列聯(lián)表如表.

態(tài)度

性另合計

愿意接種不愿意接種

男301040

女50555

合計801595

22

X-_95X(30X5-50X10)%408>3.841二X。.。眇

(a+b)(c+d)(Q+C)(b+d)40x55x80x15

根據(jù)小概率值a=0.050的x2獨(dú)立性檢驗,有95%的把握認(rèn)為是否愿意

接種疫苗與性別有關(guān).

⑵設(shè)事件A為“至少有一份擔(dān)心疫苗安全性”，事件B為“另一份擔(dān)

心疫苗有效性”，

8

則P(A)=1-品則P(AB)竽白所以P(B|A)號.奇V

熱點(diǎn)三概率與統(tǒng)計的綜合問題

典例3(2022?山東濟(jì)南高三期末)某機(jī)構(gòu)為了解市民對交通的滿意

度,隨機(jī)抽取了100位市民進(jìn)行調(diào)查，結(jié)果如下：回答“滿意”的人數(shù)

占總?cè)藬?shù)的一半,在回答“滿意”的人中，“上班族”的人數(shù)是“非上

班族”人數(shù)的,；在回答“不滿意”的人中，“非上班族”占也

(1)請根據(jù)以上數(shù)據(jù)填寫下面2X2列聯(lián)表,并依據(jù)小概率值a=0.001

的獨(dú)立性檢驗,分析能否認(rèn)為市民對于交通的滿意度與是否為上班族

存在關(guān)聯(lián)？

滿意不滿意合計

上班族

非上班族

合計

(2)此機(jī)構(gòu)欲隨機(jī)抽取部分市民進(jìn)一步調(diào)查.規(guī)定:抽樣的次數(shù)不超過

n(n￡N*),若隨機(jī)抽取的市民屬于不滿意群體,則抽樣結(jié)束;若隨機(jī)抽

取的市民屬于滿意群體,則繼續(xù)抽樣,直到抽到不滿意市民或抽樣次

數(shù)達(dá)到n時,抽樣結(jié)束.

①若吁5,寫出Xs的分布列和數(shù)學(xué)期望；

②請寫出尤的數(shù)學(xué)期望的表達(dá)式(不需證明)，根據(jù)你的理解說明Xn的

數(shù)學(xué)期望的實際意義.

附：

2

X2_n(ad-bc)S+“其中『a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(Q+C)

a0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

解：(1)由題意可知,2X2列聯(lián)表如表,

滿意不滿意合計

上班族154055

非上班族351045

合計5050100

零假設(shè)為H。:市民對交通的滿意度與是否上班獨(dú)立.因為X

2

一「00X(15X1035X40)=咨￡入？5.253>10,828.

50X50X55X4599

根據(jù)小概率值&=0.001的獨(dú)立性檢驗,我們推斷H。不成立，即認(rèn)為市

民對交通的滿意度與是否上班有關(guān)，此推斷犯錯誤的概率不大于

0.001.

⑵①當(dāng)"5時,X5的可能取值為1,2,3,4,5,由(1)可知市民的滿意度

和不滿意度均為最

所以p區(qū)刁)qpa二2)*p(x$=3)q,p供=4)q,p區(qū)二5)q,

乙乙乙乙乙

所以X,5的分布列為

x512345

11111

P

22223

所以E(X5)=lX1+2X.+3X導(dǎo)4X,+5X*.

②E(XJ=1X*2X/3X導(dǎo)???+(n-1)+n?奈2-看，

當(dāng)n趨向于正無窮大時,E(X。趨向于2,此時E(X，恰好為不滿意度

的倒數(shù)，

也可以理解為平均每抽取2個人,就會有一個不滿意的市民.

?總結(jié)提升?------------------------

解決概率與統(tǒng)計綜合問題的一般步驟

熱點(diǎn)訓(xùn)練3(2021?重慶渝中區(qū)期末)某中學(xué)成功地舉辦了一年一

度的大型學(xué)生社團(tuán)文化節(jié)，吸引了眾多學(xué)生.該中學(xué)目前共有社團(tuán)近

40個，由高一和高二學(xué)生組成,參加社團(tuán)的學(xué)生有四百人左右.已知該

中學(xué)高一和高二的所有學(xué)生中男生與女生人數(shù)比為6:4,為了解學(xué)生

參加社團(tuán)活動的情況,按性別采用分層抽樣的方法抽取部分學(xué)生,統(tǒng)

計得到如圖等高堆積條形圖.

(1)求該中學(xué)參加社團(tuán)的學(xué)生中，任選1人是男生的概率；

(2)若抽取了100名學(xué)生,完成下列2X2列聯(lián)表,并依據(jù)小概率值。

=0.05的獨(dú)立性檢驗,能否認(rèn)為該中學(xué)高一和高二學(xué)生的性別與參加

學(xué)生社團(tuán)有關(guān)聯(lián)?請說明理由.

