/第十六章整式的乘法16.3乘法公式16.3.1平方差公式教學(xué)設(shè)計(jì)一、內(nèi)容和內(nèi)容解析本節(jié)課是《整式的乘法》一章中的重要組成部分，學(xué)生在已經(jīng)掌握了單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘、多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的基本法則的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步學(xué)習(xí)特殊形式的多項(xiàng)式乘法公式——平方差公式。該公式是整式乘法中的重點(diǎn)內(nèi)容，具有形式簡(jiǎn)潔、應(yīng)用廣泛的特點(diǎn)，不僅有助于簡(jiǎn)化計(jì)算，更是后續(xù)學(xué)習(xí)因式分解、分式運(yùn)算、二次函數(shù)等內(nèi)容的基礎(chǔ)，起到承上啟下的作用。內(nèi)容分析：平方差公式是多項(xiàng)式乘法中的一種特殊形式，表現(xiàn)為兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的乘積等于這兩個(gè)數(shù)的平方差，即(a+b二、目標(biāo)和目標(biāo)解析1.目標(biāo)理解平方差公式的幾何意義與代數(shù)推導(dǎo)過(guò)程。掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，能識(shí)別適用該公式的代數(shù)式。能運(yùn)用平方差公式進(jìn)行整式乘法運(yùn)算，提高計(jì)算效率。能運(yùn)用平方差公式解決實(shí)際問(wèn)題，增強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)。2.目標(biāo)解析理解公式的推導(dǎo)：通過(guò)圖形面積與代數(shù)運(yùn)算相結(jié)合的方式，幫助學(xué)生直觀理解公式的來(lái)源。識(shí)別結(jié)構(gòu)特征：引導(dǎo)學(xué)生觀察式子結(jié)構(gòu)，判斷是否為“和與差”的形式，并能準(zhǔn)確找出對(duì)應(yīng)的a和b。熟練運(yùn)用公式：通過(guò)典型例題與變式訓(xùn)練，使學(xué)生能快速、準(zhǔn)確地進(jìn)行計(jì)算。解決實(shí)際問(wèn)題：將公式應(yīng)用于數(shù)值計(jì)算、圖形問(wèn)題等情境，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力。三、教學(xué)問(wèn)題診斷分析學(xué)生在學(xué)習(xí)多項(xiàng)式乘法時(shí)，往往對(duì)公式的結(jié)構(gòu)識(shí)別不夠敏感，容易混淆平方差公式與完全平方公式。此外，在符號(hào)處理、項(xiàng)的順序調(diào)整等方面也容易出現(xiàn)錯(cuò)誤。因此，本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)為準(zhǔn)確識(shí)別平方差公式的結(jié)構(gòu)并正確運(yùn)用于計(jì)算。四、教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：理解并掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特征與推導(dǎo)過(guò)程。教學(xué)難點(diǎn)：準(zhǔn)確識(shí)別平方差公式的結(jié)構(gòu)并正確運(yùn)用于計(jì)算。五、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)（一）情景引入問(wèn)題1：小明要計(jì)算一個(gè)長(zhǎng)方形的面積，長(zhǎng)為x+1，寬為x學(xué)生嘗試計(jì)算：(問(wèn)題2：若長(zhǎng)為m+2，寬為m學(xué)生計(jì)算：(問(wèn)題3：觀察以上兩個(gè)式子的結(jié)果，你有什么發(fā)現(xiàn)？能否用一個(gè)公式表示這類乘法？引導(dǎo)學(xué)生歸納出：(設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)實(shí)際問(wèn)題引入，激發(fā)學(xué)生興趣，引導(dǎo)他們從具體計(jì)算中抽象出一般規(guī)律，初步感知平方差公式的結(jié)構(gòu)，為目標(biāo)1服務(wù)。