第三章《函數(shù)概念與性質(zhì)》

3.1函數(shù)的概念及其表示

【知識(shí)梳理】

知識(shí)點(diǎn)一函數(shù)的有關(guān)概念

設(shè)A，8是非空的實(shí)數(shù)集，如果對(duì)于集合A中任意一個(gè)數(shù)工，按照某種確

函數(shù)的定義定的對(duì)應(yīng)關(guān)系/,在集合B中都有唯一確定的數(shù))，和它對(duì)應(yīng)，那么就稱

A-B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)

函數(shù)的記法y=/U),

定義域x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域

值域函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域

知識(shí)點(diǎn)二同一個(gè)函數(shù)

一般地，函數(shù)有三個(gè)要素：定義域，對(duì)應(yīng)關(guān)系與值域.如果兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，并且對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一

致，我們就稱這兩個(gè)函數(shù)是同一個(gè)函數(shù).

特別提醒：兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系相同就決定了這兩個(gè)函數(shù)的值域也相同.

知識(shí)點(diǎn)三區(qū)間

I.區(qū)間概念3，b為實(shí)數(shù),且a<b)

定義名稱符號(hào)數(shù)軸表示

{x|aWxWZ?}閉區(qū)間[小b]abx

開區(qū)間3，b)abx

{x\a^x<b}半開半閉區(qū)間M，b)ahx

3。<￥&外半開半閉區(qū)間S，勿abx

2.其他區(qū)間的表示

定義RW2}{x\x^a]{x|x<?}

(—8,4-00)

區(qū)間[a,+0°)(a,+8)(—8,a](-8,a)

知識(shí)點(diǎn)四函數(shù)的表示方法

解析法H就是用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個(gè)變成之間的對(duì)蔽素

知識(shí)點(diǎn)五分段函數(shù)

1.一般地，分段函數(shù)就是在函數(shù)定義域內(nèi)，對(duì)于自變量X的不同取值范圍，有著不同的對(duì)應(yīng)關(guān)系的函數(shù).

2.分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)，其定義域、值域分別是各段函數(shù)的定義域、值域的并集：

各段函數(shù)的定義域的交集是空集.

3.作分段函數(shù)圖象時(shí)，應(yīng)分別作出每一段的圖象.

【基礎(chǔ)自測(cè)】

1.若函數(shù)yu）=aF—1,。為一個(gè)正數(shù)，且用（一1））=-1,那么〃的值是（）

A.1B.0C.-1D.2

2.已知函數(shù)#2x+l）=6x+5,則JU）的解析式是（）

A.y（x）=3x+2B.凡r）=3x+l

C.fix）=3x~1D.於）=3X+4

4.函數(shù)的定義域用區(qū)間表示為

〃一3,10,

5.已知人〃)=則幽=________

人〃+5),〃<10,

【例題詳解】

一、函數(shù)關(guān)系的判斷

例I(1)下列各式中，表示了是x的函數(shù)的有()

g/I--------I------[x-l,x<0為有理數(shù)

①)，”(x-3)：②〉，=Q+E；③HL；④片/為無(wú)理數(shù)

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

⑵設(shè)例={x|0W*W4},N={)，|TWyW0},函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镸,值域?yàn)镹,則/(x)的圖象可以是

跟蹤訓(xùn)練1下列對(duì)應(yīng)中：

(1)其中y=2x+l,xe{l,2,3,4},ye{x|x<10,xe/V}；

(2)x-丁，其中V=x,xe[0,+oc),yeR；

(3)xf)，，其中)，為不大于x的最大整數(shù)，xwR,yeZ；

(4)其中y=x-l,xeN*，y^N*.

