第2講對(duì)坐標(biāo)的曲線積分主講教師|高等數(shù)學(xué)（下冊(cè)）（慕課版）第11章曲線積分與曲面積分本講內(nèi)容對(duì)坐標(biāo)曲線積分的計(jì)算法02對(duì)坐標(biāo)曲線積分的概念和性質(zhì)0103兩類曲線積分之間的關(guān)系301對(duì)坐標(biāo)曲線積分的概念和性質(zhì)

變力沿曲線做功常力沿直線做功：

分割：

將??任意分成??小段；

引例4

取近似：

取

即

01對(duì)坐標(biāo)曲線積分的概念和性質(zhì)5yxOA=M0M1M2Mi-1MiMn-1?yi?xiB=Mn

求和：

取極限：

01對(duì)坐標(biāo)曲線積分的概念和性質(zhì)6設(shè)??為??????面內(nèi)從點(diǎn)??到點(diǎn)??的一條有向光滑曲線弧,函數(shù)

在??上有界.用??上的點(diǎn)把??分成??個(gè)有向小弧段

??定義11.101對(duì)坐標(biāo)曲線積分的概念和性質(zhì)7?設(shè)

點(diǎn)

為

上任意取定的點(diǎn).如果當(dāng)各小弧段長(zhǎng)度的最大值

時(shí)，若極限

存在

則稱此極限為函數(shù)??(??,??)在有向曲線弧??上對(duì)坐標(biāo)??的曲線積分（或稱第二類曲線積分）,記作01對(duì)坐標(biāo)曲線積分的概念和性質(zhì)8若記

可表示為

有向積分曲線向量值函數(shù)有向弧元素

01對(duì)坐標(biāo)曲線積分的概念和性質(zhì)9??注(1)?若??為有向閉曲線,則表示為

01對(duì)坐標(biāo)曲線積分的概念和性質(zhì)10(3)?變力

沿曲線L:A→??做功(4)?存在條件?當(dāng)P(x,y),

在光滑曲線弧L上連續(xù)時(shí),第二類曲線積分存在

01對(duì)坐標(biāo)曲線積分的概念和性質(zhì)11(5)?推廣?空間有向曲線弧Γ,

01對(duì)坐標(biāo)曲線積分的概念和性質(zhì)12即

01對(duì)坐標(biāo)曲線積分的概念和性質(zhì)??性質(zhì)11.213設(shè)??是有向曲線弧,???是與??方向相反的有向曲線弧,則設(shè)??、??為任意常數(shù),則??性質(zhì)11.1

01對(duì)坐標(biāo)曲線積分的概念和性質(zhì)14

對(duì)坐標(biāo)的曲線積分與曲線的方向有關(guān)??性質(zhì)11.3

如果把??分成??1

和??2,則01對(duì)坐標(biāo)曲線積分的概念和性質(zhì)本講內(nèi)容對(duì)坐標(biāo)曲線積分的計(jì)算法02對(duì)坐標(biāo)曲線積分的概念和性質(zhì)0103兩類曲線積分之間的關(guān)系1602對(duì)坐標(biāo)曲線積分的計(jì)算法??定理11.1設(shè)??(??,??),??(??,??)在曲線弧??上有定義且連續(xù),當(dāng)參數(shù)??單調(diào)地由??變到??時(shí),點(diǎn)??(??,??)從??的起點(diǎn)??沿??運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)??,??(??),??(??)在以??及??為端點(diǎn)的閉區(qū)間上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù),且

??的參數(shù)方程為17

則曲線積分存在,且

02對(duì)坐標(biāo)曲線積分的計(jì)算法18計(jì)算步驟一代?將??的參數(shù)方程代入被積函數(shù)二換

三定限下限?起點(diǎn)參數(shù)值,上限?終點(diǎn)參數(shù)值

02對(duì)坐標(biāo)曲線積分的計(jì)算法19特殊情形(1)L:y=??(??)??起點(diǎn)為??,終點(diǎn)為??,則

(2)L:x=??(??)??起點(diǎn)為??,終點(diǎn)為??,則

02對(duì)坐標(biāo)曲線積分的計(jì)算法20推廣設(shè)

