第10講探索勾股定理（I大知識點+11大典例+變式訓(xùn)練+過關(guān)檢測）

0題型預(yù)覽

典型例題一勾股樹（數(shù)）問題

典型例題二勾股定理與無理數(shù)

典型例題三用勾股定理解三角形

典型例題四勾股定理與網(wǎng)格問題

典型例題五勾股定理與折疊問題

典型例題六以直角三角形三邊為邊長的圖形面積

典型例題七利用勾股定理求兩條線段的平方和（差）

典型例題八利用勾股定理證明線段平方關(guān)系

典型例題九勾股定理的證明方法

典型例題十以弦圖為背景的計算題

典型例題十一用勾股定理構(gòu)造圖形解決問題

0知識梳理

知識點01勾股定理

數(shù)學(xué)小史：勾股定理是我國最早發(fā)現(xiàn)的，中國古代把直角三角形中較短的直角邊稱為勾，

較長的直角邊稱為股，斜邊稱為弦，“勾股定理”因此而得名.（在西方文獻中又稱為畢達

哥拉斯定理）。據(jù)《周髀算經(jīng)》記載，公元前1000多年就發(fā)現(xiàn)“勾三股四弦五”的結(jié)論。

2.o注意：（1）“直角三角形”是勾股定理的前提條件，解題時，首先看題目中有沒有具備這個

條件，只有具有這個條件，才能利用勾股定理求第三條邊。

（2）在應(yīng)用勾股定理時要注意它的變式：

（4）在實際問題中，若圖中無直角，可通過添加輔助線來構(gòu)造直角三角形。

2.勾股定理的驗證

方法一：將四個全等的直角三角形拼成如圖（1）所示的正方形.

圖⑴中=（"6?=c'+4x—而，所以

2

方法二：將四個全等的直角三角形拼成如圖（2）所示的正方形.

圖（2）中=所以二2=4'+白

方法三：如圖（3）所示，將兩個直角三角形拼成直角梯形.

（f*?）=2x為?異所以/+/=（??

【即時訓(xùn)練】

1.（2425八年級上?安徽合肥?期中）我國是最早了解勾股定理的國家之一，它被記我于我國古代著名的數(shù)學(xué)

著作《周髀算經(jīng)》中.下列各組數(shù)中，是“勾股數(shù)”的是（）

A.1,2,3B.4,5,6C.夜，G，亞D.5,12,13

【答案】D

【分析】本題考查勾股定理及勾股數(shù)，熟知勾股定理及勾股數(shù)的定義是正確解答此題的關(guān)鍵.

根據(jù)勾股數(shù)的定義，三個正整數(shù)，兩個較小數(shù)的平方和等于較大數(shù)的平方，這三個正整數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù)，

進行判定即可.

c、及，G，石不是整數(shù)，故、傷，G，石不是勾股數(shù)，不符合題意；

故選：D.

【即時訓(xùn)練】

【分析】本題考查了勾股定理，根據(jù)題目要求列出方程即可.

?經(jīng)典例題

春［典型例題一勾股樹（數(shù)）問題】

【例1】（2425八年級上?江蘇連云港?期中）下列四組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（）

A.1,2,3B.4,5,6C.9,12,15D.1,2,5

【答案】C

故選擇：C.

【例2】（2425八年級上?貴州貴陽期中）如圖，以直角三角形三邊為直徑的半圓，則他們面積關(guān)系止確的

是（）

【答案】C

【分析】本題考查了勾股定理在直角三角形中的靈活運用，考查了半圓的面積計算公式，正確的根據(jù)勾股

定理是解題的關(guān)鍵.

【詳解】設(shè)直角三角形兩直角邊分別為〃、b,斜邊為c,

故選擇：C

【例3】（2425八年級上?安徽合肥,期中）寫一組你喜歡的勾股數(shù).

