河北省2025屆高三4月大聯(lián)考數(shù)學試題(新課標卷)

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中,

只有一項是符合題目要求的.

1.已知集合A/={x|lgx<l},AT={x|(x+l)(x-2)<0},則用知集=()

A.(0,2)B.(-1,2)

C.(0,1)D.(-1,10)

【答案】A

【解析】由愴工<1解得0cx<10,

由(x+l)(x-2)<0解得一1<不<2,

所以M={x[0<x<10},N={x\-1<x<2],

所以"cN={x[0<x<2},

故選：A

2.已知名/為直線，。為平面，則7〃ua,/_LQ”是的()

A,充分不必要條件B,必要不充分條件C充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】根據(jù)題意易知當/ua時，可判斷?！蓖撇怀觥?la”，如下圖：

當/_La時.，可知/垂直于平面。內(nèi)的所有直線，因此可以推出mQua,/_!_〃，

因此，勺Qua,/_La”是“/J_a”的必要不充分條件.

故選：B

3.已知復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點為尸(-1,-2),則不一的共扼復數(shù)為()

2—1

A.-iB.iC.1D.-1

【答案】B

【解析】由已知得z=-l-2i,所以z有二-l-百2iJ((-2l+-2ii))；L(2i+)i)“彳5i

其共桅復數(shù)為i.

故選：B.

4已知向量2=(1,2),b=(2,-1)?1=若(5+&〃1,則?+〃=)

A.-2B.-1C.0D.1

【答案】B

【解析】因為5=(1,2),6=(2,-1)?

所以2+右=(1+41),

因為他+楊//5，

所以一(1+4)-〃=0,解得4+〃=一1,

故選：B

5.如圖所示，-一個正四核臺的上底邊長與側(cè)棱長相等，且為下底邊長的一半,一個側(cè)面的

面積為12百，則該正四棱臺的高為()

SG

AB

A.2JIB.2C.6D.3

【答案】A

【解析】設/￡=84=Q,則43=2〃,

因為該四棱臺為正四棱臺，所以各個側(cè)面都為等腰梯形，上、下底面為正方形,

如圖1,在四邊形中，過點同作于點￡,

出?2…可,所以4人冬,

手圣甲2=12石,解得〃=4,

所以SmM

在平面4CG4中，過點4作4尸，力。于點尸，則4尸為正四棱臺的高,

則力尸=」x(8五―4&)=2及,

2

所以力尸=yjA^-AF2=V16-8=2V2,

即該正四棱臺的高為20.

故選：A.

QXY>0

6,已知函數(shù)/(x)={J的值域為R,則實數(shù)。的取值范圍為()

''-3x+a,x<0

A.[-1,+8)B.[3,+oc)

C.(-oo,-l]D,(-co,3]

【答案】A

【解析】當x>0時，e*的取值范圍是(1,+8),

注意到/'(x)=V-3x+%x00,則/'(x)=3(x-l)(x+l),xVO,

當x<—l時，/”(x)>0,當一l<x<0時，,r(x)<0,

所以/(x)在(—8,7)上單調(diào)遞增，在(一1,0)上單調(diào)遞減，

所以當x?0時，/(x)的最大值為/(—1)=。+2,

且注意到x趨于負無窮時./(x)也會趨于負無窮,

若函數(shù)/(x)=13'c的值域為R,

則當且僅當/(-1)=4+221,解得。之一1.

故選：A.

3

把③④可得：——0兀V兀，.?.。工12,故有奇數(shù)。的最大值為11.

36

|[兀

當0=11時，-----+e=4兀，kwZ,丁|85=，：.(p=.

424

此時/")=sin(llx-二)在佰，工)上不單調(diào)，不滿足題意.

當0=9時，由①/(x)=sin(9x+N)在(白號〕上單調(diào)遞減，滿足題意；

411836；

故口的最大值為9.

故選：C

8,函數(shù)/(力滿足：/a+l)=/(x)+/(x+2),若/⑴=2,八11)=3,則7(2025)=

()

A.IB.-IC.5D.-5

【答案】D

【解析】由題意可得:/(x+2)=/(x+l)-/(x),

用x+1代替X可得：/(x+3)=/(x+2)-/(x+l),

兩式相加得：/(x+3)=-/(x).

