高等數(shù)學(xué)（上冊）（慕課版）第2講函數(shù)的求導(dǎo)法則第1章導(dǎo)數(shù)與微分01函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則02反函數(shù)求導(dǎo)法則03復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則04高階導(dǎo)數(shù)本講內(nèi)容定理2.3設(shè)函數(shù)在點x處可導(dǎo)，則函數(shù)，在點x處也可導(dǎo)，且（1）；（2）；特別地，（C為常數(shù)），3特別地，.（3），01函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則34注法則（1）（2）可以推廣到任意有限個可導(dǎo)函數(shù)相加減和相乘的情形..01函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則4

1例

解設(shè)函數(shù)在點x處可導(dǎo)，利用定義證明：（1）；（2）設(shè)函數(shù)可導(dǎo)，（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義并運用極限的運算法則5，寫出的求導(dǎo)公式..01函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則5由于存在，故在點x處連續(xù)，從而.所以，01函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則6

解（2）連續(xù)使用乘積的求導(dǎo)法則得01函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則7

2例

解設(shè),求,．

根據(jù)定理2.3，

,

所以.

01函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則8設(shè),求．

．

3例

解01函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則9設(shè)

，

求y'．

即

．

4例

解

，

01函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則10

5例

解

，

01函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則111設(shè)

，求y'．即

．設(shè),求y'．

即

6例

解，01函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則12

7例

解，01函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則132設(shè)

，求．即

01函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則02反函數(shù)求導(dǎo)法則03復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則04高階導(dǎo)數(shù)本講內(nèi)容若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)可導(dǎo)且每一點都，定理2.4則它的反函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間內(nèi)也單調(diào)可導(dǎo)，或即反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)..02反函數(shù)求導(dǎo)法則15

8例

證則是它的反函數(shù)，設(shè)為直接函數(shù)，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)可導(dǎo)，且，則在內(nèi)有又，故證明.02反函數(shù)求導(dǎo)法則16；

9例

證則是它的反函數(shù)，設(shè)為直接函數(shù)，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)可導(dǎo)，且，則在內(nèi)有又，故證明.02反函數(shù)求導(dǎo)法則173；

10例

證則是它的反函數(shù)，設(shè)為直接函數(shù)，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)可導(dǎo)，且，則在內(nèi)有又，故證明.02反函數(shù)求導(dǎo)法則184

11例

證則是它的反函數(shù)，設(shè)為直接函數(shù)，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)可導(dǎo)，且，則在內(nèi)有又，故證明.02反函數(shù)求導(dǎo)法則195

證明

．

設(shè)是直接函數(shù),則是它的反函數(shù)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)可導(dǎo)，

且，

由反函數(shù)求導(dǎo)法則知，

在對應(yīng)區(qū)間內(nèi)有

即指數(shù)函數(shù)的求導(dǎo)公式為．

特別地，

當(dāng)時，

．

12例

證，02反函數(shù)求導(dǎo)法則2001函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則02反函數(shù)求導(dǎo)法則03復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則04高階導(dǎo)數(shù)本講內(nèi)容定理2.5若函數(shù)在點x處可導(dǎo)，函數(shù)在對應(yīng)點處可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)在點x處也可導(dǎo)，且或.推廣.03復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則22

13例

解03復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則236可看作由

復(fù)合而成，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)因為所以

14例

解03復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則247求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)可分解為，

15例

解03復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則258求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

16例（1）（2）

解（1）03復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則26

解（2）.03復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則27

17例

解已知函數(shù)，，求.所以.而，03復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則2801函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則02反函數(shù)求導(dǎo)法則03復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則04高階導(dǎo)數(shù)本講內(nèi)容定理2.5若函數(shù)導(dǎo)數(shù)仍可導(dǎo)，則稱函數(shù)類似地，的導(dǎo)數(shù)為函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，記作或，即.二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù).04高階導(dǎo)數(shù)30若函數(shù)，在x點處有n階導(dǎo)數(shù)，則有（1）；；（2）萊布尼茨公式.證明見下頁04高階導(dǎo)數(shù)運算法則31運算法則

證（2）由得由數(shù)學(xué)歸納法得，記為.（其中0階導(dǎo)數(shù)理解為函數(shù)本身），，04高階導(dǎo)數(shù)32

18例

解04高階導(dǎo)數(shù)339求函數(shù)

的各階導(dǎo)數(shù).

19例

解04高階導(dǎo)數(shù)3410求函數(shù)

的

n階導(dǎo)數(shù).歸納得類似可得

求函數(shù)的階導(dǎo)數(shù).

，

······，

.通過歸納得

20例

解，

04高階導(dǎo)數(shù)35

21例已知，求.

解誘導(dǎo)公式口訣“奇變偶不變，符號看象限”連續(xù)使用誘導(dǎo)公式······

，，，.04高階導(dǎo)數(shù)36已知，求.

解.剩余步驟同上題.

22例04高階導(dǎo)數(shù)