蘇科版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)《第三章勾股定理》單元檢測(cè)卷含答案

學(xué)校:進(jìn)級(jí)：姓名：考號(hào)：

一、單選題

1.在直角三角形中，若一條直角邊長(zhǎng)是5,另一條直角邊長(zhǎng)是12,則斜邊長(zhǎng)的平方是（）

A.13B.50C.125D.169

2.如圖，在中，ZC=90°,。為AC上一點(diǎn).若DA=D8』15QABD的面積為90,

則AC的長(zhǎng)是（）

C

A.9B.12C.18D.24

3.下列四絹線段中，能卯成百角三角形的是（）

A.a=3,/?=4,c=5B.a=\\,b=\2,c=13

C.?=5\Z>=122,c=132D.a=\,b=\,c=2

4.如圖，等腰VNAC的底邊BC=12,面積為54,點(diǎn)尸在邊BC上,且BF=3CF,ED是AC

的垂直平分線，若點(diǎn)，在EO上運(yùn)動(dòng)，則尸周長(zhǎng)的最小值為（）

A

EF

A.6B.12C.2麗+3D.3國(guó)+3

5.如圖，RtZXABC的周長(zhǎng)為36,ZC=90°,且A3:AC=5:4,則BC的長(zhǎng)為（）

4

K

CB

A.9B.12C.15D.18

6.如圖，VABC是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，點(diǎn)E在AC上且4七=4,點(diǎn)。是直線BC上一

動(dòng)點(diǎn),將線段ED繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到線段EF，連接DF,AF,AF的最小值是（）

A

A.4+V3B.2+73C.4D.6

7.如圖，長(zhǎng)為24cm的橡皮筋放置在地面上，固定兩端點(diǎn)A和B,然后把中點(diǎn)C向上拉升5cm

至點(diǎn)則橡皮筋被拉長(zhǎng)了（）

A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm

8.如圖，在RtZvlBC中，CO是斜邊A8上的中線，已知CD=5,3C=6,則人C的長(zhǎng)是（）

A

二、填空題

9.如圖，在校長(zhǎng)為3的正方體中，一只螞蟻從頂點(diǎn)A出發(fā)沿著正方體的外表面爬到頂點(diǎn)8

的最短距離是.

10.已知V48C中，AB=17cm,8c=30cm,BC上的中線AO=8cm,則VABC為

三角形.

II.如圖，在等腰RtaQU,中，/。44=90。,。4=1,以為直角邊作等腰RtZ\OA&,

以。4為直角邊作等腰口△。&4，…，則。&的長(zhǎng)度為一

A________________Q__A

12.如圖，在Rt^ABC中，N4C4=90。，Z4BC=30°,AC=2.點(diǎn)。是的三個(gè)

內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，點(diǎn)。是A4邊所在的直線上一動(dòng)點(diǎn)，連接O。，將線段。。繞點(diǎn)0逆時(shí)

二針旋轉(zhuǎn)60。到線段OE處，連接跖，則的長(zhǎng)的最小值為_(kāi)_____.

13.如圖，等邊V43C中，AD1BC,點(diǎn)、E,尸分別是42AC上兩點(diǎn)且AE=CF,若AB=2,

則CE+8歹的最小值等于.

A

BDC

三、解答題

14.如圖1,已知VABC中,CO為AS邊上的中線，且BO=CO.

--------B

圖1圖2備用圖

(1)求的度數(shù)，并說(shuō)明理由；

(2)將△ACO繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為a(0<2<360),得到力>￡0,連接C。，EB.

AA

02

備用圖

⑴求-AC用的度數(shù).

⑵求VA08的面積.

參考答案

1.D

【分析】本題考查了勾股定理，利用勾股定理直接計(jì)算艮J可求解，熟練掌握勾股定理的運(yùn)用

是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：由勾股定理得，斜邊長(zhǎng)的平方=52+122=25+144=169,

故選：D.

2.D

【分析】本題考查了三角形面積公式及勾股定理，根據(jù)BC為AABO中AD上的高及△A3。

面積，可得3C,再利用勾股定理可求得CO,即可求解.

【詳解】解：???3=04=15,ZwW。的面積為90,

Sv.)=gxAQx8C=gxl5x8C=90,解得：8c=12,

VZC=90°,

???8=，附一叱=9,

AC=AZ)+CZ)=24,

故選：D.