所以/(x+6)=_/(x+3)=/(x),

所以函數(shù)/(x)是以6為冏期的周期函數(shù).

所以/。1)=/'(5)=3.

又/⑸=-/⑵,所以/(2)=-3.

所以〃3)=/(2)—/⑴=—3—2=—5.

所以“2025)=.(337x6+3)=/⑶=-5.

故選：D

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有

多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0

分.

9.下列結(jié)論正確的是()

（2

A.若隨機變量X~89,-,則。（3X+l）=18

l3

B.將總體劃分為2層，通過分層隨機抽樣，得到兩層的樣本平均數(shù)和樣本方差分別為用，

,和$；，$，若耳=,，則總體方差/=L［；+S；）

C.某物理量的測量結(jié)果服從正態(tài)分布N（10,cr2）,o■越大，該物理量在一次測量中在

（9.8,10.2）的概率越大

D.已知某4個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為5,方差為3,現(xiàn)又加入一個數(shù)據(jù)5,此時這5個數(shù)據(jù)的方差

為2.4

【答案】AD

【解析】對于A,由X?B9,-,得Z）（^）=9x-x1--=2,則

D（3y+l）=32Z）（y）=18,故A正確；

對于B,由題意，總體均臂為亍=吊二元，若兩層樣本容量依次為〃1,〃，

則/="一回+叵一元）2nm、n2

s；+（亍-弓）［=------------S「+-----s~,

in+nm+nm+〃m+n”

當且僅當，〃=〃Ms?=5（s；+s；）,故B錯誤；

對于C,。越大，該物理量在一次測量中在（9.8,10.2）的概率越小，故C錯誤；

4x5+5

對于D,加入數(shù)據(jù)5后，平均數(shù)為-------=5,則這5個數(shù)據(jù)的方差為

5

-［4X3+（5-5）21=2.4,故D正確.

故選：AD.

10.已知函數(shù)/。）=/+以2—x+8，則下列說法正確的是（）

A.存在實數(shù)a,使得/*）的圖象關于點（0力）對稱

B.任意的實數(shù)a,b,函數(shù)/（x）恒有兩個極值點

C.設占,0為/*）的極值點，則一國|22

D.當a=0時,若/（〃?）=/（〃）（其中〃7<〃），則〃一〃742

【答案】ABD

【解析】對于A,當。=0時，/(x)+/(-x)=2/?,A選項正確:

對于B,7'(工)=3/+2依一1,因為4=4〃2+12〉0,所以/'(工)=3/+2G-1=0有

兩個不相等的實數(shù)根，即/(x)恒有兩個極值點，B選項正確;

2u1I?「72~~2/2+32@

對于C,易知玉I0=3，玉七=3'壓項|='(演|%2)4/占=3-3

C選項錯誤；

yy

對于D,當4=0時.，由/(〃?)=/(〃)(其中〃?<〃)可知，f7J-m+b=n-n+b^

即(m-n)(m2+mn+/?2-1)=0,所以m2+mn+?2-1=(m-n)2+3mn-1=0?

所以(加-〃)2-1=-3mn<3(一加+〃)~,

所以〃一加W2,D選項正確；

故選：ABD.

11.已知橢圓。：經(jīng)+弓_=1,F、,鳥分別為它的左右焦點，點4,8分別為它的左右頂

點，已知定點。(4,2),點尸是橢圓上的一個動點，下到結(jié)論中正確的有()

