2025年中國精算師職業(yè)資格考試（準(zhǔn)精算師精算數(shù)學(xué)）測試題及答案2025年中國精算師職業(yè)資格考試（準(zhǔn)精算師精算數(shù)學(xué)）測試題及答案一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共30分）1.已知某保險(xiǎn)公司承保的某類風(fēng)險(xiǎn)的損失隨機(jī)變量$X$服從參數(shù)為$\lambda=0.5$的指數(shù)分布，若該公司設(shè)定的免賠額為2，則每次損失的平均賠付額為（）A.$2e^{-1}$B.$e^{-1}$C.$2e^{-0.5}$D.$e^{-0.5}$答案：A解析：指數(shù)分布的概率密度函數(shù)為$f(x)=\lambdae^{-\lambdax},x\gt0$，分布函數(shù)為$F(x)=1-e^{-\lambdax},x\gt0$。設(shè)賠付額為$Y$，當(dāng)$X\leq2$時(shí)，$Y=0$；當(dāng)$X\gt2$時(shí)，$Y=X-2$。平均賠付額$E(Y)=\int_{2}^{+\infty}(x-2)\lambdae^{-\lambdax}dx$，已知$\lambda=0.5$，則：\[\begin{align}E(Y)&=\int_{2}^{+\infty}(x-2)\times0.5e^{-0.5x}dx\\&=0.5\int_{2}^{+\infty}xe^{-0.5x}dx-\int_{2}^{+\infty}e^{-0.5x}dx\end{align}\]利用分部積分法$\intxe^{-ax}dx=-\frac{1}{a}xe^{-ax}-\frac{1}{a^{2}}e^{-ax}+C$，對于$\int_{2}^{+\infty}xe^{-0.5x}dx=\left[-2xe^{-0.5x}-4e^{-0.5x}\right]_{2}^{+\infty}=4e^{-1}+4e^{-1}=8e^{-1}$，$\int_{2}^{+\infty}e^{-0.5x}dx=\left[-2e^{-0.5x}\right]_{2}^{+\infty}=2e^{-1}$。所以$E(Y)=0.5\times8e^{-1}-2e^{-1}=2e^{-1}$。2.設(shè)$X$和$Y$是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，$X\simN(0,1)$，$Y\simN(1,4)$，則$Z=2X-Y$的分布為（）A.$N(-1,8)$B.$N(-1,6)$C.$N(1,8)$D.$N(1,6)$答案：A解析：若$X\simN(\mu_{1},\sigma_{1}^{2})$，$Y\simN(\mu_{2},\sigma_{2}^{2})$，且$X$與$Y$相互獨(dú)立，則$aX+bY\simN(a\mu_{1}+b\mu_{2},a^{2}\sigma_{1}^{2}+b^{2}\sigma_{2}^{2})$。已知$X\simN(0,1)$，$Y\simN(1,4)$，對于$Z=2X-Y$，其中$a=2$，$b=-1$，$\mu_{1}=0$，$\sigma_{1}^{2}=1$，$\mu_{2}=1$，$\sigma_{2}^{2}=4$。則$E(Z)=2E(X)-E(Y)=2\times0-1=-1$，$Var(Z)=2^{2}Var(X)+(-1)^{2}Var(Y)=4\times1+1\times4=8$，所以$Z\simN(-1,8)$。3.已知某壽險(xiǎn)保單在時(shí)刻$t$的責(zé)任準(zhǔn)備金為$V_{t}$，保險(xiǎn)金額為$b$，在$t$到$t+1$期間的死亡率為$q_{x+t}$，利息力為$\delta$，則$V_{t+1}$與$V_{t}$的關(guān)系為（）A.$V_{t+1}=(V_{t}+P)(1+\delta)(1-q_{x+t})-bq_{x+t}$B.$V_{t+1}=(V_{t}+P)(1+\delta)q_{x+t}-bq_{x+t}$C.$V_{t+1}=(V_{t}+P)(1-\delta)(1-q_{x+t})-bq_{x+t}$D.$V_{t+1}=(V_{t}+P)(1-\delta)q_{x+t}-bq_{x+t}$答案：A解析：根據(jù)責(zé)任準(zhǔn)備金的遞推公式，在$t$時(shí)刻的責(zé)任準(zhǔn)備金為$V_{t}$，保費(fèi)為$P$。在$t$到$t+1$期間，首先$(V_{t}+P)$經(jīng)過利息積累變?yōu)?(V_{t}+P)(1+\delta)$，然后考慮死亡情況，生存下來的概率為$1-q_{x+t}$，死亡的概率為$q_{x+t}$，死亡時(shí)要賠付$b$。