參加社團(tuán)未參加社團(tuán)合計

男生

女生

合計

附:八…窗喘"a+b+c+d.

（10.10.050.01

Xa2.7063.8416.635

解：（1）設(shè)高一和高二的所有學(xué)生中任選一人是男生、是女生分別為事

件A,4

設(shè)高一和高二的所有學(xué)生中任選一人參加社團(tuán)為事件B,則

P（A）=60%,P（彳）=40%,

則P（A|B）二端產(chǎn)PC4）P（8|A）_60%X10%_6_3

P（4）P（8|4）+P（Z）P（BR）60%X10%+40%X20%6+87,

⑵2X2列聯(lián)表如表,

參加社團(tuán)未參加社團(tuán)合計

男生65460

女生83240

合計1486100

零假設(shè)為H。:性別與參加社團(tuán)獨(dú)立，即性別與參加社團(tuán)無關(guān).

根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計算得到X*。；：公震

1.993<3.841=ao.o5,

依據(jù)小概率值Q=0.05的獨(dú)立性檢驗,沒有充分的證據(jù)推斷H。不成立,

因此可以認(rèn)為H。成立，即性別與參加社團(tuán)無關(guān).

專題強(qiáng)化訓(xùn)練（十七）

一、單項選擇題

1.（2022?山東萊西高三期末）通過隨機(jī)詢問某中學(xué)110名中學(xué)生是

否愛好跳繩,得到列聯(lián)表:

性別

跳繩合計

男女

愛好402060

不愛好203050

合計6050110

已知XF黑襦麗,P（x—828）6001,根據(jù)小概率值

0=0.001的x2獨(dú)立性檢驗，以下結(jié)論正確的為（D）

A.愛好跳繩與性別有關(guān)

B.愛好跳繩與性別有關(guān),這個結(jié)論犯錯誤的概率不超過0.001

C.愛好跳繩與性別無關(guān)

D.愛好跳繩與性別無關(guān),這個結(jié)論犯錯誤的概率不超過0.001

2

)2

解析：x2=-n(ad-bc')110X(40X30-20X20-F.822<10.828,

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)60x50x60x50

則愛好跳繩與性別無關(guān),這個結(jié)論犯錯誤的概率不超過0.001.故選

D.

2.某公司為了確定下一年投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi)，需了解年宣傳費(fèi)

x（單位:萬元）對年銷售量Y（單位:千件）的影響.現(xiàn)收集了近5年的年

宣傳費(fèi)x（單位:萬元）和年銷售量Y（單位:千件）的數(shù)據(jù),其數(shù)據(jù)如表

所示,且Y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程為廠bx-8.2,則下列結(jié)論錯誤的是

(C)

X4681012

Y1571418

A.x,Y之間呈正相關(guān)關(guān)系

B.b=2.15

C.該經(jīng)驗回歸直線一定經(jīng)過點(diǎn)(8,7)

D.當(dāng)此公司該種產(chǎn)品的年宣傳費(fèi)為20萬元時，預(yù)測該種產(chǎn)品的年銷

售量為34800件

解析：由表中數(shù)據(jù)可

得，土［X(4+6+8+10+12)=8,y=1x(1+5+7+14+18)=9,

故經(jīng)驗同歸直線一定經(jīng)過點(diǎn)⑻9),故9=86-8.2,解得15,故A,B

正確,C錯誤；

人人

將x=20代入y=2.15x-8.2,解得y=34.8,故當(dāng)此公司該種產(chǎn)品的年宣

傳費(fèi)為20萬元時，預(yù)測該種產(chǎn)品的年銷售量為34800件,故D正確.

故選C.

二、多項選擇題

3.(2022?江蘇揚(yáng)州高三期末)下列說法中正確的有(ABD)

A.將一組數(shù)據(jù)中的每個數(shù)據(jù)都乘以2后,平均數(shù)也變?yōu)樵瓉淼?倍

B.若一組數(shù)據(jù)的方差越小，則該組數(shù)據(jù)越穩(wěn)定

c.由樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)（x「yj,（X2,%）,…，（X”yj所得到的經(jīng)驗回歸直線

人

八A

y=bx+Q至少經(jīng)過其中的一個點(diǎn)

D.在某項測量中，若測量結(jié)果&?N（l,。2）（?！?）,則P（10）=0.5

解析:對于A,設(shè)數(shù)據(jù)xi,xz,…，X。的平均數(shù)為元則土二/+外+…+”

n

則數(shù)據(jù)2x?2X2,…,2Xn的平均數(shù)為2巧+2必+…+2孫=26+與+…+孫；2匕A

nn

正確；

對于B,由方差的定義可知,方差越小,樣本越穩(wěn)定,B正確;

A

AA

對于C,經(jīng)驗回歸直線y=bx+a一定過樣本的中心點(diǎn)（%,歹），不一定過

樣本點(diǎn),C錯誤；

對于D,在某項測量中,若測量結(jié)果5?N（l,。9（o〉0）,則P（&<

1）=0.5,D正確.故選ABD.

