吉林省、黑龍江省六校聯(lián)考2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期7月期末考試

數(shù)學(xué)試題

一、單選題

1.若A,4為互斥事件，則

A.P(A)+P(B)<\B.P(A)+P(B)<[

C.尸(⑷十尸(6)=1D.尸(力)十尸(6)>1

2.已知銳角三角形邊長分別為4,3,x,則x的取值范圍是()

A.(1,V7)B.(L5)C.(療/)D.(>/7,5)

3.如圖，在直角梯形44。。中，AB±AD,AB//CD、AB=3,CD=l,AD=>Ji,則直角梯形的直觀圖

的面積為()

A.8B.2&C.1D.V2

4.平均數(shù)和中位數(shù)都描述了數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)，它們的大小關(guān)系和數(shù)據(jù)分布的形態(tài)有關(guān)，在下圖兩種分布形

態(tài)中，4,〃,c,d分別對(duì)應(yīng)平均數(shù)和中位數(shù)之一，則可能的對(duì)應(yīng)關(guān)系是()

A.1為中位數(shù)，力為平均數(shù)，。為平均數(shù)，d為中位數(shù)

B.。為平均數(shù)，〃為中位數(shù)，。為平均數(shù)，d為中位數(shù)

C.。為中位數(shù)，/)為平均數(shù)，。為中位數(shù)，d為平均數(shù)

D.。為平均數(shù)，b為中位數(shù)，。為中位數(shù)，d為平均數(shù)

5.空間中有兩個(gè)不同的平面。，力和兩條不同的直線孫〃，則下列說法錯(cuò)誤的是()

A.若a_L￡,〃？_La,〃_L〃，則〃

B.若a工人ac0=n，由A.n,則_L

C.若aH仇m工0，則陽_L〃

D.若〃_La,〃_L夕,〃?1a,則，〃1p

6.2024年巴黎奧運(yùn)會(huì)獎(jiǎng)牌榜前8名的金牌數(shù)依次為40,40,20,18,16,15,14,13,則這組數(shù)據(jù)的上

四分位數(shù)為（）

A.40B.30C.15D.14.5

7.類比思想是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一種重要的思想方法，是指依據(jù)兩類數(shù)學(xué)對(duì)象的相似性，將已知的一類數(shù)學(xué)對(duì)象

的性質(zhì)遷移到另一類數(shù)學(xué)對(duì)象上去的一種思維方法.在平面幾何中，有如下命題“正三角形48c的高為〃。

是VjBC內(nèi)任意一點(diǎn),O到三邊的距離分別為4,W，4,則為定值，，.證明如F：設(shè)正三角形片8。

r

邊長為明高表。到三邊的距離分別4也,4,則：S.AOB+S.BOC+S.8尸S.A耽,即:

Ladi+Lad2+Ladi=yaht化簡得，4+4+出=〃，...4jq±4.=i（定值）.類比此命題及證明方法，

在立體幾何中可解決以下問題，正四面體P-/8C中，AB=6,若點(diǎn)M是正四面體尸內(nèi)任意一點(diǎn)，

點(diǎn)”到平面平面F/13,平面〃8C,平面zlPC的距離分別為4，4,出，同，則4|外|出|4=<）

A.272B.2GC.2加D.276

8.某班準(zhǔn)備從全班50人中選一人參加學(xué)?；顒?dòng)，投票結(jié)果甲乙丙三人票數(shù)并列第一，現(xiàn)決定抽簽的方式

在甲乙丙中確定最終人選，抽簽規(guī)則如下，班主任擲骰子確定三人抽簽順序，拋擲一枚均勻的骰子，每個(gè)

