2025年高考數(shù)學一輪復習講義及高頻考點歸納與方法總結(jié)（新高考通用）思維拓展03函數(shù)和不等式中的恒成立和有解問題（精講+精練）①一元二次不等式中的恒成立和有解問題②基本不等式中的恒成立問題③函數(shù)不等式中的恒成立和有解問題一、必備知識整合一、必備知識整合一、恒成立和有解問題思路一覽設函數(shù)的值域為或，或或中之一種，則①若恒成立（即無解），則；②若恒成立（即無解），則；③若有解（即存在使得成立），則；④若有解（即存在使得成立），則；⑤若有解（即無解），則；⑥若無解（即有解），則．【說明】（1）一般來說，優(yōu)先考慮分離參數(shù)法，其次考慮含參轉(zhuǎn)化法．（2）取值范圍都與最值或值域(上限、下限)有關，另外要注意①②③④中前后等號的取舍?。炊它c值的取舍）二、分離參數(shù)的方法①常規(guī)法分離參數(shù)：如；②倒數(shù)法分離參數(shù)：如；【當?shù)闹涤锌赡苋〉?，而的值一定不?時，可用倒數(shù)法分離參數(shù)．】③討論法分離參數(shù)：如:④整體法分離參數(shù)：如； ⑤不完全分離參數(shù)法：如；⑥作商法凸顯參數(shù)，換元法凸顯參數(shù)．【注意】（1）分離參數(shù)后，問題容易解決，就用分離參數(shù)法（大多數(shù)題可以使用此方法）．但如果難以分離參數(shù)或分離參數(shù)后，問題反而變得更復雜，則不分離參數(shù)，此時就用含參轉(zhuǎn)化法．（2）恒成立命題對自變量的范圍有時有一部分或端點是必然成立的，應該考慮先去掉這一部分或端點，再分離參數(shù)求解．【否則往往分離不了參數(shù)或以至于答案出問題．】三、其他恒成立類型一①在上是增函數(shù)，則恒成立．(等號不能漏掉)．②在上是減函數(shù)，則恒成立．(等號不能漏掉)．③在上是單調(diào)函數(shù)，方法一：分上述兩種情形討論；(常用方法)四、其他恒成立類型二①，使得方程成立．②，使得方程成．五、其他恒成立類型三①，；②，；③，；④，．二、考點分類精講二、考點分類精講【典例1】（23-24高三上·山東濱州·期末）若不等式對任意恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，分離參數(shù)再利用基本不等式求出最小值即得.【詳解】不等式對任意恒成立，則，成立，而，當且僅當，即時取等號，因此，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：B【典例2】（2024高三·全國·專題練習）若命題“”為真命題，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由題意可得不等式在R上有解，結(jié)合計算即可求解.【詳解】由題意可知，不等式在R上有解，∴，解得，∴實數(shù)m的取值范圍是.故選：A.【典例3】（23-24高三上·江蘇·階段練習）若兩個正實數(shù)滿足且不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】應用基本不等式“1”的代換求左側(cè)最小值，根據(jù)不等式恒成立及一元二次不等式的解法求參數(shù)m的范圍.【詳解】由題設，當且僅當時取等號，又恒成立，即.故選：A【典例4】（2024高三·全國·專題練習）已知正數(shù)滿足，若恒成立，則實數(shù)的最小值為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】將原不等式轉(zhuǎn)化為，再求的最大值即可得到的最小值.【詳解】因為，所以，因為，所以，故，又，當且僅當時，等號成立，故，實數(shù)的最小值為.故選：D.【題型訓練-刷模擬】1.一元二次不等式中的恒成立和有解問題一、單選題1．（2024·浙江·模擬預測）若不等式的解為全體實數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．2．（23-24高三上·黑龍江哈爾濱·期末）已知命題：為假命題，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．（23-24高三下·山東菏澤·階段練習）已知條件：“不等式的解集是空集”，則條件：“”是條件的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件4．（23-24高三上·重慶長壽·期末）已知函數(shù)，對都有成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．（2024·湖北·二模）已知等差數(shù)列的前n項和為，且，，若對于任意的，不等式恒成立，則實數(shù)x可能為（

）A． B．0 C．1 D．26．（23-24高三上·山東日照·開學考試）命題“，”為真命題的充要條件是（

）A． B． C． D．7．（2023·福建寧德·模擬預測）命題“”為真命題的一個充分不必要條件是（

）A． B．C． D．8．（22-23高二下·四川樂山·期末）已知函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．2.基本不等式中的恒成立問題一、單選題1．（23-24高三上·上海黃浦·期中）若對任意的，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．2．（22-23高三·全國·課后作業(yè)）已知x＞0，y＞0，且，若不等式恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是（

）A． B．C． D．3．（2023高三·全國·專題練習）若關于x的不等式對任意恒成立，則正實數(shù)a的取值集合為（）A． B．C． D．4．（22-23高三下·重慶沙坪壩·階段練習）已知正數(shù)，滿足，若不等式恒成立，則的最大值為（

）A． B． C． D．5．（2024·四川成都·三模）設函數(shù)，正實數(shù)滿足，若，則實數(shù)的最大值為（

）A． B．4 C． D．6．（23-24高三上·河北邢臺·階段練習）不等式對所有的正實數(shù),恒成立，則的最大值為（

）A．2 B． C． D．13.函數(shù)不等式中的恒成立和有解問題一、單選題1．（23-24高三上·江蘇南通·期中）已知函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（23-24高三上·天津和平·階段練習）已知函數(shù)，，若，，使得，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．（23-24高一上·江蘇常州·期末）已知函數(shù)的定義域為，若存在，滿足，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．4．（22-23高二下·山西運城·期末）若，使得成立，則實數(shù)取值范圍是（

）A． B． C． D．5．（23-24高三上·湖南衡陽·階段練習）已知，，，使成立.則a的取值范圍（

）A． B．C． D．6．（23-24高三上·云南大理·期中）若對，使得（且）恒成立，