3.4函數(shù)的應用（一）一、一次函數(shù)模型1、一次函數(shù)為：2、求最值的方法：常轉化為求解不等式ax＋b≥0(或≤0)，解答時，注意系數(shù)a的正負，也可以結合函數(shù)圖象或其單調(diào)性來求最值．3、解決實際應用問題的一般步驟（1）審題：弄清題意，分清條件和結論，理順數(shù)量關系，初步選擇數(shù)學模型；（2）建模：將自然語言轉化為數(shù)學語言，將文字語言轉化為符號語言，利用數(shù)學知識，建立相應的數(shù)學模型；（3）求模：求解數(shù)學模型，得出數(shù)學結論；（4）還原：將數(shù)學問題還原為實際問題．以上過程用框圖表示如圖：二、二次函數(shù)模型1、二次函數(shù)：形如2、求最值的方法：在根據(jù)實際問題建立函數(shù)解析式后，可利用配方法、判別式法、換元法、函數(shù)的單調(diào)性等方法來求函數(shù)的最值，從而解決實際問題中的最值問題.二次函數(shù)求最值最好結合二次函數(shù)的圖象來解答.3、解決實際應用問題的注意事項（1）函數(shù)模型應用不當，是常見的解題錯誤．所以，要理解題意，選擇適當?shù)暮瘮?shù)模型．（2）要特別關注實際問題的自變量的取值范圍，合理確定函數(shù)的定義域．（3）注意問題反饋，在解決函數(shù)模型后，必須驗證這個數(shù)學解對實際問題的合理性．三、冪函數(shù)模型冪函數(shù)模型為y＝axn＋b(a，b為常數(shù)，a≠0)，在計算冪函數(shù)解析式、求冪函數(shù)最值的時候，通常利用冪函數(shù)圖像、單調(diào)性、奇偶性解題.四、分段函數(shù)模型1、分段函數(shù)的定義域：對應每一段自變量取值范圍的并集．2、分段函數(shù)的值域求法：逐段求函數(shù)值的范圍，最后比較再下結論．題型一一次函數(shù)模型應用【例1】某列火車從北京西站開往石家莊，全程277km.火車出發(fā)10min開出13km后，以120km/h的速度勻速行駛．試寫出火車行駛的總路程s與勻速行駛的時間t之間的關系，并求火車離開北京2h內(nèi)行駛的路程．【答案】s＝13＋120t，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0≤t≤\f(11,5)))；233【解析】因為火車勻速運動的時間為(277－13)÷120＝eq\f(11,5)(h)，所以0≤t≤eq\f(11,5).因為火車勻速行駛th所行駛的路程為120tkm，所以火車運行總路程s與勻速行駛時間t之間的關系是s＝13＋120t，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0≤t≤\f(11,5))).2h內(nèi)火車行駛的路程s＝13＋120×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(10,60)))＝233(km)．【變式1-1】為了保護學生的視力，課桌和椅子的高度都是按一定的關系配套設計的，研究表明：假設課桌的高度為，椅子的高度為，則y應是x的一次函數(shù)，下表列出兩套符合條件的課桌和椅子的高度：第一套第二套椅子高度40.037.0課桌高度75.070.2（1）請你確定y與x的函數(shù)關系式（不必寫出x的取值范圍）；（2）現(xiàn)有一把高42.0cm的椅子和一張高78.2cm的課桌，它們是否配套？為什么？【答案】（1）；（2）給出的這套桌椅是配套的．詳見解析【解析】（1）因為課桌高度（cm）是椅子高度（cm）的一次函數(shù)，所以可設為，將符合條件的兩套課桌椅的高度代如上述函數(shù)解析式，得，解得，與的函數(shù)關系式是．（2）把代入上述函數(shù)解析式中，得，給出的這套桌椅是配套的．