3.A

【分析】本題考查了勾股定理的逆定理，正確掌握勾股定理逆定理判斷直角三角形的方法是

解題的關(guān)鍵.

根據(jù)勾股定理逆定理分別計(jì)算并判斷.

【詳解】解：A,V32+42=5\

，能組成直角三角形，符合題意；

B、Vll2+122^132,

???不能組成直角二角形，不符合題怠;

C、???[2)2+(122)2.(13?

???不能組成直角三角形，不符合題意；

2*4

D>VP+I2^2，

???不能組成直角三角形，不符合題意，

故選：A.

4.D

【分析】連接AP,4L過(guò)點(diǎn)A作A”_L8C于點(diǎn)兒證明尸C+尸尸=R4+P/34尸，求出A尸

可得結(jié)論.

【詳解】解：連接AP,AF,過(guò)點(diǎn)A作A"_L4C于點(diǎn)從

丁等腰V八AC的底邊BC=12,面積為54,

2

：,AH=9,

VBF=3CF,

:.CF=-BC=3

4f

VAB=AC,AHIBC,

，BH=CH=6,

，HF=CH-CF=3,

?**AF=>JAH2+HF2=V92-F32=3V10，

YOE垂直平分線段AC,

APA=PC,

/.PC+PF=PA+PF>AF=3>f\0,

???PC+P/的最小值為3麗，

:,4PCF的周長(zhǎng)的最小值為3+3種，

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱-最短問(wèn)題，線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股

定理，三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，壬確作出輔助線解決問(wèn)題.

5.A

【分析】本題考查勾股定理，根據(jù)A8:AC=5:4,設(shè)AB=5x,AC=4i根據(jù)勾股定理求出

8C的長(zhǎng)，再根據(jù)三角形的周長(zhǎng)列出方程進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：???A4:4C=5:4,

???設(shè)A3=5x,AC=4x,

???ZC=90?,

?**BC=y/AB2-AC2=3x，

VRtZXABC的周長(zhǎng)為36,

/.5x+4x+3x=36,

解得：x=3,

/.BC=3x=3?3=＜；

故選：A.

6.B

【分析】過(guò)點(diǎn)七作EM交BC于M,在EC的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)M使EN=EM,連接N/7

交BC于H,則可得△ME哈ANE/"從而ZANF=NEMC=30°,從而易得RV_L8C,即點(diǎn)

尸在直線可上運(yùn)動(dòng)；過(guò)點(diǎn)4作4G_LFN于G,當(dāng)尸與G重合時(shí)，AF取得最小值，利用含

30。角直角三角形的性質(zhì)即可求得最小值.

【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)E作EM_LAC交8c于M,在區(qū)的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)M使日V=皿，

連接NF交3c于H；

則NMED十/DEN=/MEN=9()0；

由題意知，ED=EF,ZDEF=ZDEN+ANEF=90°,

/.4MED=/NEF；

'：ED=EF,EM=EN,

???△MEO^NERSAS),

/.ZANF=ZEMC,MD=NF；

設(shè)直線FN,BC交于點(diǎn)H：

???VAAC是等邊三角形，

/.Z4CT=60°,AC=6,

'：MELAC.

???/EMC=30。，

:.ZANF=/EMC=3V,CM=2CE=4,

由勾股定理得：ME=ylCM2-CE2=2>

:?EN=EM=2超,AN=AE+EN=4+2g；

*.*/NCH=ZACB=60。，

???NCHN=NNCH+ZE7VF=9O°,

BPHV1BC,即點(diǎn)尸在垂直于BC的直線EV上運(yùn)動(dòng)；

過(guò)點(diǎn)A作AG_LRV于G,當(dāng)產(chǎn)與G重合時(shí)，■取得最小值,

在RNAGN中，AN=4+2叢,NANG=3()。，

貝ijAG=UN=2+6

2

即AF的最小值為2+6.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考杳了等邊三角形的性質(zhì)，含30。角直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角

形的判定與性質(zhì)，垂線段最短等知識(shí)，確定點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)路徑是解題的關(guān)鍵.

7.A

【分析】此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用，理解被拉長(zhǎng)部分并轉(zhuǎn)化為

幾何線段計(jì)算是解題的關(guān)犍.根據(jù)勾股定理.，可求出4)、8。的長(zhǎng)，則即為

橡皮筋拉長(zhǎng)的距離.