A.直線與直線尸8斜率乘積為定值

B.存在點P,使得/月陰二120“

12518

c網(wǎng)+國有最小值二

D.歸。|+|產(chǎn)片|的范圍為［2，萬,3

【答案】ACD

22

【解析】對于A,由橢圓。：上+2i=i可得Q=5J=3,c=4,則力(一5,0),8(5,0),

259

22

設尸(xj),則三十￡=1,可得》2-25=-一丁,

2599-

k.k二上.上二//2

所以%"x+5x-5X2-25_25/25,故A正確；

9）

對于B,設橢圓的上頂點為G由tan/G。。=6,可得N片。。＜60。，

b3

則/4〃乙＜120。，故B錯誤；

對于C,由橢圓的定義，可得歸用+|尸段=2〃=10,

1_L25（|明+|P周）=.26+歸25歸用）

西.西二正向十西

1^11^1）

KI25儼用3618

>—26+2=—

10IM網(wǎng)105

|PF,|25|PF|....25

當且僅當代時，即忸引=5,用=?■時等號成立,

12518

即西+的有最小值二故C正確;

4222.

對于D,因為——+—＞1,則點。在橢圓外，由

259

如圖所示，設直線?！?。工與橢圓相交于鼻￡,又￡1—4,0）,居（4,0）,

則（|圖+|P6kn=山凰+山。門加|=44+4）2+22=2而，

因為|0周=2,且|P0|+|P制=2々+儼0|-|尸引=10+|尸0|一|尸周,

可得|尸。|一|尸周引。周，即|尸。|一歸周《2,

所以（歸。|+|尸R）坨=10+\P.Q\-歸g|=10+口入卜12,

所以歸。|+歸耳性［2而,12｝故D正確.

故選：ACD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知拋物線C:/=41的焦點為產(chǎn)，點加在。上，且點M到V軸的距離為4,則

\MF\=.

【答案】5

【解析】拋物線y2=4x的準線方程為x=-l,

因為點“到J'軸的距離為4,

所以點M到準線x=-\的距離為5，

由拋物線定義可得|必日二5.

故答案為：5.

13.在V44c中，AB+AC=S,碼5sin5=3sinC,則BC=.

【答案】M

【解析】在V/4C中，月B+ZC=8,5sin5=3sinC,

由正弦定理得5〃=3c,所以青+c=8,所以得出方=3,。=5,

再應用余弦定理得力=9+25-2x3x5xcos-=19

3

則BC=M.

故答案為：J53.

14.如圖，有一個觸屏感應燈，該燈共有9個燈區(qū)，每個燈區(qū)都處于“點亮”或“熄滅”狀態(tài)，

觸按其中一個燈區(qū)，將導致該燈區(qū)及相鄰（上、下或左、右相鄰）的燈區(qū)改變狀態(tài).假設起

初所有燈區(qū)均處于“點亮”狀態(tài)，若從中隨機先后按下兩個不同燈區(qū)，則氏G燈區(qū)最終仍處

于“點亮”狀態(tài)的概率為

【合案】—

【解析】從9個燈區(qū)中隨機先后按下兩個燈區(qū)，共有Aj=72種按法.

與B相鄰的燈區(qū)為A,C,E；與G相鄰的燈區(qū)為D,H,故將9個燈區(qū)分為三類：第一類F,I

燈區(qū)，第二類A,B,C,E燈區(qū)，第三類D,G,H燈區(qū).若要使得B,G燈區(qū)最終仍處于“點亮”

狀態(tài)，則需在同類燈區(qū)中隨機先后按兩個不同燈區(qū).

①若先后按下的是F』兩人燈區(qū)，則B,G燈區(qū)最終仍處『“點亮”狀態(tài)，共有A；=2種按法;

②若先后按下的是A,B,C,E燈區(qū)中的兩個，則B,G燈區(qū)最終仍處于“點亮”狀態(tài)，共有

A；=12種按法;

③若先后按下的是D,G,H燈區(qū)中的兩個，則B,G燈區(qū)最終仍處于“點亮〃狀態(tài)，共有A；=6

種技法.故B,G燈區(qū)最終仍處于“點亮”狀態(tài)的概率為馬上^二—.

7218

故答案為：.

1O

四、解答題：本題共5小題，共77分?解答應寫出文字說明、證明過程或演算步

驟.

