考點(diǎn)06?分式方程（精講）

【命題趨勢(shì)】

分式方程考查內(nèi)容以分式方程解法、分式方程含參問題、分式方程的應(yīng)用題為主，既有單獨(dú)考查，也

有和一次函數(shù)、二次函數(shù)結(jié)合考察，年年考查，分值為10分左右，預(yù)計(jì)2024年各地中考還將繼續(xù)考查分

式方程解法、分式方程含參問題［較難）、分式方程的應(yīng)用胭，為避免丟分，學(xué)生應(yīng)扎實(shí)掌握。

【知識(shí)清單】

1：解分式方程（☆☆）

1）分式方程的概念：分母中含有血吸的方程叫做分式方程.

注意：”分母中含有未知數(shù)”是分式方程與整式方程的根本區(qū)別，是判定一個(gè)方程為分式方程的依據(jù)。

2）分式方程的解法

（1）解分式方程的基本思路是將分式方程化為整為方程,具體做法是去分母，即方程兩邊同乘以各分式

的最簡(jiǎn)公分母.

（2）解分式方程的步驟：①找最簡(jiǎn)公分母，當(dāng)分母是多項(xiàng)式時(shí)，先分解因式；②去分母，方程兩邊都乘

最簡(jiǎn)公分母，約去分母，化為整式方程；③解整式方程；④驗(yàn)艱.

3）增根

在方程變形時(shí)，有時(shí)可能產(chǎn)生不適合原方程的根，這種根叫做方程的理報(bào)_。由于可能產(chǎn)生增根，所以解

分式方程要驗(yàn)根，其方法是將根代入最簡(jiǎn)公分母中，使最簡(jiǎn)公分母為零的根是增根,否則是原方程的根.

注意：增根雖然不是方程的根，但它是分式方程去分母后變形而成的整式方程的根。若這個(gè)整式方程本身

無(wú)解，當(dāng)然原分式方程就一定無(wú)解。

2：分式方程的應(yīng)用（☆☆☆）

1）列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟：①審題（找等量關(guān)系）；②設(shè)未知數(shù)；③列分式方程；④解分式方

程；⑤檢驗(yàn)（一驗(yàn)分式方程，二驗(yàn)實(shí)際問題）；⑥答。

2）分式方程的應(yīng)用主要涉及工程問題，有工作量問題、行程問題、利潤(rùn)問題等。

每個(gè)問題中涉及到三個(gè)量的關(guān)系，如：工作時(shí)間=,時(shí)間=舞，總利潤(rùn)=單件利潤(rùn)X銷售量，利

工:作上雙工不速度

潤(rùn)率=利潤(rùn)?成本X100%等。

【易錯(cuò)點(diǎn)歸納】

1.解分式方程過(guò)程中，易錯(cuò)點(diǎn)有：①去分母時(shí)要把方程兩邊的式子作為一個(gè)整體，記得不要漏乘整式項(xiàng)；

②忘記驗(yàn)根，最后的結(jié)果還要代回方程的最簡(jiǎn)公分母中，只有最簡(jiǎn)公分母不是零的解才是原方程的解。

2.分式方程有增根與無(wú)解并非是同一個(gè)概念。分式方程無(wú)解，需分類討論：可能是解為增根，也可能是去

分母后的整式方程無(wú)解。

【核心考點(diǎn)】

核心考點(diǎn)1.解分式方程

例1：（2025?山東淄博?統(tǒng)考中考真題）已知x=l是方程J——二二3的解，那么實(shí)數(shù)機(jī)的值為（）

2-xx-2

A.-2B.2C.-4D.4

變式1.（2O2S上?河南開封?九年級(jí)統(tǒng)考期末）下列方程中是分式方程的是（）

變式2.（2025?四川成都?統(tǒng)考二模）若關(guān)于x的分式方程-二-3的解為x=3,則〃?的值為（）

x-22-x

A.1B.2C.3D.5

r2

例2:（2025?福建?統(tǒng)考一模）下列解分式方程」4=0的步驟中，錯(cuò)誤的是（）

x-22-x

A.找最簡(jiǎn)公分母：2-xB.去分母：-x+2=0

x2

C.計(jì)算方程的根：x=2D.驗(yàn)根：當(dāng)x=2時(shí)，方程—、+勺=0成立

x-22-x

4W

變式1.（2025?山西晉中?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）分式方程一三-—一二二一的解是（）

x-2x+2r—4

A.x=2B.x=—2C.無(wú)解D.x=3

變式2.（2025?上海?統(tǒng)考中考真遨〉在分式方程注1+C—=5中，設(shè)與1-），，可得到關(guān)丁），的整式方

x2x—1x

程為（）

A.y2+5>'+5=0B.y2-5y+5=（）C.y2+5y+l=0D.y2-5y+l=0

i3

變式3.（2025?山西?統(tǒng)考中考真題）解方程：—+1=；^.

x-\2x-2

變式4.（2。25?浙江嘉興?統(tǒng)考中考真題）小丁和小迪分別解方程巖一言目過(guò)程如下:

小?。盒〉希?/p>

解：去分母，得-—2解：去分母，得工+。-3）=1

去括號(hào)，得工―x+3=x-2去括號(hào)得x+x-3=1

合并同類項(xiàng)，得3=x-2合并同類項(xiàng)得2x-3=l

解得x=5解得x=2

何原方程的解是x=5經(jīng)檢驗(yàn)，工=2是方程的增根，原方程無(wú)解

你認(rèn)為小丁和小迪的解法是否正確？若正確，請(qǐng)?jiān)诳騼?nèi)打“V〃：若錯(cuò)誤，請(qǐng)?jiān)诳騼?nèi)打“x〃，并寫出你的解答過(guò)

程.