【分析】本題考查了勾股數(shù)的定義，欲判斷是否為勾股數(shù)，必須根據(jù)勾股數(shù)是正整數(shù)，同時還需驗證兩小

邊的平方和等于最長邊的平方.注意本題答案不唯一.

[例4]（2425八年級上?四川廣元期中）"勾股樹'’是以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三

角形的兩直角邊分別向外作正方形，重復(fù)這一過程所畫出來的圖形，因為重復(fù)數(shù)次后的形狀好似一棵樹而

得名.假設(shè)如圖分別是第一代勾股樹、第二代勾股樹、第三代勾股樹，按照勾股樹的作圖原理作圖，如果

第一個正方形面枳為1,則第2025代勾股樹中所有正方形的面積為.

【答案】2026

【分析】本題主要考查勾股定理，由題目條件和所畫出來的圖形正確找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵.分別計算出

第一，第二，第三代勾股樹中所有正方形的面積，得出第〃代勾股樹中所有正方形的面積為〃+1進行分析計

算.

(2)根據(jù)所提供的例了?發(fā)現(xiàn)股是勾的平方減去1的二分之一，弦是勾的平方加1的二分之

【詳解】(1)解：?.?3、4、5：5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，

.?.11,60,61；

故答案為：11,60,61：

【點睛】本題考杳的是勾股數(shù)之間的關(guān)系，根據(jù)題目中所給的勾股數(shù)及關(guān)系式進行猜想、證明即可.

國.【典型例題二勾股定理與無理數(shù)】

【答案】B

【分析】本題考查了實數(shù)與數(shù)軸，勾股定理；首先利用勾股定理計笄出AC的長，進而可得AE的長，然后

再確定E點所對應(yīng)的數(shù).

【詳解】解：?,,點A,B對應(yīng)在數(shù)分別是1,2,

.點A對應(yīng)的數(shù)是1,

【答案】A

【分析】本題考查勾股定理與無理數(shù)，實數(shù)與數(shù)軸，兩點間的距離求出AC的長，勾股定理求出AA的長,

再利用兩點間的距離求出點。表示的數(shù)即可.

【詳解】解：???點A表示的數(shù)是-2,點C表示的數(shù)是2,

故選A.

【答案】舊

則這個點表示的實數(shù)是行,

故答案為：逐.

【例4】（2324八年級上?云南玉溪?期末）如圖，在數(shù)軸上作一個5x5的正方形網(wǎng)格，以原點。為圓心，陰

影正方形的邊長A0為半徑畫弧，交數(shù)軸正半軸于點8,則點8在數(shù)軸上表示的數(shù)為.

【答案】屈

.?以原點。為圓心，陰影正方形的邊長AO為半徑畫弧，交數(shù)軸正半軸于點8,

故答案為：屈.

⑥變式訓(xùn)練

B

-4-3-2-1012

【答案】A

【分析】此題考查了與數(shù)軸，根據(jù)勾股定理列式求出AB的長，即為AC的長，再根據(jù)數(shù)軸上的點的表示即

可解答，利用勾股定理求出A8的值為解題的關(guān)鍵.

???點A表示的數(shù)是1,

【答案】-2

【分析】本題主要考存了勾股定理，實數(shù)與數(shù)軸等知識，利用勾股定理依次求出AC、4。、AE的長，從

而得出AP的長，即可得出答案.

???點尸表示的數(shù)是-2.

故答案為：—2.

3.(2324七年級下?山西呂梁?階段練習(xí))閱讀與思考：

我們在學(xué)習(xí)有理數(shù)時，可以根據(jù)有理數(shù)在數(shù)軸上的位置關(guān)系比較有理數(shù)的大小.數(shù)學(xué)興趣小組發(fā)現(xiàn)可以用

相同的方法比較無理數(shù)的大小，請根據(jù)他們的探究過程，完成下列問題：

【答案】(1)見解析

⑵〉

(3)-9

【分析】本題考查了實數(shù)與數(shù)軸，準確的用數(shù)軸上的點表示實數(shù)并用數(shù)軸比較大小及估算無理數(shù)大小是本

題解題關(guān)鍵.

