2026屆遼寧省沈陽市第八十七中學(xué)九年級數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題（每題4分，共48分）1．下列手機手勢解鎖圖案中，是中心對稱圖形的是（

）A． B． C． D．2．共享單車為市民出行帶來了方便，某單車公司第一個月投放1000輛單車，計劃第三個月投放單車數(shù)量比第一個月多440輛．設(shè)該公司第二、三連個月投放單車數(shù)量的月平均增長率為x，則所列方程正確的是（）A．1000(1＋x)2＝440 B．1000(1＋x)2＝1000C．1000(1＋2x)＝1000＋440 D．1000(1＋x)2＝1000＋4403．已知⊙O的半徑為5cm，圓心O到直線l的距離為5cm，則直線l與⊙O的位置關(guān)系為（）A．相交 B．相切 C．相離 D．無法確定4．一元二次方程x2﹣3x＝0的兩個根是（）A．x1＝0，x2＝﹣3 B．x1＝0，x2＝3 C．x1＝1，x2＝3 D．x1＝1，x2＝﹣35．在ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=4，以A為圓心，以3為半徑畫圓，則點C與⊙A的位置關(guān)系是（）A．在⊙A外 B．在⊙A上 C．在⊙A內(nèi) D．不能確定6．下列各式中，均不為，和成反比例關(guān)系的是()A． B． C． D．7．如圖，邊長為1的正方形ABCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)30°到正方形AB’C’D’，圖中陰影部分的面積為（）．A． B． C． D．8．在△ABC中，∠C＝Rt∠，AC＝6，BC＝8，則cosB的值是（）A． B． C． D．9．某車的剎車距離y（m）與開始剎車時的速度x（m/s）之間滿足二次函數(shù)（x＞0），若該車某次的剎車距離為5m，則開始剎車時的速度為（）A．40m/s B．20m/sC．10m/s D．5m/s10．如圖，在△ABC中，點D、E分別在邊AB、AC上，則在下列五個條件中：①∠AED＝∠B；②DE∥BC；③＝；④AD·BC＝DE·AC；⑤∠ADE＝∠C，能滿足△ADE∽△ACB的條件有()A．1個 B．2 C．3個 D．4個11．如圖，點，，都在上，若，則為（）A． B． C． D．12．某數(shù)學(xué)興趣小組開展動手操作活動，設(shè)計了如圖所示的三種圖形，現(xiàn)計劃用鐵絲按照圖形制作相應(yīng)的造型，則所用鐵絲的長度關(guān)系是（）A．甲種方案所用鐵絲最長 B．乙種方案所用鐵絲最長C．丙種方案所用鐵絲最長 D．三種方案所用鐵絲一樣長:]二、填空題（每題4分，共24分）13．將拋物線y＝2x2的圖象向上平移1個單位長度后，所得拋物線的解析式為_____．14．如圖，點A、B、C、D都在⊙O上，∠ABC＝90°，AD＝4，CD＝3，則⊙O的半徑的長是______．15．如圖，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC，E、F分別為AC、AD上兩動點，連接CF、EF，則CF＋EF的最小值為_____．16．“永定樓”，作為門頭溝區(qū)的地標(biāo)性建筑，因其坐落在永定河畔而得名．為測得其高度，低空無人機在A處，測得樓頂端B的仰角為30°，樓底端C的俯角為45°，此時低空無人機到地面的垂直距離AE為23米，那么永定樓的高度BC是______米（結(jié)果保留根號）．17．某校九年1班共有45位學(xué)生，其中男生有25人，現(xiàn)從中任選一位學(xué)生，選中女生的概率是____．18．有4根細木棒，它們的長度分別是2cm、4cm、6cm、8cm．從中任取3根恰好能搭成一個三角形的概率是_____．三、解答題（共78分）19．（8分）如圖，在的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長為1，建立如圖所示的坐標(biāo)系．(1)若將沿軸對折得到，則的坐標(biāo)為．(2)以點為位似中心，將各邊放大為原來的2倍，得到，請在這個網(wǎng)格中畫出．(3)若小明蒙上眼睛在一定距離外，向的正方形網(wǎng)格內(nèi)擲小石子，則剛好擲入的概率是多少？(未擲入圖形內(nèi)則不計次數(shù)，重擲一次)20．（8分）如圖，已知是等邊三角形的外接圓，點在圓上，在的延長線上有一點，使，交于點．（1）求證：是的切線（2）若，求的長21．（8分）已知正比例函數(shù)y=k1x(k1≠0)與反比例函數(shù)的圖象交于A、B兩點，點A的坐標(biāo)為（2，1）．（1）求正比例函數(shù)、反比例函數(shù)的表達式；（2）求點B的坐標(biāo)．