高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1天津市南開(kāi)區(qū)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期階段性質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題（二）第I卷一?選擇題：本大題共10個(gè)小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知數(shù)列的前幾項(xiàng)為：，則該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式可能為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】根據(jù)題意，數(shù)列的前幾項(xiàng)為：…，即，，，，故數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式可以為.故選：B.2.已知雙曲線的方程為，則該雙曲線的焦距為（）A.2 B.4 C. D.6【答案】D【解析】由雙曲線的方程為，可得，再由，所以雙曲線的焦距為，故選：D.3.若方程表示橢圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】方程變形得：，該方程要表示橢圓，則需要滿足，解得：，故選：A.4.已知等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，若，則（）A.3 B.6 C.9 D.27【答案】C【解析】在等差數(shù)列中，，解得，所以.故選：C.5.在正方體中，分別為和的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值是（）A.0 B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)正方體棱長(zhǎng)為，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，則，又異面直線與所成角為銳角，則異面直線與.所成角的余弦值為.故選：B.6.數(shù)列滿足，其前項(xiàng)積為，則等于（）A. B. C.6 D.【答案】A【解析】因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；…，所以數(shù)列是以為周期的周期數(shù)列，所以，所以.故選：A.7.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）A.8 B.12 C.14 D.20【答案】D【解析】因等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，由可得，則組成首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列，則.故選：D.8.與圓相切，且在坐標(biāo)軸上截距相等的直線共有（）A.2條 B.3條 C.4條 D.6條【答案】A【解析】圓的圓心為，半徑為1，由于原點(diǎn)在圓上，顯然過(guò)原點(diǎn)的直線不滿足題意；當(dāng)直線不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)且與圓相切時(shí)，依題意可設(shè)方程為，圓心到直線的距離，解得，此時(shí)滿足條件的直線有兩條，綜上可得：滿足條件的直線有兩條，故選：A.9.已知數(shù)列滿足，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因，則，則，因函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，故當(dāng)時(shí)的最小值為.故選：C.10.已知分別為橢圓的左，右焦點(diǎn)，為橢圓上任意一點(diǎn)，的內(nèi)切圓與切于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，則下列結(jié)論中①的最大值為；②的內(nèi)切圓面積最大值為；③為定值；④若為中點(diǎn)，則的方程為，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸為。短半軸長(zhǎng)為，半焦距為，根據(jù)題意可得，，，，，，∵，當(dāng)且僅當(dāng)P，，Q三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立，∴的最大值為，∴命題①正確；設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為，則根據(jù)的等面積算法可得：，∴，當(dāng)且僅當(dāng)為短軸頂點(diǎn)時(shí)，等號(hào)成立，∴的內(nèi)切圓面積最大值為，∴命題②錯(cuò)誤；根據(jù)的內(nèi)切圓的性質(zhì)易得：，∴，∴，∴命題③正確；若中點(diǎn)，設(shè)，，則，兩式相減可得：，∴，∴，∴，∴的方程為，即，又，故點(diǎn)在橢圓內(nèi)，所以直線與橢圓相交，所以直線滿足條件，命題④正確.故選：C.第Ⅱ卷二?填空題：本大題共5個(gè)小題，每小題3分，共15分.請(qǐng)將答案填在題中橫線上.11.直線的傾斜角為_(kāi)______________.【答案】【解析】由題意，可知直線的斜率為，設(shè)直線的傾斜角為，則，解得，即換線的傾斜角為.12.已知等比數(shù)列的公比，則等于__________.【答案】【解析】由題意知，，則.13.若雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且漸近線方程是，則這條雙曲線的方程是__________.【答案】；【解析】由雙曲線的漸近線為，設(shè)雙曲線方程為，又因?yàn)殡p曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，解得，所以雙曲線方程為.14.已知M為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，，則的最小值為_(kāi)__________.【答案】4【解析】如圖所示：設(shè)點(diǎn)M在準(zhǔn)線上的射影為D，由拋物線的定義知，∴要求的最小值，即求的最小值，當(dāng)D，M，P三點(diǎn)共線時(shí)，最小，最小值為.15.已知是雙曲線的右焦點(diǎn)，直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為的中點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率為_(kāi)_________.