(1)以方為斜邊的直角三角形的直角邊為1和2,以由為斜邊的直角三角形的直角邊為I和3,以此為

已知尺規(guī)作圖即可；

(2)由(1)中數(shù)軸可直觀比較；

(3)求出行的小數(shù)部分和整數(shù)部分，再代入計算即可.

(2)???數(shù)軸上右邊的點大于左邊的點,

故答案為：＞；

?［典型例題三用勾股定理解三角形】

A.2石B.75C.D.舊

【答案】A

【洋解】解：???該圖是一個中心對稱圖形,

故選：A.

【答案】A

=4.

???點E、G分別是A。、DC的中點,

13

故答案為:y

【例4】（2425八年級上?浙江嘉興?期中）《算學(xué)寶鑒》是晉商數(shù)學(xué)家王文素的數(shù)學(xué)著作，書中研究了一元高

次方程的數(shù)值解法，內(nèi)容翔實可貴，代表了我國明代數(shù)學(xué)的最高水平.《算學(xué)寶鑒》卷28中記載了這樣一

個問題：“門廳一座，高廣難知，長竿橫進，門狹四尺.豎進過去，竿長二尺，兩陰斜進，恰好方齊.”譯文:

現(xiàn)在有一座門，不知道寬度和高度，如果拿支長竹竿橫著過，門的寬度比竹竿的長度少四尺，拿竹竿豎著

過，竹竿的長度比門的高度多二尺，沿對角線斜著進，恰好通過.則門的高度是一尺.

【答案】8

答：11高是8尺.

故答案為：8.

0變式訓(xùn)練

A.245B.2y/3C.75D.G

【答案】A

【分析】本題考查折疊問題，勾股定理，矩形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是由勾股定理列出關(guān)于x的方程.

【詳解】連接6D，父七卜于點。

垂直平分B。,

圖1圖2

【答案】40

【詳解】解：連接30,與交AC于點。，如圖:

【答案】（1）見解析

⑵而

【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，中位線的性質(zhì)與判

定，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵；

產(chǎn)是中點

國【典型例題四勾股定理與網(wǎng)格問題】

【答案】D

【分析】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，根據(jù)勾股定理，可得AC、AB的長，根據(jù)正切函數(shù)的定義，可

得答案.

【詳解】解：如圖，連接AC，

故選：D.

C.5個D.4個

【答案】B

【分析】此題考查了勾股定理以及逆定理，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識點.

根據(jù)勾股定理以及逆定理和網(wǎng)格的特點求解即可.

【詳解】如圖所示，

???第三個頂點所在的位置有：C、。、E、”四個;

當A8是直角邊，A是直角頂點時，

???第三個頂點可以是尸點；

當AB是直角邊，8是直角頂點時，

???第三個頂點可以是G.

，共有6個滿足條件的頂點.

故選：B.

【詳解】解：連接AC，設(shè)小正方形的邊長為1，

【答案】B

【詳解】解：如圖所示，連接M,交AC于點。

設(shè)菱形的邊長為。，由圖形為全等的含所角的小菱形組成的網(wǎng)格,

故選：B.

AC

【答案】45。/45度

【分析】本題考查了格點中的直角三角形的構(gòu)造和勾股定理的應(yīng)用，熟記勾股定理是解題關(guān)鍵.

建立格點三角形，利用勾股定理逆定理判定直角三角形即可解答.

【詳解】解：如圖所示:

平移到CE,連接OE,

故答案為：45°.

|?一????????->?<????

卜卜｝熱…j

!!//：：\\：

ST：匕

圖1

【答案】(1)圖見解析

(2)圖見解析，75

(2)解：如圖所示：MN為所作。￡的中垂線.

故答案為：V5.

整【典型例題五勾股定理與折疊問題】

【答案】B

???當點尸在線段8。上時，所的值最小，貝iJ/￡有最小值,

故選：C.