例3：（2025?山東日照?統(tǒng)考中考真題）若關(guān)于x的方程一、-2=3=解為正數(shù)，則加的取值范圍是（）

x-12x-2

24242

A.m＞一一B.m＜-C.m＞一一且加工。D.—且〃？工一

33333

mY

變式1.（2025?黑龍江?統(tǒng)考中考真題）已知關(guān)于x的分式方程＜+1=——的解是非負(fù)數(shù)，則機(jī)的取值范

x-22-x

國(guó)是（）

A.m<2B.m>2C.m<2fLin-2D."1<2且"？/一2

變式2.（2。25?山東?統(tǒng)考一模）關(guān)于"勺分式方程不「二°解的情況,下列說(shuō)法正確的是（）.

A.若。=0,則此方程無(wú)解B.若。=±1,則此方程無(wú)解

C.若方程的解為負(fù)數(shù),則D.若a＜1,則方程的解為正數(shù)

9x+/＞；

例4：（2025?廣東廣州?校聯(lián)考模抵預(yù)測(cè)）若關(guān)于x的分式方程=；+產(chǎn)=1有增根，則，〃的值為（）

x-33-x

A.1B.2C.-1D.0

rni

變式1.（2025上?河南安陽(yáng)?九年級(jí)校考期末）若分式方程一-一=2有增根，則/〃的值為（）

x-ii-x

A.1B.-1C.2D.-2

9f）i

例5：（2025?四川遂寧?統(tǒng)考中考真題）若關(guān)于x的方程±=占無(wú)解，則機(jī)的值為（）

X2x+l

A.0B.4或6C.6D.0或4

變式1.（2025?河北滄州??？寄５诸A(yù)測(cè)）“若關(guān)于x的方程鼻=4+1無(wú)解，求。的值.”尖尖和丹丹的

3x-93x-9

做法如下（如圖1和圖2）：

尖尖：丹丹：

去分母得:ax=12+3x-9?去分母得：ax=12+3.V-9,

移項(xiàng)得：k3x-12-9,移項(xiàng),合并同類項(xiàng)得:

合并同類項(xiàng)得：3

（（L3）X=3,解得：x=-7.

（a-3*=3,ct-5

??原方程無(wú)解，?.原方程無(wú)解?.?.x為增根,

；?4-3=0,r.3.r-9=0.解得x=3,

:.a=3.3

/.-7=3.解得，尸4.

a-3

圖1圖2

卜.列說(shuō)法正確的是（）

A.尖尖對(duì)，丹丹錯(cuò)B.尖尖錯(cuò),丹丹對(duì)C.兩人都錯(cuò)D.兩人的答案合起來(lái)才對(duì)

3x+5<X+3

例6：（2025?重慶渝中?校考一模）若關(guān)于x的不等式組。2無(wú)解，且關(guān)于），的分式方程

1x+a

x+—>------

22

15—-1=—3;有整數(shù)解，則滿足條件的所有整數(shù)〃的和為（）

2-），y-2

A.10B.12C.16D.14

GCi/

變式1.（2025?四川達(dá)州市?中考真題）若分式方程上=的解為整數(shù)，則整數(shù)。=___________

x-lX+1

變式2.（2025?廣西九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）若關(guān)于x的方程（a+l）x2+（2a-3）x+a-2=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根，且關(guān)

于x的方程盧-1=義的解為整數(shù)，則滿足條件的所有整數(shù)a的和是____.

l+xx+1

核心考點(diǎn)2.分式方程的應(yīng)用

例7：（2025?遼寧丹東?統(tǒng)考中考真題）“暢通交通，扮靚城市"，某市在道路提升改造中，將一座長(zhǎng)度為36

米的橋梁進(jìn)行重新改造.為了盡快通車，某施工隊(duì)在實(shí)際施工時(shí)，每天工作效率比原計(jì)劃提高了50%,結(jié)

果提前2天成功地完成了大橋的改造任務(wù)，那么該施工隊(duì)原計(jì)劃每天改造多少米？

變式1.（2025?山東淄博?統(tǒng)考中考真題〉為貫徹落實(shí)習(xí)近平總書記關(guān)于黃河流域生態(tài)保護(hù)和高質(zhì)品發(fā)展的重

