專題27直線與圓填選題綜合

（四大考點，69題）

考點十年考情(2016-2025)命題趨勢

1.直線方程的求

解、點到直線距離

2025?上海卷：三角形面積的最值問題；2024?北京卷：點

公式是核心，常與

集的距離最大值與圖形面積；2020?全國III卷：點到直線

三角形面積、最值

考點1:直線與距離的最大值；2020?山東卷：直線關于點對稱的方程、由

問題結合。2.涉及

方程直線斜率和截距判斷角的象限；2019?北京卷：參數(shù)方程化

直線的斜率、截距、

為普通方程及點到直線距離；2016?北京卷：圓心到直線的

對稱等性質，注重

距離、線段上點的代數(shù)式最值

數(shù)形結合思想的考

查。

2025?全國一卷：圓上到直線距離為定值的點的個數(shù)與半徑

范圍；2024?北京卷：圓心到直線的距離；2023?全國乙卷：

圓環(huán)區(qū)域內的概率問題；2023?上海卷：由圓的面積求參數(shù)；

2022?北京卷：直線為圓的對稱軸時參數(shù)的求解；2022?全1.圓的標準方程

國乙卷：過三點的圓方程；2022?全國甲卷：過定點且圓心與一般方程的轉化

在定直線上的圓方程；2020?全國I卷：圓中弦長的最小值；是基礎，常涉及圓

2020?北京卷：圓的圓心到原點距離的最小值；2020?山東心、半徑的求解。

考點2:圓的方

卷：圓心已知且與y軸相切的圓方程；2018?全國III卷：2.與距離、面積、

程

圓上點到直線距離的面積范圍；2018?北京卷：單位圓上點概率等結合，注重

到直線距離的最大值；2018?天津卷：過三點的圓方程；2017圓的幾何性質的應

?全國卷：以線段為直徑的圓方程；2017?天津卷：與拋物線用，如弦長、圓心

準線相關的圓方程；2017?北京卷：極坐標圓上點到定點距距等。

離的最小值；2016?四川卷：圓與動點的向量模最值；2016?

天津卷：圓心在x軸正半軸的圓方程；2016?浙江卷：方程

表示圓時的圓心和半徑

2025?天津卷：弦長與半徑的關系；2024?全國甲卷：弦長

的最小值（兩題）；2024?新課標II卷：拋物線準線、圓切

線等綜合問題；2023?新課標I卷：切線夾角的正弦值；2023

?全國甲卷：雙曲線漸近線與圓的弦長；2023?全國乙卷：圓

1.直線與圓的相

上點的代數(shù)式最大值；2023?新課標II卷：弦長與參數(shù)的關

切、相交是高頻考

系；2023?天津卷：切線與拋物線交點的距離；2022?上海

點，涉及切線方程、

卷：點集與直線的位置關系；2022?新高考全國II卷：對稱

弦長公式、圓心到

考點3:直線與直線與圓的位置關系；2022?天津卷：弦長與參數(shù)的關系、

直線距離等。2.常

圓的位置關系切線長；2021?北京卷：弦長最小值求參數(shù)；2021?新高考

與函數(shù)、圓錐曲線

全國I卷：圓上點到直線距離及角的最值；2020?全國II

等結合，注重綜合

卷：圓與坐標軸相切時圓心到直線的距離；2020?全國I卷：

運用幾何性質與代

切線與直線方程；2020?全國III卷：直線與曲線和圓都相

數(shù)運算的能力。

切的方程；2018?天津卷：參數(shù)方程直線與圓的面積；2018?

全國I卷：直線與圓的弦長；2018?江蘇卷：圓與動點的向

量數(shù)量積；2016?全國III卷：直線與圓的弦長及相關距離

（兩題）；2016?全國I卷：弦長與圓面積

1.兩圓的位置關

系（外切、相交等）

2022?新高考全國I卷：兩圓的公切線方程；2022?全國甲判斷及公切線方程

考點4:圓與圓

卷：雙曲線漸近線與圓相切求參數(shù)；2020?上海卷：向量與是重點。2.常與其

的位置關系

圓的交點個數(shù)；2016?山東卷：兩圓位置關系的判斷他曲線（如雙曲線）

結合，考查圓的切

線性質的應用。

考點01：直線與方程

1．（2025·上?！じ呖颊骖}）已知，C在上，則的面積（）

22

A．有最大值，但沒有最小值?(0,1),?(1,2)B．沒有Γ:最?大?值?，=但1有(?最≥小1,值?≥0)△???

