備戰(zhàn)2026年中考數(shù)學：圓精選題練習

一、單選題

1.已知GO中，弦A8垂直弦CO,CD=6,AB=8,則關于直徑的說法正確的是（）

A.一定等于10B.可能大于10

C.不可能大于10D.不可能等于8

2.下列命題正確的是（）

A.若4<4,則/<16

B.等腰三角形底邊上的中點到兩腰的距離相等

C.一個正數(shù)的立方根小于它的算術平方根

D.直角三角形內(nèi)切圓的半徑等于斜邊的一半

3.如圖，在。O中，弦AB〃CD,Z4/?C=38°,則40。的度數(shù)為（）

4.如圖所示，在。中，AB為0。的切線，切點為A,連接。8交（O于點為優(yōu)弧4co上一點

（不與4。重合），連接AC,C。，若/"=32。，則/C的度數(shù)為（）

工

B

A.32°B.29°C.58°D.16°

5.用四塊大正方形地破和一塊小正方形地破拼成如圖所示的實線圖案，每塊大正方形地磚面積為明

小正方形地磚面積為。，依次連接四塊大正方形地磚的中心得到正方形ABCQ.若在正方形ABC。內(nèi)

部再放置一個最大的圓（圓與正方形A8CO四邊都相切），則該圓的面積為（）

A兀（4。+〃，）2+//)

B.n(a+b)C.D.兀(〃

44

則N8O。的度數(shù)為（)

C.130°D.125°

7.如圖，在正方形48CO中，點E、尸、G分別在A3、BC、CO上，連接A產(chǎn)、EG交于點、H,連

AE=2DG,ZBAF=a,則/”（才的度數(shù)為（）

B.45°-aC.2aD.a

8.如圖，平面直角坐標系中，正六邊形488箱的頂點3,E在x軸上，頂點尸在了軸上，若正六

邊形的中心點P的坐標為（2,舊），則點3的坐標為（）

B.（2后3）C.(26,2)D.(3,2x/3)

9.如圖，Rl“OB的斜邊切。于點C,0A交:。于點O,OB交。于點E,04的延長線與QC

的延長線交于點尸.已知乙4=/尸,04=4,則劣弧CE的長為（）

10.徽派建筑是中國傳統(tǒng)建筑中的瑰寶，其以精巧的布局、典雅的形制和深厚的文化意蘊，成為江南

地域文化的鮮明符號.如圖是扇形花窗造型，若AB=BO=20cm,NBO/）=I20。，則該陰影部分的

面積為（）cm?.

二、填空題

II.如圖.圓錐的底面半杼為3,高為4,則該圓錐的側面和為

12.如圖，等邊三角形A8C內(nèi)接于圓O,點P是A/?上的一個三等分點（即沖=：加），貝！NP3c的

度數(shù)為.

13.如圖，水平放置的圓柱形輸油管道，截面直徑為12cm,其中油面高3cm,則截面，有油部分（陰

影部分）的面積是cnr.（結果保留兀）

D

14.如圖，已知矩形ABC。，鉆=2,45=4,七/分別是AD,8c邊上的動點，且CV=2AE,將四

三、解答題

19.如圖，已知A8是。的直徑，點尸在84的延長線上，AB=BE,PD切0于點。,交EB于

點C,連接AE.

⑴求證：BE工PC；

(2)連接OC,BD交于點、G,若4七=4,/尸=30。，求GC的長.

20.如圖，A8是。。的直徑，點C是圓上的一點，CD上AD于點、D,A。交。。于點憶連接AC,

若AC平分/D48,過點F作FGUA8于點G交AC于點從

⑴求證：CO是。。的切線;

(2)延長A"和。C交于點石，若AE=4BE,求cosNDW的值;

21.如圖，。。過正方形A8CZ)的頂點A,B,且與CO邊相切于點E.點尸是8c與G，O的交點，連

接03,OF,A/L點G是A8延長線上一點，連接rG,且NG+；N7J。/=90。.

⑴求證：FG是。的切線；

(2)如果正方形邊長為4,求AG的長.

22.如圖，在V4BC中，。為A8邊上的一點，且滿足CO=C4,作點。關于直線BC的對稱點E,

過點A作人尸_1,八4,交。C延長線于點F,連接

⑴依題意補全圖形，并證明所〃8C；

⑵過點。作8C的垂線，交4方于點G,連接8G,用等式表示線段8。，BG,G/之間的數(shù)量關系,

并證明.

23.在平面直角坐標系xOy中，點C(0,2),oc的半徑為1.如果將線段AB繞原點。逆時針旋轉(zhuǎn)

。(0。＜二＜180。)后的對應線段A8所在的直線與：C相切，且切點在線段A&上，那么線段就是

C的“關聯(lián)線段”.