【詳解】解：RtZ\AC￡＞中，AC=-AB=]2cm,CD=5crn；

2

根據(jù)勾股定理，得：AD=JAC?+CD2=13cm；

，AD+BD-AB=2AD-AB=26-24=2；

二橡皮筋被拉長(zhǎng)了2cm.

故選：A.

8.A

【分析】本題考查直角三角形斜邊的中線，勾股定理，關(guān)鍵是掌握直角三角形斜邊的中線等

于斜邊的一半.由直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得到A3=2CO=10,由勾股定理求出AC=8.

【詳解】解：；NACB=90。，CO是斜邊A4上的中線，

???■=20)=2x5=10,

,/BC=6,

??AC=^AB2-BC2=小024=8?

故選：A.

9.3也

【分析】根據(jù)立方體的展開(kāi)圖，兩點(diǎn)間線段最短，勾股定理解答即可.

本題考杳了立方體的展開(kāi)圖，兩點(diǎn)間線段最短，勾股定理，熟練掌握勾股定理，展開(kāi)圖是解

題的關(guān)鍵.

【詳解】解：根據(jù)立方體的展開(kāi)圖，兩點(diǎn)間線段最短，

得4B=j3?+(3+3『=36,

故答案為：3\/5.

10.等腰

【分析】本題考查了勾股定理逆定理、等腰三角形的判定，解題的關(guān)鍵是先證明△人次＞是

直角三角形.由于是中線，易知80=15,根據(jù)勾股定理逆定理可判斷AAB力是直角三

角形，可知4O/8C,即AZ）是的中垂線，于是A8=AC,可判斷V4BC是等腰三角形，

又知AB、AC2KBe3故VA6c不是直角三角形.

【詳解】解：如圖所示，AD是中線，

A

???AD是中線，

BDC

.?.40=15,

在△ABD中，A。?+87）2=289=A3?，

.飛人?。┦侵苯侨切危?/p>

AD1BC,

：.AD是VA8C的中垂線，

AB=AC?

.?.△A3C是等腰三角形，

AB'+AC2*BC~,

「.△ABC不是直角三角形.

故答案為：等腰.

11.26

【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理；由等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理得

OR=JOA'M=歷.OA.=42OA2,即可求解.

【詳解】解：???RtZiQU,是等腰三角形,

04=4A=1

22

：.OAi=ylOA+AAi=72,

同理可得：。％=0。4,=2,

:.OA,=>/2OA2=2yf2,

故答案為：20.

12.G+l

【分析】連接0408,將VA0B繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到△A09,而線段。。繞點(diǎn)。逆

時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。到線段0七處，故點(diǎn)石在線段上，過(guò)點(diǎn)8作3K_LA'Zr于點(diǎn)K,根據(jù)垂線段

最短原理，得當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)K重合時(shí)，BE的長(zhǎng)取得最小值，過(guò)點(diǎn)。作O/_LAC于點(diǎn)「過(guò)點(diǎn)

。作QVJ.4'&于點(diǎn)N,OHA.BK于點(diǎn)、H,四邊形O”KN時(shí)矩形，利用勾股定理，旋轉(zhuǎn)的

性質(zhì)，角平分線交點(diǎn)的意義，解答即可.

本題考查了直角三角形的性質(zhì)，垂線段最短，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，

熟練掌握勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，垂線段最短，直角三弟形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：連接OAO4,將VAO8繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到△409,而線段OD繞點(diǎn)

O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到線段0E處，

故點(diǎn)石在線段AE上，過(guò)點(diǎn)8作/3KJ_49于點(diǎn)K,根據(jù)垂線段最短原理，得當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)K

重合時(shí)，8E的長(zhǎng)取得最小值，

過(guò)點(diǎn)。作。/_L8C于點(diǎn)F,

???點(diǎn)。是RtZ\A8C的三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，

???點(diǎn)O到直角三角形三邊的距離相等，都等于OF,

：,；（48+8C+CA}OF=；ACBC,

VZACB=90°,ZABC=30°,AC=2.

