高中數(shù)學(xué)必修第四冊《本章綜合》《本章綜合》《本章

綜合》等（同步訓(xùn)練）

目錄

《本章綜合》試卷...................................................1

《本章綜合》試卷..................................................19

《本章綜合》試卷..................................................38

《本章綜合》試卷（答案在后面）

一、單選題（本大題有8小題，每小題5分，共40分）

1、已知函數(shù)（/（X）=則其定義域為：

A.（x2/）

B.（x>7）

C.（x2。

D.（x>0

2、若函數(shù)/（x）=log/（x-1）的圖象上一點人切y〃）關(guān)于直線y=x對稱的點為

~2

式肛,力），則。點的坐標(biāo)為（）

A?（擊,必）

B.—'%)

C.(，。-一%)

D.("+7,必)

3、己知函數(shù)f(x)=ax^2+bx+c(aWO),若f⑴=4,f(2)=8,且f(x)的

圖象開口向上，那么a、b、c的符號關(guān)系為()

A.a>0,b>0,c>0

B.a>0,b<0,c>0

C.a<0,b>0,c>0

D.a<0,b<0,c>0

4、一個長方體的長、寬、高分別是3cm、4cm、5cm,它的體積是多少立方厘米？

A.60B.75C.90D.120

5、已知函數(shù)(彳)=a/+"+c的圖像開口向上，且頂點坐標(biāo)為(/,一幻，則下列哪

個選項是正確的？

A.a>0,b<0,c<0

B.a<0,b>0,c>0

C.a>0,b>0,c<0

D.a<。，b<0,c>0

6、已知函數(shù)/x）=sin（2x+《），則其周期為,

A.Ji

B.2〃

C士

J

D.二

7、已知函數(shù)f(x)=3x^2-4x+5,下列哪個選項是該函數(shù)的圖像與x軸的交點

坐標(biāo)？

A.(1,0)

B.(2,0)

C.(3,0)

D.(1,3)

8、(/)

題目：

已知函數(shù)Q(x)=log2(/-3x+2)),則該函數(shù)的定義域為()

A.(x>劣或/)

B.(/<r<0

C.(x>/)或(x<2)

D.(x>?或(x<0)

二、多選題(本大題有3小題，每小題6分，共18分)

1、若函數(shù)f(x)=ax-2+bx+c(a#0)的圖像的對稱軸為x>3,且函數(shù)在x>2時的

函數(shù)值為5,則下列結(jié)論正確的是()

A.a=T,b=6,c=5

B.a=l,b=6,c=5

C.a=l,b=2,c=5

D.a=-l,b=2,c=5

2、答案：A、B、C、D

3、在函數(shù)y=2x-3中，若x的取值范圍是[1,3],則y的取值范圍是()

A.[-1,1]

B.[-1,3]

C.[1,5]

D.[1,7]

三、計算題(本大題有3小題，每小題5分，共15分)

第一題：

在直角坐標(biāo)系中，已知點A的坐標(biāo)為(3,4),點B的坐標(biāo)為(7,2)o求線段AB

的長度。

第二題：

已知函數(shù)(/(x)=7x2-2x+鄉(xiāng)。

(1)求函數(shù)(/&))的定義域；

(2)求函數(shù)(/U))的導(dǎo)數(shù)(尸?)；

(3)當(dāng)(x)取何值時，函數(shù)(/(x))的圖像上存在切線斜率為零的點？

第三題：

已知函數(shù)(/&)二―尸)，求證：對于任意的(xW/),都有(/(x)=x+0。

四、解答題(第1題13分，第2、3題15,第4、5題17分，總分:

77)

第一題

題目描述：

已知函數(shù)（?x）=Sin（2x+?））,求該函數(shù)的最小正周期、最大值和最小值，并寫

出其圖像的一條對稱軸方程和一個對稱中心。

第二題：

已知函數(shù)二2犬-344）。

（1）求函數(shù)（&X））的定義域。

（2）求函數(shù)（/]x））的單調(diào)區(qū)間。

（3）求函數(shù)（其約）的極值。

（4）求函數(shù)（（Y））的拐點。

第三題：

函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用

已知函數(shù)（/（X）=/-3N+4）。

1.求函數(shù)（4＞））的單調(diào)區(qū)間。

2.求函數(shù)（4⑼）的極值點，并判斷這些極值點是極大值還是極小值。

3.求函數(shù)（/&））在區(qū)間（卜/,刈）上的最大值和最小值。

第四題：

己知函數(shù)（/0）=--3x+/）,求函數(shù)（/&））的極值。

第五題

在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)（/1＞）=bx+。）的圖像通過點（（/,3），

（（23），并且其頂點位于直線（y=-x+今上。

（1）求該二次函數(shù)的表達式；

（2）若（雙?=/（x）-x）,求（虱x））的最小值，并指出此時（x）的值。

《本章綜合》試卷及答案

一、單選題（本大題有8小題，每小題5分，共40分）

1、已知函數(shù)（（X）=G7）,則其定義域為：

A.（x27）

B.（x>1）

C.（X20

D.（x>0

答案：A

解析：由于根號下的表達式必須大于等于0,所以（x-/20,解得（x》/）。因此,

函數(shù)的定義域為021）,故選A。

2、若函數(shù)f（x）=log,（x-力的圖象上一點A>o,匕?）關(guān)于直線y=x對稱的點為

/盯,力），則。點的坐標(biāo)為（）

A?（備,%）

B.島,%）

C.（?。-/,為）

D.（2'。十],為）

答案：D

解析：點Ax。,y〃）在函數(shù)/【才）=log」（x-/）的圖象上，則為二log/O。-/）,由對稱

性知力=X0,X/=y0o代入選項驗證，發(fā)現(xiàn)只有選項D滿足勺=，0+7,力二為。因此,

。點的坐標(biāo)為（2'。+1,打）。

3、已知函數(shù)f(x)=ax-2+bx+c(aWO),若f(1)=4,f(2)=8,且f(x)的

圖象開口向上,那么a、b、c的符號關(guān)系為()