點(diǎn)數(shù)對(duì)應(yīng)一種抽簽順序，然后甲乙丙按照相應(yīng)順序依次從裝有大小形狀完全相同的兩白一紅三個(gè)小球的盒

子里不放回的各自取一球，取到紅球即勝出，則甲勝出的概率為（）

A.—■B.——C.D.—

35015018

二、多選題

9.設(shè)復(fù)數(shù)z=^+且"其中i是虛數(shù)單位，』是z的共輛復(fù)數(shù)，下列判斷中正確的是（）

22

A.zz=\B.4z>z4-iC.z2=1D.|z|'=1

10.以下敘述不正確的是（）

A.若事件48,C兩兩獨(dú)立，則P（4BC）=P（/）P（B）P（C）

B.若P（/8C）=P（/）P（B）P（C）,則事件48c兩兩獨(dú)立

C.若尸（4+8+C）=P（4）+P（8）+P（C）,則事件4民。兩兩互斥

D.若事件48,。兩兩互斥，則.（>+5+C）=尸（4）+尸（8）+.（C）

II.已知平面直角坐標(biāo)系中三個(gè)點(diǎn)，4（T6）1（0,則下列說法正確的是（）

A.若四邊形力比'。為平行四邊形，則。點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0)

B.以A為圓心，作一個(gè)半徑為1的圓，點(diǎn)尸為該圓上的任意一點(diǎn)，次=2焉+〃萬，若2+〃為正值,

則2+〃的最小值為4

C.若荏與刀+/〃工的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)，〃的取值范圍為(T,e)

D.與力48c的角平分線所在直線平行的一個(gè)向量的坐標(biāo)為(G-1,6+1)

三、填空題

12.如圖，四個(gè)邊長均相等的等邊三角形有一條邊在同一條直線上，邊名G上有10個(gè)不同的點(diǎn)，

片記…/。，記網(wǎng)=甌?而(i=L2,3,…,10),若網(wǎng)+嗎+…+陽=540,則等邊三角形的邊長為,

13.甲乙兩人玩猜數(shù)字游戲，先由中心中想一個(gè)數(shù)字，記為。，再由乙猜甲剛才所想的數(shù)字，把乙猜的數(shù)字

記為人其中。力€{1,2,3,4,5,6},若|”人歸1,就稱甲乙“心有靈犀現(xiàn)任意找兩人玩這個(gè)游戲，則他們“心

有靈犀”的概率為.

14.如圖，在直角梯形力4c。中，AB〃CD,AB工BC,AB=2CD=2,4D=6,以6C邊所在的直線為軸，

其余三邊旋轉(zhuǎn)一周所形成的面圍成一個(gè)幾何體.一只螞蟻在形成的幾何體上從點(diǎn)A繞著幾何體的側(cè)面爬行

一周回到點(diǎn)A,則螞蟻爬行的最短路程為.

15.為了了解某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品情況，從該工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取了一個(gè)容量為400的樣本，測量它

們的尺寸(單位：mm),并將數(shù)據(jù)分為[92,94),[94,96),[96,98),[98,100),[100,102),[102,104),[104,106]七組,

其頻率分布直方圖如圖所示.

⑴若V/8C的面積為86，且8為銳角，求4C的長度.

(2)試問2cos8-cos。是否為定值？若是，求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說明理由，

(3)求四邊形力8c。面積的最大值.

18.如圖，在四棱錐〃-48c。中，平面力8CO,底面/8CO為梯形，BC//AD,平面平面

(1)若平面04c與平面相交于直線/,求證：BC//1；

(2)求/與力C所成的角；

(3)求二面角C-尸。-力的余弦值.

19.法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬在給意大利數(shù)學(xué)家托里拆利的一封信中提到“費(fèi)馬點(diǎn)”，即平面內(nèi)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離

之和最小的點(diǎn).托里拆利確定費(fèi)馬點(diǎn)的方法如下：

①當(dāng)V/l8c三個(gè)內(nèi)角均小于120"時(shí)，滿足NAOB=4B0C=ZCOA=120°的點(diǎn)。為費(fèi)馬點(diǎn)；

②當(dāng)V/i8c有一個(gè)內(nèi)角大于或等于120：時(shí)，最大內(nèi)角的頂點(diǎn)為費(fèi)馬點(diǎn).