⑴如圖1,點4(3,0),4(3,-2),4(-3,3),5,(-2,3),員(3,2).在線段&幺，

中，是G＞C的“關聯(lián)線段”的是________.

⑵點。(1,0),七&0),若線段OE是。的“關聯(lián)線段”，則f的取值范圍是:

⑶點M為平面內(nèi)一點，若存在以M為端點，長度為G的線段是。。的“關聯(lián)線段”，則點M的橫坐標

%的取值范圍是

24.如圖I,V/WC內(nèi)接于(0,BC為。的直徑，點。在AB上，連接。。交人4于點產(chǎn),

￡BFC=4DAC.

⑴求證：C/）是的平分線；

（2）過8作過A作AE〃BC,交BP于點E,連接DE.

①如圖2,連接EO,若EO//CD,證明：A3=GAC；

②如圖3,過點C作30的切線交DA延長線于點G,若點A為DG中點，且ED=2,求O的面積.（結

果保留兀）

《備戰(zhàn)2026年中考數(shù)學：圓精選題練習》參考答案

題號12345678910

答案CBCBACBDAC

1.C

【分析】本題考杳了垂徑定理，勾股定理，利用點與圓的位置關系求半徑，解題的關鍵是根據(jù)垂徑定

理和勾股定理求出=萬.

分為弦A8是圓的直役和弦A8不是圓的直徑，兩種情況進行分析，若弦A8是圓的直徑，則網(wǎng)的直徑

是8,若弦A8不是圓的直徑，弦A8與弦8交于點E,連接。4,OC,OE,過點。作OM_LA8交

于點M,過點。作ON工CD交千點、N，根據(jù)矩形的性質(zhì)得出QM=EV,根據(jù)垂徑定理得出MB=4,

CV=3,設圓的半徑為「，根據(jù)勾股定理可求得廢=疔二石，即可求解.

【詳解】解：如果弦A8是圓的直徑，此時。的直徑是8,故A選項、D選項說法錯誤；

如果弦A3不是圓的直徑，如圖：

弦與弦C/）交于點E,連接。4,OC,OE,過點。作OM_LAB交于點過點。作。NJ.C。交

???OM=EN,

???CD=6,A8=8,OMLAB,ONLCD,

AMB=-AB=4,CN、CD=3,

22

設圓的半徑為「，即O4=OC=〃，

在RtZXAQM中，OM-=OA2-AM~=r2-4~,

在RL^CON中，ON?=002—CN?=/一32,

在RtZ\￡ON中，OE2=ON2+EN2=ON2+OM2,

即。石=y]ON2+OM2=Vr2-16+r2-9=42戶-25，

當點E在圓上時，OE=r,

即J2/-25=廣，

解得：，:5,

即圓的直徑可能等于10；

當點石在圓內(nèi)時，OE<『,

即J2r2—25<，?，

解得：r<5,

即圓的直徑可能小于10;

綜上，圓的直徑不可能大于10.

故選：C.

2.B

【分析】本題主要考查了判斷命題真假，三線合一定理，角平分線的性質(zhì)，立方根，算術平方根，三

角形外接圓等等，根據(jù)平方的定義可判斷A；等腰三角形底邊的中點在頂角的角平分線上，據(jù)此可判

斷B；1的立方根和算術平方根都是I,據(jù)此可判斷C；直角三角形外接圓的半徑等于斜邊的一半，

據(jù)此可判斷D.

【詳解】解：A、若。=-5<4,W(-5)2=25>16,原命題錯誤，不符合題意；

B、等腰三角形底邊上的中點到兩腰的距離相等，原命題是真命題，符合題意；

C、一個正數(shù)的立方根小于它的算術平方根，原命題是假命題，例如1的立方根和算術平方根都是1,

不符合題意；

D、直角三角形外接圓的半徑等于斜邊的一半.原命題是假命題，不符合題意；

故選；B.

3.C

【分析】本題考查圓周角定理，平行線的性質(zhì)，掌握圓周角定理是解題的關鍵.利用兩直線平行，內(nèi)

錯角相等得出NDC5=/4BC=38。,再根據(jù)圓周角定理求出N8O。即可.

【詳解】解：VAB//CD,ZABC=38°,

/.ZZX?B=ZABC=38°,

???NBOD=24DCB=76°

故選：C.

4.B

【分析】本題考查切線的性質(zhì)，如圖，連接。4,根據(jù)切線的性質(zhì)得NOA8=90。，繼而得到

NO=NOAB-NA=58。，再根據(jù)圓周角定理得NC=3N。，即可得解.解題的關鍵是掌握切線的性

質(zhì)及圓周角定理.