C．既有最大值，也有最小值D．既沒有最大值，也沒有最小值

【答案】A

【分析】設出曲線上一點為，得出，將三角形的高轉化成關于的函數(shù),分析其單調性，從

2

而求解.(?,?)?=?+1?

【詳解】設曲線上一點為，則，則，

222

，方程為(：?,?)?，?即?=1?=，?+1

2?1

???=1?0=1????1=????+1=0

根據(jù)點到直線的距離公式，到的距離為：，

22

???+1?+1??+1?+1??+1

設(?,?，)??2=2=2

21

2

由于?(?)=，?顯+然1??關=于?單+1+調?遞減，，無最小值，

即?≥0中，邊?(上?)的高有?最大值，無?最(?小)m值ax，=?(0)

又△?一?定?，故?面?積有最大值，無最小值.

故選??：A

2．（2024·北京·高考真題）已知是平面直角坐標系中的點

2

集.設是中兩點間距離的最大?值，=是?,?表|?示=的?圖+形?的?面?積?，,1則≤（?≤2）,0≤?≤1

A．??，??B．，

C．?=3?，<1D．?=3?，>1

【答案】?=C10?<1?=10?>1

【分析】先以t為變量，分析可知所求集合表示的圖形即為平面區(qū)域2，結合圖形分析求解即可.

?≤?

?≥?

【詳解】對任意給定，則，且，1≤?≤2

2

可知?∈1,2???，=即???1≥0，?∈0,1

2222

?≤?+????≤?+???=??≤?≤?

再結合x的任意性，所以所求集合表示的圖形即為平面區(qū)域2，

?≤?

?≥?

如圖陰影部分所示，其中，1≤?≤2

?1,1,?2,2,?2,4

可知任意兩點間距離最大值，

22

?=??=1?2+1?4=10

陰影部分面積.

1

△???2

故選：C.?<?=×1×2=1

【點睛】方法點睛：數(shù)形結合的重點是“以形助數(shù)”，在解題時要注意培養(yǎng)這種思想意識，做到心中有圖，見

數(shù)想圖，以開拓自己的思維．使用數(shù)形結合法的前提是題目中的條件有明確的幾何意義，解題時要準確把

握條件、結論與幾何圖形的對應關系，準確利用幾何圖形中的相關結論求解．

3．（2020·全國III卷·高考真題）點(0，﹣1)到直線距離的最大值為（）

A．1B．C．?=??+1D．2

【答案】B23

【分析】首先根據(jù)直線方程判斷出直線過定點，設，當直線與垂直時，點

到直線距離最大，即可求得結果?.(?1,0)?(0,?1)?=?(?+1)??

?【詳解】?由=?(?+1)可知直線過定點，設，

當直線?=?(?與+1)垂直時，點到直?(線?1,0)?(0距,?離1最)大，

即為?=?(?.+1)????=?(?+1)

故選：|??B|.=2

【點睛】該題考查的是有關解析幾何初步的問題，涉及到的知識點有直線過定點問題，利用幾何性質是解

題的關鍵，屬于基礎題.

4．（2020·山東·高考真題）直線關于點對稱的直線方程是（）

A．2?+3??6=B0．?1,2

C．3??2??10=0D．3??2??23=0

【答案】2?D+3??4=02?+3??2=0

【分析】設對稱的直線方程上的一點的坐標為，,則其關于點對稱的點的坐標為，

代入已知直線即可求得結果.???1,2(?2??,4??)

【詳解】設對稱的直線方程上的一點的坐標為，，

則其關于點對稱的點的坐標為??，

因為點?1,2在直線(?2??,4上?，?)

所以(?2??,4??)2?+即3??6=0.

故選：2D?.2??+34???6=02?+3??2=0

5．（2020·山東·高考真題）已知直線的圖像如圖所示，則角是（）

?:?=?sin?+cos??

A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角

【答案】D

【分析】本題可根據(jù)直線的斜率和截距得出、，即可得出結果.

【詳解】結合圖像易知，，s，in?<0cos?>0

則角是第四象限角，sin?<0cos?>0

故選：?D.

6．（2019·北京·高考真題）已知直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），則點（1,0）到直線l的距

?=1+3?,

離是?=2+4?

A．B．C．D．

1246

5555

【答案】D

【分析】首先將參數(shù)方程化為直角坐標方程，然后利用點到直線距離公式求解距離即可.