請(qǐng)用以上知識(shí)解決下面的問題：

已知V力4c的內(nèi)角A、B、。所對(duì)的邊分別為。、b、c,點(diǎn)M為Y4BC的費(fèi)馬點(diǎn),。=1且

sinB=sinC=cos5sinJ

(1)求角C;

⑵求礪?礪+麗?沅+礪而；

(3)已知在V/13C中，若點(diǎn)，為V49C平面上任意一點(diǎn)，求府-兩+|9-園+廊-祠的最小值.

題號(hào)12345678910

答案BDCABBDAAEAB

題號(hào)11

答案BI)

1.B

【詳解】因?yàn)锳,B互斥，但A,B不定對(duì)立，所以P(/)iP(0G

2.D

根據(jù)已知，利用三角形三邊關(guān)系及余弦邊角關(guān)系列不等式求邊長的范圍.

【詳解】由三角形三邊關(guān)系有l(wèi)<x<7,又三角形為銳角三角形，

若x<4,則/+9>16,可得x>",即不<x<4,

若壯4,則好+舒〉,/,可得》<5,即4Vx<5,

綜上，y/l<X<5.

故選：D

3.C

根據(jù)己知求原圖的面積，再由斜二測畫法中原圖與直觀圖面積關(guān)系求結(jié)果.

【洋解】由題設(shè)S.m=gx/Ox(CQ+48)=2^,

由SA，B6=^SABCD=乎、2&=1.

故選：C

4.A

在頻率分布直方圖中，中位數(shù)兩側(cè)小矩形的面積相等，平均數(shù)是每組頻率的中間值乘頻數(shù)再柞加之和，由

此能求出結(jié)果.

【詳解】解：在頻率分布直方圖中，

中位數(shù)兩側(cè)小矩形的面積相等，

平均數(shù)是每組頻率的中間值乘頻數(shù)再相加之和，

結(jié)合兩個(gè)頻率分布直方圖得：

。為中位數(shù)，%為平均數(shù)，。為平均數(shù)，d為中位數(shù).

故選；A.

5.B

根據(jù)各項(xiàng)線線、線面、面面的位置關(guān)系，結(jié)合平面的基本性質(zhì)判斷各項(xiàng)的正誤.

【詳解】A：由a_LP，〃?_La,則〃或mu/?,又〃_L夕，貝!〃?_L〃，對(duì)；

B：由=，則〃?,僅平行或相交(不一定垂直)，錯(cuò)；

C：由a//,〃?。tml/,又〃//,則必有/?_!_〃,對(duì)；

D：由〃_La,〃?_La,則〃?〃〃，又〃_1_尸，Ijlijm1fl,對(duì).

故選：B

6.B

運(yùn)用百分位數(shù)的求法求這組數(shù)據(jù)的.上四分位數(shù)即可.

【詳解】由題設(shè)，數(shù)據(jù)從小到大為13,14,15,16,18,20,40,40,且8x75%=6,

所以數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)為失”=30.

故選：B

7.D

根據(jù)題設(shè)，應(yīng)用等體積法有/T8C=囁Y8C+囁如8+匕f8c+%YPC，結(jié)合棱錐的體積公式列方程，即可

得.

【詳解】

如圖，正四面體P-48C的棱長為6,設(shè)點(diǎn)，為點(diǎn)尸在底面48C上的射影，

連接C”并延長交48于點(diǎn)￡,連接尸￡,則在1=比=且、6=36，EH=WcE=&

23

故正四面體的高為尸H=JPE2一52="3一=2而，且各側(cè)面的面積為S=gx6x3豆=96,

由^P-ABC=^M-ABC+^M-PAB+^M-PBC+^M-APC?可得,'9月X2娓=—X9yHX(4+%+4+4),

JJ

解得4+4+4+〃4=2#.