要講話精神，某學(xué)校組織初一、初二兩個(gè)年級(jí)學(xué)生到黃河岸邊開展植樹造林活動(dòng).己知初一植樹900棵與初

二植樹1200棵所用的時(shí)間相同，兩個(gè)年級(jí)平均每小時(shí)共植樹350棵.求初一年級(jí)平均每小時(shí)植樹多少棵？設(shè)

初一年級(jí)平均每小時(shí)植樹x棵，則下面所列方程中正確的是（）

A._222_=剪B.些=旦c.=D.&二旦

350-xxx350+x350+xxx350-x

變式2.（2025?廣東河源?統(tǒng)考二模）某_E程隊(duì)承接了60萬(wàn)平方米的綠化_E程，由于情況有變，….設(shè)原計(jì)

6060嗔八

劃每天綠化的面積為x萬(wàn)平方米，歹6方程為（1_20%）.一工=30,根據(jù)方程可知省略的部分是（）

A.實(shí)際工作時(shí)每天的工作效率比原計(jì)劃提高了20%,結(jié)果提前30天完成了這一任務(wù)

B.實(shí)際工作時(shí)每天的工作效率比原計(jì)劃提高了20%,結(jié)果延誤30天完成了這一任務(wù)

C.實(shí)際工作時(shí)每天的工作效率比原計(jì)劃降低了20%,結(jié)果延誤30天完成了這一任務(wù)

D.實(shí)際工作時(shí)每天的工作效率比原計(jì)劃降低了20%,結(jié)果提前30天完成了這一任務(wù)

變式3.（2025?福建漳州?統(tǒng)考一模）某村要修建一條長(zhǎng)為1200米的水泥路面村道，現(xiàn)有兩支施工隊(duì)前來(lái)應(yīng)

聘，村委會(huì)派出相關(guān)人員了解這兩支施工隊(duì)的情況，獲得如下信息.

信息一：甲隊(duì)單獨(dú)施工完成工程比乙隊(duì)單獨(dú)施工完成工程多用10天；

信息二：乙隊(duì)每天施工的數(shù)量是中隊(duì)每天施工的數(shù)量的1.5倍.

⑴根據(jù)以上信息，求甲、乙兩支施工隊(duì)每天分別修多少米道路？

⑵村委會(huì)將工程交給乙隊(duì)，要求2S天內(nèi)完成.幾天后因乙隊(duì)接到搶險(xiǎn)任務(wù)，經(jīng)村委會(huì)同意，就將余下工程

交給甲隊(duì).那么在轉(zhuǎn)交給甲隊(duì)之前乙隊(duì)至少要施工多少天，才能按照村委會(huì)要求按時(shí)完成？

例8:（2025?廣東湛江?統(tǒng)考三模）某周日，珂銘和小雪從新天地小區(qū)門口同時(shí)出發(fā)，沿同一條路線去離該小

區(qū)1800米的少年宮參加活動(dòng)，為響應(yīng)節(jié)能環(huán)保，綠色出行的號(hào)召，兩人步行，已知珂銘的速度是小雪的速

度的1.2倍，結(jié)果珂銘比小雪早6分鐘到達(dá).⑴求小雪的速度；（2）活動(dòng)結(jié)束后返回，珂銘與小雪的速度均與

原來(lái)相同，若小雪計(jì)劃比珂銘至少提前6分鐘回到小區(qū)，則小雪至少要比珂銘提前多長(zhǎng)時(shí)間出發(fā)？

變式1.（2025?青海?統(tǒng)考中考真題）為了緬懷革命先烈，傳承紅色精神，青海省某學(xué)校九年級(jí)師生在清明節(jié)

期間前往距離學(xué)校15切z的烈士陵園掃墓.一部分師生騎自行車先走，過(guò)了30min后，其余師生乘汽車出發(fā),

結(jié)果他們同時(shí)到達(dá)；已知汽車的速度是騎車師生速度的2倍，設(shè)騎車師生的速度為xkm/h.根據(jù)題意，下列

方程正確的是（）

15115°151fl-15，八15c1515”

A.—+-=—B.—=—+-C.—+30=—D.——=—+30

x22xx2x2x2xx2x

變式2.（2025?遼寧遼陽(yáng)?統(tǒng)考二模）小明和小麗約定周木在學(xué)校門口集合，乘大巴車一起去本溪水洞游玩,

但由于?小明有事，在小麗出發(fā)半小時(shí)后小明才到達(dá)校門口，然后小明立即乘出租車追趕，已知出租車的速

度是大巴車的1.5倍，追趕上大巴車后繼續(xù)前行，結(jié)果比小麗提前15min到達(dá)本溪水洞，已知學(xué)校到本溪水

洞的距離為90km,設(shè)大巴車的速度為Mm/h,根據(jù)題意，所列方程正確的是（）

,901901909011909011901901

A.—+-=------4—B.-------=—+—+-C.—=--------F-+-D.------H—=—+-

x41.5x21.5xx24x1.5x241.5x4x2

變式3.（2025?四川自貢?統(tǒng)考中考真題）學(xué)校師生去距學(xué)校45千米的吳玉章故居開展研學(xué)活動(dòng)，騎行愛好

者張老師騎自行車先行2小時(shí)后，其余師生乘汽車出發(fā)，結(jié)果同時(shí)到達(dá)；已知汽車速度是自行車速度的3

倍，求張老師騎車的速度.