【變式1-2】夏季高山上溫度從山腳起每升高100米，降低0.7℃，已知山頂?shù)臏囟仁?4.1℃，山腳的溫度是26℃，則山的相對高度是（）A．1800米B．1700米C．1600米D．1500米【答案】B【解析】設山的相對高度為，單位為百米，相應的溫度為，單位為℃，則，令，解得，所以山的相對高度為1700米.【變式1-3】據(jù)調(diào)查，某自行車存車處在某星期日的存車量為2000輛次，其中變速車存車費是每輛一次0.8元，普通車存車費是每輛一次0.5元，若普通車存車數(shù)為x輛次，存車費總收入為y元，則y關于x的函數(shù)關系式是()A．y＝0.3x＋800(0≤x≤2000)B．y＝0.3x＋1600(0≤x≤2000)C．y＝－0.3x＋800(0≤x≤2000)D．y＝－0.3x＋1600(0≤x≤2000)【答案】D【解析】由題意知，變速車存車數(shù)為(2000－x)輛次，則總收入y＝0.5x＋(2000－x)×0.8＝－0.3x＋1600(0≤x≤2000)．題型二二次函數(shù)模型應用【例2】某公司在甲、乙兩地同時銷售一種品牌車，銷售輛該品牌車的利潤（單位：萬元）分別為和.若該公司在兩地共銷售15輛，則能獲得的最大利潤為（）A．90萬元B．60萬元C．120萬元D．120.25萬元【答案】C【解析】設公司在甲地銷售輛，則在乙地銷售輛，公司獲利為，∴當或10時，最大，為120萬元.故選C.【變式2-1】某商場銷售某種商品的經(jīng)驗表明，該商品每日的銷售量（單位：千克）與銷售單價（單位：元/千克）滿足關系式，其中，為常數(shù)，已知銷售單價為元/千克時，每日可售出該商品千克.（1）求的值；（2）若該商品的進價為元/千克，試確定銷售單價的值，使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大，并求出利潤的最大值.【答案】（1）（2）當時，函數(shù)取得最大值，且最大值等于440.【解析】（1）因為.且時，.所以解得..（2）由（1）可知，該商品每日的銷售量.所以商場每日銷售該商品所獲得的利潤：因為為二次函數(shù)，且開口向上，對稱軸為.所以，當時，函數(shù)取得最大值，且最大值等于440.所以當銷售價格定為6元/千克時，商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大，最大利潤為440元.【變式2-2】如圖，有一塊半徑為R(單位：)的半圓形鋼板，計劃裁剪成等腰梯形的形狀，它的下底是半圓的直徑，上底的端點在圓周上.（1）寫出梯形的周長y（單位：）和腰長x（單位：）之間的函數(shù)關系式；（2）求梯形周長的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）作于點，連接，因為是半圓的直徑，所以，易知，所以，所以，又因為，，所以，所以，因為，，所以，所以.（2）因為，，所以時，有最大值，且最大值為，所以當時，梯形的周長最大，最大為.【變式2-3】某運輸公司今年初用49萬元購進一臺大型運輸車用于運輸.若該公司預計從第1年到第年花在該臺運輸車上的維護費用總計為萬元，該車每年運輸收入為25萬元.（1）該車運輸幾年開始盈利？（即總收入減去成本及所有費用之差為正值）（2）若該車運輸若干年后，處理方案有兩種：①當年平均盈利達到最大值時，以17萬元的價格賣出；②當盈利總額達到最大值時，以8萬元的價格賣出.哪一種方案較為合算？請說明理由.【答案】（1）3年；（2）方案①較為合算【解析】（1）由題意可得，即，解得，，該車運輸3年開始盈利.；（2）該車運輸若干年后，處理方案有兩種：①當年平均盈利達到最大值時，以17萬元的價格賣出，，當且僅當時，取等號，方案①最后的利潤為：（萬；②當盈利總額達到最大值時，以8萬元的價格賣出，，時，利潤最大，方案②的利潤為（萬，兩個方案的利潤都是59萬，按照時間成本來看，第一個方案更好，因為用時更短，方案①較為合算.