【詳解】解：如圖，連接。4,

為CO的切線，N8=32。，

/.ZGL4B=90°,

???ZO=Z0AI3-ZB=90°-32°=58°,

??,在CO中，AD對著圓心角NO和圓周角NC,

：.ZC=iz<?=-x58°=29°,

22

???NC的度數(shù)為29。.

故選:B.

5.A

【分析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定,切線的性質(zhì)，連接OK,DN,

可證明AOAA/冬ADVT(ASA)得到sDKM=sDNT,則s四邊形DM'=s[)K=S大正方形他椅，據(jù)此可求出正

方形A8CD的邊長為布茄，再根據(jù)圓與正方形48co四邊都相切,得到圓的直徑為正方形的邊長,

據(jù)此根據(jù)圓面積計算公式求解即可.

【詳解】解：如圖，連接OK,DN,

D

/廣、

N^c

/

B

???Z.KDN=/MDT=90°,

???NKDM=ZNDT=90。-/MDN,

?：DK=DN,/DKM=/DNT=45。,

DKM^^777(ASA),

,,SDKM=SDNT，

S四邊形DMVT=SDKN=：S人正方形地破,

,,正方形ABCD的面積=4xaS大正方形地跋+5小正方形地嶼二。+。，

:.正方形ABCD的邊長為4a+b,

:圓與正方形A68四邊都相切，

???圓的直徑為正方形的邊長，

.?.圓的面積為萬(誓當電，

故選：A.

6.C

【分析】本題考查圓周角定理，根據(jù)圓周角定理求出NAOC,平角的定義，求出N8OC即可.

【詳解】解：???/。=25。，

，ZAOC=2ZD=5()°,

???/BOC=180°-/AOC=I3(P：

故選c.

7.B

【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理，作

GMJ_48交A8于M,連接"G,證明四邊形AMG。為矩形，得出MG=AD=A3,AM=DG,

^DGM=ZCGM=90°,再證明二MGE(SAS),得出/刻/=NMGE=a,再證明C、G、H、

尸四點共圓，得出NO=NCGF=45。，即可得解，熟練掌握以上知識點并靈活運用，添加適當?shù)?/p>

輔助線是解此題的關鍵.

【詳解】解：如圖：作GML4A交于連接尸G,

???四邊形ABC。為正方形，

???BC=CD=AD=AB,ZB=ABCD=ZD=ZDAB=90°,

GMLAB.

???ZAMG=N8MG=900,

???四邊形AA7G”為矩形，

：?MG=AD=AB,AM=DG,NDGM=NCGM=90。，

,:CF=CG,

：.BC-CF=CD-CG,UPBF=DG,

?/AE=2DG,

，ME=AE-AM=2DG-AM=AM,

：?ME=AM=DG=BF,

???一曲”經(jīng)MGE(SAS),

:?/BAF=ZMGE=a,

/.ZAFB=900-ZBAF=90°-a,NCGE=90°—NMGE=90c—a,

???4CGE=AAFB,

'：NCFH+NAFB=180。,

/.ZCFH+4CGH=180。，

???C、G、H、尸四點共圓，

?:CF=CG,ZGCF=90°,

???ZCGF=ZCFG=45°,

/.NCHF=NCGF=45。,

，4FCH=ZAFB-ZCHF=45°-a,

故選：B.

8.D

【分析】過點尸作QKJ■人4與點K,延長84交)，軸與點M連接8P,AP,FP,先證明四邊形NFPK

是矩形，再根據(jù)矩形的性質(zhì)得出。=AK=2,由含30度直角三角形的性質(zhì)得出

AK=^AP=\,由等腰三角形的性質(zhì)得出KA=1,由勾股定理求出KP,求出點K的坐標屏可得出點

B的坐標.

【詳解】解：過點P作/5KJLAB與點K,延長84交)，軸與點M連接族，AP,FP,

則/@歹二90。，/PKN=90。,

???A8CDM是正六邊形，且中心角為360案6=60?,

則=6()。，AP=BP=FP,

AZAPK=30°,AK=KB,

，NKPF=W,

???四邊形NFPK是矩形，

???正六邊形的中心點P的坐標為（2,匈，

???FP=AK=2,

AK=-AP=\

2f

?*-KB=\,KP=JAP1-AK2=75

???點K的坐標為：（2,26），

點的坐標為（3,26），

故選：D.

【點睛】此題考查了正多邊形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理，寫出直角坐標系中點的坐標,

等腰百角二角形的判定和性質(zhì)等知識,掌握F多邊形的性質(zhì)是解題的關鍵.