故選:D

8.A

根據(jù)已知分析得到不同抽簽順序下甲勝Hl的概率，法■：應(yīng)用獨(dú)立事件乘法公式、互斥事件加法求概率：

法二：利用二項(xiàng)分布以6,工)，利用二項(xiàng)分布期望求法求甲勝出的概率均值，即可得.

IO

【詳解】由題意，抽簽順序有6種可能，分別為｛甲乙丙｝、｛甲丙乙｝、｛乙甲丙｝、｛乙丙甲｝、｛丙甲乙

｝、｛丙乙甲｝，各情況出現(xiàn)概率為:，

對(duì)于｛甲乙丙｝、｛甲丙乙｝兩種情況，此時(shí)甲勝出的概率為g,

211

對(duì)干｛乙甲丙｝、｛丙甲乙｝兩種情況，此時(shí)甲勝出的概率為三乂彳=可，

D乙D

對(duì)于｛乙丙甲｝、｛丙乙甲｝兩種情況，此時(shí)甲勝出的概率為:x：xl=；,

法一：甲勝出的概率為，xL+，x1+，x，+Lx，+，x，+，x』二J：

6363636363633

法二：無論哪種情況甲勝出的概率為白，故甲勝出服從8(6,±),則甲勝出的概率均值為6x《=；

1o1oIX3

故選：A

9.AD

由共扼復(fù)數(shù)的定義及復(fù)數(shù)的性質(zhì)及乘法運(yùn)算判斷各項(xiàng)的正誤即可.

【詳解】由題設(shè)彳=；一等"則［=g+￥i)(；-等i)=l,A對(duì)；

由4z=2+2&i,z+地i=』+2"i,而復(fù)數(shù)不能比較大小，B錯(cuò)；

22

由/=(_!_+正產(chǎn)=」+且"C錯(cuò)；

2222

由忖2=j+*“2=i,口對(duì).

故選：AD

10.AB

利用前提舉反例，結(jié)合獨(dú)立事件的判定判斷A、B；由概率的性質(zhì)及事件的運(yùn)算、互斥事件定義判斷C、D.

【詳解】A：若事件48,。兩兩獨(dú)立，則尸(/獨(dú)=尸(冷尸⑻,P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),

拋兩次硬幣，上第一次正面，8:第二次正面，C:兩次結(jié)果相同，

所以P(4=P(8)=P(C)=：,PG4B)=PQC)=P(BC)=!，顯然滿足前提，

24

ffuP(JBC)=l,此時(shí)P(4)P(8)P(C)=",不滿足P(4紇)=P(,4)P")P(C),即A錯(cuò)；

B：對(duì)于樣本空間{123,4,5,6,7,8},若4={1,2,3,4},8={1,3,4,5},C={1,6,7,8},則48c={1},

所以P(4)=P(8)=P(C)=1且P(4BC)=；,此時(shí)滿足P(川?C)=P(/1)P(8)P(C),

2o

但,4C={1},即P(/C)=4,顯然P(/C)/PQ)P(C),顯然4c不相互獨(dú)立，即B錯(cuò)；

O

C：若P(N+8+C)=P(4)+P(/?)+P(C),而

P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AC)-P(AB)-P(BC)+P(ABC)t

所以P(ABC)=P(AC)+P(A8)+P(BC),

必有P(ABC)=P(AC)=P(4B)=P(BC)=0,即事件4民C兩兩互斥時(shí)成立，即C對(duì)；

D：若事件48,。兩兩互斥，必有尸(4+8+。)=尸(4)+P(8)+P(C),即D對(duì).