例9：（2025?江蘇鹽城?統(tǒng)考中考真題）某校舉行“二十大知識(shí)學(xué)習(xí)競(jìng)賽"活動(dòng)，老師讓班長(zhǎng)小華到商店購(gòu)買筆

記本作為獎(jiǎng)品.甲、乙兩家商店每本硬面筆記本比軟面筆記本都貴3元（單價(jià)均為整數(shù)）.

⑴芳班長(zhǎng)小華在甲商店購(gòu)買，他發(fā)現(xiàn)用240元購(gòu)買硬面筆記本與用195元購(gòu)買軟面筆記本的數(shù)量相同，求

甲商店硬面筆記本的單價(jià).（2）若班長(zhǎng)小華在乙商店購(gòu)買硬面筆記本，乙商店給出了硬面筆記本的優(yōu)惠條件

（軟面筆記本單價(jià)不變）:一次購(gòu)買的數(shù)量少于30本,按原價(jià)售出；不少于30本按軟面筆記本的單價(jià)售出.班

長(zhǎng)小華打算購(gòu)買川本硬面筆記本（皿為正整數(shù)），他發(fā)現(xiàn)再多購(gòu)買5本的費(fèi)用恰好與按原價(jià)購(gòu)買的費(fèi)用相同，

求乙商店硬面筆記本的原價(jià).

變式L（2025?廣東湛江?統(tǒng)考三模）"五一〃期間，我市某商場(chǎng)舉行促銷活動(dòng)，活動(dòng)期間規(guī)定：商場(chǎng)內(nèi)所有商

品按標(biāo)價(jià)的80%出售；同時(shí)，當(dāng)顧客在該商場(chǎng)消費(fèi)滿一定金額后，按如下方案獲得相應(yīng)金額的獎(jiǎng)券：根據(jù)

促俏方法，顧客在該商場(chǎng)購(gòu)物可獲得雙重優(yōu)惠.例如，購(gòu)買標(biāo)價(jià)為450元的商品，則消費(fèi)金額為450x0.8=360

購(gòu)買商品獲得的優(yōu)惠

（元），獲得優(yōu)惠額為：450x0.2+30=120（元）.設(shè)購(gòu)買商品的優(yōu)惠率=試問:

商品的標(biāo)價(jià)

消費(fèi)金額〃（元）的范圍200</?<400400</?<500500</?<700700</?<900???

獲得獎(jiǎng)券金額（元）3060100130

⑴購(gòu)買一件標(biāo)價(jià)為800元的商品，顧客得到的優(yōu)惠率是多少？（2）若一顧客購(gòu)買了一套西裝，得到的優(yōu)惠率

為:，己知該套西裝的標(biāo)價(jià)高于700元，低于850元，該套西裝的標(biāo)價(jià)是多少元？

變式2.（2025?內(nèi)蒙古通遼?統(tǒng)考中考真題）某搬運(yùn)公司計(jì)劃購(gòu)買A,8兩種型號(hào)的機(jī)器搬運(yùn)貨物，每臺(tái)A型

機(jī)器比每臺(tái)8型機(jī)器每天少搬運(yùn)10噸貨物，區(qū)每臺(tái)4型機(jī)器搬運(yùn)450噸貨物與每臺(tái)3型機(jī)器搬運(yùn)500噸貨

物所需天數(shù)相同.（1）求每臺(tái)A型機(jī)器，8型機(jī)器每天分別搬運(yùn)貨物多少噸？

⑵每臺(tái)A型機(jī)器售價(jià)1.5萬(wàn)元，每臺(tái)3型機(jī)器售價(jià)2萬(wàn)元，該公司計(jì)劃采購(gòu)兩種型號(hào)機(jī)器共30臺(tái)，滿足每

天搬運(yùn)貨物不低于2880噸，購(gòu)買金額不超過(guò)55萬(wàn)元，請(qǐng)幫助公司求出最省錢的采購(gòu)方案.

考點(diǎn)06?分式方程（精講）

【命題趨勢(shì)】

分式方程考查內(nèi)容以分式方程解法、分式方程含參問題、分式方程的應(yīng)用題為主，既有單獨(dú)考查，也

有和一次函數(shù)、二次函數(shù)結(jié)合考察，年年考查，分值為10分左右，預(yù)計(jì)2024年各地中考還將繼續(xù)考查分

式方程解法、分式方程含參問題［較難）、分式方程的應(yīng)用胭，為避免丟分，學(xué)生應(yīng)扎實(shí)掌握。

【知識(shí)清單】

1：解分式方程（☆☆）

1）分式方程的概念：分母中含有血吸的方程叫做分式方程.