題型三冪函數(shù)模型應用【例3】某公司的收入由保險業(yè)務收入和理財業(yè)務收入兩部分組成.該公司年總收入為億元，其中保險業(yè)務收入為億元，理財業(yè)務收入為億元.該公司經(jīng)營狀態(tài)良好、收入穩(wěn)定，預計每年總收入比前一年增加億元.因越來越多的人開始注重理財，公司理財業(yè)務發(fā)展迅速.要求從年起每年通過理財業(yè)務的收入是前一年的倍，若要使得該公司年的保險業(yè)務收入不高于當年總收入的，則的值至少為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因為該公司年總收入為億元，預計每年總收入比前一年增加億元，所以年的總收入為億元，因為要求從年起每年通過理財業(yè)務的收入是前一年的倍，所以年通過理財業(yè)務的收入為億元，所以，解得.故的值至少為，故選：A.【變式3-1】為了預防信息泄露，保證信息的安全傳輸，在傳輸過程中都需要對文件加密，有一種加密密鑰密碼系統(tǒng)，其加密、解密原理為：發(fā)送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文．現(xiàn)在加密密鑰為，如“4”通過加密后得到密文“2”，若接受方接到密文“”，則解密后得到的明文是（）A．B．C．2D．【答案】A【解析】由題可知加密密鑰為，由已知可得，當時，，所以，解得，故，顯然令，即，解得，即．故選：A.【變式3-2】某企業(yè)為努力實現(xiàn)“碳中和”目標，計劃從明年開始，通過替換清潔能源減少碳排放量，每年減少的碳排放量占上一年的碳排放量的比例均為，并預計年后碳排放量恰好減少為今年碳排放量的一半.（1）求的值；（2）若某一年的碳排放量為今年碳排放量的，按照計劃至少再過多少年，碳排放量不超過今年碳排放量的？【答案】（1）；（2）年.【解析】設今年碳排放量為.（1）由題意得，所以，得.（2）設再過年碳排放量不超過今年碳排放量的，則，將代入得，即，得.故至少再過年，碳排放量不超過今年碳排放量的.題型四分段函數(shù)模型應用【例4】在一次為期15天的大型運動會期間，每天主辦方要安排專用大巴車接送運動員到各比賽場館參賽，每輛大巴車可乘坐40人，已知第t日參加比賽的運動員人數(shù)M與t的關系是M(t)＝為了保證賽會期間運動員都能按時參賽，主辦方應至少準備大巴車的數(shù)量是()A．7B．8C．9D．10【答案】D【解析】當時，函數(shù)為一次函數(shù)，單調(diào)遞增，當時取得最大值，即.當時，函數(shù)為開口向下的二次函數(shù)，其對稱軸為，由于為整數(shù)，故當時取得最大值，即，故選.【變式4-1】某廠生產(chǎn)某種零件，每個零件的成本為元，出廠單價定為元，該廠為鼓勵銷售商訂購，決定當一次訂購量超過個時，每多訂購一個，訂購的全部零件的出廠單價就降低元，但實際出廠單價不能低于元.（1）當一次訂購量為多少個時，零件的實際出廠單價恰好降為41元？（2）設一次訂購量為個，零件的實際出廠單價為元，寫出函數(shù)的表達式；(3)當銷售商一次訂購個零件時，該廠獲得的利潤是多少元？（工廠售出一個零件的利潤=實際出廠單價-成本）【答案】（1）；（2）；（3）元【解析】設每個零件的實際出廠價恰好降為元時，一次訂購量為個，則.（2）當時，；當時，；當時，.（3）設工廠獲得的利潤為元，則，即銷售商一次訂購個零件時，該廠獲得的利潤是元.【變式4-2】某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品的固定成本為0．5萬元，但每生產(chǎn)100件需要增加投入0．