【點睛】本題主要考查矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，三角形三邊的數(shù)量關(guān)系，勾股定理求線段長度，三角形

中位線的性質(zhì)等知識，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.

41

【答案】-/I-

變式訓(xùn)練

A.1.5B.2C.2.5D.3

【答案】C

故選：C.

【答案】a

故答案為：O-

【答案】（1）50,80

吟

【分析】此題考查了勾股定理、折疊的性質(zhì)、等腰三角形的判定等知識.

（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)即可求出答案；

故答案為：50,80

摩【典型例題六以直角三角形三邊為邊長的圖形面積】

A.100B.80C.48D.24

【答案】A

【分析】本題主要考查了勾股定理，直角三角形中，兩直角邊的長的平方和等于斜邊長的平方，據(jù)此求出A8

的長，再根據(jù)正方形面積計算公式求解即可.

VAB為一條邊向三角形外部作正方形，

故選：A.

L

【答案】C

故選C.

s2

【答案】y

由圖形可知，陰影部分的面積為

L

...陰影部分的面積為與，

故答案為：—.

【答案】10

【詳解】解：如圖所示,

故答案為：10.

0變式訓(xùn)練

【詳解】解：設(shè)兩直角邊分別為K，）「斜邊為Z,

C中，三個三角形是等邊三角形，

D中，當各線段長如圖時,

故選：D.

F

【答案】38

【詳解】解：如圖，設(shè)分別交3尸、CF于點G、點H,

F

⑵證明（1）中你的猜想.

（2）證明見解析

【分析】本題考查勾股定理和正方形、等邊三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于靈活運用勾股定理

（1）根據(jù)題干提示進行猜想即可；

春［典型例題七利用勾股定理求兩條線段的平方和（差）】

【例1】（2425八年級上?黑龍江哈爾濱?期中）如圖，在AABC中,NACB=90°,CD是斜邊AB邊上的高,

若AB=IOcm,AC=6cm,則CD長（）

D

A.10B.4.8C.5D.7

【答案】B

【分析】在RMABC中，由勾股定理可求出直角邊BC的長，進而可根據(jù)直角三角形面積的不同表示方法

求出CD的長.

【詳解】RQABC中,/ACB=90。，AC=6cm,BC=8cm,

WAABC的面積S=^ACBC=^-ABCD,

故選B.

【點睛】此題考查勾股定理，解題關(guān)鍵在于掌握計期公式.

【例2】（2425八年級上?河南平頂山?期中）我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的《勾股方圓圖》是由四個全等的直角三

角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形（如圖），如果大正方形的面積是16,小正方形的面積是3,直

角三角形較短的直角邊為。，較長的直角邊為人那么（。+/力2的值為（）

【答案】B

【分析】首先求出ab的值和a2+5?的值，然后根據(jù)完全平方公式即可求得（a+b）?的值.

【詳解】解：???大正方形的面積是16,小正方形的面積是3,

???四個直角三角形面積和為16-3=13,即4xgab=13,

.*.2ab=13,a2+b2=16,

:.（a+b）2=a2+b2+2ab=16+13=29,

故選B.

【點睛】本題考查了完全平方公式的應(yīng)用以及勾股定理的運用，本題中求得ab的值是解題的關(guān)鍵.

【答案】18

【解析】略

【答案】屈

【點睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識，是重要考點，難度較易，掌

握相關(guān)知識是截圖關(guān)鍵.

0變式訓(xùn)練

1.（2425八年級上?廣東深圳?期中）已知等邊△ABC的邊長為8,點P是邊8c上的動點，將ZMBP繞點A

逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到AACQ,點。是AC邊的中點，連接。。，則。Q的最小值是（）

【答案】C

【分析】依據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，即可得到N8CQ=120。，當。Q_LCQ時，。。的長最小，再根據(jù)勾股定理，即可

得到OQ的最小值.