注意：”分母中含有未知數(shù)”是分式方程與整式方程的根本區(qū)別，是判定一個(gè)方程為分式方程的依據(jù)。

2）分式方程的解法

（1）解分式方程的基本思路是將分式方程化為整為方程,具體做法是去分母，即方程兩邊同乘以各分式

的最簡(jiǎn)公分母.

（2）解分式方程的步驟：①找最簡(jiǎn)公分母，當(dāng)分母是多項(xiàng)式時(shí)，先分解因式；②去分母，方程兩邊都乘

最簡(jiǎn)公分母，約去分母，化為整式方程；③解整式方程；④驗(yàn)艱.

3）增根

在方程變形時(shí)，有時(shí)可能產(chǎn)生不適合原方程的根，這種根叫做方程的理報(bào)_。由于可能產(chǎn)生增根，所以解

分式方程要驗(yàn)根，其方法是將根代入最簡(jiǎn)公分母中，使最簡(jiǎn)公分母為零的根是增根,否則是原方程的根.

注意：增根雖然不是方程的根，但它是分式方程去分母后變形而成的整式方程的根。若這個(gè)整式方程本身

無(wú)解，當(dāng)然原分式方程就一定無(wú)解。

2：分式方程的應(yīng)用（☆☆☆）

1）列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟：①審題（找等量關(guān)系）；②設(shè)未知數(shù)；③列分式方程；④解分式方

程；⑤檢驗(yàn)（一驗(yàn)分式方程，二驗(yàn)實(shí)際問題）；⑥答。

2）分式方程的應(yīng)用主要涉及工程問題，有工作量問題、行程問題、利潤(rùn)問題等。

每個(gè)問題中涉及到三個(gè)量的關(guān)系，如：工作時(shí)間=,時(shí)間=舞，總利潤(rùn)=單件利潤(rùn)X銷售量，利

工:作上雙工不速度

潤(rùn)率=利潤(rùn)?成本X100%等。

【易錯(cuò)點(diǎn)歸納】

1.解分式方程過(guò)程中，易錯(cuò)點(diǎn)有：①去分母時(shí)要把方程兩邊的式子作為一個(gè)整體，記得不要漏乘整式項(xiàng)；

②忘記驗(yàn)根，最后的結(jié)果還要代回方程的最簡(jiǎn)公分母中，只有最簡(jiǎn)公分母不是零的解才是原方程的解。

2.分式方程有增根與無(wú)解并非是同一個(gè)概念。分式方程無(wú)解，需分類討論：可能是解為增根，也可能是去

分母后的整式方程無(wú)解。

【核心考點(diǎn)】

核心考點(diǎn)1.解分式方程

例1：（2025?山東淄博?統(tǒng)考中考真題）已知x=l是方程J——二二3的解，那么實(shí)數(shù)機(jī)的值為（）

2-xx-2

A.-2B.2C.-4D.4

【答案】B

【分析】將x=l代入方程，即可求解.

【詳解】解：將x=l代入方程，得者工=3解得：〃?=2故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查分式方程的解，解題的關(guān)鍵是將x=l代入原方程中得到關(guān)于，"的方程.

變式1.（2025上?河南開封?九年級(jí)統(tǒng)考期末）下列方程中是分式方程的是（）

XI3r4-I

A.^-2x=lB.2X2=X-3C.」=2D.

2X-27T

【答案】C

【分析】根據(jù)分式方程的定義判斷即可.

【詳解】解：A,B,D選項(xiàng)中的方程，分母中不含未知數(shù)，所以不是分式方程，故不符合題意：

C選項(xiàng)方程中的分母中含未知數(shù)，是分式方程，故符合題意；故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的定義，掌握分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程是解題的關(guān)鍵.

變式2.（2025?四川成都?統(tǒng)考一模）若關(guān)于x的分式方程-3-盧1=3的解為工=3,則，〃的值為（）

x-22-x

A.1B.2C.3D.5

【答案】A

【分析】解分式方程，根據(jù)方程的解為x=3,即可求解.

【詳解】解：一3-9三=3,方程兩邊同時(shí)乘以（工一2）得：/〃+（x—l）=3（x—2）,

x-22-x

解得x=_2'，且3-2W0,

?.?方程的解為x=3,「?等=3,即〃?=1,故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了解分式方程，將分式方程化為整式方程是解題的關(guān)鍵.

r2

例2：（2025?福建?統(tǒng)考一模）下列解分式方程一;+「=0的步驟中，錯(cuò)誤的是（）

x-227

A.找最簡(jiǎn)公分母：2-xB.去分母：-x+2=0

r2

C.計(jì)算方程的根：X=2D.驗(yàn)根：當(dāng)工=2時(shí)，方程一=+白=0成立

x-22-x

【答案】D

【分析】由解分式方程的步驟即可選擇.

【詳解】該分式方程的最簡(jiǎn)公分母是2-x,故A正確，不符合題意.

分式兩邊同時(shí)乘以2-工，得：-x+2=0,故B正確，不符合題意.

由B選項(xiàng)即可得出x=2,故C正確，不符合題意.