所以$V_{t+1}=(V_{t}+P)(1+\delta)(1-q_{x+t})-bq_{x+t}$。4.已知某年金在每年年初支付1元，共支付$n$年，年利率為$i$，則該年金的現(xiàn)值為（）A.$\ddot{a}_{\overline{n}|i}=\frac{1-v^{n}}kojsbix$B.$a_{\overline{n}|i}=\frac{1-v^{n}}{i}$C.$\ddot{a}_{\overline{n}|i}=\frac{1-v^{n}}{i}$D.$a_{\overline{n}|i}=\frac{1-v^{n}}uonaoqt$答案：A解析：期初年金現(xiàn)值$\ddot{a}_{\overline{n}|i}=\sum_{k=0}^{n-1}v^{k}$，這是一個(gè)首項(xiàng)為1，公比為$v=\frac{1}{1+i}$的等比數(shù)列求和。根據(jù)等比數(shù)列求和公式$S=\frac{a(1-r^{n})}{1-r}$（這里$a=1$，$r=v$），可得$\ddot{a}_{\overline{n}|i}=\frac{1-v^{n}}{1-v}$，又因?yàn)?d=\frac{i}{1+i}=1-v$，所以$\ddot{a}_{\overline{n}|i}=\frac{1-v^{n}}pcmtqzt$。5.設(shè)$X$是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，其分布列為$P(X=k)=\frac{1}{n},k=1,2,\cdots,n$，則$X$的方差為（）A.$\frac{n^{2}-1}{12}$B.$\frac{n^{2}+1}{12}$C.$\frac{n^{2}-1}{6}$D.$\frac{n^{2}+1}{6}$答案：A解析：首先求期望$E(X)=\sum_{k=1}^{n}k\times\frac{1}{n}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}k=\frac{1}{n}\times\frac{n(n+1)}{2}=\frac{n+1}{2}$。然后求$E(X^{2})=\sum_{k=1}^{n}k^{2}\times\frac{1}{n}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}k^{2}=\frac{1}{n}\times\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=\frac{(n+1)(2n+1)}{6}$。根據(jù)方差公式$Var(X)=E(X^{2})-[E(X)]^{2}$，可得：\[\begin{align}Var(X)&=\frac{(n+1)(2n+1)}{6}-\left(\frac{n+1}{2}\right)^{2}\\&=\frac{2(n+1)(2n+1)-3(n+1)^{2}}{12}\\&=\frac{(n+1)[4n+2-3n-3]}{12}\\&=\frac{(n+1)(n-1)}{12}=\frac{n^{2}-1}{12}\end{align}\]6.已知某風(fēng)險(xiǎn)的損失分布函數(shù)為$F(x)=1-e^{-0.1x},x\geq0$，則該風(fēng)險(xiǎn)的損失強(qiáng)度為（）A.0.1B.10C.1D.0.01答案：B解析：損失強(qiáng)度即平均損失，對于連續(xù)型隨機(jī)變量，已知分布函數(shù)$F(x)=1-e^{-0.1x},x\geq0$，其概率密度函數(shù)$f(x)=0.1e^{-0.1x},x\geq0$。平均損失$E(X)=\int_{0}^{+\infty}x\cdotf(x)dx=\int_{0}^{+\infty}x\cdot0.1e^{-0.1x}dx$，利用分部積分法$\intxe^{-ax}dx=-\frac{1}{a}xe^{-ax}-\frac{1}{a^{2}}e^{-ax}+C$（這里$a=0.1$），可得：$E(X)=\left[-10xe^{-0.1x}-100e^{-0.1x}\right]_{0}^{+\infty}=10$。7.某保險(xiǎn)公司對某種風(fēng)險(xiǎn)的自留額為20萬元，分保額為30萬元，現(xiàn)有一筆損失為40萬元，則該保險(xiǎn)公司的自留賠款和分保賠款分別為（）A.20萬元，20萬元B.20萬元，30萬元C.10萬元，30萬元D.10萬元，20萬元答案：A解析：自留額為20萬元，分保額為30萬元，損失為40萬元。因?yàn)閾p失40萬元大于自留額20萬元，所以保險(xiǎn)公司自留賠款為20萬元，分保賠款為$40-20=20$萬元。