【詳解】如圖，由旋轉(zhuǎn)可得N4C0=N3=6O。，

A

又丁ZACB=60°,

AZBCO=120°,

???點。是AC邊的中點，

：,CD=4,

當。。_LCQ時，。。的長最小，

此時，ZCD2=30°,

：.CQ=^CD=2,

."Q的最小值是2g，

故選：C.

【點睛】此題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于掌握對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對

應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角.

2.(2425八年級上.四川成都.期中)如圖，已知A(g,0),點P為y軸上的一動點，線段PA繞著點P按逆

時針方向旋轉(zhuǎn)90。至線段PB位置，連接AB、OB,則OB+BA的最小值是.

【答案】86

【詳解】解：???點P為y軸上一動點,

???線段A4繞著點P按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90。到PB,

故答案為875.

【點睛】本題考查軸對稱一最短路線問題、坐標與圖形變化一旋轉(zhuǎn)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、

三角形三邊關(guān)系等知識，是重要考點，難度一般，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵.

②線段4。、CE之間的數(shù)量關(guān)系為;

故答案為：2.

【點睛】本題是三角形的綜合題，考查的是等邊三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判

定和性質(zhì)，勾股定理等知識，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

國.【典型例題八利用勾股定理證明線段平方關(guān)系】

【答案】C

【分析】由已知兩角之和為90度，利川三角形內(nèi)角和定理得到三角形為直角三角形，利用勾股定理即可得

到結(jié)果.

故選：C.

【點睛】此題考查了勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

，②正確；

???〃點不是。E中點，

???①錯誤；

??.③正確；

.?.④錯誤；

「?⑤正確，

二?②③⑤正確，

故選：C.

【點睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，是重要考點，難度較

易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵.

【例3】（2425八年級上?江蘇蘇州?階段練習(xí)）設(shè)力是直角三角形的兩條直角邊長，若該三角形的周長為

24,斜邊長為10,則他的值為.

【答案】48

【分析】由該三角形的周長為24,斜邊長為10可知。+人+10=24,再根據(jù)勾股定理和完全平方公式即可

求出R?的值.

【洋解】解：???三角形的周長為24,斜邊長為10,

???。+8+10=24,

.,?。+力=14,

??Z、人是直角三角形的兩條直角邊，

???〃+〃=io2,

則次+〃=Q+b）而=102,

即14—GO2,

"=48.

故答案為：48.

【點睛】本題主要考查了勾股定理，掌握利用勾股定理證明線段的平方關(guān)系及完全平方公式的變形求值是

解題的關(guān)鍵.

【答案】?；蚣?/p>

【分析】分兩種情況，根據(jù)勾股定理、“和美三角形''的定義計算即可.

故答案為：*或母.

【點睛】本題考查了勾股定理，“和美三角形''的定義，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.

0變式訓(xùn)練

C.①⑤D.③④

【分析】根據(jù)直角三角形的意義和性質(zhì)可以得到解答.

VZDBC=45°,DE±BC,/.ZEDB=ZDBC=45°,ABE=DE

;沒有依據(jù)支持①④成立，，②③⑤正確

故選B.

【點睛】本題考查直?角三角形的意義和性質(zhì)，靈活應(yīng)用有關(guān)知識求解是解題關(guān)鍵.

【答案】6.

【分析】利用勾股定理將AC2+BC2轉(zhuǎn)化為AB2,再求值.

【詳解】解：ABC中，AB為斜邊，

AAC2+BC2=AB2,

故答案為：6.

【點睛】本題考查了勾股定理；熟練掌握勾股定理，由勾股定理得出AC2+BC2=AB2是解決問題的關(guān)鍵.

3.（2324八年級上?湖北孝感?期中）我們給出如下定義：若一個四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于一條對

角線的平方，則稱這個四邊形為勾股四邊形，這兩條相鄰的邊稱為這個四邊形的勾股邊.