當(dāng)上=2時(shí)，2-x=0,故該分式方程無(wú)解.故D錯(cuò)誤，符合題意.故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查解分式方程，掌握解分式方程的步驟是解答本題的關(guān)鍵.

變式1.（2025?山西晉中?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）分式方程2-二3；=一工的解是（）

x-2x+2A--4

A.x=2B.x=-2C.無(wú)解D.x=3

【答案】C

【分析】先去分母，將分式方程億為整式方程求解，再進(jìn)行檢驗(yàn)即可.

去分母，得：3（x+2）-2（x-2）=8,

去括號(hào)，得：3x+6—2x+4=8,

移項(xiàng)合并，得：x=-2,

檢驗(yàn)，當(dāng)x=-2時(shí)，?-4=0,即x=-2是原分式方程的增根，

13原分式方程解.故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了解分式，解題的關(guān)鍵是掌握解分式方程的方法和步驟.

變式2.（2025?上海?統(tǒng)考中考真題）在分式方程"+工一=5中，設(shè)W=可得到關(guān)于），的整式方

JT2x-\X

程為()

A.y2+5>'+5=0B.y2-5y+5=0C.y2+5y+1=0D.y2-5y+1=0

【答案】D

?r-l1

【分析】設(shè)二$=y,則原方程可變形為y+—=5,再化為整式方程即可得出答案.

x2y

?r-|I

【詳解】解：設(shè)J—=〃則原方程可變形為“一=5,即),2―5)，+1=0；故選：D.

xy

【點(diǎn)睛】本題考查了利用換元法解方程，正確變形是關(guān)鍵，注意最后要化為整式方程.

變式3.(2025?山西?統(tǒng)考中考真題)解方程：-^-+1=-^—.

x-\2x-2

3

【答案】x=^

【分析】去分母化為整式方程，求出方程的根并檢驗(yàn)即可得出答案.

【詳解】解：原方程可化為口+1=市萬(wàn).

方程兩邊同乘2(x7),得2+2"-1)=3.解得X=].

檢驗(yàn)：當(dāng)X時(shí)，2(4—1)工0.日原方程的解是x=

【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的解法，熟練掌握解分式方程的方法是解題關(guān)鍵.

變式4.(2025?浙江嘉興?統(tǒng)考中考真題)小丁和小迪分別解方程」;-二二1過(guò)程如下:

x-22-x

小丁：小迪：

解：去分母，得m-2解：去分母，得x+(x-3)=l

去括號(hào)，得x-x+3=x-2去括號(hào)得x+x-3=l

合并同類項(xiàng)，得3=工-2合并同類項(xiàng)得2\-3=1

解得x=5解得x=2

回原方程的解是x=5經(jīng)檢驗(yàn)，x=2是方程的增根，原方程無(wú)解

你認(rèn)為小丁和小迪的解法是否正確？若正確，請(qǐng)?jiān)诳騼?nèi)打“V”：若錯(cuò)誤，請(qǐng)?jiān)诳騼?nèi)打“x〃，并寫出你的解答過(guò)

程.

【答案】都錯(cuò)誤，見解析

【分析】根據(jù)解分式方程的步驟判斷小丁和小迪的解法是否正確，再正確解方程即可.

【詳解】小丁和小迪的解法都錯(cuò)誤；

解：去分母，得x+Ct-3)32,

去括號(hào)，得去—3=x—2?

解得，x=l,經(jīng)檢驗(yàn)：x=l是方程的解.

【點(diǎn)睛】本題考查分式方程的解法，熟練掌握解分式方程的步驟是解題的關(guān)鍵.

例3：（2025?山東印路統(tǒng)考中考真題）若關(guān)于X的方程一三-2=3］解為正數(shù)，則機(jī)的取值范圍是（）

x-\2x-2

24242

A.tn>B.m<—C.IH>且/〃W0D.，〃〈一EL，〃工一

33333

【答案】D

4—4—3"?

【分析】將分式方程化為整式方程解得工=——,根據(jù)方程的蟀是正數(shù)，可得丁一>（）,即可求出，”的

取值范圍.

【詳解】解：若-2=羔

2x-2x2(x-l)=3/?z

2x-4x+4=3"?

-2x=3,w-4

4-

x=--------

2

團(tuán)方程』的解為正數(shù)，且分母不等「0

x-12x-2

4-3m-4-3in,

0--------->0,x=------工1

22

42

0/?<-,且機(jī)工二故選：D.

33

【點(diǎn)睛】此題考查了解分式方程，根據(jù)分式方程的解的情況求參數(shù)，解不等式，將方程化為整式方程求出

整式方程的解，列出不等式是解答此類問題的關(guān)鍵.

變式1.（2025?黑龍江?統(tǒng)考中考真題）已知關(guān)于工的分式方程」=+1=白的解是非負(fù)數(shù)，則"的取值范

x-22-x

圍是（）

A.m<2B.m>2C.in<2JEin-2D.<2且"？。一2

【答案】C

2—HI

【分析】解分式方程求出然后根據(jù)解是非負(fù)數(shù)以及解不是增根得出關(guān)于利的不等式組，求解即

可.