其中，是函數(shù)的是()

A.(1)(2)B.(1)(3)C.(2)(3)D.(3)(4)

二、求函數(shù)的定義域、函數(shù)值

命題角度I求函數(shù)的定義域

A.-4B.-2C.2D.0

三、同一個(gè)函數(shù)的判定

例4(I)下列四組函數(shù)，表示同一函數(shù)的是()

“\I、x+l,x>—I

A.7(x)=|x+l|,g("=1I”]

-A-<一1

B./(x)=Vx7,g(x)=x

C/(x)=x,g(x)=一

X

D./(%)=&-4,g(x)=\lx+27x-2

跟蹤訓(xùn)練4和函數(shù)/(幻=/是同一函數(shù)的是()

A./(x)=(x+l)2B.f(x)=x-EC.f(x)=—D./(%)={-必，(XV。)

X

四、求函數(shù)解析式

命題角度1換元法

例5(1)已知=則f(x)=_______________

⑵若函數(shù)/(言￡|=-則〃力=

跟蹤訓(xùn)練5⑴已知/g卜金，求/("=

(2)已知/(X+1)=2W+3X+2,求/⑶的解析式.

命題角度2配湊法

例6(1)若/(&+1)=工+26，則/(x)的解析式為()

A.f(x)=x2-xB./(^)=x2-l(x>0)

C.f(x)=x2-l(.r>1)D.f(x)=x2+x

⑵已知/(x+gxd+g,則/("=.

(3)已知/(x--)=x2+-V,則f(x+-)=.

Xx~X

跟蹤訓(xùn)練6(1)已知/(x+：)=x?+*,求/(x).

(2)已知f(Hl)=0+！，求/⑶的解析式.

XX*X

命題角度3待定系數(shù)法

例7⑴已知/(x)是一次函數(shù)，且滿足3f(工+1)-2f(x—l)=2x+17,求/(工).

(2)已知/⑴是二次函數(shù)，且滿足/(0)=1,/(A+1)-/(A)=2A-,求/Ct)解析式.

跟蹤訓(xùn)練7⑴已知“力是一次函數(shù)，且3)=3x—2,求眉(x).

⑵已知一次函數(shù)“X)滿足3/(工+1)-2/(2力=-34+7,求函數(shù)〃力的解析式.

(3)已知，。)是二次函數(shù),且滿足f(0)=lJ(x+D=f(x)+2x,求函數(shù)/(幻的解析式.

⑵已知/(力滿足2/(x)+/(r)=3x,求/("的解析式.

跟蹤訓(xùn)練8⑴已知2/(1)+/卜：)=2x+l,求函數(shù)/(%)的解析式.

⑵已知/U)+2/(-x)=x2-x,求函數(shù)f(x)的解析式.

五、函數(shù)的圖象

例9作出下列函數(shù)的圖象.

(1)y=1-x(xe{-2,-1,0,1,2))；

c2x+l

(2)y=--；

x-1

(3)y=|x2-2x|+l.

-,x>2

(4)已知函數(shù)/(%)=?x

x2-3,x<2

(i)在所給坐標(biāo)系中作出y=/(.r)的簡(jiǎn)圖;

(ii)解不等式/(“＜；.

跟蹤訓(xùn)練9作出函數(shù)/(x)=U+2|—|x-5|的圖像.

六、分段函數(shù)求值

.、fx2-l,x<0.、

例10⑴已知函數(shù)/("=r,若/(。)=3,a的值為()

[yJX,X>0

A.6B.2C.9D.-2或9

x+2,x<1

⑵已知函數(shù)/(x)的解析式/Cv)=-X2,1<X<2,

2x,x>2

⑴求山加

(小若/(。)=2，求4的值;

y-1〃

跟蹤訓(xùn)練10⑴已知函數(shù)/(1)=，若/[/(T)]=4,且〃>一1,則〃=()

49人hU.

A.--B.0C.1D.2

2

2x+3,x<-\

⑵已知函數(shù)/(力=，/+1.-1*"1.

1H-,X>1

.X

(i)求/(/(一2))的值；

(ii)若/(廝)=5，求/的值.