【詳解】直線的普通方程為,即,點到直線的距離

|4?0+2|

22

?4??1?3??2=04??3?+2=01,0??=4+3=

,故選D.

6

5

【點睛】本題考查直線參數(shù)方程與普通方程的轉化,點到直線的距離,屬于容易題,注重基礎知識?基本運算能

力的考查.

7．（2016·北京·高考真題）圓(x＋1)2＋y2＝2的圓心到直線y＝x＋3的距離為()

A．1B．2

C．D．2

【答案】2C2

【詳解】試題分析：圓心坐標為，由點到直線的距離公式可知，故選C.

|?1?0+3|

【考點】直線與圓的位置關系(?1,0)?=2=2

【名師點睛】點到直線（即）的距離公式記憶容易，

對于知求，很方便.

8．（2016·北京·高考真題）已知A（2,5），B（4,1）.若點P（x,y）在線段AB上，則2x?y的最大值為

A．?1B．3C．7D．8

【答案】C

【詳解】由題意得，線段AB的方程：，，

5?1

??1=2?4(??4)??=?2?+92≤?≤4

∴，

當2???時=等2號??成(立?，2?即+9)=4的?最?大9≤值為4×74.?9=7

故選?=：4C.2???

【點睛】求函數(shù)值域的常用方法：①單調性法；②配方法；③分離常數(shù)法；④導數(shù)法；⑤不等式法；⑥圖

象法．求函數(shù)的值域是個較復雜的問題，它比求函數(shù)的定義域難度要大，而單調性法，即根據(jù)函數(shù)在定義

域內的單調性求函數(shù)的值域是較為簡單且常用的方法，應重點掌握．

9．（2024·天津·高考真題）已知圓的圓心與拋物線的焦點重合，且兩曲線在第

222

一象限的交點為，則原點到直線(??的1距)離+為?=25．?=2???

【答案】/???

4

【分析】先50求.8出圓心坐標，從而可求焦準距，再聯(lián)立圓和拋物線方程，求及的方程，從而可求原點到直

線的距離.???

【詳??解】圓的圓心為，故即，

22?

(??1)+?=25?1,02=1?=2

由可得，故或（舍），

22

??1+?=252

2?+2??24=0?=4?=?6

故，?故=直4?線即，

4

?4,4??:?=3??14??3??4=0

故原點到直線的距離為，

44

???=5=5

故答案為：

4

5

10．（2021·上?！じ呖颊骖}）求直線與直線的夾角為.

【答案】?=?23???+1=0

?

【分析】先6求出直線的斜率，可得它們的傾斜角，從而求出兩條直線的夾角．

【詳解】解：直線的斜率不存在，傾斜角為，

?

∵?=?22

直線的斜率為，傾斜角為，

?

3???+1=033

故直線與直線的夾角為，

???

?=?23???+1=02?3=6

故答案為：．

?

6

11．（2021·新高考全國Ⅱ卷·高考真題）已知函數(shù)，函數(shù)的圖象在點

?

12

和點的兩條切線互相垂直?，(?且)=分|別?交?1y|軸,?于<M0，,?N兩>點0，則?(取?)值范圍是．

|??|

1122

【?(答?案,?(】?))?(?,?(?))|??|

(0,1)

【分析】結合導數(shù)的幾何意義可得，結合直線方程及兩點間距離公式可得，

2?1

，化簡即可?得1解+.?2=0|??|=1+??|?1|

2?2

2

【|??詳|解=】1由+題?意，?|?|，則，

??

?1??,?<0'??,?<0

?(?)=|??1|={??(?)={?

所以點和點?，?1,?≥0,?,?>0

?1?2?1?2

所以?(?1,1??)?(?2,?，?1)???=??,???=?

?1?2

所以????=?1,?1+?2=0，

?1?1?1?1

11

所以??:??1+?=??(???),?(0,??，??+1)

2?122?1

111

同理|??|=?+(??),=1+??|?|

2?2

1+?2

所以|??|=?|?|.

2?12?12?1

|??|1+??|?1|1+?1+?1

2??2??

2?221

故答案|??為|=：1+??|?2|=1+?=1+?=?∈(0,1)

【點睛】關鍵(0,點1)點睛：

解決本題的關鍵是利用導數(shù)的幾何意義轉化條件，消去一個變量后，運算即可得解.

12

12．（2019·江蘇·高考真題）在平面直角坐標系?中+，?P=是0曲線上的一個動點，則點P到

4

?