2—

【詳解】解：分式方程去分母得：m+x—2=—x,解得：x=q'，

回分式方程T+1=*?的解是非負(fù)數(shù)，

x-22-x

團(tuán)22辦20,且x=22”工2,回機(jī)42且機(jī)工一2,故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了解分式方程，解一元一次不等式組，正確得出關(guān)于，”的不等式組是解題的關(guān)鍵.

變式2.（2025?山東?統(tǒng)考一模）關(guān)于k的分式方程竺?一1-0解的情況，下列說(shuō)法正確的是（）.

A.若。=0,則此方程無(wú)解B.若。=±1,則此方程無(wú)解

C.若方程的解為負(fù)數(shù)，則。>1D.若a<1,則方程的解為正數(shù)

【答案】BC

【分析】先按照?般步驟解方程，用含有。的代數(shù)式表示x,然后根據(jù)x的取值討論”的范圍，即可作出判

斷.

【詳解】解：A、當(dāng)”=0時(shí)，原分式方程為一二-1=0,解得：x=2,

x-1

當(dāng)上=2時(shí)，心1工0,團(tuán)原分式方程的解為六2,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

B、竺?-1=0,去分母得：（6T-1）X=-2,當(dāng)el時(shí)，該方程無(wú)解，回原分式方程無(wú)解；

X—1

當(dāng)。=:時(shí)，原分式方程為之?-1=0,解得：%=1,當(dāng).1=1時(shí)，x-i=o,以=1是增根，原分式方程無(wú)解；

x-l

團(tuán)若。=±1,則此方程無(wú)解，故本選項(xiàng)正確，符合題意；

C、去分母得：（。一1）X二-2,解得：x=—

x-\fl-1

回方程的解為負(fù)數(shù)，取V0且x-lxO,

22

回一」7Vo且-工-1工0,解得：a>\,故本選項(xiàng)正確，符合即意；

a-i"1

D、若方程的解為正數(shù)，0%=-^2->0,且——2--1*0,解得：avl且el,

a-1a-\

回當(dāng)avl且時(shí)，方程的解為正數(shù)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；故選：BC

【點(diǎn)睛】考查分式方程的解，解題關(guān)鍵是要掌握方程的解的定義，使方程成立的未知數(shù)的值叫做方程的解.

7r4-nj

例4：（2025?廣東廣州?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）若關(guān)于上的分式方程+A=l有增根，則加的值為（）

x-33-x

A.1B.2C.-ID.0

【答案】C

【分析】增根是化為整式方程后產(chǎn)生的小適合分式方程的根.所以應(yīng)先確定增根的可能值，讓最簡(jiǎn)公分母

x-3=0,得到x=3,然后代入化為整式方程的方程算出，"的值.

【詳解】解：方程兩邊都乘方-3）,得2-（x+M*3,

???原方程有增根，，最簡(jiǎn)公分母％-3=0,解得:x=3,

當(dāng)H=3時(shí)，m=-\,故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)分式方程解的情況求值.注意計(jì)算的準(zhǔn)確性.

Ym

變式1.（2025上?河南安陽(yáng)?九年級(jí)?？计谀┤舴质椒匠桃?-=2有增根，則用的值為（）

x-11-X

A.1B.-1C.2D.-2

【答案】B

【分析】先化分式方程為整式方程，令分母工-1=0,代入整式方程計(jì)算〃?的值.

【詳解】因?yàn)楦?==2,

x-\1-x

去分母得：x+w=2（x-l）,解得：m=x-2

因?yàn)榉质椒匠桃蝗?=2有增根，

所以xT=0,即：x=l是方程增根，

所以〃z=x-2=-l,故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的增根問題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式方程中關(guān)于增根的解題方法.

例5：（2025?四川遂寧?統(tǒng)考中考真題）若關(guān)于%的方程2=J—無(wú)解，則機(jī)的值為（）

X2x+l

A.0B.4或6C.6D.0或4

【答案】D

【分析】先將分時(shí)方程化為整式方程，再根據(jù)方程無(wú)解的情況分類討論，當(dāng)加-4=0時(shí)，當(dāng)〃4/0時(shí)，x=0

或2x+l=0,進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】方程兩邊同乘道2加1）,得2（2x"）=爾，整理得（小4）x=2,

?.?原方程無(wú)解，，當(dāng)〃，一4二。時(shí)，〃?=4；

?I

當(dāng)加一4工0時(shí)，x=0^22x4-1=0.此時(shí)，x=----,解得4=0或4=一一，

771-42

2

當(dāng)工=0時(shí)，x=---7=0無(wú)解；

/n-4

171

當(dāng)工=-7時(shí)，X=---；=--?解得“2=0；

2in-42

綜上，，〃的值為?；?；故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程無(wú)解的情況，即分式方程有增根，分兩種情況，分別是最簡(jiǎn)公分母為。和化

成的整式方程無(wú)解，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

變式L（2。25?河北滄州?校考模抵預(yù)測(cè)）“若關(guān)于"的方程含=荔+1無(wú)解,求。的值尖尖和丹丹的

做法如下（如圖1和圖2）：

尖尖：丹丹：

去分母得:ax=12+3x-9?去分母得：ax=12+3.V-9,

移項(xiàng)得：W3L12-9,移項(xiàng),合并同類項(xiàng)得:

合并同類項(xiàng)得：3

（，L3）X=3,解得：x=-7.