22．（10分）如圖，在中，，點是邊上一點，連接，以為邊作等邊.如圖1，若求等邊的邊長;如圖2，點在邊上移動過程中，連接，取的中點，連接，過點作于點.①求證:；②如圖3，將沿翻折得，連接，直接寫出的最小值.23．（10分）如圖，直線與雙曲線相交于點A，且，將直線向左平移一個單位后與雙曲線相交于點B，與x軸、y軸分別交于C、D兩點．（1）求直線的解析式及k的值；（2）連結(jié)、，求的面積．24．（10分）如圖，的內(nèi)接四邊形兩組對邊的延長線分別相交于點、．（1）若時，求證：；（2）若時，求的度數(shù)．25．（12分）為了解某校九年級學(xué)生立定跳遠水平，隨機抽取該年級50名學(xué)生進行測試，并把測試成績（單位：m）繪制成不完整的頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布直方圖．學(xué)生立定跳遠測試成績的頻數(shù)分布表分組頻數(shù)1.2≤x＜1.6a1.6≤x＜2.0122.0≤x＜2.4b2.4≤x＜2.810請根據(jù)圖表中所提供的信息，完成下列問題：（1）表中a=，b=，樣本成績的中位數(shù)落在范圍內(nèi)；（2）請把頻數(shù)分布直方圖補充完整；（3）該校九年級共有1000名學(xué)生，估計該年級學(xué)生立定跳遠成績在2.4≤x＜2.8范圍內(nèi)的學(xué)生有多少人？26．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有一直角三角形AOB，O為坐標(biāo)原點，OA＝1，tan∠BAO＝3，將此三角形繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△DOC，拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過點A、B、C．（1）求拋物線的解析式；（2）若點P是第二象限內(nèi)拋物線上的動點，其橫坐標(biāo)為t，設(shè)拋物線對稱軸l與x軸交于一點E，連接PE，交CD于F，求以C、E、F為頂點三角形與△COD相似時點P的坐標(biāo)．

參考答案一、選擇題（每題4分，共48分）1、B【分析】根據(jù)中心對稱圖形的概念判斷即可．【詳解】A．不是中心對稱圖形；B．是中心對稱圖形；C．不是中心對稱圖形；D．不是中心對稱圖形．故選B．本題考查了中心對稱圖的概念，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后兩部分重合．2、D【分析】根據(jù)題意可以列出相應(yīng)的一元二次方程，從而可以解答本題得出選項．【詳解】解：由題意可得，1000(1＋x)2＝1000＋440，故選：D．本題考查由實際問題抽象出一元二次方程，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的方程，是關(guān)于增長率的問題．3、B【分析】根據(jù)圓心到直線的距離5等于圓的半徑5，即可判斷直線和圓相切．【詳解】∵圓心到直線的距離5cm=5cm，∴直線和圓相切，故選B．本題考查了直線與圓的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是能熟練根據(jù)數(shù)量之間的關(guān)系判斷直線和圓的位置關(guān)系．若d＜r，則直線與圓相交；若d=r，則直線于圓相切；若d＞r，則直線與圓相離．4、B【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可．【詳解】x2﹣1x＝0，x（x﹣1）＝0，x＝0或x﹣1＝0，x1＝0，x2＝1．故選：B．本題考查了解一元二次方程?因式分解法：就是先把方程的右邊化為0，再把左邊通過因式分解化為兩個一次因式的積的形式，那么這兩個因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個一元一次方程的解，這樣也就把原方程進行了降次，把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問題了（數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想）．5、B【分析】根據(jù)勾股定理求出AC的值，根據(jù)點與圓的位關(guān)系特點，判斷即可．【詳解】解：由勾股定理得：∵AC=半徑=3，∴點C與⊙A的位置關(guān)系是：點C在⊙A上，故選：B．本題考查了點與圓的位置關(guān)系定理和勾股定理等知識點的應(yīng)用，點與圓（圓的半徑是r，點到圓心的距離是d）的位置關(guān)系有3種：d=r時，點在圓上；d＜r點在圓內(nèi)；d＞r點在圓外．掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．6、B【分析】判斷兩個相關(guān)聯(lián)的量之間成什么比例，就看這兩個量是對應(yīng)的比值一定，還是對應(yīng)的乘積一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘積一定，則成反比例．【詳解】解：A.，則，x和y不成比例；B.，即7yx=5，是比值一定，x和y成反比例；C.，x和y不成比例；D.，即y：x=5：8，是比值一定，x和y成正比例.故選B.此題屬于根據(jù)正、反比例的意義，辨識兩種相關(guān)聯(lián)的量是否成反比例，就看這兩種量是否是對應(yīng)的乘積一定，再做出選擇．7、C【分析】設(shè)B′C′與CD的交點為E，連接AE，利用“HL”證明Rt△AB′E和Rt△ADE全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等∠DAE＝∠B′AE，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)角求出∠DAB′＝60°，然后求出∠DAE＝30°，再解直角三角形求出DE，然后根據(jù)陰影部分的面積＝正方形ABCD的面積﹣四邊形ADEB′的面積，列式計算即可得解．【詳解】如圖，設(shè)B′C′與CD的交點為E，連接AE，在Rt△AB′E和Rt△ADE中，，∴Rt△AB′E≌Rt△ADE（HL），∴∠DAE＝∠B′AE，∵旋轉(zhuǎn)角為30°，∴∠DAB′＝60°，∴∠DAE＝×60°＝30°，∴DE＝1×＝，∴陰影部分的面積＝1×1﹣2×（×1×）＝1﹣．故選C．本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形判定與性質(zhì)，解直角三角形，利用全等三角形求出∠DAE＝∠B′AE，從而求出∠DAE＝30°是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點．8、C【分析】利用勾股定理求出AB，根據(jù)余弦函數(shù)的定義求解即可．【詳解】解：如圖，在中，，，，，故選：C．本題考查解直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．9、C【解析】當(dāng)y=5時，則，解之得（負值舍去），故選C10、D【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理判斷即可．【詳解】解：①由∠AED=∠B，∠A=∠A，則可判斷△ADE∽△ACB；②DE∥BC，則有∠AED=∠C，∠ADE=∠B，則可判斷△ADE∽△ACB；③＝，∠A=∠A，則可判斷△ADE∽△ACB；④AD·BC＝DE·AC，可化為，此時不確定∠ADE=∠ACB，故不能確定△ADE∽△ACB；⑤由∠ADE=∠C，∠A=∠A，則可判斷△ADE∽△ACB；所以能滿足△ADE∽△ACB的條件是：①②③⑤，共4個，故選：D．此題考查了相似三角形的判定，關(guān)鍵是掌握相似三角形的三種判定定理．11、D【分析】直接根據(jù)圓周角定理求解．【詳解】∵∠C=34°，

∴∠AOB=2∠C=68°．

故選：D．此題考查圓周角定理，解題關(guān)鍵在于掌握在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．12、D【解析】試題分析：解：由圖形可得出：甲所用鐵絲的長度為：2a+2b，乙所用鐵絲的長度為：2a+2b，丙所用鐵絲的長度為：2a+2b，故三種方案所用鐵絲一樣長．故選D．考點：生活中的平移現(xiàn)象二、填空題（每題4分，共24分）13、y＝2x2＋1．【分析】根據(jù)左加右減，上加下減的規(guī)律，直接得出答案即可．【詳解】解：∵拋物線y＝2x2的圖象向上平移1個單位，∴平移后的拋物線的解析式為y＝2x2＋1．故答案為：y＝2x2＋1．考查二次函數(shù)的平移問題；用到的知識點為：上下平移只改變點的縱坐標(biāo)，上加下減．14、2.5【分析】連接AC，根據(jù)∠ABC=90°可知AC是⊙O的直徑，故可得出∠D=90°，再由AD=4，CD=3可求出AC的長，進而得出結(jié)論．【詳解】解：如圖，連接AC，∵∠ABC=90°，

∴AC是⊙O的直徑，

∴∠D=90°，

∵AD=4，CD=3，

