近世代數(shù)

一、單項(xiàng)選擇題

L若A={1,2,3,5),R二{2,3,6,7},則)

A.{1,2,3,4}B.{2,3,6,7)

C.{2,3}D、{1,2,3,5,6,7}

答案:C

2.循環(huán)群與互換群關(guān)系對(duì)日勺I均是（）

A.循環(huán)群是互換群B、互換群是循環(huán)群

C.循環(huán)群不一定是互換群D,以上都不太

答案：A

3.下列命題對(duì)的的是（）

A.n次對(duì)換群的J階為整環(huán)一定是域

C.互換環(huán)一定是域D.以上都不對(duì)

答案：A

A、4、有關(guān)陪集H勺命題中對(duì)H勺的是（）設(shè)H是G的子群，那么

B、對(duì)于有aHcbH或aH=bH

C、ciH=HoawH

D、aH=bHoG'beH

E、以上都對(duì)

答案：D

5、設(shè)A=R（實(shí)數(shù)域），B=R+（正實(shí)數(shù)域）f:a-*10aaA則f

是從A到B口勺（）

A.單射B.滿射

C.一一映射D.既非單射也非滿射

答案：D

6.有限群中向每一種元素H勺階都（）

A.有限無限

C.為零D.為1

答案：A

7、整環(huán)（域）的特性為（

A.素?cái)?shù)B.無限

C.有限D(zhuǎn).或素?cái)?shù)或無限

答案：D

8、若S是半群，則（；

A.任意均有a（bc）=（ab）cB.任意均有ab二ba

C.必有單位元D.任何元素必存在逆元

答案：A

9、在整環(huán)Z中，6的真因子是（

A.B、

c.D.

答案：B

10、偶數(shù)環(huán)H勺單位元個(gè)數(shù)為（）

A.0個(gè)B.1個(gè)

C.2個(gè)D.無數(shù)個(gè)

答案：A

11、設(shè)和都是非空集合，而是到向一種映射，那么（）

A.集合中兩兩都不相似；

B.a）次序不能調(diào)換；

C.中不一樣的元對(duì)應(yīng)日勺象必不相似；

D.一種元日勺象可以不唯一。

答案:B

12.指出下列那些運(yùn)算是二元運(yùn)算（）

A.在整數(shù)集上，；

B.在有理數(shù)集上，；

C.在正實(shí)數(shù)集上，；

D、在集合上，。

答案：D

13、設(shè)是整數(shù)集上的二元運(yùn)算，其中（即取與中的最大者），那么

在中（)

A.不適合互換律;B、不適合結(jié)合律;

C.存在單位元；D.每個(gè)元均有逆元。

答案：C

14、設(shè)為群，其中是實(shí)數(shù)集，而乘法，這里為中固定的常數(shù)。那么群

中的單位元和元日勺逆元分別是（）

A.0和；B.1和0；C.和；D.和。

答案：D

15、設(shè)和都是群中的元素且，那么（）

A.；B.；C.；D.o

答案：A

16、設(shè)是群的子群，且有左陪集分類。假如6,那么的階（）

A.6；B.24；C.10；D.12。

答案:B

17、設(shè)是一種群同態(tài)映射，那么下列錯(cuò)誤的命題是（）

A.的同態(tài)核是的不變子群；

B.的不變子群的逆象是的不變子群；

C.向子群的象是口勺子群；

D.的）不變子群的象是時(shí)不變子群。

答案:D

18、設(shè)是環(huán)同態(tài)滿射，，那么下列錯(cuò)誤的結(jié)論為（)

A.若是零元，則是零元;B.若是單位元，則是單位元;

C、若不是零因子，則不是零因子；D、若是不互換歐J,則不互換。

答案:C

19、下列對(duì)日勺的命題是（）

A.歐氏環(huán)一定是唯一分解環(huán)；B.主理想環(huán)必是歐氏環(huán)；

C.唯一分解環(huán)必是主理想環(huán)；D.唯一分解環(huán)必是歐氏環(huán)。

答案:A

20、若是域的有限擴(kuò)域，是的有限擴(kuò)域，那么（）

A.；B、；

C.；D.

答案：D

二、填空題

1.集合A的一種等價(jià)關(guān)系需滿足自反性、對(duì)稱性和（）。

答案：傳遞性

2.設(shè)A,B都為有限集，且則（）.