15.某地區(qū)課改時實行高考新方案試點，規(guī)定：語文、數(shù)學和英語是必考科目，考生還要從

物理、化學、生物、歷史、地理和政治六個科目中選取三個科目作為選考科目.為了解某校

學生選科情況，現(xiàn)從高一、高二、高三學生中各隨機選取了100名學生作為樣本進行調(diào)查，

調(diào)杳數(shù)據(jù)如下表，用頻率估計概率.

第1門第2門第3門第4門第5門第6門

選考情況

物理化學生物歷史地理政治

高一選科

807035203560

人數(shù)

高二選科

604555404060

人數(shù)

高三選科

504060404070

人數(shù)

（I）己知該校高一年級有400人，估計該學校高一年級學生中選考歷史的人數(shù);

（2）現(xiàn)采用分層抽樣的方式從樣本中隨機抽取三個年級中選擇歷史學科的5名學生組成興

趣小組，再從這人中隨機抽取2名同學參加知識問答比賽，求這2名參賽同學來自不同年級

的概率；

<3）假設三個年級選擇選考科目是相互獨立的.為了解不同年級學生對各科FI的選擇傾向，

現(xiàn)從高一、高二、高三樣本中各隨機選取1名學生進行調(diào)查，求這3名學生均選擇了第1

門科目的概率.

解：（I）由題意知，樣本中高一學生共有10（）人，其中選擇歷史學科的學生有20人，

20

故估計高一年級選歷史學科的學生有400x——=80人.

100

（2）由表格數(shù)據(jù)可知應從樣本中三個年級選歷史的學生中分別抽取人數(shù)為1,2,2,

編號依次為4,4,H，4，4，

從這5名運動員中隨機抽取2名參加比賽，所有可能的結(jié)果為

{4，42},{4,4},{4,，4},{4，4}?{4，4},{4，4},{4,4},{&4},{4,4}?

｛4,4｝,共1。種，

設力為事件”這2名參賽同學來自不同年級”,

則A為事件”這2名參賽同學來自相同年級”有｛4，4｝，｛4,4｝共2種,

所以事件A發(fā)生的概率P（A）=\-P（A）=\2__4

To-5

（3）樣本中三個年級選第一門科目的學生分別為80,60,50,

所以樣本中三個年級選第一門科目的概率分別為益=0.8,器=0.6,^=0.5,

所以現(xiàn)從高一、高二、高三樣本中各隨機選取1名學生進行調(diào)查,

則這3名學生均選擇了第1門科R的概率為尸=0.8x0.6x0.5=0.24.

16.如圖1所示，在平面圖形AEBCD中，已知AB1AD,AB//CD,

AB=2AE=2CD=2,BE=AD=B現(xiàn)在將梯形力BC。沿著48折起到空間一個新位

置使得CE=2,連接。E,得到直觀圖。。一如圖2所示.

圖1圖2

(1)求證：BE上DE；

(2)試在線段BE上求一點G,使得平面力。E與平面CDG夾角的余弦值為2叵.

17

(1)證明：取力8的中點連接

由題意可知：CD〃AM,且。。=力"=1,可知4WCO為平行四邊形，

則CM〃力。，且CA/=4Z)=百，

因為力8149,則川

又因為AB=24E=2,BE=6，則力石？+BE?=，

BPAE1BE,則/歷=,48=1,

19

且CE=2,則EA/2+CM2=CE2,即

又因為ABIEM=M,AB,EMu平面ABE,可得CML平面ABE,

且BEu平面ABE?可得CM_LBE,

由CM〃月?？傻肁D1BE,

且月Ec力。=力，4瓦4。＜=平面力。七，可得8E_L平面力OE,

由QEu平面/DE，所以

(2)解：以上為坐標原點，E氏￡4分別為M歹軸，平行于力。的直線為z軸，建立空間

直角坐標系,

則力（0,1,0）1（百,0,0）.M冬（o,C與鼻也,D（0,1,A/3）,

\/\/

設G（a,0,0）,0WQW百，

■10

可得反二KDG——1,—5/3j,

22

n-DC=—x--y=0

設平面DCG的法向量n=(xj,z),則《22

n-DG=ax-y—V3z=0

令x=也，則y=3,z=q-,可得方=（6,3,4—石卜

由題意可知：平面4OE的法向量而=(1,0,0),

I..|_|/i,/w|G2\f\lr-f-

則K°s〃制二師同二~)-----:=不=下一，解得。=9或。=±色(舍去),

1111,3+9+(〃-6)22

所以點G為線段8E的中點.