∴AC=5,∴⊙O的半徑=2.5,故答案為：2.5.本題考查的是圓周角定理，熟知直徑所對的圓周角是直角是解答此題的關(guān)鍵．15、【分析】作BM⊥AC于M，交AD于F，根據(jù)三線合一定理求出BD的長和AD⊥BC，根據(jù)三角形面積公式求出BM，根據(jù)對稱性質(zhì)求出BF＝CF，根據(jù)垂線段最短得出CF＋EF≥BM，即可得出答案．【詳解】作BM⊥AC于M，交AD于F，∵AB＝AC＝5，BC＝6，AD是BC邊上的中線，∴BD＝DC＝3，AD⊥BC，AD平分∠BAC，∴B、C關(guān)于AD對稱，∴BF＝CF，根據(jù)垂線段最短得出：CF＋EF＝BF＋EF≥BF＋FM＝BM，即CF＋EF≥BM，∵S△ABC＝×BC×AD＝×AC×BM，∴BM＝，即CF＋EF的最小值是，故答案為：．本題考查了軸對稱?最短路線問題，關(guān)鍵是畫出符合條件的圖形，題目具有一定的代表性，是一道比較好的題目．16、【分析】過點A作BC的垂線，垂足為D，則∠DAC=45°，∠BAD=30°，進一步推出AD=CD=AE=米,再根據(jù)tan∠BAD==,從而求出BD的值，再由BC=BD+CD即可得到結(jié)果.【詳解】解：如圖所示，過點A作AD⊥BC于D，則∠DAC=45°，∠BAD=30°，∵AD⊥BC,∠DAC=45°，∴AD=CD=AE=米,在Rt△ABD中，tan∠BAD==，∴BD=AD==23(米)∴BC=BD+CD=(米)故答案為.本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是從題目中整理出直角三角形并正確的利用邊角關(guān)系求解．17、【詳解】解:選中女生的概率是：.18、【分析】根據(jù)題意列舉出所有4種等可能的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)題意得出能夠構(gòu)成三角形的結(jié)果數(shù)，最后根據(jù)概率公式即可求解．【詳解】從中任取3根共有4種等可能的結(jié)果數(shù)，它們?yōu)?、4、6；2、4、8；2、6、8；、4、6、8，其中恰好能搭成一個三角形為4、6、8，所以恰好能搭成一個三角形的概率＝．故答案為．本題考查列表法或樹狀圖法和三角形三邊關(guān)系，解題的關(guān)鍵是通過列表法或樹狀圖法展示出所有等可能的結(jié)果數(shù)及求出構(gòu)成三角形的結(jié)果數(shù)．三、解答題（共78分）19、（1）(4,-1)；（2）見解析；（3）.【分析】（1）根據(jù)對稱的特點即可得出答案；（2）根據(jù)位似的定義即可得出答案；（3）分別求出三角形和正方形的面積，再用三角形的面積除以正方形的面積即可得出答案.【詳解】解：（1）（2）（3）∵，∴本題考查的是對稱和位似，比較簡單，需要掌握相關(guān)的基礎(chǔ)知識.20、（1）證明見解析；（2）1【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得∠OAC＝30°，∠BCA＝10°，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠EAC=10°，求出∠OAE＝90°，可得AE是⊙O的切線；（2）先根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得AB＝AC，∠BAC＝∠ABC＝10°，由四點共圓得∠ADF＝∠ABC＝10°，得△ADF是等邊三角形，然后證明△BAD≌△CAF，可得的長．【詳解】證明：（1）連接OA，∵⊙O是等邊三角形ABC的外接圓，∴∠OAC=30°，∠BCA=10°，∵AE∥BC，∴∠EAC=∠BCA=10°，∴∠OAE=∠OAC+∠EAC=30°+10°=90°，∴AE是⊙O的切線；（2）∵△ABC是等邊三角形，∴AB=AC，∠BAC=∠ABC=10°，∵A、B、C、D四點共圓，∴∠ADF=∠ABC=10°，∵AD=DF，∴△ADF是等邊三角形，∴AD=AF，∠DAF=10°，∴∠BAC+∠CAD=∠DAF+∠CAD，即∠BAD=∠CAF，在△BAD和△CAF中，，∴△BAD≌△CAF，∴BD=CF=1．本題考查了三角形的外接圓，切線的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，四點共圓等知識點的綜合運用，屬于基礎(chǔ)題，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)是關(guān)鍵．21、（1）正比例函數(shù)、反比例函數(shù)的表達式為：，；（2）B點坐標(biāo)是（-2，-1）【解析】試題分析：（1）把點A、B的坐標(biāo)分別代入函數(shù)y=k1x(k1≠0)與函數(shù)中求出k1和k2的值，即可得到兩個函數(shù)的解析式；（2）把（1）中所得兩個函數(shù)的解析式組成方程組，解方程組即可得到點B的坐標(biāo).