8.已知$a_{\overline{n}|i}=5$，$a_{\overline{2n}|i}=8$，則$v^{n}$為（）A.$\frac{2}{5}$B.$\frac{3}{5}$C.$\frac{1}{5}$D.$\frac{4}{5}$答案：B解析：根據(jù)年金現(xiàn)值公式$a_{\overline{2n}|i}=a_{\overline{n}|i}+v^{n}a_{\overline{n}|i}$，已知$a_{\overline{n}|i}=5$，$a_{\overline{2n}|i}=8$，則$8=5+5v^{n}$。解得$5v^{n}=3$，所以$v^{n}=\frac{3}{5}$。9.設(shè)$X$是一個(gè)隨機(jī)變量，其概率密度函數(shù)為$f(x)=\begin{cases}2x,0\ltx\lt1\\0,其他\end{cases}$，則$E(X^{2})$為（）A.$\frac{1}{2}$B.$\frac{1}{3}$C.$\frac{2}{3}$D.$\frac{3}{4}$答案：B解析：根據(jù)期望公式$E(X^{2})=\int_{-\infty}^{+\infty}x^{2}f(x)dx$，已知$f(x)=\begin{cases}2x,0\ltx\lt1\\0,其他\end{cases}$，則：$E(X^{2})=\int_{0}^{1}x^{2}\cdot2xdx=\int_{0}^{1}2x^{3}dx=\left[\frac{1}{2}x^{4}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{2}$。10.已知某壽險(xiǎn)保單的躉繳純保費(fèi)為$\pi$，保險(xiǎn)金額為$b$，死亡率為$q_{x}$，利息力為$\delta$，則$\pi$與$b$的關(guān)系為（）A.$\pi=bvq_{x}$B.$\pi=b(1+\delta)q_{x}$C.$\pi=bv(1-q_{x})$D.$\pi=b(1+\delta)(1-q_{x})$答案：A解析：躉繳純保費(fèi)是指在保險(xiǎn)合同開始時(shí)一次性繳納的純保費(fèi)。對于一年期壽險(xiǎn)，在年初繳納保費(fèi)$\pi$，年末若被保險(xiǎn)人死亡則賠付$b$，死亡概率為$q_{x}$，考慮利息因素，$v=e^{-\delta}$。根據(jù)收支平衡原理，$\pi=bvq_{x}$。11.設(shè)$X$和$Y$是兩個(gè)隨機(jī)變量，$Cov(X,Y)=2$，$Var(X)=4$，$Var(Y)=9$，則$X$和$Y$的相關(guān)系數(shù)$\rho_{XY}$為（）A.$\frac{1}{3}$B.$\frac{2}{3}$C.$\frac{1}{6}$D.$\frac{1}{9}$答案：A解析：相關(guān)系數(shù)$\rho_{XY}=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{Var(X)Var(Y)}}$，已知$Cov(X,Y)=2$，$Var(X)=4$，$Var(Y)=9$，則：$\rho_{XY}=\frac{2}{\sqrt{4\times9}}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。12.已知某年金在每年年末支付1元，共支付$n$年，年利率為$i$，若將該年金改為每年年初支付1元，共支付$n$年，則期初年金現(xiàn)值與期末年金現(xiàn)值的關(guān)系為（）A.$\ddot{a}_{\overline{n}|i}=(1+i)a_{\overline{n}|i}$B.$\ddot{a}_{\overline{n}|i}=\frac{a_{\overline{n}|i}}{1+i}$C.$\ddot{a}_{\overline{n}|i}=a_{\overline{n}|i}+1$D.$\ddot{a}_{\overline{n}|i}=a_{\overline{n}|i}-1$答案：A解析：期末年金現(xiàn)值$a_{\overline{n}|i}=\sum_{k=1}^{n}v^{k}$，期初年金現(xiàn)值$\ddot{a}_{\overline{n}|i}=\sum_{k=0}^{n-1}v^{k}$。$\ddot{a}_{\overline{n}|i}=(1+i)\sum_{k=0}^{n-1}v^{k+1}=(1+i)a_{\overline{n}|i}$。13.設(shè)$X$是一個(gè)服從泊松分布的隨機(jī)變量，$P(X=1)=P(X=2)$，則$E(X)$為（）A.1B.2C.3D.4答案：B解析：泊松分布的概率質(zhì)量函數(shù)為$P(X=k)=\frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!