直線x+y=0的距離的最小值是.????=?+(?>0)

【答案】4.

【分析】將原問題轉化為切點與直線之間的距離，然后利用導函數(shù)確定切點坐標可得最小距離

【詳解】當直線平移到與曲線相切位置時，切點Q即為點P到直線的距離最

4

?

小.?+?=0?=?+?+?=0

由，得舍，，

4

'2

即切?點=1??=?1，?=2(?2)?=32

則切點?Q(到2直,3線2)的距離為，

2+32

22

故答案為．?+?=01+1=4

【點睛】本4題考查曲線上任意一點到已知直線的最小距離，滲透了直觀想象和數(shù)學運算素養(yǎng).采取導數(shù)法和

公式法，利用數(shù)形結合和轉化與化歸思想解題.

13．（2016·上?！じ呖颊骖}）已知平行直線，則與的距離

是.?1?2

【答案】

25

【詳解】試5題分析：

利用兩平行線間的距離公式得.

|?1??2||?1?1|25

2222

【考點】兩平行線間距離公式?=?+?=2+1=5

【名師點睛】確定兩平行線間距離，關鍵是注意應用公式的條件，即的系數(shù)必須相同，本題較為容易，

主要考查考生的基本運算能力.?,?

考點02：圓的方程

一、單選題

14．（2025·全國一卷·高考真題）若圓上到直線的距離為1的點有且僅

222

有2個，則r的取值范圍是（）?+(?+2)=?(?>0)?=3?+2

A．B．C．D．

【答案】(0B,1)(1,3)(3,+∞)(0,+∞)

【分析】先求出圓心到直線的距離，然后結合圖象，即可得出結論.

【詳解】由題意，?0,?2?=3?+2

在圓中，圓心，半徑為，

222

到直線?+?+2=的?距?離>為0的點有且?僅0有,?2個，?

∵圓心?=3?+到2直線1的距離為：2，

0×3??2×1+2

2

2

?0,?2?=3?+2?=3+?1=2

故由圖可知，

當時，

圓?=1上有且僅有一個點（點）到直線的距離等于；

222

當?+?時+，2=??>0??=3?+21

圓?=3上有且僅有三個點（點）到直線的距離等于；

222

當則?+的取?+值2范圍=為??>時0，?,?,??=3?+21

圓?1,3上有且僅有兩個點到直線的距離等于.

222

?+?+2=??>0?=3?+21

故選：B.

15．（2024·北京·高考真題）圓的圓心到直線的距離為（）

22

A．B．?+??2?+6C?．=0?D?．?+2=0

【答案】D22332

【分析】求出圓心坐標，再利用點到直線距離公式即可.

【詳解】由題意得，即，

2222

則其圓心坐標為?+?，則?圓2?心+到6?直=線0??1+的距?離+為3=10.

1??3+2

22

1,?3???+2=01+?1=32

故選：D.

16．（2023·全國乙卷·高考真題）設O為平面坐標系的坐標原點，在區(qū)域內隨機取一

22

點，記該點為A，則直線OA的傾斜角不大于的概率為（）?,?1≤?+?≤4

π

4

A．B．C．D．

1111

8642

【答案】C

【分析】根據(jù)題意分析區(qū)域的幾何意義，結合幾何概型運算求解.

【詳解】因為區(qū)域表示以圓心，外圓半徑，內圓半徑的圓環(huán)，

22

則直線的傾斜角不?大,?于|1的≤部?分+如?陰≤影4所示，在?第0一,0象限部分對應的圓?心=角2，?=1

ππ

??4∠???=4

結合對稱性可得所求概率1.

3π×41

故選：C.?=3π=4

17．（2022·北京·高考真題）若直線是圓的一條對稱軸，則（）

22

A．B．2?+??1C=．01(???)+?D=．1?=

11

22

【答案】A??1

【分析】若直線是圓的對稱軸，則直線過圓心，將圓心代入直線計算求解．

【詳解】由題可知圓心為，因為直線是圓的對稱軸，所以圓心在直線上，即，解得．

1

?,02?+0?1=0?=2

故選：A．

18．（2020·全國I卷·高考真題）已知圓，過點（1，2）的直線被該圓所截得的弦的長度的

22

最小值為（）?+??6?=0

A．1B．2

C．3D．4

【答案】B

【分析】當直線和圓心與點的連線垂直時，所求的弦長最短，即可得出結論.