七、解分段函數(shù)不等式

例II⑴已知/(x)=[-f+2%，轉(zhuǎn)0,滿足/⑷</(_〃)，則。的取值范圍是()

[x-+2x,x<0

A.(-oo,-2)J(0,2)B.(y,-2)D(2,M)

C.(-2,0)50,2)D.(-2,0)U(2,+oc)

⑵設(shè)函數(shù)〃x)=若則。的取值范圍為______

x^.x>a.

—r+2,xK1,

跟蹤訓(xùn)練11(1)己知函數(shù)/")=I，則使得了")之1的x的取值范圍為()

r+——I,r>I,

x

A.[-1,1]B.C.(-1,-Kc)D.

⑵已知函數(shù)/(?=則滿足不等式/(〃)</S+l)的〃的取值范圍是___________.

2.t—3,x21

八、分段函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

例12某企業(yè)投資生產(chǎn)一批新型機(jī)器，其中年固定成本為2000萬(wàn)元，每生產(chǎn)MxwN)百臺(tái)，需另投入生

產(chǎn)成本我(“萬(wàn)元.當(dāng)年產(chǎn)量不足46百臺(tái)時(shí)，7?(1)=3/+260占當(dāng)年產(chǎn)量不小于46百臺(tái)時(shí)，

490()

雙耳=5()我+一菊-483().若每臺(tái)設(shè)備售價(jià)5萬(wàn)元,通過市場(chǎng)分析，該企業(yè)生產(chǎn)的這批機(jī)器能全部銷售完.

⑴求該企業(yè)投資生產(chǎn)這批新型機(jī)器的年利潤(rùn)所W(x)(萬(wàn)元)關(guān)于年產(chǎn)量x(百臺(tái))的函數(shù)關(guān)系式(利潤(rùn)=

銷售額一成本)；

(2)這批新型機(jī)器年產(chǎn)量為多少百臺(tái)時(shí)，該企業(yè)所獲利潤(rùn)最大？并求出最大利潤(rùn).

跟蹤訓(xùn)練12電子1生產(chǎn)某電(兀件的固定成本是4萬(wàn)兀，每生產(chǎn)x萬(wàn)件該電子兀件，需另投入成本/(.r)

-X2+3X-Z0<X<4,

萬(wàn)元，且/(幻=廠已知該電子元件每件的售價(jià)為8元，且該電子加工廠每月生產(chǎn)的這

(yd.

9.r+---38,4〈工420.

x

種電子元件能全部售完.

⑴求該電子廠這種電子元件的利潤(rùn))'(萬(wàn)元)與生產(chǎn)量X(萬(wàn)件)的函數(shù)關(guān)系式；

(2)求該電子廠這種電子元件利潤(rùn)的最大值.

【課堂鞏固】

2.(多選)下列對(duì)應(yīng)關(guān)系/,能構(gòu)成從集合M到集合/V的函數(shù)的是()

13](\\(3、

A."=《』,；，7V={-6-3,1},f-=-6,/(1)=-3,/-=1

B.M=^={x|x>-l},/(%)=2x4-1

C.M=N={1,2,3},f(x)=2x+l

-l,x為奇數(shù),

D.M=Z,N={fl},/(x)=<

1/為偶數(shù).

3.若函數(shù)/（同=氏7+后"則函數(shù)/（/-i）的定義域?yàn)椋ǎ?/p>

A.（0,2）B.[-2,0）U（0,2]C.[-2,2]D.[0,2]

4.（多選）下列各組函數(shù)中，兩個(gè)函數(shù)是同一函數(shù)的有（）

A./（x）=x與g（x）=V?