起點(diǎn)??,終點(diǎn)??,

02對(duì)坐標(biāo)曲線積分的計(jì)算法21??例1計(jì)算曲線積分

圖11.3其中L是圓周x2+y2=a2,取其逆時(shí)針方向的一周,如圖11.3所示.Oxy)(a,0x2+y2=a202對(duì)坐標(biāo)曲線積分的計(jì)算法22解L的參數(shù)方程為

02對(duì)坐標(biāo)曲線積分的計(jì)算法23解??例2例11.6其中??分別是連接起點(diǎn)??(0,0)和終點(diǎn)??(1,1)的下列有向線段.計(jì)算

(1)???的參數(shù)方程

02對(duì)坐標(biāo)曲線積分的計(jì)算法24(2)???的參數(shù)方程

02對(duì)坐標(biāo)曲線積分的計(jì)算法25(3)???的參數(shù)方程

02對(duì)坐標(biāo)曲線積分的計(jì)算法26??例3計(jì)算曲線積分其中L分別是連接起點(diǎn)O（0,0）和終點(diǎn)A（1,1）的下列有向線段,如圖11.5所示.

圖11.5(1)y=x;(2)y=x2;(3)有向折線OMA,其中M的坐標(biāo)為(1,0).yOxA（1,1）M（1,0）y=x2y=x02對(duì)坐標(biāo)曲線積分的計(jì)算法27解(1)有向線段的方程為y=x,x:o→1,所以

(2)有向拋物線段的方程為y=x2,x:o→1,故

02對(duì)坐標(biāo)曲線積分的計(jì)算法28(3)有向折線段=+,其中

所以

02對(duì)坐標(biāo)曲線積分的計(jì)算法29解??例4計(jì)算：

其中??是

逆時(shí)針繞行.同步習(xí)題11.2，基礎(chǔ)3

02對(duì)坐標(biāo)曲線積分的計(jì)算法30解??例5已知曲線??的方程為

起點(diǎn)是(?1,0),終點(diǎn)是(1,0),則曲線積分

同步習(xí)題11.2，提高4如圖所示，

線段

的方程：??=1+??,起點(diǎn)??=?1,終點(diǎn)??=0；02對(duì)坐標(biāo)曲線積分的計(jì)算法31線段

的方程：??=1???,起點(diǎn)??=0,終點(diǎn)??=1.

=002對(duì)坐標(biāo)曲線積分的計(jì)算法Γ32解??例6

計(jì)算曲線積分其中有向曲線Γ為圓柱面

與平面??+??=1的交線，并且從??軸正向向原點(diǎn)看去,Γ取順時(shí)針方向.Γ參數(shù)方程為

xyOz例11.802對(duì)坐標(biāo)曲線積分的計(jì)算法33

02對(duì)坐標(biāo)曲線積分的計(jì)算法34解??例7計(jì)算曲線積分

其中??是曲線??=sint

上從點(diǎn)(0,0)到點(diǎn)(π,0)的一段.同步習(xí)題11.2，提高1

02對(duì)坐標(biāo)曲線積分的計(jì)算法35

02對(duì)坐標(biāo)曲線積分的計(jì)算法36??例8設(shè)曲線??：??(??,??)=1?(??(??,??)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù))過第二象限內(nèi)的點(diǎn)??和第四象限內(nèi)的點(diǎn)??,Γ為??上從點(diǎn)??到點(diǎn)??的一段弧,則下列積分小于零的是_____.第11章總復(fù)習(xí)題(2)

02對(duì)坐標(biāo)曲線積分的計(jì)算法37解設(shè)??,??點(diǎn)的坐標(biāo)分別為

則由題設(shè)可知

B

02對(duì)坐標(biāo)曲線積分的計(jì)算法本講內(nèi)容對(duì)坐標(biāo)曲線積分的計(jì)算法02對(duì)坐標(biāo)曲線積分的概念和性質(zhì)0103兩類曲線積分之間的關(guān)系3903兩類曲線積分之間的關(guān)系

設(shè)有向平面曲線??的起點(diǎn)為??,終點(diǎn)為??.???上點(diǎn)(??,??)=(??(??),??(??))處的一個(gè)切向量為

單位向量

40則

03兩類曲線積分之間的關(guān)系41

即

03兩類曲線積分之間的關(guān)系42推廣設(shè)空間曲線Γ上點(diǎn)(??,??,??)處的切線向量的方向角為??,??,??,則

03