25萬元，市場對此產(chǎn)品的需求量為500件，銷售收入為函數(shù)R(x)＝5x－(0≤x≤5)萬元，其中x是產(chǎn)品售出的數(shù)量(單位：百件)．（1）把利潤表示為年產(chǎn)量的函數(shù)f(x)；（2）年產(chǎn)量為多少時，當年公司所得利潤最大？【答案】（1）f(x)＝；（2）475件．【解析】（1）產(chǎn)量為x(百件)，當0≤x≤5時，f(x)＝5x－－(0.5＋0.25x)；當x＞5時，銷售收入為萬元，此時f(x)＝－(0.5＋0.25x)＝12－0.25x；∴f(x)＝；（2）當0≤x≤5時，f(x)＝＋10.78125；當x＞5時，函數(shù)f(x)為單調(diào)遞減函數(shù)．∴當x＝4.75時，即年產(chǎn)量為475件時，公司所得利潤最大．【變式4-3】暑假期間，某旅行社為吸引中學生去某基地參加夏令營，推出如下收費標準：若夏令營人數(shù)不超過30，則每位同學需交費用600元；若夏令營人數(shù)超過30，則營員每多1人，每人交費額減少10元（即：營員31人時，每人交費590元，營員32人時，每人交費580元，以此類推），直到達到滿額70人為止.（1）寫出夏令營每位同學需交費用（單位：元）與夏令營人數(shù)之間的函數(shù)關系式；（2）當夏令營人數(shù)為多少時，旅行社可以獲得最大收入？最大收入是多少？【答案】（1）（2）當人數(shù)為45人時，最大收入為20250元【解析】（1）由題意可知每人需交費關于人數(shù)的函數(shù)：（2）旅行社收入為，則，即，當時，為增函數(shù)，所以，當時，為開口向下的二次函數(shù)，對稱軸，所以在對稱軸處取得最大值，.綜上所述：當人數(shù)為45人時，最大收入為20250元.題型五對勾函數(shù)模型應用【例5】某工廠擬生產(chǎn)并銷售某電子產(chǎn)品m萬件（生產(chǎn)量與銷售量相等），為擴大影響進行銷售，促銷費用x（萬元）滿足m=x+24（其中，為正常數(shù)）。已知生產(chǎn)該產(chǎn)品還需投入成本6(m+1m?1（1）將該產(chǎn)品的利潤y萬元表示為促銷費用x萬元的函數(shù)；（2）促銷費用投入多少萬元時，此工廠所獲利潤最大？【答案】（1）（2）當時，利潤最大值為17萬元，當時，最大利潤萬元【解析】（1），將代入（2）令，在單減，單增∴當時，利潤最大值為17萬元；當時，最大利潤萬元【變式5-1】某公司一年需要一種計算機元件8000個，每個電子元件單價為a元，每天需同樣多的元件用于組裝整機，該元件每年分n次進貨，每次購買元件的數(shù)量均為x，每次單價不變，購一次貨需手續(xù)費500元．已購進而未使用的元件要付庫存費，可以認為平均庫存量為件，每個元件的庫存費是一年2元．（1）將公司每年總費用F表示成x的函數(shù)；（2）請你幫公司核算一下，每年進貨幾次花費最?。敬鸢浮浚?）F＝x++8000a；（2）4次.【解析】（1）由題意可知，n＝，F(xiàn)＝8000a+500n+2?x＝x+500?+8000a，即：F＝x++8000a；（2）由（1）可知，F(xiàn)＝x++8000a＝+500n+8000a＝4000+8000a．當且僅當，即n＝4時，總費用最少，故每年進貨4次花費最?。咀兪?-2】某廠家擬舉行促銷活動，經(jīng)調(diào)查測算，該產(chǎn)品的年銷售量（即該廠的年產(chǎn)量）萬件與年促銷費用萬元（）滿足（為常數(shù)），如果不搞促銷活動，則該產(chǎn)品的年銷售量只能是1萬件.已知年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為8萬元，每生產(chǎn)1萬件該產(chǎn)品需要再投入16萬元，廠家將每件產(chǎn)品的銷售價格定為每件產(chǎn)品年平