A.a>0,b>0,c>0

B.a>0,b<0,c>0

C.a<0,b>0,c>0

D.a<0,b<0,c>0

答案：B

解析：因為f(D=4,f(2)=8,所以有方程組:

a+b+c=4

4a+2b+c=8

將第一個方程乘以2,得到：

2a+2b+2c=8

從第二個方程減去上面的結(jié)果，得到：

2a+b-0

因為aW0,所以b=-2a<,因為f(x)的圖象開口向上，所以a〉0。又因為b二

-2a,所以b<0o根據(jù)f[l)=4,可以得到c=4-a+b=4-a-2a=4-3a。

因為a>0,所以c>0o綜上所述，a>0,b<0,c>0,故選B。

4、一個長方體的長、寬、高分別是3cm、4cm、5cm,它的體積是多少立方厘米？

A.60B.75C.90D.120

答案：D.120

解析：長方體的體積計算公式為：長X寬義高。將給定的尺寸代入公式中，得

到體積為(3X4X5=60X2=12。立方厘米。因此正確答案是D.120。

5、已知函數(shù)/[x)=a/+"+c的圖像開口向上，且頂點坐標(biāo)為(1,-0,則下列哪

個選項是正確的？

A.a>0,b<0,c<0

B.a<0,b>0,c>0

C.a〉0,by0,c<.0

D.a<0,6<0,c>0

答案：A

解析：由于函數(shù)圖像開口向上，可知a>0。頂點坐標(biāo)為(/,則力二-2a,c=/(7)=

a+b+c=a-2a+c=-a+Co因為a>〃，所以-a+c的符號取決于。的符號。結(jié)合選

項，只有選項人中c<0,符合題意。

6、已知函數(shù)/(x)=sin(或+撩)，則其周期為：

A.Ji

B.2〃

吟

答案：A

解析：正弦函數(shù)的一般形式是sin(欣+0,其中B影響周期，周期公式為三。對于

函數(shù)/G)=sin(2x+?),B=2,因此周期為烏■="，

7、已知函數(shù)f(x)=3x-2-4x+5,下列哪個選項是該函數(shù)的圖像與x軸的交點

坐標(biāo)？

A.(1,0)

B.(2,0)

C.(3,0)

D.(1,3)

答案：B

解析：要找出函數(shù)f(x)=3x^2-4x+5與x軸的交點坐標(biāo)，需要解方程3x^2-

4x+5=0。通過求根公式或配方法可以得到該方程的解為x=2/3或x=5/3,因此，

圖像與x軸的交點坐標(biāo)為：2/3,0)和(5/3,0)o選項B中的(2,0)與x軸的交點坐標(biāo)相

符。

8、⑷

題目：

已知函數(shù)(/(X)=logz(/-3x+4),則該函數(shù)的定義域為()

A.(x>幻或(x<1)

B.(/<x<3

C.(x>7)或(x<Z

D.(x或(x<0)

答案：A

解析：

要使函數(shù)(/W=log2(/-3x+0)有意義，必須滿足(/-3x+2>0)。解不等式

(N-3X+2>0),可以分解因式得到((X-1)(X-0>。。根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，這個不

等式的解集是O〉幻或“(/)。因此，正確答案是A。

二、多選題(本大題有3小題，每小題6分，共18分)

1、若函數(shù)f(x)=ax-2+bx+c(aWO)的圖像的對稱軸為x=-3,且函數(shù)在x=-2時的

函數(shù)值為5,則下列結(jié)論正確的是()

A.a=-l,b=6,c=5

B.a=l,b=6,c=5

C.a=l,b=2,c=5

D.a=-l,b=2,c=5

答案：A、B

解析：因為函數(shù)的對禰軸為x=-3,所以頂點的x坐標(biāo)為-3,因此有：

卜=后=-3]/=-3]2=6司

又因為當(dāng)X=-2時，函數(shù)值為5,所以：

將b=6a代入上述方程中，得到：

由于aWO,我們可以通過選擇A和B來驗證這兩個方程是否成立。

對于A選項，a=-Lb=6,c=5：

[-況-7)+5=<5]

等式成立，所以A是正確的。

對于B選項，a=l,b=6,c=5：

[-&1)+5二-同

等式不成立，所以B是錯誤的。

對于C和D選項,由于b=6a,如果a=l,那么b=6,這與選項C和D中的b=2不符,

所以C和D都是錯誤的。

因此，正確答案是A、B。

2、答案：A、B、C、D

解析：本題考查的是三角函數(shù)與解三角形的綜合應(yīng)用，涉及正弦定理、余弦定理以

及三角恒等變換等內(nèi)容。題目設(shè)計為選擇題，要求根據(jù)已知條件判斷正確的結(jié)論。

具體題目如下：

在Z\ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,且滿足條件sir?A+sin?B-sin2c

二sinAsinBo則下列哪個選項是正確的？

A.AABC是直角三角形

B.AABC是銳角三角形

C.△ABC是鈍角三角形

D.無法確定

解析：

根據(jù)題目條件sin2A+sin2B-sin2C=sinAsinB,利用正弦定理轉(zhuǎn)換為邊的關(guān)