（a-3比=3,ct-5

??原方程無(wú)解，??原方程無(wú)解???.x為增根,

；.4-3=0,r.3.r-9=0.解得x=3,

:.a=3.3

/.-7=3,解得，/=4.

圖1圖2

下列說(shuō)法正確的是（）

A.尖尖對(duì)，丹丹錯(cuò)B.尖尖錯(cuò)，丹丹對(duì)C.兩人都錯(cuò)D.兩人的答案合起來(lái)才對(duì)

【答案】D

【分析】根據(jù)分式方程無(wú)解情況①去分母后方程無(wú)解，②解出的解是增根，兩類討論即可得到答案；

【詳解】解：由題意可得,去分母可得,?=12+立-9,移項(xiàng)合并同類項(xiàng)得,3-3）x=3,

當(dāng)"3=0時(shí)，即”=3時(shí)方程無(wú)解，當(dāng)〃一3工0時(shí)，即3時(shí)，％=

a-3

團(tuán)方程鼻=用+1無(wú)解，即＞之是方程的增根，可得：3A-9=0,解得：x=3,

3上一93x-9a-3

3

團(tuán)3=—,解得：a=4,故選D；

a-3

【點(diǎn)睛】本題考查分式方程無(wú)解的情況，解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式方程無(wú)解情況①去分母后方程無(wú)解,

②蟀出的解是增根.

3x+5x+3

4-?

例6：（2025?重慶渝中??？家荒＃┤絷P(guān)于x的不等式組《,無(wú)解，且關(guān)于y的分式方程

1x+a

x+->

22

等有整數(shù)解一則滿足條件的所有整數(shù)“的和為（）

A.10B.12C.16D.14

【答案】B

【分析】先求得不等式組中各不等式的解集，根據(jù)不等式組無(wú)解可求得。的取值范圍，然后求得分式方程的

解，根據(jù)解為整數(shù)，月即可求得滿足條件的所有整數(shù)〃的值.

【詳解】::解不等式①，得⑶.解不等式②，得

3x+5<x+3

因?yàn)殛P(guān)于，的不等式組\二無(wú)解，可得3“解得a"

5—“V36

解關(guān)于y的分式方程L-i=:，得），=9.

2-yy-2a-\

66

團(tuán)二為整數(shù)，a>2,二一2/0,團(tuán)〃=2或a=3或〃=7.

a-Ia-1

回滿足條件的所有整數(shù)。的和=2+3+7=12.故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查解一元一次不等式組和解分式方程，牢記解一元一次不等式組和解分式方程的步驟

是解題的關(guān)鍵.

2Y〃—9r4-/7

變式一2。25?四川達(dá)州市?中考真題）若分式方程黃-4二丁的解為整數(shù)‘則整數(shù)"-----------

【答案】±1

【分析】直接移項(xiàng)后通分合并同類項(xiàng)，化簡(jiǎn)、用。來(lái)表示工,再根據(jù)解為整數(shù)來(lái)確定。的值.

【詳解】解：之二￡一4二43,2x-a-2x+a.

--------------=4

x-\x+1x-1x+1

(2x-a)(x+1)-(?-2x)(x-1)2

=4整理得:x=—

(x-DU+l)a

GO1

若分式方程三卜4二二號(hào)的解為整數(shù)'

???〃為整數(shù)，當(dāng)。=±1時(shí)，解得：x=±2,經(jīng)檢驗(yàn)：工-100/+1工0成立;

當(dāng)〃=±2時(shí)，解得：x=±l,經(jīng)檢驗(yàn)：分母為。沒有意義，故舍去；

綜上:。=±1,故答案是：±1.

【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程，解題的關(guān)鍵是：化簡(jiǎn)分式方程，最終用。來(lái)表示x,再根據(jù)解為整數(shù)來(lái)確定

。的值，易錯(cuò)點(diǎn)，容易忽略對(duì)根的檢驗(yàn).

變式2.（2025?廣西九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）若關(guān)于x的方程9+1*+（2。-3汝+。-2=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根，且關(guān)

于X的方程盧-1=2的解為整數(shù)，則滿足條件的所有整數(shù)a的和是_____.

1+xx+1

【答案】2

【分析】關(guān)于一元二次獷程(a+1)x2+(2a-3)x+a-2=0利用一元二次方程的定義和判別式的意義得到aV1?7

O

且科-1,再解分式方程得到工=上7(。/-3),接著利用分式方程的解為整數(shù)得到a=0,2,-1,3,5,-3,

a-\

然后確定滿足條件的a的值，從而得到滿足條件的所有整數(shù)a的和.

【詳解】例關(guān)于x的方程(a+