（1）你所知道的特殊四邊形中，是勾股四邊形有（一個即可）

【答案】（1）正方形（答案不唯一）

（2）見解析

（3）見解析

【分析】（1）正方形相鄰兩邊的平方和等于一條對角線的平方，即可求解，

本題考查勾股定理、旋轉(zhuǎn)和全等三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于理解勾股四邊形的概念，充分利用其特點

解題.

【詳解】（1）解：正方形相鄰兩邊的平方和等于一條對角線的平方，

故答案為：正方形，

圖①

（3）解：如圖②，連接EC,

境［典型例題九勾股定理的證明方法】

【例1】（2425八年級上?廣東佛山?期末）下面圖形能夠驗證勾股定理的有（）個

A.4B.3C.2D.1

【答案】A

【分析】利用面積法驗證或證明勾股定理即可解決問題.

能夠驗證勾股定理的有4個.

故選:A.

【點睛】本題考查了勾股定理的證明、直角三角形面積的計算；熟練掌握正方形的性質(zhì)，運用面積法得出

等式是解決問題的關(guān)鍵.

【例2】（2324八年級上.河南平頂山?期中）利用四個全等的直角三角形可以拼成如圖所示的慳形，這個圖

形被稱為弦圖.通過該圖形，可以驗證公式（）

【答案】C

【分析】本題考查勾股定理的證明，關(guān)鍵是利用三角形和正方形邊長的關(guān)系進行組合圖形，根據(jù)面枳相等

的關(guān)系證明勾股定理.利用兩種方法表示出大正方形的面積，根據(jù)面積相等即可得答案.

【詳解】解：.?大正方形的面積表示為：

故選：C.

【答案】=

???正方形。，c的邊長分別為。和

故答案為：=.

【答案】10

故答案為：10.

【點睛】本題考查了勾股定理的證明，全等三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)

鍵.

C.6D.4

【答案】B

【分析】本題主要考杳勾股定理的幾何驗證，解題的關(guān)鍵是熟知勾股定理的運用.

故選:B.

【答案】60

【詳解】解：如圖，延長AB交KF于點0,延長AC交GM于點P,

故答案為：60.

【方法運用】

【方法遷移】

方法遷移：

【詳解】解：【方法運用方

【方法遷移】:

（1）設(shè)邊上的高為/?，

國.【典型例題十以弦圖為背景的計算題】

【例1】（2324八年級上?廣東惠州?期中）如圖，在趙爽弦圖中連接四條線段得到如圖2的新的圖案.如果

圖I中的直角三角形的長直角邊為9,短直角邊為4,圖2中的見影部分的面積為S,那么S的值為（）

圖1

A.56B.D.75

【答案】C

【詳解】解：如圖,

A

【例2】（2324八年級上?山東煙臺?期中）下列各圖是以直角三角形各邊為邊在三角形外部畫正方形得到的.每

個正方形中的數(shù)及字母S表示所在正方形的面積,其中5的值恰好等于10的是（）

【答案】C

【分析】本題考查了勾股定理以及正方形的性質(zhì)等知識，由正方形的性質(zhì)和勾股定理分別對各個選項進行

判斷即可.熟練掌握勾股定理和正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：以直角三角形各邊為邊在三角形外部而正方形，每個正方形中的數(shù)及字母S表示所在正方形

的面積，

,每個正方形中的數(shù)及字母S表示所在正方形的邊長的平方，

故選：C.

【例3】（2425八年級上?山東淄博?期中）如圖將邊長為10,一條對角線長16的菱形拼成如圖所示的“趙爽

弦圖“，則圖中陰影部分的面積為.

【詳解】解:如圖所示:

B

,1

???將邊長為10,一條對角線長16的菱形拼成如圖所示的“趙爽弦圖”

故答案為：4

圖1圖2

【答案】5

故答案為：5.

0變式訓(xùn)練

D.15

【答案】C

【分析】本題主要考查勾股定理，長方形面積公式，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.先求出長方形的長

和寬，進行計算即可.