???AB=2AC=4,BC=y/AB2-AC2=2y/3>

AC?BC4G

JOF=G-i,

AB+BC+CA2+4+26

連接OC,

???點(diǎn)。是RtZ^ABC的三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn),

???OC平分N4C8,

???ZOCF=ZCOF=45°,

：.CF=OF=y/3-],

Br-nc-cr-2y/3-43+\-y/5+\,

；?OB=JOF2+BF=2a，

過(guò)點(diǎn)。作于點(diǎn)N,OH工BK于點(diǎn)、K,

???四邊形O，KN是矩形，

：,ON=KH,OH||KN,

???點(diǎn)。是RtZ^ABC的三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，

???點(diǎn)。到直角三角形三邊的距離相等，都等于。〃，ON=OF=01,

，NFBO=NABO=-/ABC=15°,

2

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得Na=4480=15。，40夕=60。，

'：0H\\KN,

CFB

/.Ne=NEOH=15。,

，NBOH=45。,

BH=OH=—OB=—x2>/2=2,

22

，BK=BH+KH=67+2=6+1,

故當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)K重合時(shí)，最小，

故應(yīng):長(zhǎng)的最小值為G+l.

故答案為：G+1.

13.2&

【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，最短路徑問(wèn)題，以及全等三角形的判定

和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)的知識(shí)，止確的進(jìn)行解題.

由題意，過(guò)點(diǎn)C作C〃_LBC,且CH=BC,連接連接/77,先證明AAECg△CPH,則

CE=HF,BF+CE=BF”H,然后找出點(diǎn)尸使得距離最小，利用勾股定理即可得到答案.

【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)。作C〃_L8C,且CH=BC,連接B"，連接”，

H

A

/.Z^CH=90°

在等邊三角形ABC中，ADJ.BC,

，/8C4=NB4C=60。，AC=BC=AB=2ZZ)AC=-ZBAC=30°

t2

???ZACH=9()。-ZACB=30°

AZD4C=ZACH=30°

CH=BC

???AC=CH,

在△A￡C與中，

AE=CF

<NEAC=NFCH,

AC=CH

.,.△AECRCFH(SAS),

：?CE=HF,BF+CE=BF+FHNBH,

當(dāng)點(diǎn)aF,"三點(diǎn)共線時(shí)，BF+CE取得最小值為BH,

工8尸+?！甑淖钚≈禐椋築H=>jBC2+CH2=y/2BC=2y/2-

故答案為：20.

14.(l)ZACB=90,理由見(jiàn)解析

(2)①COJ.砂，理由見(jiàn)解析；②CQ=U：色或述

22

【分析】(1)根據(jù)80=。。得出/8=/8。。，根據(jù)O4=OC得出NA=NACO,進(jìn)而得出

44co+N3CO=90,從而得到NAC3的度數(shù)；

(2)①延長(zhǎng)￡0至憶可得出NCOE=2NCDE,進(jìn)而得出

NBED+NCDE=90,從而推出C。,￡8的位置關(guān)系；

②當(dāng)在A8上方時(shí)，連接3。，設(shè)CO和航交于點(diǎn)W,可證得g△80E,從而

NCOD=NBOE,NCDO=NOBE,進(jìn)而得出-COE=/300=90,從而得出

N3CD=‘N3OD=45,從而得出8W=CW=^BC=6及，可求得(陽(yáng)=O。=上，從而

222

8。=&。8="，根據(jù)勾股定理得出8W,進(jìn)而得出C。；當(dāng)△￡)6史在AB的下方時(shí)，可

2

得出。卬=也8。=6夜，DW=—DE=—,進(jìn)而得出C。的值.

222

【詳解】(1)解：?.?BO=CO,

/.NB=NBCO,

???CO是43邊上的中線，

OA=OB,

:.OA=OC,

.-.ZA=ZACO,

/A+XACH+/R=IXO,

.?.Z4+(ZACO+Z^CO)+ZB=180,

...2NACO+2NBCO=180,

NACO+4CO=9(),

ZACB=90;