【答案】【解析】根據(jù)對(duì)稱性設(shè)A在第一象限，設(shè)，分別為的中點(diǎn),所以,因?yàn)?，所?即四邊形為矩形，,因?yàn)?，則，則，即，即，則，則左焦點(diǎn)，右焦點(diǎn)，則，解得，即，則雙曲線的離心率為.三?解答題：（本大題共5個(gè)小題，共55分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）16.已知公差不為零的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，得，①由成等比數(shù)列，可得，即，②由①②解得，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）由（1）知?jiǎng)t.17.曲線上的每一點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離相等.（1）求曲線的方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線與曲線交于兩點(diǎn)，若，求直線的方程.解：（1）因?yàn)榍€上的點(diǎn)到的距離與到的距離相等，所以軌跡為焦點(diǎn)在軸上，以為焦點(diǎn)的拋物線，所以的方程為.（2）設(shè)，直線的方程為，聯(lián)立得，所以.所以，解得，所以直線的方程為.18.已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，滿足，數(shù)列是等差數(shù)列，且，.（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1）因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，得，當(dāng)時(shí)，則，兩式相減得，，即，且，可知數(shù)列為等比數(shù)列，公比，所以.設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?，且，解得，所?（2）由（1）知，設(shè)的前項(xiàng)和為則.19.如圖，在四棱錐中，為棱的中點(diǎn)，平面，（1）求證：；（2）求到平面的距離；（3）求平面與平面夾角的余弦值.（1）證明：由題可知兩兩互相垂直，所以以所在直線為軸，過(guò)與平行的直線為軸，所在直線為軸，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系.又為棱的中點(diǎn)，易知.所以，所以，所以.（2）解：由（1）知，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則有，取時(shí)，.又因?yàn)?，所以到平面的距離.（3）解：由（1）知，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則有，取時(shí)，.設(shè)平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為.20.已知為橢圓上的點(diǎn)，為橢圓的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)，直線將的面積分為兩部分.（1）求橢圓方程；（2）已知直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，為的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)的最小值.解：（1）由直線將的面積分為兩部分，得，所以，從而.①由為橢圓上的點(diǎn)，得，②由①②解得，故橢圓的方程為；（2）設(shè)，由，得由，得，且，，由為的中點(diǎn)，且，得，即，化簡(jiǎn)得，代入（1）中有，，可得，令，有.由函數(shù)單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，為的最小值.天津市南開(kāi)區(qū)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期階段性質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題（二）第I卷一?選擇題：本大題共10個(gè)小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知數(shù)列的前幾項(xiàng)為：，則該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式可能為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】根據(jù)題意，數(shù)列的前幾項(xiàng)為：…，即，，，，故數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式可以為.故選：B.2.已知雙曲線的方程為，則該雙曲線的焦距為（）A.2 B.4 C. D.6【答案】D【解析】由雙曲線的方程為，可得，再由，所以雙曲線的焦距為，故選：D.3.若方程表示橢圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】方程變形得：，該方程要表示橢圓，則需要滿足，解得：，故選：A.4.已知等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，若，則（）A.3 B.6 C.9 D.27【答案】C【解析】在等差數(shù)列中，，解得，所以.故選：C.5.在正方體中，分別為和的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值是（）A.0 B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)正方體棱長(zhǎng)為，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，則，又異面直線與所成角為銳角，則異面直線與.所成角的余弦值為.故選：B.6.數(shù)列滿足，其前項(xiàng)積為，則等于（）A. B. C.6 D.【答案】A【解析】因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；…，所以數(shù)列是以為周期的周期數(shù)列，所以，所以.故選：A.7.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）A.8 B.12 C.14 D.20【答案】D【解析】因等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，由可得，則組成首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列，則.