圖2

而由題意知：四個直角三角形全等

二點G是KI中點

⑴添加如圖輔助線，根據(jù)該圖，可以用兩種不同的方法計算整個組合圖形的面積，通過面積相等，從而證

明勾股定理，請你將下面的證明過程補充完整：

整個組合圖形面積表示，方法一：以c為邊的正方形的面積+兩個直角三角形的面積，即最后化簡為；

方法二：以。和力為邊的兩個小正方形的面積+兩個直角三角形的面積，即最后化簡為；根據(jù)面積相

等，直接得等式，化簡最后結(jié)果是______,從而證明勾股定理.

(2)49.

【分析】(1)根據(jù)題意和圖形即可求解：

本題考查了勾股定理的幾何背景，代數(shù)式求值，正確識圖是解題的關(guān)鍵.

(2)解：由圖可得，空白部分的面積=整個圖形的面積-4個直角三角形的面積，

【典型例題十一用勾股定理構(gòu)造圖形解決問題】

【例1】（2425八年級上?山東泰安?期中）小剛準備測量一段河水的深度，他把一根竹竿插到離岸邊3米遠的

水底，竹竿高出水面1米，把竹竿的頂端拉向岸邊，竹竿和岸邊的水面剛好相齊，則河水的深度為（）

A.4米B.5米C.4.5米D.6米

【答案】A

【分析】此題主要考查了勾股定理應(yīng)用，河水的深、竹竿的長、離岸的距離三者構(gòu)成直角三角形，作出圖

形，根據(jù)勾股定理即可求解.

【詳解】解：如圖，

設(shè)河水的深度為x米，由題意得，

故選：A.

【例2】（2425八年級上?廣東湛江?階段練習(xí)）如圖，在一塊平地上，張大爺家屋前9米遠處有一棵大樹.在

一次強風(fēng)中，這棵大樹從離?地面6米處折斷倒下，量得倒下部分的長是10米.出門在外的張大爺擔心自己

的房子被倒下的大樹砸到.大樹倒下時能砸到張大爺?shù)姆孔訂?？清你通過計算、分析后給出正確的回答（）

A.一定不會B.可能會C.一定會D.以上答案都不對

【答案】B

【分析】先構(gòu)造出樹倒下的示意圖，判斷出四邊形是矩形，得出/G=6,BG=9,再用勾股定理求出

EG=19,進而求出月產(chǎn)大約為1.64米，最后根據(jù)實際判斷即可得出結(jié)論.

【詳解】解：如圖

----10

由題意畫出大樹倒F的示意圖，大樹從點B刮斷，繞點8倒卜，樹梢的軌跡為C。，

根據(jù)題意得，AB=6,BC=IO,AF=9,

過點尸作AB的平行線交C。于。，E（。在E上面），

：.BE=BC=\O,ZF=90°,

過點8作8G_LO廣于G,

???NBGF=90°,

°：N4=90。，

,Z4=ZF=Z?GF=90°,

???四邊形ABG/是矩形，

：.FG=AB=6,BG=AG=9,

所以當張大爺?shù)姆孔硬坏陀贚64米時，可以被砸到.反之，則不會

故選：B.

【點睛】此題考查了勾股定理的實際應(yīng)用，善于觀察題目的信息是解題以及學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵.

【答案】8而

【分析】利用坡比的定義得出AC的K,進而利用勾股定理求出A6的K.

故答案為：8幾.

【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，正確利用坡比的定義求出AC的長是解題關(guān)鍵.

【答案】10

【詳解】解：設(shè)秋千的繩索長為咖，

答：繩索4力的長度是10m.

故答案為：10

【點睛】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確理解題意，表示出4c的長，掌握直角三角形中兩直

角邊的平方和等于斜邊的平方.