},k=0,1,2,\cdots$，已知$P(X=1)=P(X=2)$，則：$\frac{\lambda^{1}e^{-\lambda}}{1!}=\frac{\lambda^{2}e^{-\lambda}}{2!}$，即$\lambda=\frac{\lambda^{2}}{2}$，因?yàn)?\lambda\gt0$，解得$\lambda=2$。對于泊松分布，$E(X)=\lambda$，所以$E(X)=2$。14.已知某風(fēng)險(xiǎn)的損失分布函數(shù)為$F(x)=\begin{cases}0,x\lt0\\\frac{x}{10},0\leqx\lt10\\1,x\geq10\end{cases}$，則該風(fēng)險(xiǎn)的平均損失為（）A.5B.6C.7D.8答案：A解析：平均損失$E(X)=\int_{0}^{+\infty}[1-F(x)]dx$，已知$F(x)=\begin{cases}0,x\lt0\\\frac{x}{10},0\leqx\lt10\\1,x\geq10\end{cases}$，則$1-F(x)=\begin{cases}1,x\lt0\\1-\frac{x}{10},0\leqx\lt10\\0,x\geq10\end{cases}$。$E(X)=\int_{0}^{10}(1-\frac{x}{10})dx=\left[x-\frac{x^{2}}{20}\right]_{0}^{10}=10-5=5$。15.已知某壽險(xiǎn)保單在第5年末的責(zé)任準(zhǔn)備金為1000元，第6年的保費(fèi)為200元，第6年的死亡率為$q_{x+5}=0.01$，利息力為$\delta=0.05$，保險(xiǎn)金額為5000元，則第6年末的責(zé)任準(zhǔn)備金為（）A.1130.95元B.1120.95元C.1110.95元D.1100.95元答案：A解析：根據(jù)責(zé)任準(zhǔn)備金遞推公式$V_{t+1}=(V_{t}+P)(1+\delta)(1-q_{x+t})-bq_{x+t}$，這里$t=5$，$V_{5}=1000$，$P=200$，$q_{x+5}=0.01$，$\delta=0.05$，$b=5000$。$(V_{5}+P)(1+\delta)=(1000+200)(1+0.05)=1260$，$(V_{5}+P)(1+\delta)(1-q_{x+5})=1260\times(1-0.01)=1247.4$，$bq_{x+5}=5000\times0.01=50$。所以$V_{6}=1247.4-50=1130.95$元。二、多項(xiàng)選擇題（每題3分，共15分）1.以下關(guān)于年金的說法正確的有（）A.期末年金是指在每期期末支付的年金B(yǎng).期初年金是指在每期期初支付的年金C.永續(xù)年金是指支付期無限的年金D.變額年金是指每期支付金額不固定的年金答案：ABCD解析：期末年金的支付時(shí)間點(diǎn)是每期期末，期初年金的支付時(shí)間點(diǎn)是每期期初，永續(xù)年金沒有支付期限的限制，支付期無限，變額年金的特點(diǎn)就是每期支付金額不固定，所以ABCD都正確。2.設(shè)$X$和$Y$是兩個(gè)隨機(jī)變量，以下關(guān)于協(xié)方差$Cov(X,Y)$的性質(zhì)正確的有（）A.$Cov(X,Y)=Cov(Y,X)$B.$Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)$，其中$a,b$為常數(shù)C.$Cov(X+Y,Z)=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z)$D.若$X$和$Y$相互獨(dú)立，則$Cov(X,Y)=0$答案：ABCD解析：協(xié)方差具有對稱性，即$Cov(X,Y)=Cov(Y,X)$；根據(jù)協(xié)方差的運(yùn)算性質(zhì)，$Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)$；$Cov(X+Y,Z)=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z)$體現(xiàn)了協(xié)方差的線性性質(zhì)；若$X$和$Y$相互獨(dú)立，則$E(XY)=E(X)E(Y)$，根據(jù)$Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)$可得$Cov(X,Y)=0$，所以ABCD都正確。3.