故選：D.8.與圓相切，且在坐標(biāo)軸上截距相等的直線共有（）A.2條 B.3條 C.4條 D.6條【答案】A【解析】圓的圓心為，半徑為1，由于原點(diǎn)在圓上，顯然過(guò)原點(diǎn)的直線不滿足題意；當(dāng)直線不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)且與圓相切時(shí)，依題意可設(shè)方程為，圓心到直線的距離，解得，此時(shí)滿足條件的直線有兩條，綜上可得：滿足條件的直線有兩條，故選：A.9.已知數(shù)列滿足，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因，則，則，因函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，故當(dāng)時(shí)的最小值為.故選：C.10.已知分別為橢圓的左，右焦點(diǎn)，為橢圓上任意一點(diǎn)，的內(nèi)切圓與切于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，則下列結(jié)論中①的最大值為；②的內(nèi)切圓面積最大值為；③為定值；④若為中點(diǎn)，則的方程為，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸為。短半軸長(zhǎng)為，半焦距為，根據(jù)題意可得，，，，，，∵，當(dāng)且僅當(dāng)P，，Q三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立，∴的最大值為，∴命題①正確；設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為，則根據(jù)的等面積算法可得：，∴，當(dāng)且僅當(dāng)為短軸頂點(diǎn)時(shí)，等號(hào)成立，∴的內(nèi)切圓面積最大值為，∴命題②錯(cuò)誤；根據(jù)的內(nèi)切圓的性質(zhì)易得：，∴，∴，∴命題③正確；若中點(diǎn)，設(shè)，，則，兩式相減可得：，∴，∴，∴，∴的方程為，即，又，故點(diǎn)在橢圓內(nèi)，所以直線與橢圓相交，所以直線滿足條件，命題④正確.故選：C.第Ⅱ卷二?填空題：本大題共5個(gè)小題，每小題3分，共15分.請(qǐng)將答案填在題中橫線上.11.直線的傾斜角為_(kāi)______________.【答案】【解析】由題意，可知直線的斜率為，設(shè)直線的傾斜角為，則，解得，即換線的傾斜角為.12.已知等比數(shù)列的公比，則等于__________.【答案】【解析】由題意知，，則.13.若雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且漸近線方程是，則這條雙曲線的方程是__________.【答案】；【解析】由雙曲線的漸近線為，設(shè)雙曲線方程為，又因?yàn)殡p曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，解得，所以雙曲線方程為.14.已知M為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，，則的最小值為_(kāi)__________.【答案】4【解析】如圖所示：設(shè)點(diǎn)M在準(zhǔn)線上的射影為D，由拋物線的定義知，∴要求的最小值，即求的最小值，當(dāng)D，M，P三點(diǎn)共線時(shí)，最小，最小值為.15.已知是雙曲線的右焦點(diǎn)，直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為的中點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率為_(kāi)_________.【答案】【解析】根據(jù)對(duì)稱性設(shè)A在第一象限，設(shè)，分別為的中點(diǎn),所以,因?yàn)椋?即四邊形為矩形，,因?yàn)椋瑒t，則，即，即，則，則左焦點(diǎn)，右焦點(diǎn)，則，解得，即，則雙曲線的離心率為.三?解答題：（本大題共5個(gè)小題，共55分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）16.已知公差不為零的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，得，①由成等比數(shù)列，可得，即，②由①②解得，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）由（1）知?jiǎng)t.17.曲線上的每一點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離相等.（1）求曲線的方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線與曲線交于兩點(diǎn)，若，求直線的方程.解：（1）因?yàn)榍€上的點(diǎn)到的距離與到的距離相等，所以軌跡為焦點(diǎn)在軸上，以為焦點(diǎn)的拋物線，所以的方程為.（2）設(shè)，直線的方程為，聯(lián)立得，所以.所以，解得，所以直線的方程為.18.已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，滿足，數(shù)列是等差數(shù)列，且，.（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1）因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，得，當(dāng)時(shí)，則，兩式相減得，，即，且，可知數(shù)列為等比數(shù)列，公比，所以.設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)椋?，解得，所?（2）由（1）知，設(shè)的前項(xiàng)和為則.19.如圖，在四棱錐中，為棱的中點(diǎn)，平面，（1）求證：；（2）求到平面的距離；（3）求平面與平面夾角的余弦值.（1）證明：由題可知兩兩互相垂直，所以以所在直線為軸，過(guò)與平行的直線為軸，所在直線為軸，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系.又為棱的中點(diǎn)，易知.所以，所以，所以.（2）解：由（1）知，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則有，