0變式訓(xùn)練

1.（2425八年級上?湖北武漢?階段練習(xí)）圖，長方體的長為8,寬為10,高為6,點8離點C的距離為2,

一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點A爬到點從需要爬行的最短距離是（）

【答案】A

【分析】要求長方體中兩點之間的最短路徑，最直接的作法，就是將長方體側(cè)面展開，然后利用兩點之間

線段最短解答.

【詳解】要把長方體的右側(cè)表面剪開與前面這個側(cè)面所在的平面形成一個長方形，如第1個圖

???長方體的寬為10，高為6,點B離點C的距離是2,

/.BD=CD+BC=10+2=12,4/)=6,

在直角三角形AGO中，根據(jù)勾股定理得：

只要把長方體的右側(cè)表面剪開與上面這個側(cè)面所在的平面形成一個長方形，如第2個圖:

;長方體的寬為10,高為6,點8離點C的距離是2,

???3Q=CO+8c=6+2=85,AD=\0,

在直角三角形44。中，根據(jù)勾股定理得：

只要把長方體的上表面剪開與后面這個側(cè)面所在的平面形成一個長方形，如第3個圖:

6

D

10

B2C

???長方體的寬為■，高為6,點8離點C的距離是2,

??/C=C7)+AD=6+10=l6,

在直角三角形ABC?中，根據(jù)勾股定理得：

故選：A.

【點睛】本題主要考查兩點之間線段最短，關(guān)鍵是將長方體側(cè)面展開，然后利用兩點之間線段最短解答.

2.(2425八年級上?浙江嘉興?課后作業(yè))如圖有兩棵樹,一棵高10m,另一棵高4m,兩樹相距8m,一只小

鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，問小鳥至少飛行m.

【答案】10

【分析】由題意可構(gòu)建直角三角形求出AC的長，過。點作CE_LAB于點E,則四邊形EBQC是矩形.BE=CZ）,

AE長度可求，CE=BD,在RmAEC中,可根據(jù)勾股定理求出AC長.

【詳解】

EC

B

如圖，設(shè)大樹高為4B=10m,小樹高為CD=4m,

過C點作CE_LAB于點E,則四邊形仍DC是矩豚

止CQ=4m,EC=8m.

AE=AB-EH=10-4=6m.連接AC

在RAAEC中，根據(jù)勾股定理得：

故答案為10

【點睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)實際問題，建立適當數(shù)學(xué)模型，運用數(shù)學(xué)知

識求解.

3.（2324八年級上?江西南昌?開學(xué)考試）我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入

微；數(shù)形結(jié)令百般好，隔離分家萬事休”.數(shù)學(xué)中，數(shù)和形是兩個最主要的研究對象，它們之間有著十分密

切的聯(lián)系，在一定條件下，數(shù)和形之間可以相互轉(zhuǎn)化，相互滲透.

某校數(shù)學(xué)興趣小組，在學(xué)習(xí)完勾股定理和實數(shù)后，進行了如下的問題探索與分析：

【解決問題】

②如圖，作點A關(guān)于3C的對稱點從連接”。交8C于點P,

［應(yīng)用拓展］

【點睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，熟練掌握勾股定理，將問題進行轉(zhuǎn)化是解題的

關(guān)鍵.

過關(guān)檢測

1.（2425八年級上?廣西河池?期中）下列各數(shù)中，能與8,15組成一組勾股數(shù)的是（）

A.6B.8C.10D.17

【答案】D

故選：D.

【答案】C

【分析】本題考查的是勾股定理.，實數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系，正確運用勾股定理求出PQ的長是解題的關(guān)鍵，要理

解數(shù)軸上的點與實數(shù)的對應(yīng)關(guān)系.根據(jù)題意運用勾股定理求出也的長，即可得到答案.

??,點。對應(yīng)的數(shù)為-1,

故選：C.

A.4B.6C.8D.10

【答案】A

同理：正方形3兩側(cè)的兩個直角三角形全等,

二4,

故選：A.

【點睛】本題考查全等三角形的判定、正方形的性質(zhì)、勾股定理