答：mn

3.設(shè)是集合A=｛立面上所有直線｝上的關(guān)系：

〃或（），則（）等價(jià)關(guān)系。

答：是

4.設(shè)群G中的元素的階為m,則的充要條件是（)o

答:

5.群G日勺非空子集H作成G日勺一種子群的充要條件是（）。

答：有

6.次對(duì)稱群H勺階是（）o

答：

7、設(shè)是有限群，是口勺子群，且在中的指數(shù)為,則（)o

答：

8、設(shè)G是一種群,c是G的單位元，若且好a,則（）

答：a=e

9、最小的數(shù)域是（）。

答：有理數(shù)域

10、設(shè)集合A二｛1,2｝,則AXA=（）,2"=（）o

答：｛（1,1）,（1,2）,（2,1）,（2,2）｝,｛①，｛1｝,{2},{1,

2））

11.設(shè)是A日勺一種變爽，，則（）。

答：

12.設(shè)是集合A上的等價(jià)關(guān)系，（）等價(jià)關(guān)系。

答：是

13.若群G中每一種元素都適合方程，則是（）群。

答：互換群

14.階群是循環(huán)群H勺充要條件是（)o

答：中存在階日勺元素

15.設(shè)是有限循環(huán)群，則是的同態(tài)象H勺充要條件是（）o

答：

16.假如環(huán)RH勺乘法滿足互換律，即，有，則稱R為（）環(huán)

答：互換環(huán)

17、數(shù)集有關(guān)數(shù)的加法和乘法作成時(shí)環(huán)叫做（）環(huán)。

答：數(shù)環(huán)

18、設(shè)有限域時(shí)階為81,則的特性（）。

答：3

19、己知群中的元素的I階等于50,則日勺階等于（）o

答：25

20、一種有單位元日勺無零因子（）稱為整環(huán)。

答：互換環(huán)

21.假如是一種國際原則書號(hào)，那么（）。

答：6

22.剩余類加群心有（）個(gè)生成元.

答：6

23.設(shè)群G的元a的階是n,則ak的階是（）

答：n/（k,n）（（k,n）表達(dá)k和n/、J最大公約數(shù)）

24.6階循環(huán)群有（）個(gè)子群.

答：3

26.模8%I剩余類環(huán)Z8日勺子環(huán)有（）個(gè).

答：6

27、設(shè)集合；，則有（

答：

28、假如是與間日勺---映射，是H勺一種元，則（）o

答：

29、設(shè)集合有一種分類，其中與是的兩個(gè)類，假如，那么（）o

答：

31.凱萊定理說：任一種子群都同一種（）同構(gòu)。

答：變換群

32.給出一種5-循環(huán)置換，那么（

答：

33.若是有單位元日勺環(huán)的由生成日勺主理想，那么中日勺元素可以體現(xiàn)為

（）。

答：

34.若是一種有單位元的互換環(huán)，是的一和理想，那么是一種域當(dāng)且僅

當(dāng)是（）。

答：一種最大理想

35.整環(huán)的一種元叫做一種素元，假如（)o

答：P既不是零元，也不是單位，且q只有平凡因子

36、若域日勺一種擴(kuò)域叫做日勺一種代數(shù)擴(kuò)域，假如（）o

答：EMJ每一種元都是F上的一種代數(shù)元

三、判斷題

1.設(shè)與都是非空集合，那么。（X）

2.設(shè)、、都是非空集合，則到H勺每個(gè)映射都叫作二元運(yùn)算。（X）

3.只要是到日勺一一映射，那么必有唯一的逆映射。（J）

4.假如循環(huán)群中生成元的階是無限的，則與整數(shù)加群同構(gòu)。（V）

5、假如群的子群是循環(huán)群，那么也是循環(huán)群。（X）

6.群的子群是不變子群的充要條件為。（J）

7、假如環(huán)時(shí)階，那么的I單位元。J）

8、若環(huán)滿足左消去律，那么必然沒有右零因子。（V）

9、尸中滿足條件p（a）=O的多項(xiàng)式叫做元a在域產(chǎn)上的J極小多項(xiàng)式。

（X）

10、若域的特性是無限大，那么具有一種與同構(gòu)的子域，這里是整數(shù)環(huán)，

是由素?cái)?shù)生成H勺主理想。（X）

四、解答題

LA二｛數(shù)學(xué)系的全體學(xué)生｝,規(guī)定關(guān)系R:

,證明R是A的一種等價(jià)關(guān)系。

答案：自反性：自己與自己顯然在同i種班級(jí)

對(duì)稱性：若a與b同在一種班級(jí),顯然b與a同在一種班級(jí)

傳遞性：若a與b同在一種班級(jí)，b與c同在一種班級(jí),顯然a與c同在一種班

級(jí).

2.在R中的代數(shù)運(yùn)算與否滿足結(jié)合率和互換率?

"h1/)(等式右邊指H勺是一般數(shù)H勺運(yùn)算)

答：由于對(duì)于，有

a。(Z?。c)=a。(〃+c+be)=a+0+c+be)+a(b+c+

=aJrb+ab-)(-c-\-ac+bc-vabc

根據(jù)實(shí)數(shù)的加法與乘法H勺運(yùn)算率得

(a。/?)。。=ao(/?oc)。

又acb-a+b+ab=b?a+ba-bca0

因此，R的代數(shù)運(yùn)算既滿足結(jié)合率，又滿足互換率。

3.設(shè)集合，求。

答案：

A—B={a,A},(A—8)U(B—A)={〃,"《}

4.設(shè)，，求有關(guān)子群的左陪集分解。

答:

(23)〃=(132)”={(23](132)}。

因而，有關(guān)子群的左陪集分解為

G=/7U（13）/7U（23）/7°

5.設(shè)半群既有左單位元，又有右單位元，證明，并且是的唯一單位

元。

答：證明（因是右單位元），（因是左單位元），得；

若尚有單位元，則，故是的唯一單位元。

6.對(duì)于下面給出的Z到Z的映射

/:x13x,

g:xt3x+l,

/?3x+2;

計(jì)算/g、gf,gh,hg,fgho

答案：

fog:xi9x+3,go/:xi9x+l,

go/z:xi9x+7;/zog:xi9x+5,

fgZz:xi27x+21.