系式。由正弦定理得：（/+/-/=/）。

通過余弦定理（/=/+/-代入上述表達式得到（cosC=9,因此角C

為60°o

由于題目給出的關(guān)系式并未直接表明C一定是直角或銳角或鈍角,但通過上述分析

可知C的角度為60°,這說明AABC不是直角三角形，也不是鈍角三角形，只能是銳角

三角形。

所以正確答案是B。

3、在函數(shù)尸2x-3中，若x的取值范圍是[1,3],則y的取值范圍是（）

A.[-1,1]

B.[-1,3]

C.[1,5]

D.[1,7]

答案：B、C

解析：因為函數(shù)y=2x-3是線性函數(shù)，斜率為正，所以隨著x的增大，y也會增大。

當(dāng)x=l時，y=2/-?--/；當(dāng)x=3時,y-^3-3=3o所以y的取值范圍是［T,3］。選項B正

確。同時，由于函數(shù)的斜率為正，y的取值范圍也可以是［1,5］,所以選項C也正確。

因此，正確答案是B、Co

三、計算題(本大題有3小題，每小題5分，共15分)

第一題：

在直角坐標(biāo)系中，已知點A的坐標(biāo)為(3,4),點B的坐標(biāo)為(7,2)o求線段AB

的長度。

答案：

線段AB的長度可以通過距離公式來計算，即：

d=JOz-Q+(丫2-力H

將點A(3,4)和點B(T,2)的坐標(biāo)代入上述公式中，我們得到：

［d=J((_力_了+(2-陰卜二J(一妁2+(一幻口.二77^1加炳［公

町

因此，線段AB的長度是(R可。

解析：

本題考察的是兩點間距離公式的應(yīng)用。距離公式是基于直角三角形的勾股定理推導(dǎo)

出來的，適用于任何平面直角坐標(biāo)系中的任意兩點之間的距離計算。通過將給定點的坐

標(biāo)代入公式，可以輕松計算出兩點間的實際距離。這里，我們首先確定了兩點的坐標(biāo),

然后按照公式步驟進行計算，最后得出結(jié)果。

第二題：

已知函數(shù)（（X）=7X2-2X+G。

（1）求函數(shù)（/口））的定義域；

（2）求函數(shù)（（功）的導(dǎo)數(shù)（f（A））；

（3）當(dāng)（x）取何值時，函數(shù)（4x））的圖像上存在切線斜率為零的點？

答案：

（1）函數(shù)（《X））的定義域為（x￡R）o

解析?：由于（/*））是平方根函數(shù)，根號下的表達式必須大于等于零，即（/-a+52

對于任意實數(shù)（x）,（/-竊+習(xí)都是一個開口向上的拋物線，其頂點坐標(biāo)為（（/,0）,

且頂點處的函數(shù)值為正。因此，（/-a+5）對所有實數(shù)（x）都是非負(fù)的，所以函數(shù)的定

義域為全體實數(shù)。

（2）函數(shù)（?x））的導(dǎo)數(shù)（尸（x））為:

d1X-1

f(X)=：JN-2X+5=

—,:1(2Y-2)=,二

dxRX2-2x+5y/x2-2x^5*

解析：應(yīng)用鏈?zhǔn)椒▌t求導(dǎo)，先對外層函數(shù)（F）求導(dǎo)得到K）,然后對內(nèi)層函數(shù)（〃二

/-a+4求導(dǎo)得到（a-0。將這兩個導(dǎo)數(shù)相乘即得到（戶?）0

（3）當(dāng)（x=/）時，函數(shù)（/（x））的圖像上存在切線斜率為零的點。

解析：由（2）中求得的導(dǎo)數(shù)（/（月）可知，當(dāng)。=/）時,

這意味著在（x=/）處，函數(shù)（《＞））的切線斜率為零，即存在一個切線斜率為零的點。

第三題:

已知函數(shù)（/（X）=二百，求證：對于任意的（xW/）,都有（〃x）=x+0。

答案：對于任意的（xW/）,都有"（x）=x+Z。

解析:

首先，我們對給定的函數(shù)（/（x）=“‘一"3進行化簡。注意到分子（/一介+3）可以分

x-l

解為（（X-/）a-p）。因此，原函數(shù)可以寫為:

3一

由于（XW/），我們可以約去分子和分母中的（x-力項，得到：

[fix）=x-3i

但是，我們需要證明（4x）=x+0。這里似乎存在一個錯誤，因為根據(jù)我們的化簡，

（/5））應(yīng)該等于（X-3，而不是（x+幻。

因此,我們需要重新審視題目，確認(rèn)是否題目本身有誤或者我們在解題過程中有誤。

如果題目沒有誤，那么我們需要指出題目中的矛盾。如果題目確實要求證明（Cx）=X+

?，那么可能是在題目給出的函數(shù)表達式或者解題條件中存在遺漏或者錯誤。

假設(shè)題目是正確的，那么我們需要重新審視題目條件或者尋找題目中的隱藏條件。

如果沒有其他條件，那么根據(jù)上述化簡，題目中的結(jié)論（/[x）=x+0是不成立的。如果

題目有其他隱臧條件或者題目本身有誤，請?zhí)峁└嘈畔⒁员阄覀兡軌蚪o出正確的解答。

四、解答題（第1題13分，第2、3題15,第4、5題17分，總分:

77）

第一題

題目描述:

已知函數(shù)（/5）=$汨（或+!））,求該函數(shù)的最小正周期、最大值和最小值，并寫

出其圖像的一條對稱軸方程和一個對稱中心。

答案與解析：

首先，我們知道三角函數(shù)的一般形式是O二力sin（為+0）,其中（均是振幅，（⑸決

定了周期，而（。決定了相位偏移。

對于給定的函數(shù)（4x）=sin（2x+!））,我們可以看到：

?振幅（4=7）

?周期（7=曾=弓="）

因此，函數(shù)的最小正周期為（〃）。

接下來，我們來看最大值和最小值。由于正弦函數(shù)的最大值和最小值分別為1和T,

所以無論（為+?）取什么值，（/&））的最大值和最小值都將保持為1和-1。

對于對稱軸，我們知道正弦函數(shù)。=sin*））的一般對稱軸方程為

卜=9+力方）（（4QZ））,因此我們需要找到使得（公+乎?+4萬）的（x）值。解這個方

程可得：

忸+?=""］慳=3-?+問依=『+向忸=》問上遂?

因此，一條對稱軸方程為卜二福十號）（（ARZ））。

對于對稱中心，我們知道正弦函數(shù)（y=sin（x））的一般對稱中心為（（?，0））（伏￡

Z））。將這個概念應(yīng)用到我們的函數(shù)中，即（2x+5二々T），解得：

依+5="］忸=人山一.

因此，一個對稱中心為（（三-?,。））（（〃￡Z））。

綜上所述，該函數(shù)的最小正周期為（刀），最大值為1,最小值為T；一條對稱軸方

程為卜二力三）（（A￡Z））,一個對稱中心為（（9-看，。））（（4￡Z））。

第二題：

已知函數(shù)（式十）=2X3-3/+4）。

（1）求函數(shù)（/5））的定義域。

（2）求函數(shù)（/5））的單調(diào)區(qū)間。

（3）求函數(shù)（/（x））的極值。

（4）求函數(shù)（（*））的拐點。

答案及解析：

（1）定義域：函數(shù)（/。））為多項式函數(shù)，定義域為全體實數(shù)，即（分=（-8,+8））。

（2）求單調(diào)區(qū)間：

首先，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（f（x））：

[F（x）=6X2-6x\

令（F（x）=仍，解得O二?；颍▁=7）o

?。▁）的值進行測試，確定單調(diào)區(qū)間：

?當(dāng)時，（F（x）>4，函數(shù)單調(diào)遞增；

?當(dāng)時，（『（A）<0,函數(shù)單調(diào)遞減；

?當(dāng)（x>/）時，（F（x）>。，函數(shù)單調(diào)遞增。

因此，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（（-8,0）和（（/,-8））,單調(diào)遞減區(qū)間為（（。,7））。

（3）求極值：

己知5=己和（*=/）是駐點。

?在處，（f（6=》這是極大值。

?在（x=/）處，（41）=20）3-4=0,這是極小值。

（4）求拐點：

再次求二階導(dǎo)數(shù)（尸（x））：

（x）:12x-6]

令（尸（x）=0,解得（才二勻。

檢查卜二勺附近的二階導(dǎo)數(shù)符號：

?當(dāng)卜〈J時，（/（x）＜0,函數(shù)凹；

?當(dāng)（x＞9時，（/（x）＞0,函數(shù)凸。

因此，是拐點。

拐點的⑺坐標(biāo)為（串）二*）'-噌Y+4二胃

所以拐點坐標(biāo)為（《，T））O

第三題：

函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用

已知函數(shù)（/（x）=x3-3*+4）。

4.求函數(shù)（71＞））的單調(diào)區(qū)間。

5.求函數(shù)（/（X））的極值點，并判斷這些極值點是極大值還是極小值。

6.求函數(shù)（/（⑼）在區(qū)間（[-/,勿）上的最大值和最小值。

答案：

7.函數(shù)（/（X）=4-3/+4）的導(dǎo)數(shù)為（/（乂）=3X2-6x）o

?令（F（x）＞0,解得（x＜?；颍▁＞為,因此函數(shù)在（（-8,0）和（（2+8））上單調(diào)

遞增。

?令（尸（x）〈0,解得（0<x<0,因此函數(shù)在（（0,為）上單調(diào)遞減。

2.極值點由（f（x）=O）得到，即（3/-6x=0）,解得（x=0）或（x=2）。

?當(dāng)0=0時，（艮0）=今,此時為極大值點；

?當(dāng)（*二0時，（/（0=/-3X/+4=0）,此時為極小值點。

3.在區(qū)間（［-1,4］）上：

?當(dāng)（x=_/）時，（/「/）=（一/）3_3（_7）2+4=0）；

?當(dāng)（X=。時，（/（。=0；

?當(dāng)（x=0時,（/（0二。；

?當(dāng)0=9時，&（分=43-3X42+4=4碼。

綜上所述，在區(qū)間（卜/,4）上，最大值為48,出現(xiàn)在。二0處；最小值為0,分

別出現(xiàn)在（x~/）和（入二幻處。

解析：

?首先通過求導(dǎo)來確定函數(shù)的單調(diào)性，這一步是基于導(dǎo)數(shù)的符號變化來判斷原函數(shù)

的增減情況。

?接著通過解方程（尸（x）=。來找到可能的極值點，然后利用二階導(dǎo)數(shù)或直接代

入原函數(shù)來判斷這些點是極大值還是極小值。

?最后，對于具體區(qū)間內(nèi)的最大值和最小值問題，通常需要分別計算各個端點以及

極值點的函數(shù)值，然后比較得出結(jié)果。

第四題：

已知函數(shù)（（x）=/-3x+/）,求函數(shù)（穴x））的極值。

答案:

函數(shù)(/5))的極大值為(f(9二。，極小值為(/(-7)二-3)。

解析：

8.首先求出函數(shù)(/1>))的導(dǎo)數(shù)：(6(x)=3/-3)。

9.令導(dǎo)數(shù)等于零，求出可能的極值點：(3/-3二0)。

10.解方程得到(/=/),即(X=/)或(x=-7)o

11.接下來判斷這兩個點的極值性質(zhì)：

?當(dāng)(x)從負(fù)無窮大到(一1)時，(f(x))為正，?*))單調(diào)遞增；

?當(dāng)(x)從(-1)到(/)時，(￡(一)為負(fù),(/%))單調(diào)遞減；

?當(dāng)。)從(/)到正無窮大時，(F⑺)為正，(/U))單調(diào)遞增。

因此，(X=一/)是極大值點，(X=/)是極小值點。

5.計算極值：

一(4―1)=(-1)3-35/)+/=-1+3+1=

-(/(/)=/3—義/)+/=/_3+/=_/)。

所以，函數(shù)(/1X))的極大值為(①，極小值為(-。。由于題目答案中的數(shù)值與解析

計算結(jié)果不符，可能是題目中的函數(shù)表達式有誤或答案有誤。根據(jù)解析計算，正確答案

應(yīng)為極大值為(》，極小值為(-1)。

第五題

在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)(代￥)=bx+。)的圖像通過點((1,①)，

((2㈤),并且其頂點位于直線(y=-x+9上。

(1)求該二次函數(shù)的表達式；

(2)若(4?=/0)-x),求(雙?)的最小值，并指出此時(x)的值。

答案:

(1)求該二次函數(shù)的表達式

由題意知，二次函數(shù)(/W=aN+-+c)經(jīng)過點((/,3)，((26)),則有：

又因為頂點((/?/))滿足頂點公式(力二-―，且頂點位于直線(y~x+匐上，則頂點

坐標(biāo)可以表示為((-，*)),代入直線方程得到：

4ac-b2b

+4

4a2a

整理得：

\4ac-/=2b+16^

現(xiàn)在我們有了三個方程：

1.(a+Z?+c=p

2.(4a+2b+c-6)

3.(4ac-/=2b+J6a)

通過解這個方程組，可以得至l」(a,b,c)的值。解這個方程組，可以得到儲=)(。=-

幻，(。二刃。因此，二次函數(shù)的表達式為(/(x)=--2x+4)。

(2)求(式x)=/(x)-x)的最小值，并指出此時(x)的值

首先計算(虱萬))的表達式：

[式x)=/*)-X=X2-2X+4-X=X2-3X+4\

為了找到(爪x))的最小值，我們可以對(爪x))求導(dǎo)并令其等于零：

[g1O)=2x-3=<?]

解得62

將1=9代入(式X))中以求得最小值：

久29991816

3—|+4二一一一+4二一——十—=

g2)\2,2)42444

所以（奴＞））的最小值為（3,此時卜二3。

《本章綜合》試卷（答案在后面）

一、單選題（本大題有8小題，每小題5分，共40分）

1、已知函數(shù)（/（X）=G7）,則其定義域為：

A.（x37）

B.。＞/）

C.（x20

D.（x＞。

2、若函數(shù)/*）=log,（x-力的圖象上一點尺切，必）關(guān)于直線7=x對稱的點為

2

。打,力），則。點的坐標(biāo)為（）

△?（擊,%）

B.（含’％）

C.3。-Ly/

D.（2暫+/,y"

3、已知函數(shù)f（x）=ax-2+bx+c（aWO）,若f（1）=4,f（2）=8,且f（x）的

圖象開口向上，那么a、b、c的符號關(guān)系為（）

A.a>0,b>0,c>0

B.a>0,b<0,c>0

C.a<0,b>0,c>0

D.a<0,b<0,c>0

4、一個長方體的長、寬、高分別是3cm、4cm、5cm,它的體積是多少立方厘米？

A.60B.75C.90D.120

5、已知函數(shù)(彳)=的圖像開口向上，且頂點坐標(biāo)為(/,-為，則下列哪

個選項是正確的？

A.a>0,Z?<<7,c<0

B.a<0,b>0,c>0

C.a>0,b>0,c<0

D.a<0,b<.0,c>0

6、已知函數(shù)八乃二sin(或+?),則其周期為：

A.冗

B.2〃

C三

D.；

4

7、已知函數(shù)f(x)=3x^2-4x+5,下列哪個選項是該函數(shù)的圖像與x軸的交點

坐標(biāo)？

A.(1,0)

B.(2,0)

C.(3,0)

D.(1,3)

8、(為

題目：

己知函數(shù)(/*)=log4/-3x+4),則該函數(shù)的定義域為()

A.(x>0或(x</)

B.(1<0

C.(x>/)或O<2)

D.(x>3或(x<0)

二、多選題(本大題有3小題，每小題6分，共18分)

1、若函數(shù)f(x)=ax八2+bx+c(aWO)的圖像的對稱軸為x=-3,且函數(shù)在x=-2時的

函數(shù)值為5,則下列結(jié)論正確的是()

A.a=~l,b=6,c=5

B.a=l,b=6,c=5

C.a=l,b=2,c=5

D.a=-l,b=2,c=5

2、答案：A、C、D

3、在函數(shù)y二2x-3中，若x的取值范圍是[1,3],則y的取值范圍是()

A.[-1,1]

B.[-1,3]

C.[1,5]