4.（2022?湖南常德高三期末）甲、乙、丙、丁四人各擲骰子5次（骰

子每次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)可能為1,2,3,4,5,6）,并分別記錄每次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù),

四人根據(jù)統(tǒng)計結(jié)果對各自的試驗數(shù)據(jù)分別做了如下描述，可以判斷一

定沒有出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6的描述是（AD）

A.中位數(shù)為3,眾數(shù)為5

B.中位數(shù)為3,極差為3

C.中位數(shù)為1,平均數(shù)為2

D.平均數(shù)為3,方差為2

解析:對于A,由于中位數(shù)為3,眾數(shù)為5,所以這5個數(shù)從小到大排列

后,第3個數(shù)是3,則第4和5個數(shù)為5,所以這5個數(shù)中一定沒有出現(xiàn)

6,所以A正確；

對于B,由于中位數(shù)為3,極差為3,所以這5個數(shù)可以是3,3,3,4,6,

所以B錯誤；

對于C,由于中位數(shù)為1,平均數(shù)為2,所以這5個數(shù)可以是1,1,1,1,6,

所以C錯誤；

對于D,由平均數(shù)為3,方差為2,可得

22222

xi+x2+x3+x,i+x5=15,(X-3)+(X2-3)+(X3-3)+(X-3)+(X5-3)]=2,若有

一個數(shù)為6,取Xi=6,則

2222

X2+X3+X4+X5=9,(X2-3)+(x3-3)+(X4-3)+(X5-3)=1,所以&-3)W

1,(X3-3)Wl,(X「3)2W1,(X5-3)?W1,所以X2,x3,x.bX5這4個數(shù)可以是

4,3,3,3或2,3,3,3,與x2+x3+x4+x5=9矛盾，所以xH6,所以這5個數(shù)

一定沒有出現(xiàn)6,所以D正確.故選AD.

5.(2022?湖北江岸高三期末)某電子商務(wù)平臺每年都會舉行“年貨節(jié)”

商業(yè)促銷狂歡活動,現(xiàn)在統(tǒng)計了該平臺從2013年到2021年共9年“年

貨節(jié)”期間的銷售額(單位:億元)并作出散點(diǎn)圖，將銷售額Y看成年份

序號x(2013年作為第一年)的函數(shù).運(yùn)用圖表軟件，分別選擇回歸直

線和三次函數(shù)回歸曲線進(jìn)行擬合,效果如圖，則下列說法正確的是

(ACD)

A.銷售額Y與年份序號x正相關(guān)

B.三次函數(shù)回歸模型的殘差平方和大于直線回歸模型的殘差平方和

C.三次函數(shù)回歸曲線的擬合效果好于回歸直線的擬合效果

D.根據(jù)三次函數(shù)回歸曲線可以預(yù)測2022年“年貨節(jié)”期間的銷售額

約為2680.54億元

解析:根據(jù)圖象可知,散點(diǎn)從左下到右上分布,銷售額Y與年份序號x

呈正相關(guān)關(guān)系,A正確；

由散點(diǎn)圖以及直線回歸模型和三次函數(shù)回歸模型的位置關(guān)系可知，三

次函數(shù)回歸模型的殘差平方和小于直線回歸模型的殘差平方和，B錯

、口

識；

根據(jù)三次函數(shù)回歸曲線的決定系數(shù)0.999>0.936,決定系數(shù)越大,擬合

效果越好，所以三次函數(shù)回歸曲線的擬合效果好于回歸直線的擬合效

果,C正確;

由三次函數(shù)y=0.07X3+29.31X2-33.09X+10.44,當(dāng)x二三時,尸2

680.54億元,D正確.故選ACD.

6.（2022?湖北襄陽高三期末）下列說法正確的是（AC）

A.當(dāng)總體是由差異明顯的幾個部分組成時,通常采用分層抽樣的方法

抽樣

B.頻率分布直方圖中每個小矩形的高就是咳組的頻率

C.若兩個滿足線性回歸的變量負(fù)相關(guān),則其回歸直線的斜率為負(fù)

D.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2,。9,P(X<3)=0.9,則

P(2<X<3)=0.3

解析：對十A,根據(jù)分層抽樣的定義可知，當(dāng)總體是由差異明顯的幾個

部分組成時,通常采用分層抽樣的方法抽樣,A正確；

對于B,頻率分布直方圖中每個小矩形的高是“頻率/組距”，即每個

小矩形所代表的對象的頻率/組距，每個小矩形的面積才是該組的頻

率,B錯誤；

對于C,根據(jù)回歸方程性質(zhì)，若兩個滿足線性回歸的變量負(fù)相關(guān),則其

回歸直線的斜率為負(fù),C正確；

對于D,因為P(x<2)=0.5,P(X<3)=0.9,所以P(2<X<3)=0.9-0.5=0.4,D

錯誤.故選AC.