故選：AB

II.BD

A應(yīng)用向量相等的坐標(biāo)表示求得0(2,26)即可判斷；B令井(cosJ-Lsin夕+6),則/=(cos,$in。)，且

4+〃cos9=4

04。＜2兀，根據(jù)已知得〈廠，八，進(jìn)而有

-j3/i+〃sing=0

2^3tan2—

4(百+sin。)由zl+〃＞0得或?qū)W＜曰＜兀，即可判斷:

=4x(1+--------------------------

sinO+VJcosOV3+2tan--V3tan2-2362

22

C根據(jù)已知得)耳?()》+〃［沅)=4(1+/〃)＞0且1+4〃7Hl即可判斷；D根據(jù)已知求得反5,后6對(duì)應(yīng)的單位向量

分別為(一界，停，；，進(jìn)而得到與48C的角平分線所在直線平行的一個(gè)向量為與士與即可

\/\/7

判斷.

【詳解】A：由題設(shè)方^=了3=(1,一6)，設(shè)Q(XJ)，貝IJ(3-x,6-y)=(l,—JJ),

所以x=2,y=2百，故。(2,2百)，錯(cuò)；

B：由題設(shè)，P(cos^-l,sin^+73)?則方=(cos。,sin8),且04。＜2兀，

______%+〃cos0=4

乂4C=/M8+〃4尸，所以(4.0)=〃1,—6)+〃(cose,sin。)，貝〃r八

-V3A+//sin^=0

〃_2百

所以4-i”耳sin。，即"好+72冬則”嬴嗎

=人=-^sinO=2sin。

而V3sin(0+§，則

2(JJ+sin。)4(V3+sin9)4(V3cos2—+V3sin2—+2sin—cos—)V3+2tan-+V3tan2-

A+//--------7=--------------2222_4x________2_________2

sine+>/3cos。r-aLf)

sin(^+y)2sin-cos-+石cos2--V3sin2-V3+2tan——V3tan"—

222222

25*

=4x(1+),

,^3+2tan——y/3tan'—

22

由幾十〃>0,只需sine+6cose=2sinQ+三)>0,即sin(0+工)>0,

33

又;<夕+々<與，則或2兀<夕+]<弓，可得或曰<夕<2兀，

所以0工4<1?或~7~<g<兀，若tan4=0,則義+〃=4,

23622

令工=tan號(hào)工0,則x=tan?e(一走,0)U(0,6),故Le(-00,-石)U(巫,+8),

223X3

2瓜222

22>0,即2+〃>4,

所以VV3+2x-V3xJ_+_?__]（1+_L）

X，瓜（Xb）3

綜上，義+〃的最小值為4,對(duì)；

C：由題設(shè)荏=（1,一百），衣=（4,0）,則方+加衣=（1+4%一方），

所以7瓦(74+〃?/IC)=1+4〃?+3=4(1+〃?)，~AB與+的夾角為銳角，

所以4（1+?。?且1+4加工1,可得，〃＞一1且加工0,錯(cuò);

?對(duì)應(yīng)的單位向量分別為-;，絡(luò)—―

D：由題設(shè)限沅=（3,右）

乙乙2'2'

所以與N43C的角平分線所在直線平行的?個(gè)向量為

顯然向展（石-1,6+1共線，對(duì).

故選：BD

12.3

建立平面直角坐標(biāo)系，求出直線4G的方程，將月(七,乃)代入直線的方程，并用向量的坐標(biāo)表示出

成=福-麗(，=123/-,10),和上式聯(lián)立，即可得出叫，最后求出等邊三角形的邊長.

【詳解】設(shè)等邊三角形邊長為4,以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，4G所在直線為X軸建立平面直角坐標(biāo)系,

則8,(即，,M=(—,，54(—,，G(4〃,0),

'222

0—叵

直線84cl的斜率為：----^―=-73，方程為：y=-\f3(x-4a)-

4a--

2

設(shè)月(七,乃)，因?yàn)椋?孫乂)在44c上，所以X=-6區(qū)-4a),

且力”=(七,必)，依題意，

成=麗?亞=(言,孚)-(4乂)=￡玉+學(xué)乂=￡%+學(xué)［一、萬(七一4叫=6/(/=1,2,3,110)，所以

供+恤+…+町o=6/xl0=540,解得。=3(負(fù)的舍去)，即等邊三角形的邊長為3.