D.[1,7]

三、計算題（本大題有3小題，每小題5分，共15分）

第一題：

在直角坐標(biāo)系中，已知點A的坐標(biāo)為（3,4）,點B的坐標(biāo)為（T,2）o求線段AB

的長度。

第二題：

2

已知函數(shù)（/（x）=ylx-2x+5）o

（1）求函數(shù)（久刈）的定義域；

（2）求函數(shù)（/5））的導(dǎo)數(shù)（廣W）；

（3）當(dāng)（x）取何值時，函數(shù)（/1＞））的圖像，存在切線斜率為零的點？

第三題：

已知函數(shù)（（/）二不答），求證：對于任意的0片/）,都有（/。）—+幻。

四、解答題（第1題13分，第2、3題15,第4、5題17分，總分:

77）

第一題

題目描述：

己知函數(shù)（/（x）=sin（2x+?））,求該函數(shù)的最小正周期、最大值和最小值，并寫

出其圖像的一條對稱軸方程和一個對稱中心。

第二題：

已知函數(shù)（（X）=2W-3/44）。

（1）求函數(shù)（/1X））的定義域。

（2）求函數(shù)（/]x））的單調(diào)區(qū)間。

（3）求函數(shù)（（Y））的極值。

（4）求函數(shù)（?x））的拐點。

第三題：

函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用

已知函數(shù)（/（x）=/-3記+4）。

1.求函數(shù)（4、））的單調(diào)區(qū)間。

2.求函數(shù)（/（X））的極值點，并判斷這些極值點是極大值還是極小值。

3.求函數(shù)（/。））在區(qū)間（[-，力上的最大值和最小值。

第四題：

已知函數(shù)（/U）=/-3x+/）,求函數(shù)"（x））的極值。

第五題

在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)QO）=a/+bx+c）的圖像通過點（（1,學(xué)）,

（（2,助,并且其頂點位于直線（y=-x+O上。

（1）求該二次函數(shù)的表達式；

（2）若（a?=/（x）-x）,求（雙?）的最小值，并指出此時（x）的值。

《本章綜合》試卷及答案

一、單選題（本大題有8小題，每小題5分，共40分）

1、已知函數(shù)（穴X）=kT）,則其定義域為:

A.(xN1)

B.(x>/)

C.(x20

D.(x>0

答案：A

解析：由于根號下的表達式必須大于等于0,所以(x-/20,解得(x21)。因此,

函數(shù)的定義域為(x2/)，故選A。

2、若函數(shù)/(x)=log,。-1)的圖象上一點人>〃,為)關(guān)于直線y=x對稱的點為

口打,力)，則0點的坐標(biāo)為()

A

B.島,%)

C."I/。)

D.(2'。+/,%)

答案：D

解析：點Oo,匕?)在函數(shù)/(x)=log2(%-1)的圖象上，則y〃=log/(x〃-/),由對稱

~2~2

y

性知力二X。,xj=y0(3代入選項驗證，發(fā)現(xiàn)只有選項D滿足為=2o+/,力二因此,

0點的坐標(biāo)為(2。+/,%)。

3、己知函數(shù)f(x)=ax-2+bx+c(aWO),若f(1)=4,f(2)=8,且f(x)的

圖象開口向上，那么a、b、c的符號關(guān)系為()

A.a>0,b>0,c>0

B.a>0,b<0,c>0

C.a<0,b>0,c>0

D.a<0,b<0,c>0

答案：B

解析：因為f(l)=4,f(2)=8,所以有方程組：

a+b+c=4

4a+2b+c=8

將第一個方程乘以2,得到：

2a+2b+2c=8

從第二個方程減去上面的結(jié)果，得到：

2a+b=0

因為aW0,所以b=-2a。因為f(x)的圖象開口向上，所以a>0。又因為b=

-2a,所以b<0o根據(jù)f=4,可以得到c=4-a+b=4-a-2a=4-3a。

因為a>0,所以c>0o綜上所述，a>0,b<0,c>0,故選B。

4、一個長方體的長、寬、高分別是3cm、4cm、5cm,它的體積是多少立方厘米？

A.60B.75C.90D.120

答案：D.120

解析：長方體的體積計算公式為：長X寬X高。將給定的尺寸代入公式中，得

到體積為(3X4X5=60X12。立方厘米。因此正確答案是D.120?

5、已知函數(shù)4X)=的圖像開口向上，且頂點坐標(biāo)為(/,一幻，則下列哪

個選項是正確的？

A.a>0,b<0,c<0

B.a<0,b>0,c>0

C.a>0,byOyc40

D.a<0,b<0,c>0

答案：A

解析：由于函數(shù)圖像開口向上，可知a>0。頂點坐標(biāo)為(/,一劣，則/尸-2a,c=/(/)=

a+b+c=a-2a+c=-a+c。因為a>0,所以-a+c的符號取決于c的符號。結(jié)合選

項，只有選項A中c<0,符合題意。

6、已知函數(shù)4x)=sin(2x+?),則其周期為：

A.冗

B.2n

答案：A

解析：正弦函數(shù)的一般形式是sin(為+0,其中B影響周期，周期公式為三。對于

I加

函數(shù)/(x)=sin(2x+B=2,因此周期為十二

7、已知函數(shù)f(x)=3x^2-4x+5,下列哪個選項是該函數(shù)的圖像與x軸的交點

坐標(biāo)？

A.(1,0)

B.(2,0)

C.(3,0)

D.(1,3)