三、填空題

7.(2022?山東青島高三期末)由樣本數(shù)據(jù)(x】，yj,(X2,y2),(x7,y7)

得到的經(jīng)驗回歸方程為y弓五+a,已知如下數(shù)

777八

據(jù):3產(chǎn)19,者產(chǎn)二35,次界卷,則實數(shù)a的值為.

人A

解析:令t=Vx,則經(jīng)驗回歸方程y[t+Q過樣本中心點(diǎn)(K歹)，

因為+73,歹=35+7=5,所以有5X即Q=4.

答案：4

8.根據(jù)某市有關(guān)統(tǒng)計公報顯示,該市對外貿(mào)易近幾年持續(xù)繁榮,2017

年至2020年每年進(jìn)口總額x（單位:千億元）和出口總額Y（單位:千億

元）之間的一組數(shù)據(jù)如表：

2017年2018年2019年2020年

X1.82.22.63.0

Y2.02.83.24.0

若每年的進(jìn)出口總額x,Y滿足線性相關(guān)關(guān)系y=bx-0.84,則

人

b=;若計劃2022年出口總額達(dá)到5千億元,預(yù)計該年進(jìn)口總

額為千億元.

hjj4-r"r4f日》+.—曰—1,8+2.2+2.6+3.0cA-2.0+2.8+3.2+4.0

解析：由題懸可得%二------------二2.4,y二-------------二3n.

44

因為樣本中心滿足經(jīng)驗回歸方程,可得3=2.4b-0.84,解得b=1.6,所

以y=l.6x-0.84,

2022年出口總額達(dá)到5千億元,預(yù)計該年進(jìn)口總額為x,則

5=1.6x-0.84,解得x=3.65.

答案：L63.65

四、解答題

9.（2022?江蘇通州高三期末）當(dāng)今時代，國家之間的綜合國力的競爭,

在很大程度上表現(xiàn)為科學(xué)技術(shù)水平與創(chuàng)新能力的競爭.特別是進(jìn)入人

工智能時代后,誰掌握了核心科學(xué)技術(shù),誰就能對競爭對手進(jìn)行降維

打擊.我國自主研發(fā)的某種產(chǎn)品,其厚度越小,則該種產(chǎn)品越優(yōu)良,為

此,某科學(xué)研發(fā)團(tuán)隊經(jīng)過較長時間的實驗研發(fā)，不斷地對該產(chǎn)品的生

產(chǎn)技術(shù)進(jìn)行改造提升，最終使該產(chǎn)品的優(yōu)良厚度達(dá)到領(lǐng)先水平并獲得

了生產(chǎn)技術(shù)專利.

⑴在研發(fā)過程中，對研發(fā)時間x(月)和產(chǎn)品的厚度Y(nm)進(jìn)行統(tǒng)計，

其中1—7月的數(shù)據(jù)資料如表：

x(月)1234567

Y(nm)99994532302421

現(xiàn)用y二a+夕乍為Y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程類型,請利用表中數(shù)據(jù),求出

該經(jīng)驗回歸方程,并估計該產(chǎn)品的“理想”優(yōu)良厚度約為多少？

(2)某企業(yè)現(xiàn)有3條老舊的該產(chǎn)品的生產(chǎn)線,迫于競爭壓力，決定關(guān)閉

并出售生產(chǎn)線.現(xiàn)有以下兩種售賣方案可供選擇：

①直接售賣,則每條生產(chǎn)線可賣5萬元；

②先花20萬元購買技術(shù)專利并對老舊生產(chǎn)線進(jìn)行改造，使其達(dá)到生

產(chǎn)領(lǐng)先水平后再售賣.已知在改造過程中，每條生產(chǎn)線改造成功的概

率均為/若改造成功,則每條生產(chǎn)線可賣20萬元;若改造失敗，則賣價

為0萬元.請判斷該企業(yè)應(yīng)選擇哪種售賣方案更為科學(xué).并說明理由.

77

參考數(shù)據(jù)：設(shè)z尸工,5七0.37,歹=50,iZiyi=184.5,Ezf-Tz2^

xxt'i=li=l

0.55.

參考公式:對于一組數(shù)據(jù)（UI,vj