【詳解】圓(1化,2為)，所以圓心坐標為，半徑為，

2222

設，當?過+點?的?直6?線=和0直線(?垂?直3)時+，?圓心=到9過點的直線?的距離?最(3大,0，)所求的弦3長最短，此時

?(1,2)????|??|=

22

根(據(jù)3?弦1長)公+式(得?最2)小=值2為2.

2

故選：B.29?|??|=29?8=2

【點睛】本題考查圓的簡單幾何性質，以及幾何法求弦長，屬于基礎題.

19．（2020·北京·高考真題）已知半徑為1的圓經(jīng)過點，則其圓心到原點的距離的最小值為（）．

A．4B．5C．6(3,4)D．7

【答案】A

【分析】求出圓心的軌跡方程后，根據(jù)圓心到原點的距離減去半徑1可得答案.

【詳解】設圓心?，則?，?

22

化簡得??,??，?3+??4=1

22

所以圓心??的3軌跡+是?以?4=1為圓心，1為半徑的圓，

??(3,4)

所以，所以，

22

當且僅|??當|+在1線≥段|??|上=時3取得+等4號=，5|??|≥5?1=4

???

故選：A.

【點睛】本題考查了圓的標準方程，屬于基礎題.

20．（2020·山東·高考真題）已知圓心為的圓與軸相切，則該圓的標準方程是（）

A．?2,1B．?

2222

C．?+2+??1=1D．?+2+??1=4

2222

【答案】?B?2+?+1=1??2+?+1=4

【分析】圓的圓心為，半徑為，得到圓方程.

【詳解】根據(jù)題意知圓(?心2為,1)，半2徑為，故圓方程為：.

22

故選：B.(?2,1)2(?+2)+(??1)=4

21．（2018·全國III卷·高考真題）直線分別與軸，軸交于，兩點，點在圓

22

上，則面積的取值范圍是?+?+2=0???????2+?=2

A．△?，??B．，C．，D．，

【答案】2A???64???82???3222???32

【詳解】分析：先求出A，B兩點坐標得到，再計算圓心到直線距離，得到點P到直線距離范圍，由面

積公式計算即可AB

詳解：直線分別與軸，軸交于，兩點

∵x+y+,則2=0xyAB

∴A?2,0,B(0,?2)AB=22

點P在圓（）上

2

2

∵x?2+?=2

圓心為（2，0），則圓心到直線距離

|2+0+2|

∴?1=2=22

故點P到直線的距離的范圍為

2

則x+y+2=0?[2,32]

1

△???222

故答?案選=A.???=2?∈[2,6]

點睛：本題主要考查直線與圓，考查了點到直線的距離公式，三角形的面積公式，屬于中檔題．

22．（2018·北京·高考真題）在平面直角坐標系中，記為點到直線的距離，當、

變化時，的最大值為??cos?,sin??????2=0?

?A．?B．

C．1D．2

【答案】3C4

【分析】為單位圓上一點，而直線過點，則根據(jù)幾何意義得的最大值為.

【詳解】?，為??單?位?圓?上2一=點0，而直?線2,0過點?，??+1

22

∵cos?+sin?=1∴??????2=0?2,0

所以的最大值為，選C.

【點睛?】與圓有關?的?最+值1=問2題+主1要=表3現(xiàn)在求幾何圖形的長度、面積的最值，求點到直線的距離的最值，求

相關參數(shù)的最值等方面．解決此類問題的主要思路是利用圓的幾何性質將問題轉化．

23．（2016·全國II卷·高考真題）圓的圓心到直線的距離為1，則

22

?+??2??8?+13=0??+??1=0

?=A．B．C．D．2

43

34

【答案】?A?3

【詳解】試題分析：由配方得，所以圓心為，因為

2222

圓?+?的?圓2?心?到8直?+線13=0(?的?距1)離為+(1?，?所4)以=4，解得(1,4)，故

22|?+4?1|4

22

?+??2??8?+13=0??+??1=0?+1=1?=?3

選A.

【考點】圓的方程，點到直線的距離公式

【名師點睛】直線與圓的位置關系有三種情況：相交、相切和相離.已知直線與圓的位置關系時，常用幾何

法將位置關系轉化為圓心到直線的距離d與半徑r的大小關系，以此來確定參數(shù)的值或取值范圍．

24．（2016·四川·高考真題）在平面內，定點A，B，C，D滿足==,===–2，

動點P，M滿足=1，=，則的最大值是|?