試題解析：解：（1）把點A（2，1）分別代入y=k1x與可得：，k2=2，∴正比例函數(shù)、反比例函數(shù)的表達式分別為：，；（2）由題意得方程組：，解得：，，∴點B的坐標(biāo)是（-2，-1）.22、（1）；（2）證明見解析；（3）最小值為【分析】(1)過C做CF⊥AB，垂足為F，由題意可得∠B=30°，用正切函數(shù)可求CF的長，再用正弦函數(shù)即可求解；(2)如圖（2）1：延長BC到G使CG=BC，易得△CGE≌△CAD，可得CF∥GE，得∠CFA=90°，CF=GE再證DG=AD，得CF=DG，可得四邊形DGFC是矩形即可；（3）如圖（2）2：設(shè)ED與AC相交于G，連接FG,先證△EDF≌△FD'B得BD'=DE，當(dāng)DE最大時最小，然后求解即可；【詳解】解：（1）如圖：過C做CF⊥AB，垂足為F，∵，∴∠A=∠B=30°，BF=3∵tan∠B=∴CF=又∵sin∠CDB=sin45°=∴DC=∴等邊的邊長為；①如圖（2）1：延長BC到G使CG=BC∵∠ACB=120°∴∠GCE=180°-120°=60°，∠A=∠B=30°又∵∠ACB=60°∴∠GCE=∠ACD又∵CE=CD∴△CGE≌△CAD（SAS）∴∠G=∠A=30°，GE=AD又∵EF=FB∴GE∥FC,GE=FC,∴∠BCF=∠G=30°∴∠ACF=∠ACB-∠BCF=90°∴CF∥DG∵∠A=30°∴GD=AD,∴CF=DG∴四邊形DGFC是平行四邊形，又∵∠ACF=90°∴四邊形DGFC是矩形，∴②）如圖（2）2：設(shè)ED與AC相交于G，連接FG由題意得：EF=BF,∠EFD=∠D'FB∴△EDF≌△FD'B∴BD'=DE∴BD'=CD∴當(dāng)BD'取最小值時，有最小值當(dāng)CD⊥AB時，BD'min=AC,設(shè)CDmin=a，則AC=BC=2a，AB=2a的最小值為；本題屬于幾何綜合題，考查了矩形的判定、全等三角形的判定、直角三角形的性質(zhì)等知識點；但本題知識點比較隱蔽，正確做出輔助線，發(fā)現(xiàn)所考查的知識點是解答本題的關(guān)鍵.23、（1）直線的解析式為，k=1；（2）2.【解析】（1）根據(jù)平移的性質(zhì)即可求得直線的解析式，由直線和即可求得A的坐標(biāo)，然后代入雙曲線求得k的值；（2）作軸于E，軸于F，聯(lián)立方程求得B點的坐標(biāo)，然后根據(jù)，求得即可．【詳解】解：（1）根據(jù)平移的性質(zhì)，將直線向左平移一個單位后得到，∴直線的解析式為，∵直線與雙曲線相交于點A，∴A點的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)相等，∵，∴，；（2）作軸于E，軸于F，解得或∴，∵，∴．本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法，學(xué)會構(gòu)建方程組確定交點坐標(biāo)，屬于中考?？碱}型．24、（1）證明見解析；（2）48°．【分析】（1）根據(jù)對頂角與三角形的外角定理即可求解；（2）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形得到，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和及外角定理即可求解.【詳解】，，，；（2），，．，且，，，．此題主要考查圓內(nèi)的角度求解，解題的關(guān)鍵是熟知三角形的內(nèi)角和及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì).25、（1）8，20，2.0≤x＜2.4；（2）補圖見解析；（3）該年級學(xué)生立定跳遠成績在2.4≤x＜2.8范圍內(nèi)的學(xué)生有200人．【解析】（1）根據(jù)題意和統(tǒng)計圖可以求得a、b的值，并得到樣本成績的中位數(shù)所在的取值范圍；（2）根據(jù)b的值可以將頻數(shù)分布直方圖補充完整；（3）用1000乘以樣本中該年級學(xué)生立定跳遠成績在2.4≤x＜2.8范圍內(nèi)的學(xué)生比例即可得.【詳解】（1）由統(tǒng)計圖可得，a=8，b=50﹣8﹣12﹣10=20，樣本成績的中位數(shù)落在：2.0≤x＜2.4范圍內(nèi)，故答案為：8，20，2.0≤x＜2.4；（2）由（1）知，b=20，補全的頻數(shù)分布直方圖如圖所示；（3）1000×=200（人），答：該年級學(xué)生立定跳遠成績在2.4≤x＜2.8范圍內(nèi)的學(xué)生有200人