9.A

【分析】本題主要考查直角三角形的性質(zhì)和切線的性質(zhì)，由V4O8是直角三角形，得NAOB=90。，

得出N尸+N/DO=90。，由AB是。。的切線，得出NA"+ZA=90。，由4=NA即可得出

ZCDO=ZCOD,由OC=O。得NOCD=NOZ）C,故可得出NCOD=60。，得出NCO8=44=30°,

故可得出oc=；AO=2,根據(jù)弧長計算公式可得結論.

【詳解】解：?.?VA08是直角三角形，

???404=90。，

???NF+NFDO=900,

TAA是。的切線，

，OC_LA6,BPZACO=90°,

/.NAOC+NA=90°,

ZF=ZA,

/CDO=/COD,

?：OC=OD,

???NOCD=NODC,

工NOCD=ZODC=N8D,

???ZCOD=60°,

???ZCO5=Z4=30°,

/.OC=-AO=2,

2

???劣弧CE的長為當薩二彳.

IoO3

故選：A.

10.C

【分析】本題考查了扇形面積的計算，熱練掌握扇形面積公式是解題的關鍵；

根據(jù)扇形面積公式結合陰影部分的面積=S如…C-S硒形s求解即可.

【詳解】解：?.?A8=8。=20cm,

.??40=40cm,

I?n]20

???該陰影部分的面積=Swxoc-s扇怵g=俞〃?402_小202=400乃cm?；

故選：C.

11.15兀

【分析】本題考查的是圓錐側面積，勾股定理，掌握圓錐側面積公式是解題的關健.

根據(jù)已知利用勾股定理求出母線的長，根據(jù)圓錐側面積公式求解即可.

【詳解】解：???圓錐的底面半徑為3,高為4,

由勾股定理，母線/=〃2+產(chǎn)=5,

???圓錐側面積為：nx3x5=157r.

故答案為：157r.

12.80。/80度

【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、圓周角定理.熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)、圓周角定理是解

決本題的關鍵，連接PC,由等邊三角形的性質(zhì)可得NAC3=NA5C=60。，再由外。=；片4可得

NACP=1/AC8=20。,由圓周角定理得出ZPBA=ZACP=20。,再求解即可.

3

【詳解】解：如圖，連接PC,

A8C是等邊三角形,

.\ZAC/?=ZA^C=60°,

Q片。1片區(qū)

...ZACP=-4ACB=20°,

3

N/7M=NACP=20°,

/./PBC=/PBA+ZABC=200+60°=80°.

故答案為:80°.

13.（12乃-9&）

【分析】本題主要考查了切線的性質(zhì)，垂徑定理，解直角三角形，扇形面積計算，連接。力交于

點E,由題意得，與水平面相切于點。，A8與水平面平行，則可證明OD_LA3,由垂徑定理可

得,解直角三角形可得ZAOE=60°,AE=3x/3cm,則AB=6Gm,同理可得NBOE=60°,

則NAO3=12（）。，再根據(jù)5陰影=5密形似犯-S列式求解即可.

【詳解】解：如圖所示，連接0。交A8于點E,

D

由題意得，。與水平面相切于點。，A8與水平面平行，

JOQ與水平面垂直，

:.AB=2AE,

OD=I2x-=6cm,DE-3cm,

2

:.OE=OD-DE=6-3=3cm,

：.cosZAOE=—=~,

OA2

..ZAO￡=60°,

AE=OA-sinZ.AOE=3\/3cm?

***AB=66cm,

同理可得/4OE=60。，

:.ZAOB=\2(T,

2

，S用影=S3形八os-SOAB=—x6x/5x3=(l2^-9>/3)cm.

故答案為：（12乃-96）.

14.±2垃

33

AnApi

【分析】連接AC交E尸于點。，連接08、OH,由.AOES,CO￡得===可知所始終經(jīng)

COCF2

過定點。，又由折疊得0〃=。3,即可得點〃在以點。為圓心，03為半徑的圓上，當點O、H、CH

點共線時，C”的值最小，過點。作OMJ.AC于M,利用矩形和相似三角形的性質(zhì)求出OH、OC的

長即可求解.