?

x

故答案為：3.

3?

根據(jù)已知確定所有可能情況，再列舉出|。-耳41的對(duì)應(yīng)情況，應(yīng)用古典概型的概率求法求概率.

【詳解】由題設(shè)，所有可能的有序數(shù)對(duì)S*)共有6x6=36個(gè)，

而卜-/)歸1的情況有

(1,1),(1,2),(2』),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3),(3,4),(4,3),(4,4),(4,5),(5,4),(5,5),(5,6),(6,5),(6,6),共有16個(gè),

所以任意找兩人玩這個(gè)游戲，他們“心有靈犀”的概率為916=:4；.

369

4

故答案為:9

14.12

根據(jù)已知幾何體是母線長為6,上下底面半徑分別為1,2的圓臺(tái)，其側(cè)面展開圖為圓環(huán)的一部分，將其補(bǔ)為

圓銖并將側(cè)面展開，即可求螞蟻爬行的最短路程.

【詳解】由題意，幾何體是母線長為6,上下底面半徑分別為1,2的圓臺(tái)，其側(cè)面展開圖為圓環(huán)的一部分,

所以，可將幾何體補(bǔ)為母線長為12,底面半徑為2的圓錐，再將其側(cè)面展開如下圖示，

A'

所以圓環(huán)的一部分4QQW,即為圓臺(tái)的側(cè)面展開圖，而4OH=衰=:，

所以為等邊三角形，故螞蟻爬行的最短路程為線段加=12.

故答案為：12

15.（l）x=0.12；

（292件：

（3）均值、方差分別為94、

6

（1）利用頻率和為1列方程求參數(shù)值：

（2）根據(jù)直方圖估計(jì)400件樣本中尺寸在［98』00）內(nèi)的樣本數(shù)即可；

（3）利用分層抽樣中各層樣本與總體均值、方差間的關(guān)系求總為的均值和方差.

【詳解】（1）由圖知（0.02+0.04+x+0.09+0.1+0.07+0.06）x2=l,可得x=0.12；

（2）由圖知400件樣本中尺寸在［98,100）內(nèi)的樣本數(shù)為400x0.09x2=72件；

（3）由分層抽樣的等比例性質(zhì)，第一、二組抽取數(shù)據(jù)分別為4、8個(gè)，

所以抽出數(shù)據(jù)的均值為4x93*+8x945=94,

抽出數(shù)據(jù)的方差為分的1+（93-94）［+8x［2+（94.5-94）［｝=*

16.（1）證明見解析

（2）①證明見解析；@8

（1）由勾股定理得由面面垂直的性質(zhì)定理可得8CJLCO,再由線面垂直的判定定理即可證明;

（2）①利用面面垂直的性質(zhì)定理及線面垂直的性質(zhì)定理可得CD//E/7,再由即可證明；②根據(jù)

線面垂直判定定理可得481平面將多面體分成2個(gè)四棱錐，再根據(jù)錐體的體積公式求解即可.

【詳解】（1）證明：因?yàn)锳B=&AC=6BC，

所以/82=力？+8。2,所以/C_LBC.

因?yàn)槠矫鍭CD_L平面ABC,且平面4COD平面ABC=AC,BCu平面ABC,

所以5C_L平面力CO.

因?yàn)镃Ou平面48,所以8cle'Q.

因?yàn)镃O_L48,

/Bu平面48C,8Cu平面/8C,且｛BcBC=B,

所以CO_L平面48C.

(2)①證明：因?yàn)?E=8E,且尸為線段48的中點(diǎn)，所以EFJ.力反

因?yàn)槠矫媪?C_L平面48E,且平面/BCD平面月EFu平面48石,

所以EF_L平面/18C.

所以Eb_LC/，

由(1)可知COJ_平面力8C,則CD//EF,CDLCF,

因?yàn)?1E=Ji5,AF=^AB=2,且EFA.4B,所以七尸=一AF?=3?