（二）合作探究1：從特殊到一般，發(fā)現(xiàn)規(guī)律教師活動(dòng)：出示三組算式，請(qǐng)學(xué)生獨(dú)立計(jì)算：①(②(③(2學(xué)生活動(dòng)：計(jì)算并匯報(bào)結(jié)果：①x②m③4教師引導(dǎo)：請(qǐng)大家觀察這三個(gè)等式，左邊是什么運(yùn)算？右邊結(jié)果有什么共同特點(diǎn)？學(xué)生發(fā)現(xiàn)：左邊都是“兩項(xiàng)和乘兩項(xiàng)差”，右邊都是“平方差”形式。教師追問(wèn)：你能猜想一下：(a+b)(a-b)的結(jié)果應(yīng)該是什么嗎？學(xué)生提出猜想：可能是a教師引導(dǎo)驗(yàn)證：請(qǐng)用多項(xiàng)式乘法法則計(jì)算：(a+b)(a-b)學(xué)生計(jì)算：(得出結(jié)論：猜想成立，即(設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)從特殊到一般的探究過(guò)程，學(xué)生經(jīng)歷觀察、猜想、驗(yàn)證的完整思維過(guò)程，逐步構(gòu)建平方差公式的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)與推理能力。（三）鞏固練習(xí)1計(jì)算：(3答案：9計(jì)算：(?2答案：4設(shè)計(jì)意圖：及時(shí)鞏固學(xué)生對(duì)公式的理解，強(qiáng)化符號(hào)處理能力，為目標(biāo)3服務(wù)。（四）合作探究2：幾何驗(yàn)證與結(jié)構(gòu)辨析教師提出問(wèn)題：我們能否用圖形面積來(lái)說(shuō)明這個(gè)公式？出示圖（示意如下）：一個(gè)大正方形，邊長(zhǎng)為a，面積為a從中剪去一個(gè)小正方形，邊長(zhǎng)為b，面積為b剩余部分面積為a教師引導(dǎo)：能否將剩余部分拼成一個(gè)長(zhǎng)方形？它的長(zhǎng)和寬分別是多少？學(xué)生操作與思考：將剩余部分剪開、拼接，得到一個(gè)長(zhǎng)為a+b、寬為教師提問(wèn)：這個(gè)長(zhǎng)方形的面積可以怎樣表示？學(xué)生回答：(教師引導(dǎo)得出結(jié)論：因此，(a進(jìn)一步追問(wèn)：是否所有的“兩項(xiàng)和乘兩項(xiàng)差”都能用平方差公式？出示反例：(引導(dǎo)學(xué)生辨析：只有兩個(gè)括號(hào)中有一項(xiàng)相同，另一項(xiàng)互為相反數(shù)時(shí)，才能使用平方差公式。設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)幾何直觀幫助學(xué)生理解公式的本質(zhì)，強(qiáng)化對(duì)公式結(jié)構(gòu)的識(shí)別能力，避免機(jī)械記憶，提升數(shù)學(xué)思維能力。（五）典例分析例1：運(yùn)用平方差公式計(jì)算：（1）(3（2）(?講解：（1）中a=3x，b（2）中a=?x，b設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)典型例題講解，幫助學(xué)生掌握公式的運(yùn)用方法，強(qiáng)化結(jié)構(gòu)識(shí)別能力。（六）鞏固練習(xí)計(jì)算：(5答案：25計(jì)算：(答案：x計(jì)算：102×98答案：9996設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)多層次練習(xí)，鞏固公式運(yùn)用，提升計(jì)算能力與綜合應(yīng)用能力。（七）歸納總結(jié)知識(shí)點(diǎn)說(shuō)明平方差公式(結(jié)構(gòu)特征兩項(xiàng)和與兩項(xiàng)差的乘積幾何意義面積差模型應(yīng)用場(chǎng)景簡(jiǎn)化計(jì)算、實(shí)際問(wèn)題建模等（八）感受中考（2024·北京）計(jì)算：(2答案：4（2024·上海）若x2?y2答案：5（2025·廣州）用平方差公式計(jì)算：99×101答案：9999（2025·深圳）化簡(jiǎn)：(3答案：?16設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)中考真題訓(xùn)練，幫助學(xué)生熟悉考試題型，提升應(yīng)試能力與學(xué)習(xí)動(dòng)力。（九）小結(jié)梳理知識(shí)點(diǎn)關(guān)聯(lián)內(nèi)容平方差公式與完全平方公式