【詳解】解：連接AC交所'于點0,連接08、OH,如圖，

???四邊形ABC7）是矩形，

AAE//CF.BC=AR=4./ABC=90。，

??…AOES&COF,

,AOAE\

??==一,

COCF2

???E/始終經(jīng)過定點0,

又由折疊得，OH=OB,

???點，在以點。為圓心，08為半徑的圓上，

當點。H、C三點共線時，C”的值最小，如圖，過點。作0M_L8C于M,

則。W〃A3,

.CMCO_

..--=--=2,

BMA0

,/BM+CM=BC=4,

48

:,BM=—,CM=-,

33

?：OM〃AB、

J4coMs^CAB,

.OMCO

??=9

ABCA

?一，

CO2

.CO2

??=—，

CA3

.OM_2

??=-9

23

4

???0M=—，

3

，OH=OB=+河

7AC=dAB?+BC2=正+中=26，

，OC=-AC=-45t

33

???CH=OC-OH=-^--y/2,

33

即c〃的最小值為:逐一：血,

JJ

故答案為：3岳-30.

33

【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，點和圓的位置關系，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股

定理等，正確作出輔助線的解題的關鍵.

15.135

【分析】本題主要考杳了利用弧長求解圓心角度數(shù).先求出點尸移動的距離，再根據(jù)弧長公式計算,

即可求解.

【詳解】解：根據(jù)題意得：點P移動的距離為3x2兀xl=67tcin,

解得：n=\35.

故答案為：135.

16.100

【分析】本題考查的是矩形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，圓外一點與圓上各點之間距離的最值，勾

股定理的應用，證明尸在以E為圓心，1為半徑的E上，當。,共線時，。尸最短，最長；

過后作E7_L8于再進一步求解即可.

【詳解】解：如圖，

AD

*/FE=BE=l,

???產(chǎn)在以E為圓心，1為半徑的。E上，

當DE,尸，尸共線時，。尸最短，。尸最長:

過E作￡7_18于/,

???正方形48CO,

AZA=ZADC=ZE/D=90°,AB=CD=4=BC=AD,

???四邊形4。。為矩形，

AAD=E/=4,AE=DJ=3,

,?DE=J3'+4?=5?

.*.<7=54-1=6,/?=5—1=4,

???a2+2ab+b2=(a+b)2=IO2=100,

故答案為：100

17.”

4

【分析】先根據(jù)等邊對等角以及三角形內(nèi)角和得NA&)+NACB=180。，故NQ4C+NFQC=180。，即

A￡D,C四點共圓，運用圓度角定理得ND4C=90。，ZDFC=90°,再分別表示

DF2=DC2-CF2=4r2-36,AD2=4r2-25,因為AELCD,DA2-DE2=AO2-EO2,即

2222

4r-25-(r-EO)=r-￡O,解得石。二竺薩=EC=EO+OC=^t結合等腰三角形的三線合

一，得AC=2EC="，則4。=￡??！?1)=25-2尸，因為。尸=加，f^4r2-36=f25~2r1,解得

廠rVr

25

r=—(負值已舍去)，即可作答.

O

【詳解】解：???A8=AC,

/.NB=ZACB,

*.*DB=DF,

/.NB=NBFD,

/.NACB=/BFD,

?：ZAFD+NBFD=180。，

???ZL4FD+ZACB=180°

???ZFAC+Z.FDC=360°-(ZAFD+ZACB)=180°

即四點共圓，

,/ADLAC

JZDAC=9O0

即。C是。的直徑，如圖所示：

連接AO,R9,分別過點憶A匕切JLCD,AEJ_C￡>,

設C￡>=2,?，尸O=￡>O=AO=CO=r

???￡)C是。的直徑，

/.ZDFC=90°,

VAC=5,CF=6,

貝ijDF2=DC2-CF2=4r2-36,

???N/MC=90。,

，AD2=DC--AC~=4產(chǎn)-25,

■:AE1CD,

JDA2-DE2=AE2=AO2-EO2,

：?DA2-DE2=AO2-EO2，

即4r2-25-(r-EO^=產(chǎn)-EO~,

解得EO=25-2/,

2r

???EC=EO+OC=25~2r+r=—,

2r2r

VAC=AB,AELCD

25

???BC=2EC=—

.DCD工廠人25-25-2r-

??BD=BC-CD=---2r=-----------

rr

,/DF-BD

,DF2=BD2

???DF2=4r2-36

25-2r

:.4r4-36r2=（25-2r2）2

A4r4-36r2=625-100/+4r4

整理得64/=625

，”白25（負值已舍去）

8

25

：.CD=2r=—

4

25

故答案為：v

【點睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形，圓周角定理，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和性質(zhì)，

正確掌握相關性質(zhì)內(nèi)容是解題的關鍵.