B./（x）=x+l與&（4）==

C.〃x)=兇與g(x)=l,x>0

X-l,x<0

D./(￡)="i|與g(x)=kT

r"—4x+6x>()

5.已知函數(shù)/("=,二一，則不等式/(x)>3的解集是()

x+6,x<0

A.(-3,l)U(3,+co)B.(^o,-l)U(2,3|

C.(-1,1)^(3,+a))D.(^?,-3)(J(l,3|

6.(多選)下列選項(xiàng)中正確的有()

A./(x)=V-2x+l與g(t)=r-2t+\是同一函數(shù)

B./*)=⑷與=表示同一函數(shù)

C.函數(shù)y=/(x)的圖象與直線x=2的交點(diǎn)最多有1個(gè)

D.若/(x)=|x|—|x—l|,則

I\J)

x+5.x<-l

7.(多選)已知函數(shù)?關(guān)于函數(shù)/。)的結(jié)論正確的是()

x<2

A./(x)的定義域?yàn)镽B./(x)的值域?yàn)?Y>,4)

C./(-D=lD.若/。)=3,則工的值是G

3x+5,x<0,

8.(多選)已知函數(shù)/("={1若〃〃a))=2,則實(shí)數(shù)。的值為()

XH—,X>0,

X

4

A.-2B.——C.-1D.1

3

9.求函數(shù)f(x)二筆L的定義域?yàn)開______________________

4+2

10.己知函數(shù)/(x)是一次函數(shù)且/(/(x))+2/(x)=r-2,則函數(shù)/(X)的解析式為

11.若-/+則〃0)-八)----------

12.已知/(?卜/+I,則/(X)的值域?yàn)?/p>

\)2x-\-x2,x>—

/，則/(-3)=

13.設(shè)函數(shù)/a)=

/(x+2),x<-

14.己知函數(shù)/")=N(X-4),XWR.

(1)把函數(shù)/*)寫成分段函數(shù)的形式;

(2)在給定的坐標(biāo)系內(nèi)作函數(shù)"v)的圖象.

x+2xW0

⑸已知函數(shù)不卜…>0,解不等式/⑺”

x+2(x<-I)

16.已知函數(shù)Hx)=<丁(-l<.r<2)

2x(x>2)

⑴求外小網(wǎng)》的值：

(2)求/(〃)=3,求。的值；

⑶畫出函數(shù)的圖像.

【課時(shí)作業(yè)】

1.下列函數(shù)中，相同的一組是()

A.),=衣，y=(4yB.y=Jx-l?Vx+1,y=-1

D.y=x--\,.y=-^—

x+1

2.已知函數(shù)f(4+2)=x+2j7+2,則/(x)的最小值是(

A.-1B.2C.1D.0

3.設(shè)函數(shù)/1+-=2x+l,則的表達(dá)式為()

\X)

1+Xz\+x

A.BD.—XHI)

x-\

2x

C.---(xwT)D.------(i1)

1+P7x+\

4.己知一次函數(shù)f(x)滿足/(X+2)-2/(2X+D=—9x—4,則/(x)解折式為()

A.f(x)=-2x-4B./(x)=-2x+3

C./(x)=3x+4D./(x)=-3x+2

5.一次函數(shù)滿足：/[/(x)-2x]=3,則/⑴=()

A.1B.2C.3D.5

x+2(x<-l)

6.設(shè)/(勸=<f(_1<“<2).若〃工)=3,則x的值為().

2x(x22)

3

A.1B.x/3C.-x/3D.

2

7.已知函數(shù)小)滿足小)+2小一T)=—?jiǎng)t於)的解析式為(

A.(打=好一lZt+18

B./(x)=-x2—4x+6

3

C.4r)=6x+9

D.J[x)=2x+3

x+2,x<I),

8.已知函數(shù)八加L+2,q。，則不等式小)方的解集是()

A.[-UIB.[-2,2]C.[-2,1]D.[-1,2]

9.(多選)若函數(shù)/(l-2x)=上二(工。0),則下列結(jié)論正確的是()

A.嗎卜5

B."2)=一：

c./(X)=TA7(X")

(x-l)

/I)4x2.

Di-=--77-(4工°且3*1)

.\x)(x-1)

X+2K<1

10.（多選）已知函數(shù)/（x）=_/+3/>]，則（）

A./[/（^）]=3

B.若則x=2或X二一3

C./（耳<2的解集為（YO,0）D（1，田）

D.VreR,a>f（x）