以下關(guān)于壽險(xiǎn)責(zé)任準(zhǔn)備金的說法正確的有（）A.責(zé)任準(zhǔn)備金是保險(xiǎn)公司為了履行未來保險(xiǎn)責(zé)任而提存的資金B(yǎng).期初責(zé)任準(zhǔn)備金是指在保險(xiǎn)期間開始時(shí)的責(zé)任準(zhǔn)備金C.期末責(zé)任準(zhǔn)備金是指在保險(xiǎn)期間結(jié)束時(shí)的責(zé)任準(zhǔn)備金D.責(zé)任準(zhǔn)備金的計(jì)算與死亡率、利率等因素有關(guān)答案：AD解析：責(zé)任準(zhǔn)備金是保險(xiǎn)公司為了確保能夠履行未來的保險(xiǎn)責(zé)任而提前提存的資金，其計(jì)算會受到死亡率、利率等多種因素的影響，A和D正確。期初責(zé)任準(zhǔn)備金是指在某一時(shí)刻開始時(shí)的責(zé)任準(zhǔn)備金，期末責(zé)任準(zhǔn)備金是指在某一時(shí)刻結(jié)束時(shí)的責(zé)任準(zhǔn)備金，并非保險(xiǎn)期間開始和結(jié)束時(shí)，B和C錯誤。4.已知某風(fēng)險(xiǎn)的損失隨機(jī)變量$X$服從正態(tài)分布$N(\mu,\sigma^{2})$，以下關(guān)于風(fēng)險(xiǎn)度量的說法正確的有（）A.期望損失$E(X)=\mu$B.方差$Var(X)=\sigma^{2}$C.標(biāo)準(zhǔn)差$\sigma$可以衡量風(fēng)險(xiǎn)的離散程度D.在一定置信水平下，風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值（VaR）可以衡量該風(fēng)險(xiǎn)的潛在最大損失答案：ABCD解析：對于正態(tài)分布$N(\mu,\sigma^{2})$，期望$E(X)=\mu$，方差$Var(X)=\sigma^{2}$，標(biāo)準(zhǔn)差$\sigma=\sqrt{Var(X)}$能夠反映隨機(jī)變量的離散程度，風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值（VaR）是在一定置信水平下衡量風(fēng)險(xiǎn)潛在最大損失的指標(biāo)，所以ABCD都正確。5.以下關(guān)于保險(xiǎn)費(fèi)率厘定的基本原則有（）A.公平性原則B.充足性原則C.合理性原則D.穩(wěn)定性原則答案：ABCD解析：保險(xiǎn)費(fèi)率厘定需要遵循公平性原則，即不同風(fēng)險(xiǎn)程度的投保人應(yīng)繳納不同的保費(fèi)；充足性原則，確保保費(fèi)能夠滿足保險(xiǎn)公司的賠付和運(yùn)營成本；合理性原則，保費(fèi)不能過高或過低；穩(wěn)定性原則，保費(fèi)在一定時(shí)期內(nèi)保持相對穩(wěn)定，所以ABCD都正確。三、解答題（每題15分，共45分）1.已知某保險(xiǎn)公司承保的某類風(fēng)險(xiǎn)的損失隨機(jī)變量$X$服從參數(shù)為$\lambda=0.2$的指數(shù)分布，該公司設(shè)定了免賠額$d=3$。（1）求每次損失的平均賠付額；（2）若該公司預(yù)計(jì)在一年內(nèi)有100次損失，求這100次損失的總賠付額的期望和方差。解：（1）指數(shù)分布的概率密度函數(shù)為$f(x)=\lambdae^{-\lambdax},x\gt0$，分布函數(shù)為$F(x)=1-e^{-\lambdax},x\gt0$。設(shè)賠付額為$Y$，當(dāng)$X\leq3$時(shí)，$Y=0$；當(dāng)$X\gt3$時(shí)，$Y=X-3$。平均賠付額$E(Y)=\int_{3}^{+\infty}(x-3)\lambdae^{-\lambdax}dx$，已知$\lambda=0.2$。利用分部積分法$\intxe^{-ax}dx=-\frac{1}{a}xe^{-ax}-\frac{1}{a^{2}}e^{-ax}+C$，對于$\int_{3}^{+\infty}xe^{-0.2x}dx=\left[-5xe^{-0.2x}-25e^{-0.2x}\right]_{3}^{+\infty}=15e^{-0.6}+25e^{-0.6}=40e^{-0.6}$，$\int_{3}^{+\infty}e^{-0.2x}dx=\left[-5e^{-0.2x}\right]_{3}^{+\infty}=5e^{-0.6}$。所以$E(Y)=0.2\times40e^{-0.6}-3\times0.2\times5e^{-0.6}=8e^{-0.6}-3e^{-0.6}=5e^{-0.6}\approx2.74$。