18.5&-2停用

【分析】根據(jù)。為3的中點，DE=2,得出點￡在以。為圓心，OE長為半徑的圓上運動，將線段

8。繞點8逆時針旋轉(zhuǎn)90。得8W,連接RW,DM,證明應匕△F3M，得出為W=OE=2.根

據(jù)點例是定點，F(xiàn)M-2,得出點尸在以點”為圓心，/訃/長為半徑的圓上運動，根據(jù)當點廠在線段

0M上時，。產(chǎn)取最小值，最個值為50-2;當點尸到B。的距離最大時，VH/）產(chǎn)的面積最大，證明

BFA.BE,得出8,D,E三點共線，過點E作x軸的垂線交x軸于點G,證明△ABQs/\GEO,得

.BDADAB54,…、6-…8.

出===求出彳,=即可得出答案?

EDGDGE253

【詳解】解：?.?。為Q4的中點，DE=2,

???點E在以。為圓心，。石長為半徑的圓上運動，如解圖①，

圖①

將線段8。繞點8逆時針旋轉(zhuǎn)90。得8W,連接尸DM,

NEB卜,=4DBM=乂）°,

工NEBD=/FBM,

???BE—BF,BD-BM,

，AEB哈AFBM，

，F(xiàn)M=DE=2.

???點4的坐標為(6,4),四邊形為矩形，

QA=6,A4=4.

???￡)是OA的中點，

/.DO=DA=3t

?*-BD=ylDA2+AB2=5，

:?DM=>HBD=5垃.

丁點M是定點，BW=2,

???點尸在以點M為圓心，/,河長為半徑的圓上運動，

，當點尸在線段/W卜時，。"取最小值,最小值為5>75-2：

???B。為定值，

，當點尸到8。的距離最大時，VBD廠的面積最大，

???點尸在(M上運動，如解圖②，延長8M交：M于點凡此時V8D尸的面積最大,

,/BFA.BE,

???8,D,E三點共線，過點￡作工軸的垂線交x軸于點G,

，AABD^/XGED,

.BDADAB5

'~ED=~GD=~GE=2,

：.GD=-,GE=~,

55

69,98、

AOG=OD-GD=3--=~,即點E的坐標為三,一三.

DDIJJ/

【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，坐標與圖形，旋轉(zhuǎn)的

性質(zhì)，勾股定理，圓的基本知識，解題的關鍵是作出輔助線，熟練掌握相關的判定和性質(zhì).

19.⑴見解析:

(2)GC=1V7.

【分析】（I）連接”>，BD,根據(jù)直徑所對的圓周角為90。得次）_LAE，再根據(jù)"=/必得4）=￡￡>,

進而得。。是一ABE的中位線，則OO〃AE,然后根據(jù)切線的性質(zhì)得OOJLPC,由此即可得出結論；

（2）由（1）得人。=。=34￡=2,在孜.POD中，由/尸=30。得/4。。=60。，進而得△40。是

等邊三角形，則。4=0。=40=2,NE48=60。，繼而得..母是等邊三角形，則AB=AE=B￡=4,

ZABE=60°,由勾股定理可求出3。=26，繼而求出CO=后,3。=3,OC=近，證明.QZX?S-C3G

得嘗=段=力，設OG=2aCG=3a,則OC=5a=J7,由此解出a即可得出CG的長.

CGBC3

【詳解】（I）證明：連接。。，BD,如圖1所示：

圖I

〈AB是。的直徑,

/.ZADB=90°,

即質(zhì)）_LAE

AB=BE,

，AD=ED,

?：OA=OB,

，。。是一ABE的中位線,

：?OD〃BE,

???AO與：。相切于點

：.OD±PC,

：,BE工PC；

（2）解：如圖2所示:

圖2

'：AE=4,

由(1)得：AD=ED=-AE=2,

2

*：ODA.PC,

???/(〃)是直角三角形，

?；々=30。，

，ZAOD=90°-ZP=60°,

?：OA=OD,

???△AO。是等邊三角形，

：.OA=OD=AD=2,ZE4B=60°,

???AB=BE,

1是等邊三角形，

；?AB=AE=BE=4,ZABE=60。，

在Rt,ABE中，由勾股定理得：BD7AB2—Ab2=20

BD±AE,

NDBC=L/A8E=30',

2

在RtABCQ中，ZDBC=30°,

???CD=、BD=g,

2

22

由勾股定理得：BC=JRD2-CD2=^(2X/3)-(^)=3>

在四△oco中，由勾股定理得：oc=Jg+c/y=「+(國=3,

'：OD〃BE,

；?ODGsCBG,

,OGOD2

??==,

CGBC3

設OG=2“CG=3a,

JOC=OG+CG=5a=幣,

??a=—，

5

?_幣_3幣

??CG-3a-37x-.

55

【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì),

靈活運用含有3()度角的直角三角形的性質(zhì)及勾股定理是解決問題的關鍵.