7、設(shè)是日勺不變子群，則，有。

答：因是的不變子群，故對(duì)于，有，于是

{l

aHa-=（4〃＞尸=（乩叱=H（aa-）=He=Ho

8、設(shè)。是環(huán)的零元，則對(duì)于

答：由于，有

由于有關(guān)加法作成群，即對(duì)于加法滿足消去律，在上式中兩邊同步消去，

得O同理可得。

9、假如半群有一種左單位元，并且對(duì)于，存在左逆元，使得，則

是一種群。

答：，由條件知，有左逆元，使得，而對(duì)于在中也存在左逆元，使

得，則有

aa1=e(aa,)=(aa1)[aa1)=a(cila)a1=ciea1=da1=e

因此，的左逆元也是時(shí)右逆元，即在中有逆元，

又由于，知是的單位元。故是一種群。

10、證明R為無零因子環(huán)的充足必要條件是在環(huán)R中有關(guān)乘法左消去律成立。

答：設(shè)環(huán)沒有左零因子，假如有，則有

當(dāng)時(shí)，由于沒有左零因子，得，即，中有關(guān)乘法左消去律成立。

反之，若在中有關(guān)乘法左消去律成立，假如，有，即

,左消去得，即中非零元均不是左零因子，故為無零因子。

11.若是的兩個(gè)理想，則

4+右=卜|+々卜1￡/1，%2e人｝也是R的一種理想。

答：，則有

,,從而

(%2w4+，2；

x-y=(x]-%)十一為)

rx=r(x1+x2)=rxx+rx2G/,+/2.

xr=(X]+x2)r=x^r+x2re/]+/2o

因此，是的一種理想。

12.設(shè)，，則H是GH勺一種子群，寫出G有關(guān)H的所有左陪集日勺分解.

答案：，

(13)W={(13),(123))=(123)775

(23)”={(23),(132)}=(132)/7,

因而，G有關(guān)H/J左陪集的分解為.

G=/7u(13)Hu(23)//

13.在Q中的代數(shù)運(yùn)算與否滿足結(jié)合率和互換率？

aob=b2

答：取則，

又1。2=2?=4,2。1=『=1°

因此，Q的代數(shù)運(yùn)算既不滿足結(jié)合率，又不滿足互換率。

14.設(shè)，，求有關(guān)子群的右陪集分解。

答:

//(23)=H(123)={(23),(123))o

因而，有關(guān)子群的右陪集分解為

G=〃U”(13)UH(23)。

15.設(shè)是有單位元日勺半群，，若有左逆元，又有右逆元，則是可

逆元，且是時(shí)唯一日勺逆元。

答：證明由條件知，則有

若都是H勺逆元，同理有

故。有唯一的逆元。

16.設(shè)是環(huán)，則，有。

答：由，得

同理，由，得

一(ab)=a(-b)0

17、設(shè)是的子群，若對(duì)于，，有，則是時(shí)不變子群。

答：任取定，對(duì)于，由于，則存在，使得

1

aha=h]=>ah=h]aeHaaH工Ha.

,由于，故存在，使得

a'ha=h2=>ha=ah2=aH=>HaaH

因此，對(duì)于，有。故是的不變子群。

18、假如是半群，則是群的充足必要條件是：，方程和在中有解。

答：必要性。因是群，則在中有逆元，則，分別代入方程和，有

?，

即。一力力?！狗謩e為方程ax=b^wya=2的解。

充足性。因是半群，則是非空集合，取定，則方程在中有解，即存在

中的元素，使得。

下證是H勺左單位元。,方程和在中有解，即，

于是，則是的一種左單位元。

又，方程在中有解，即，得是的一種左逆元。從而得中的每一

種元素均有左逆元。故是群。

19、證明R為無零因子環(huán)的充足必要條件是在環(huán)R中有關(guān)乘法右消去律成立。

答：設(shè)環(huán)沒有左零因子，則也無右左零因子。于是由，得

當(dāng)時(shí)，由于沒有右零因子，得，即，中有關(guān)乘法右消去律成立。

反之，若在中有關(guān)乘法右消去律成立，假如，有，即

,右消去得，即中非零元均不是右零因子，故為無零因子。

20、設(shè)為互換環(huán)，，，證明：是的理想。

答：（1）,則，從而

即a-Ow/j

(2)，有，由于為互換環(huán)，從而，即。

因此/〃是R的理想。

21.=(z,+),對(duì)規(guī)定