（2）設(shè)第$i$次損失的賠付額為$Y_{i}$，$i=1,2,\cdots,100$，因?yàn)楦鞔螕p失相互獨(dú)立，所以總賠付額$S=\sum_{i=1}^{100}Y_{i}$。期望$E(S)=\sum_{i=1}^{100}E(Y_{i})=100\timesE(Y)=100\times5e^{-0.6}\approx274$。對于指數(shù)分布，當(dāng)$X\gtd$時(shí)，$Y=X-d$仍服從指數(shù)分布，參數(shù)為$\lambda$，所以$Var(Y_{i})=\frac{1}{\lambda^{2}}=\frac{1}{0.2^{2}}=25$。方差$Var(S)=\sum_{i=1}^{100}Var(Y_{i})=100\times25=2500$。2.已知某壽險(xiǎn)保單的保險(xiǎn)金額為10000元，保險(xiǎn)期限為5年，年利率為$i=0.05$，死亡率$q_{x+k}=0.02,k=0,1,2,3,4$。（1）計(jì)算該保單的躉繳純保費(fèi)；（2）若采用均衡年繳保費(fèi)，計(jì)算每年的均衡年繳保費(fèi)。解：（1）躉繳純保費(fèi)是將未來保險(xiǎn)金給付的現(xiàn)值進(jìn)行求和。一年期壽險(xiǎn)的躉繳純保費(fèi)公式為$\pi=bvq_{x}$，這里$b=10000$，$v=\frac{1}{1+i}=\frac{1}{1.05}$。該5年期壽險(xiǎn)的躉繳純保費(fèi)$\pi=\sum_{k=0}^{4}10000v^{k+1}q_{x+k}$，因?yàn)?q_{x+k}=0.02,k=0,1,2,3,4$。$\pi=10000\times0.02\times\sum_{k=0}^{4}v^{k+1}=200\timesv\times\frac{1-v^{5}}{1-v}$，$v=\frac{1}{1.05}$。$v=\frac{1}{1.05}\approx0.9524$，$1-v^{5}=1-(0.9524)^{5}\approx1-0.7738=0.2262$，$1-v=1-\frac{1}{1.05}=\frac{0.05}{1.05}$。$\pi=200\times0.9524\times\frac{0.2262}{\frac{0.05}{1.05}}\approx200\times0.9524\times\frac{0.2262\times1.05}{0.05}\approx200\times0.9524\times4.7502\approx900.74$元。（2）設(shè)每年的均衡年繳保費(fèi)為$P$，根據(jù)收支平衡原理，年繳保費(fèi)的現(xiàn)值等于躉繳純保費(fèi)。期初年金現(xiàn)值$\ddot{a}_{\overline{5}|i}=\frac{1-v^{5}}hwlmhuo$，$d=\frac{i}{1+i}=\frac{0.05}{1.05}$，$v=\frac{1}{1.05}$。$1-v^{5}\approx0.2262$，$d=\frac{0.05}{1.05}$，$\ddot{a}_{\overline{5}|i}=\frac{0.2262}{\frac{0.05}{1.05}}\approx4.7502$。由$P\ddot{a}_{\overline{5}|i}=\pi$，可得$P=\frac{\pi}{\ddot{a}_{\overline{5}|i}}=\frac{900.74}{4.7502}\approx189.62$元。3.設(shè)$X$和$Y$是兩個(gè)隨機(jī)變量，已知$E(X)=2$，$E(Y)=3$，$Var(X)=4$，$Var(Y)=9$，$Cov(X,Y)=2$。（1）求$E(2X-3Y)$；（2）求$Var(2X-3Y)$；（3）求$X$和$Y$的相關(guān)系數(shù)$\rho_{XY}$。解：（1）根據(jù)期望的線性性質(zhì)$E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)$，對于$E(2X-3Y)$，有：$E(2X-3Y)=2E(X)-3E(Y)=2\times2-3\times3=4-9=-5$。（2）根據(jù)方差的性質(zhì)$Var(aX+bY)=a^{2}Var(X)+b^{2}Var(Y)+2abCov(X,Y)$，對于$Var(2X-3Y)$，這里$a=2$，$b=-3$。$Var(2X-3Y)=2^{2}Var(X)+(-3)^{2}Var(Y)+2\times2\times(-3)Cov(X,Y)$$=4\times4+9\times9-12\times2=16+81-24=73$。（3）相關(guān)系數(shù)$\rho_{XY}=\frac{C