20.(1)見解析

【分析】本題主要考查平行線的判定和性質(zhì)，切線的判定以及余弦等知識.掌握切線的判定是解本題

的關鍵.

（1）如圖1，連接OC,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到NC4O=NACO,由角平分線的定義得到

ND4C=NQ4C,等量代換得到ND4C=NACO,根據(jù)平行線的判定定理得到40〃OC,由平行線

的性質(zhì)即可得到結論；

（2）設=則A8=3x,根據(jù)平行線的性質(zhì)得NCOE=/D48,再通過余弦的定義即可求解.

【詳解】（1）證明：如圖，連接OC,

???AC平分

zmc=ztMC,

,ZDAC=^ACOt

???AD//OC,

CD1AD,

???OC工CD,

???。。是：。的半徑，

???CD是。的切線；

(2)解：?；AE=4BE,OA=OB,

設=則AB=3x,

/.OC=OB=1.5x,

*/AD//OC,

:.NCOE=4DAB,

二.cos/D/~ArB*=cosZ/.CeOyE=OC=-1--5--r=—3.

OE2.5x5

21.(1)見解析

【分析】（1）要證FG是。。的切線，需證NOR9=90。.利用正方形性質(zhì)得/AAb=90。，從而知A尸

是直徑，結合圓周角定理及已知/G+1/2/4O尸=90。，推導得』4R7=90。.

(2)連接OE、作O”_L8C,利用切線性質(zhì)和矩形性質(zhì)，結合勾股定理求出圓半徑，再證三角形相

似，根據(jù)相似比計算8G.

【詳解】⑴證明「?四邊形ABC。是正方形，

/.NAM=90。，

???A尸是《。的直徑，

V^A=^ZBOF,尸=90。，

/.4+/G=90°,

.??ZAFG=90°,

又???點小在《。上，

???FG是O的切線；

(2)解：連接OE,過。作OH_L8C于H,

丫8是。的切線，

：,OELCD,

，四邊形OEC"是矩形，BH=FH,

：.OH=CE,CH=OE,

*/AO=OF,

???O〃=；A4=2,

設OB=OE=CH=r,

/.BH=4-r,

?：OB'MBH'OHL

r2=(4-r)2+22，

，廠=2.5,

AAF=5,BF=3,

NABF=NFBG=NAFG=90°,

???NBAF4-NAFB="AFB卜NBFG=90°,

:?NBAF=/BFG,

；?i.ABFs_FBG,

.ABBF

,.=,

BFBG

【點睛】本題主要考查了圓的切線判定、正方形性質(zhì)、圓周角定理、勾股定理、相似三角形判定與性

質(zhì)，熟練掌握圓的切線判定方法和相似三角形的應用是解題的關鍵.

22.(1)見解析:

(2)BD2+FG2=BG2,證明見解析.

【分析】(1)根據(jù)作點。關于直線3C的對稱點日過點4作A/JLAB,交DC延長線于點尺連

接EF,先作好圖形，再得KCAF,結合平行線的性質(zhì)以及等邊對等角，故

ZKCD=ZKCA=ZCAF=ZCFA.由等角對等邊.得。產(chǎn)=人。=。。.最后訐明HC是二行。尸的中位

線，即可作答.

(2)由(1)得b=CD,先整理得NZ?=90。，結合過點C作8c的垂線，得CN〃0E,故EN=N/，

證明JCNEACNF,、.GNE學4GNF,則G/=GE,因為NB4G=90。，NGC8=90。,則A、C在以8G

為直徑的圓上，根據(jù)角之間的關系得出A氏瓦。四點共圓，運用圓周角定理得N8EG=90。，故

222

BE+EG=BGt即可作答.

【詳解】(I)解：過點。作CK_L4￡＞于K,連接EC,BC交DE于H,

A

AFYAB,CK1AD

:2KCD=/CFA,ZKCA=ZCAF

??AC=CD,

ZKCD=4KCA=ZC4F=ZCFA,

.\CF=AC=CD,

???C是OE的中點，

???作點。關于直線3c的對稱點E,

Dll=HE,即"是的中點,

???HC是,.E8'的中位線，

BC//EF；

（2）解：連接8￡、EG、EC,作CN_L防于N,

由（1）得CF=CD,

;作點。關于直線8C的對稱點E,

：."HC=90。,

由（1）得BC〃EF

ZDEF=90°,

???過點C作BC的垂線，交,于點G,

/.ZGCB=90°,

:?CN〃DE,

.FNCF,

NECD

:.EN=NF,

'：CN=CN,NCNE=Z.CNF=90°

:1CNEgCNF、

同理得.GNEgAGNF

;.GF=GE,

???作點。關于直線BC的對稱點E,

BE—BD，

」.A、。在以8G為直徑的圓上

???作點。關于直線3C的對稱點￡,

:?/BEC=NBDC,BD=BE

VDC=AC

/.ZDAC=ZADC,

???/BDC+ZADC=180°

AZBEC+Z￡)AC=180°

??.A,B,E,C四點共圓,

「.￡在以8G為直徑的圓上

.-.ZB￡G=90°,

BE2+EG2=BG2

：.BD2+FG2=BG2.