答案：B

解析：要找出函數(shù)f(x)=3x^2-4x+5與x軸的交點坐標(biāo)，需要解方程3x^2-

4x?5=0o通過求根公式或配方法可以得到該方程的解為x=2/3或、=5/3.因此，

圖像與X軸的交點坐標(biāo)為12/3,0)和(5/3,0)o選項B中的(2,0)與x軸的交點坐標(biāo)相

符。

8、(力)

題目：

已知函數(shù)=則該函數(shù)的定義域為()

A.(x>0或(x</)

B.(/<x<幻

C.(x>7)或C<2)

D.(x>$或(x<0)

答案：A

解析：

要使函數(shù)(/。)二1。82(/-3/2))有意義，必須滿足(/-3、+2>0)。解不等式

(/-3X+2>0),可以分解因式得到((x-7)(x-0>。。根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，這個不

等式的解集是(x>幻或?！?)。因此，正確答案是A。

二、多選題(本大題有3小題，每小題6分，共18分)

1、若函數(shù)f(x)=ax/+bx+c(aWO)的圖像的對稱軸為x=-3,且函數(shù)在x=2時的

函數(shù)值為5,則下列結(jié)論正確的是()

A.a=-l,b=6,c=5

B.a=l,b=6,c=5

C.a=l,b=2,c=5

D.a=-l,b=2,c=5

答案：A、B

解析：因為函數(shù)的對稱軸為x=-3,所以頂點的x坐標(biāo)為-3,因此有：

[T=-3]]＞眄6司

又因為當(dāng)戶-2時，函數(shù)值為5,所以：

將b=6a代入上述方程中，得到：

由于aWO,我們可以通過選擇A和B來驗證這兩個方程是否成立。

對于A選項，a=-Lb=6,c=5：

[一嵐一I)+5-5\

等式成立，所以A是正確的。

對于B選項,a=l,b=6,c=5：

[-87)+5=-3\

等式不成立，所以B是錯誤的。

對于C和D選項，由于b=6a,如果"1,那么b=6,這與選項C和D中的b=2不符,

所以C和D都是錯誤的。

因此，正確答案是A、B。

2、答案：A、C、D

解析：本題考查的是三角函數(shù)與解三角形的綜合應(yīng)用，涉及正弦定理、余弦定理以

及三角恒等變換等內(nèi)容。題目設(shè)計為選擇題，要求根據(jù)已知條件判斷正確的結(jié)論。

具體題目如下：

在AABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,且滿足條件sin?A+sin?B-sin2c

二sinAsinBo則下列哪個選項是正確的？

A.ZXABC是直角三角形

B./XABC是銳角三角形

C.AABC是鈍角三角形

D.無法確定

解析：

根據(jù)題目條件sin2A+sin2B-sin2C=sinAsinB,利用正弦定理轉(zhuǎn)換為邊的關(guān)

系式。由正弦定理得：（/+/-（/=a。）。

通過余弦定理（V=/+Z/-2?AosC）,代入上述表達式得到（cos。=勺，因此角C

為60。o

由于題目給出的關(guān)系式并未直接表明C一定是直角或銳角或鈍角，但通過上述分析

可知C的角度為60°,這說明AABC不是直角三角形，也不是鈍角三角形，只能是銳角

三角形。

所以正確答案是B。

3、在函數(shù)y=2x-3中，若x的取值范圍是[1,3],則y的取值范圍是（）

A.[-1,1]

B.[-1,3]

C.[1,5]

D.[1,7]

答案：B、C

解析：因為函數(shù)y=2x-3是線性函數(shù)，斜率為正，所以隨著x的增大，y也會增大。

當(dāng)x=l時，y=21-3=~1；當(dāng)x=3時,片m-3二3。所以y的取值范圍是[T,3]。選項B正

確。同時，由于函數(shù)的斜率為正，y的取值范圍也可以是[1,5],所以選項C也正確。

因此，正確答案是B、Co

三、計算題(本大題有3小題，每小題5分，共15分)

第一題：

在直角坐標(biāo)系中，已知點A的坐標(biāo)為(3,4),點B的坐標(biāo)為(T,2)o求線段AB

的長度。

答案：

線段AB的長度可以通過距離公式來計算，即：

-二〃運一均尸+5-力尸]

將點A(3,4)和點B(-l,2)的坐標(biāo)代入上述公式中，我們得到：

/)_/2+(2一司[〃=J(-g(-羽[d=y/76T4][d=^2d\[d=

町

因此，線段AB的長度是(2與。

解析：

本題考察的是兩點間距離公式的應(yīng)用。距離公式是基于直角三角形的勾股定理推導(dǎo)

出來的，適用于任何平面直角坐標(biāo)系中的任意兩點之間的距離計算。通過將給定點的坐

標(biāo)代入公式，可以輕松計算出兩點間的實際距離。這里，我們首先確定了兩點的坐標(biāo)，

然后按照公式步驟進行計算，最后得出結(jié)果。

第二題：

已知函數(shù)(/&)=7X2-2X/

(1)求函數(shù)(/(x))的定義域；

(2)求函數(shù)(/5))的導(dǎo)數(shù)(廣(%))；

(3)當(dāng)(x)取何值時，函數(shù)(/口))的圖像上存在切線斜率為零的點？

答案:

（1）函數(shù)（4x））的定義域為R）o

解析：由于（/5））是平方根函數(shù)，根號下的表達式必須大于等于零，即（/-2x+52

對于任意實數(shù)（x）,（/-方+0都是一個開口向上的拋物線，其頂點坐標(biāo)為（（/,</））,

且頂點處的函數(shù)值為正。因此，（--外：5）對所有實數(shù)（刈都是非負(fù)的，所以函數(shù)的定

義域為全體實數(shù)。

（2）函數(shù)（（、））的導(dǎo)數(shù)（/（x））為:

,dr—-------------11X-11

/(x)=丁J/-2Y+5二一,一.(2Y-2)=——

dx囚x?-2x+57x2-2x+&

解析：應(yīng)用鏈?zhǔn)椒▌t求導(dǎo)，先對外層函數(shù)（匈求導(dǎo)得到（捻），然后對內(nèi)層函數(shù)（〃二

/-2\+0求導(dǎo)得到（或一幻。將這兩個導(dǎo)數(shù)相乘即得到（尸（>））。

（3）當(dāng)（x=1）時，函數(shù)（/（X））的圖像上存在切線斜率為零的點。

解析：由（2）中求得的導(dǎo)數(shù)（〃（x））可知，當(dāng)時,

這意味著在Q-/）處，函數(shù)（《X））的切線斜率為零，即存在一個切線斜率為零的點。

第三題：

已知函數(shù)（（工）二不濘，求證：對于任意的（xW/）,都有（Kx）=x+0。

答案：對于任意的任意;），都有（KM=x+?。

解析：

首先，我們對給定的函數(shù)（/5）=三B進行化簡。注意到分子（/-〃+3）可以分

解為（。-/）&-學(xué)）。因此,原函數(shù)可以寫為:

丘一

由于（X#/），我們可以約去分子和分母中的（x-7）項，得至I」：

卬）…3]

但是，我們需要證明（/5）=X+0。這里似乎存在一個錯誤，因為根據(jù)我們的化簡,

（/*））應(yīng)該等于而不是5+幻。

因此,我們需要重新審視題目，確認(rèn)是否題目本身有誤或者我們在解題過程中有誤。

如果題目沒有誤，那么我們需要指出題目中的矛盾。如果題目確實要求證明（/U）=x+

幻，那么可能是在題目給出的函數(shù)表達式或者解題條件中存在遺漏或者錯誤。

假設(shè)題目是正確的，那么我們需要重新審視題目條件或者尋找題目中的隱藏條件。

如果沒有其他條件，那么根據(jù)上述化簡，題目中的結(jié)論是不成立的。如果

題目有其他隱藏條件或者題目本身有誤，請?zhí)峁└嘈畔⒁员阄覀兡軌蚪o出正確的解答。

四、解答題（第1題13分，第2、3題15,第4、5題17分，總分:

77）

第一題

題目描述：

已知函數(shù)（/b，）=sin（2x+5））,求該函數(shù)的最小正周期、最大值和最小值，并寫

出其圖像的一條對稱軸方程和一個對稱中心。

答案與解析?：

首先，我們知道三角函數(shù)的一般形式是0=的遍（而+0）,其中（均是振幅，（為決

定了周期，而（。決定了相位偏移。

對于給定的函數(shù)（/（X）=sin（2x+?））,我們可以看到：

?振幅（力二-/）

?周期（7啜后一）

因此，函數(shù)的最小正周期為（不）。

接下來，我們來看最大值和最小值。由于正弦函數(shù)的最大值和最小值分別為1和-1,

所以無論（以+?）取什么值，（?〉））的最大值和最小值都將保持為1和-1。

對于對稱軸，我們知道正弦函數(shù)（y=Sin（x））的一般對稱軸方程為

卜二?+〃〃）（（A￡Z））,因此我們需要找到使得（或+?=?+0）的（x）值。解這個方

程可得：

[^+-=-+A^j[2x=---+kJi\\2x=——+=kJr^[x=-+

因此，一條對稱軸方程為（x=十號）（（A￡Z））。

對于對稱中心，我們知道正弦函數(shù)（y二sin（x））的一般對稱中心為（（—，0））（（?￡

Z））。將這個概念應(yīng)用到我們的函數(shù)中，即（2x+5=4〃），解得：

一+亍"]忸="-曰卜=笥V

因此，一個對稱中心為（（與-?，0））（（AWZ））。

綜上所述，該函數(shù)的最小正周期為（〃），最大值為1,最小值為T;一條對稱軸方

程為[二十號）（（％￡Z））,一個對稱中心為0））（（%￡Z））。

第二題：

己知函數(shù)（/&）=2犬-3/+4）。

（1）求函數(shù)（/&））的定義域。

（2）求函數(shù)（（x））的單調(diào)區(qū)間。

（3）求函數(shù)（?x））的極值。

（4）求函數(shù)（/*））的拐點。

答案及解析：

（1）定義域：函數(shù)（A、））為多項式函數(shù)，定義域為全體實數(shù)，即（〃=（-8,+8））。

（2）求單調(diào)區(qū)間：

首先，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（，（x））：

[f1（^r）=6X2~6x\

令（f（x）=。，解得（X二。或（X=7）0

?。▁）的值進行測試，確定單調(diào)區(qū)間：

?當(dāng)（x＜。時，（f（乃＞4，函數(shù)單調(diào)遞增；

?當(dāng)（0＜x＜7）時，函數(shù)單調(diào)遞減；

?當(dāng)（＞＞/）時，（/（、）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增。

因此,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（（-8,e）和（（1,-8））,單調(diào)遞減區(qū)間為（（。,/））。

（3）求極值:

已知（才=。和（x=1）是駐點。

?在（X二。處，（（。二0,這是極大值。

?在（％=/）處，（（/）:4。3-義。2+4:3）,這是極小值。

（4）求拐點：

再次求二階導(dǎo)數(shù)（尸（x））：