因?yàn)?。?3,所以四邊形COE尸是矩形.

②解：因?yàn)锳C=8。，且尸為線段44的中點(diǎn)，所以C48,

由①知上/_L/I8,

因?yàn)镋/u平面COE/Lbu平面CZ)￡7"且所口仃二尸，

所以力〃平面CQE/7,

由①知￡"=3,

因?yàn)?C=2五，AF=^AB=2,所以C〃=J/C?-月尸=2.

則四棱錐力—COE"的體積匕="x2x3x2=4.

故多面體ABCDE的體積/=2匕=8.

17.(1)6：

(2)是，2cosB-cosO=l：

⑶24日

(1)利用三角形面積公式列方程得sinA=4i,再由平方關(guān)系及余弦定理求邊長即可；

3

(2)應(yīng)用余弦定理得cos￡)=’2彳。，=——任進(jìn)而計(jì)算2cos8-cos。，即可得結(jié)論；

48cos96

(3)由題設(shè)可得四邊形面積S=12(sinD+2sin8),令〃i=sinO+2sin4>0,結(jié)合(2)結(jié)論并應(yīng)用平方關(guān)

系、和角余弦公式得〃?2+1=5-48s(8+。)，根據(jù)余弦函數(shù)性質(zhì)求陽最大值，即可得.

【詳解】(1)由題設(shè)148-8Csin8=8石，又80=8,48=6,可得sin8=@,

23

2_______________________________

又8為銳角，則cos8=§,^LAC=yJAB2+BC2-2AB-BCcosB=>/36+64-64=6：

小的n八AD2+CD2-AC20AB、BC?-AC?

(2)由題設(shè)cosQ=----------------------,cos5=----------------------

2ADCD2ABBC

6100-^C2

又BC=2CD=8、AB=AD=6,貝(cos。三:、一一，cos13--------------

4896

所以2cos8_cosQ=2J00''C_52一,4C一二］,為定值;

9648

由

(3)S=SA/I,LcLn/+Sa/i,O?Lr=-2AD2CDsinD+—ABBCs'\nB=I2(sin￡>+2sinB),

令陽=sinQ+2sin6〉0,則〃/=sin2Z)+4sin28+4sin8sinO，

X2cos-cos￡)=1,貝ij1=cos?Z)+4COS28—4cos8COS。?

所以〃/+i=5—4cos(6+￡>),

當(dāng)cos(8+Q)=-l,即8+。=兀時(shí)，最大〃J+i=9,此時(shí)“a=2/，

所以四邊形ABCD面積的最大值S=12x2>/2=24&?

18.(1)證明見解析

(喘

(3)y

(1)證明出BCH平面PAD,再利用線面平行的性質(zhì)可證得結(jié)論成立；

(2)證明出8C_L/18,可得出V4AC的形狀，由異面直線所成角的定義可知/與4C所成的角為N/CB或

其補(bǔ)角，即可得解;

(3)取力￡>的中點(diǎn)0,連接C。，過O作0E上PD于E,連接底，根據(jù)線面垂直的判定和性質(zhì)定理及二面

角的定義有N0EC是二面角C-尸D-4的平面角，進(jìn)而求其余弦值.

【詳解】（1）因?yàn)锽C//4。，BCu平面P4）,4）u平面口。，所以AC〃平面產(chǎn)力

因?yàn)锽Cu平面「8C,平面尸8CD平面P力。=/,故〃/8C.

（2）過點(diǎn)A在平面產(chǎn)內(nèi)作力〃_1尸4,垂足為點(diǎn)〃，如下圖所示：

因?yàn)槠矫娈a(chǎn)力8"L平面P8C,平面218c平面AHu平面P力B,

AH1.PB,故平面P8C,

因?yàn)?Cu平面28C,所以4〃_L8C,

因?yàn)槠矫媪?C。，4Cu平面48CQ,所以4。_1_尸力，

因?yàn)樵?n/〃=4,PA、