【點睛】本題考查了中位線的判定與性質(zhì)，四點共圓，勾股定理，圓周角定理，軸對稱的性質(zhì)，全等

三角形的判定與性質(zhì)，平行線分線段成比例，難度較大，綜合性較強，正確掌握相關性質(zhì)內(nèi)容是解題

的關鍵.

23.(1)44、A3B3

⑵年石

⑶-2<X“K4

【分析】(I)根據(jù)點與圓的位置關系可得點。到C上一點的最大值為3,最小值為1,再日線段AS

就是Q的“關聯(lián)線段”，得出線段A8上存在一點到點。的距離介于1和3之間，再分別計算線段力必，

兒與，AA的兩個端點到原點的距離，逐個分析即可得出結論；

(2)由題意可知點OAE三點共線，根據(jù)線段。E是。的“關聯(lián)線段”，得出直線。廳與。相切，

設切點為F,利用切線的性質(zhì)和勾股定理求出。/=6,再結合圖象即可求解；

(3)先根據(jù)題意畫出圖形，通過數(shù)形結合并利用勾股定理即可求解.

【詳解】(1)解：如圖，連接ogo&OA，。"，

九

5-

???點C(0,2),的半徑為1,

???點。到OC上一點的最大值為2+1=3,最小值為2-1=1,

???線段48就是C的“關聯(lián)線段”，

???線段48繞原點。逆時針旋轉(zhuǎn)后的對應線段AE所在的直線與C相切，且切點在

線段A*上，

???線段A9上的切點到點。的距離介于I和3之間，

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，線段八8上存在一點到點。的距離介于1和3之間，

?.?A。/），四（3,2）,

.?.jF+產(chǎn)=0,OR2=力2+2,=岳,

???線段人從存在一點到點。的距離介于1和3之間，

???線段4也是C的“關聯(lián)線段”：

???義（-3,3）,與（一2,3）,

22

???。4=律壽=3及，OB2=yl2+3=V13?

???線段人與不存在到點。的距離介于1和3之間的點，

?,.線段不是C的“關聯(lián)線段”；

A（3,0）,4（3,-2）,

，OA=3,A4_Lx軸，

???將線段A由繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90。后的對應線段4q'所住的直線與DC相切，且切點恰好在A'

上，

???線段A4是c的“關聯(lián)線段。

???在線段4片，4星,4線中，是「C的“關聯(lián)線段”的是A4、&&：

故答案為：A4、A.B.；

（2）解：E&0）,0（0,0）,

???點O,Q,E三點共線，

???線段。石是C的“關聯(lián)線段”,

???線段DE繞原點。逆時針旋轉(zhuǎn)?（0°<?<180°）后的對應線段DE所在的直線與（C相切，且切點

在線段9E上，

???直線。。'與0c相切，設切點為產(chǎn)，

：.CFLOF,CF=1,

?*-OF=y]OC--CF-=V2--12=V3，

丁點尸在線段￡>'￡上，

：.OE>OF,即OENx/J,

結合圖象可知，點￡應在點。的右側,

???，的取值范圍是此百；

故答案為：1>>/3；

(3)解：當必取最小值時,

開始時存在"G與。C相切,

VCG=\,MG=G，

,MC=y]CG2+MG2=2,

???0°<a<180°,

當取最大值時,

當MG與C相切時，

VCG=I,M'G=6

???M'C=dCG'+MC，=2'

???點”縱坐標的最大值為2+2=4,此時M'(O,4),

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，OM=OMr=4,

????％W4:

，綜上所述，%的取值范圍是-2〈/V4.

故答案為：-2<4,44.

【點睛】本題是新定義下的閱讀理解，主要考查了直線與圓的位置關系，切線的性質(zhì)，勾股定理，點

到原點的距離，圖形的旋轉(zhuǎn)等相關知識.解題的關鍵是數(shù)形結合，理解新定義并能靈活運用所學知識

解決問題.

24.(1)見解析

⑵①見解析；②叵吆兀

4

【分析】(1)根據(jù)4c=4C可得