(2)解：①如圖I,

延長(zhǎng)EO至F,

?;OE=OC=OA=OD=OB,

:./OED=NODE,NOEB=N()BE,

NDOF=N0ED+NODE=2NOED,

NBOF=NOEB+NOBE=2NOEB,

NDOF-/BOF=2/OED-2/OEB,

...BOD=2^BED,

同理可得,

ZC0E=24CDE，

NDOE+NBOC=^AOC+NBOC=\80,

:.ZBOD+ZCOE=3,0)-(ZDOE+ZBOC)=18(),

2NBED+2NCDE=180,

NBED+NCDE=90，

記。。交8￡于點(diǎn)S,則N￡>SE=9O。，

:,CD1EB；

②如圖2,

圖2

當(dāng)./X應(yīng)在A8上方時(shí)，連接50,設(shè)C。和跖交于點(diǎn)W,

?;OD=OE=OC=OB,CD=BE,

:^COD^^BOE(SSS),

:./COD=/BOE,/CDO=NOBE，

NCOD-NDOE=NBOE-NDOE,

:.ZCOE=ZBOD,

???NCOE+NBOD=180,

NCOE=NBOD=9。,

同理①知，

/BCD=工/BOD=45、

2

QCD工BE,4c=12,

/.ZCBW=45°=ZBCD,

.\BW=CW=—BC=6y!2f

2

?.?/AC3=90,AC=5,5c=12,

，AB=\3,

OB=OD=—,

2

/.BD=y]OB2+OD2=,

2

DW=JBD2-BW2=3^^[-（60）2='

：.CD=CW+DW=^^；

2

如圖3,

當(dāng)從）0七在A8的下方時(shí)，

同理可得CW=^8c=6五，DW=—DE=—,

222

7>/2

：.CD=CW-DW=^—t

2

綜上所述：。。=12亞或速.

22

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，

全等三角形性質(zhì)和判定，垂直的判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識(shí)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是分類討論.

15.（1）是，理由見(jiàn)解析

⑵號(hào)或3

【分析】本題考查了勾股定理及其逆定理的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)分類討論,

不能漏解.

（1）根據(jù)勾股定理逆定理，即可判斷點(diǎn)M,N是線段M的勾股分割點(diǎn)；

（2）設(shè)NB=x,則MN=12—AM—8N=7—x,分兩種嘴形：當(dāng)用N為最長(zhǎng)線段時(shí)，

MN2=AM2+NB2；當(dāng)N/3為最長(zhǎng)線段時(shí)，NB2=AM2+MN2;分別列出方程即可解決問(wèn)題.

【詳解】（1）解：M,N是線段A4的“勾股分割點(diǎn)”.理由如下：

因?yàn)锳M「+NB?=72+24-=625,MN2=252=625,

所以AM?+NB，=MN?,所以以A",MN,N8為邊的三角形是一個(gè)直角三角形.

故M，N是線段AB的“勾股分割點(diǎn)

(2)解：設(shè)NB=x,則MN=12-AM-8N=7-x.

17

①當(dāng)MN為最長(zhǎng)線段時(shí)，依題意，得MN=AM2+NB2,即(7-X)2=25+Y,解得X=

37

②當(dāng)N8為最長(zhǎng)線段時(shí)，依題意，得NB'AM'MM,即/=25+(7-幻2,解得x吟.

1937

綜上所述，N8的長(zhǎng)為三或?.

16.(1)證明見(jiàn)解析；

(2)AC=8.

【分析】(1)由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得：BD=BE,NO8石=90。，結(jié)合等腰直角三角形性質(zhì)可利用“邊

角邊”證明AABD^CBE，最后由全等三角形性質(zhì)即可得證；

(2)結(jié)合全等三角形性質(zhì)、等腰育角三角形性質(zhì)推得ADCE是百角三角形,由勾股定理求

出OE、CD,則4c=AO+CO.

【詳解】(1)證明：由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得：BD=BE,ZDBE=90°,

?.?△ABC是等腰直角三角形，

:.AB=CB,ZABC=90。，

即ZABC=/DBE,

ZABC-ZDBC=NDBE—NDBC,

即ZABD=NCBE,

??,在aABD和△C8E中，

BD=BE

<NABD=NCBE,

AB=CB

.△AB慳ACBE(SAS).

AD=EC.

(2)解：依題得：BD=BE,AD=EC=\,

..RABDE中，DE=dBD、BE2=54，

?;AABD^ACBE,

/BAD=/BCE,

?.?△ABC是等腰直角三角形，

:.ABAD=ZACB=45°,

ZDCE=ZBCE+Z4C8=90。，

:.Rf^DCE中,CD=y]DE2-EC2=7?

:.AC=AD+CD=S.

【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是旋轉(zhuǎn)性質(zhì)、等腰直角三角形性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、

勾股定理，解題關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì).

17.(1)見(jiàn)解析

(2)9.6

【分析】本題主要考查平行線的判定和性質(zhì)以及勾股定理，

(1)根據(jù)平行