17.已知函數(shù)/(x)=xlnx一辦.

(1)當。=0時，求函數(shù)/‘(X)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若對任意x￡(U,+oc),/(x)W/+2恒成立，求實數(shù)。的取值范圍.

解：(1)當a=0時，函數(shù)/(x)=xlnx的定義域是(0.+8),/'(x)=lnx+l,

令/。)<0,得lnx+l<0,解得0cxeL故/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0」］,

eke；

令/'(x)>0,得lnx+l>0,解得x>:,故/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是

綜上，r(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是單調(diào)遞增區(qū)間是.

⑵由任意x?0,+8),/(x)Kf+2知MnxKL+.+z恒成立.

因x>0,故aNlnx-x-一，在x￡(0,+8)上恒成立.

x

設々(x)=lnx-x_2(x>0),貝一，一1+三一一&_2){K+1),

xxx"x"

令〃'(x)=0,得芯=2,.q=-l(舍去)，

當x?0,2)時，/7'(x)〉0,M》)單調(diào)遞增，

當X￡(2,+8)時，/7'(X)<O,〃(X)單調(diào)遞減，

故當x=2時，〃(x)取得極大值，也是最大值，且力(x)max=〃(2)=In2—3,

所以若a2〃(x)在x￡(0,+oc)上恒成立，則42Mx)1rax=ln2-3,

故實數(shù)a的取值范圍是［In2-3,+8).

18.已知雙曲線C:三一/=1(。>0/>0)的左，右頂點分別為4氏|/叫=4,。的右焦

點”到漸近線的距離為2后，過點b的宜線/與C的右支交于R。兩點(點。在第一象限),

直線4P與8。交于點7.

(1)求雙曲線。的方程；

(2)證明：點7在定直線上；

(3)記△7P2，Z\08的面積分別為51,星，若率=5,求直線/的方程.

?2

(1)解：雙曲線C:二一二=1的漸近線為6±‘少=0,設歹(c,0),則

a~b~

be=b=2\/3,

\Ja2+b~

2v2

而。=2,所以雙曲線C的方程為Lv—2_=i.

412

(2)證明:由(1)知，4-2,0),5(2,0),尸(4,0),直線/不垂直于y軸,設方程為工二夕+4,

X="+4、，

由「22s消去X得（3-一1）/+24伊+36=°，設°（七,凹）,。（々，必），

〔3x—歹二12

3/2-1工024/36八W3/、

[/=144（入1）＞（）'乂+%"一月'"2=月＜°'則/跖=一5（必+如，

r＜1,

3

直線力尸：y=」^（x+2）,直線40：y=^-（x-2）,

玉+2吃-2

聯(lián)立得7=平彎=碧也*=也普=一3,解得E,

"-2必仇+2,）_為+無）+2乂%一3%

所以直線AP與BQ交十點T在定直線x=1上.

g|7P||「0|sin"PTQ_17Pl\TQ\__芭-1x2-1_5

(3)解：由(2)知，方

^\TA\\TB\s\nZATB?川陽31

則（%+3）（況+3）=15,即產(chǎn)M為+3?必+%）-6=0,

于是當——罩-一6=0,解得『二?，B[J/=±1,

3/2-13/2-193

所以直線/的方程為x二士;y+4,即3x土y-12=0.

19.北宋數(shù)學家沈括博學多才，善于觀察.據(jù)說有一天，他走進一家酒館，看見一層層壘起的

酒壇，不禁想到：“怎么求這些酒壇的總數(shù)呢？"，沈括“用芻童(長方臺)法求之，常失于

數(shù)少”，他想堆積的酒壇、棋子等雖然看起來像實體，但中間是有空隙的，應該把他們看成

離散的量.經(jīng)過反復嘗試，沈括提出對上底有M