北大數(shù)學(xué)期末考試試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得f(ξ)等于（）。A.f(a)+f(b)B.(f(a)+f(b))/2C.0D.1答案：B2.極限lim(x→0)(sinx)/x的值是（）。A.0B.1C.∞D(zhuǎn).不存在答案：B3.函數(shù)f(x)=x^3-3x在區(qū)間[-2,2]上的最大值是（）。A.-8B.8C.0D.2答案：B4.若級(jí)數(shù)∑(n=1to∞)a_n收斂，則級(jí)數(shù)∑(n=1to∞)a_n^2的收斂性是（）。A.一定收斂B.一定發(fā)散C.可能收斂也可能發(fā)散D.無(wú)法確定答案：A5.函數(shù)f(x)=e^x在區(qū)間[0,1]上的積分值是（）。A.e-1B.e+1C.1/eD.1答案：A6.設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上可導(dǎo)，且f'(x)>0，則f(x)在區(qū)間[a,b]上的單調(diào)性是（）。A.單調(diào)遞增B.單調(diào)遞減C.不確定D.無(wú)法判斷答案：A7.若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x_0處取得極值，且f'(x_0)=0，則x_0是f(x)的（）。A.駐點(diǎn)B.極值點(diǎn)C.拐點(diǎn)D.不確定答案：A8.設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(a)<f(b)，則方程f(x)=0在區(qū)間(a,b)內(nèi)（）。A.至少有一個(gè)實(shí)根B.沒(méi)有實(shí)根C.可能有一個(gè)或多個(gè)實(shí)根D.無(wú)法確定答案：A9.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得f(ξ)等于（）。A.f(a)+f(b)B.(f(a)+f(b))/2C.0D.1答案：B10.設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上可導(dǎo)，且f'(x)>0，則f(x)在區(qū)間[a,b]上的單調(diào)性是（）。A.單調(diào)遞增B.單調(diào)遞減C.不確定D.無(wú)法判斷答案：A二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數(shù)中，在區(qū)間[-1,1]上連續(xù)的是（）。A.f(x)=1/xB.f(x)=sinxC.f(x)=x^2D.f(x)=|x|答案：BCD2.下列函數(shù)中，在區(qū)間[0,1]上可積的是（）。A.f(x)=1/xB.f(x)=sinxC.f(x)=x^2D.f(x)=|x|答案：BCD3.下列級(jí)數(shù)中，收斂的是（）。A.∑(n=1to∞)1/nB.∑(n=1to∞)1/n^2C.∑(n=1to∞)(-1)^n/nD.∑(n=1to∞)(-1)^n/n^2答案：BD4.下列函數(shù)中，在區(qū)間[a,b]上取得最大值的是（）。A.f(x)=x^2B.f(x)=-x^2C.f(x)=x^3D.f(x)=-x^3答案：AB5.下列函數(shù)中，在區(qū)間[a,b]上取得最小值的是（）。A.f(x)=x^2B.f(x)=-x^2C.f(x)=x^3D.f(x)=-x^3答案：AB6.下列級(jí)數(shù)中，發(fā)散的是（）。A.∑(n=1to∞)1/nB.∑(n=1to∞)1/n^2C.∑(n=1to∞)(-1)^n/nD.∑(n=1to∞)(-1)^n/n^2答案：A7.下列函數(shù)中，在區(qū)間[a,b]上可導(dǎo)的是（）。A.f(x)=1/xB.f(x)=sinxC.f(x)=x^2D.f(x)=|x|答案：BC8.下列函數(shù)中，在區(qū)間[a,b]上連續(xù)的是（）。A.f(x)=1/xB.f(x)=sinxC.f(x)=x^2D.f(x)=|x|答案：BCD9.下列級(jí)數(shù)中，收斂的是（）。A.∑(n=1to∞)1/nB.∑(n=1to∞)1/n^2C.∑(n=1to∞)(-1)^n/nD.∑(n=1to∞)(-1)^n/n^2答案：BD10.下列函數(shù)中，在區(qū)間[a,b]上取得最大值的是（）。A.f(x)=x^2B.f(x)=-x^2C.f(x)=x^3D.f(x)=-x^3答案：AB三、判斷題（每題2分，共10題）1.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得f(ξ)等于(f(a)+f(b))/2。（）答案：正確2.極限lim(x→0)(sinx)/x的值是1。（）答案：正確3.函數(shù)f(x)=x^3-3x在區(qū)間[-2,2]上的最大值是8。（）答案：正確4.若級(jí)數(shù)∑(n=1to∞)a_n收斂，則級(jí)數(shù)∑(n=1to∞)a_n^2的收斂性一定是收斂。（）答案：正確5.函數(shù)f(x)=e^x在區(qū)間[0,1]上的積分值是e-1。（）答案：正確6.設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上可導(dǎo)，且f'(x)>0，則f(x)在區(qū)間[a,b]上的單調(diào)性是單調(diào)遞增。（）答案：正確7.若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x_0處取得極值，且f'(x_0)=0，則x_0是f(x)的駐點(diǎn)。（）答案：正確8.設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(a)<f(b)，則方程f(x)=0在區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根。（）答案：正確9.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得f(ξ)等于(f(a)+f(b))/2。（）答案：正確10.設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上可導(dǎo)，且f'(x)>0，則f(x)在區(qū)間[a,b]上的單調(diào)性是單調(diào)遞增。（）答案：正確四、簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）1.簡(jiǎn)述函數(shù)在某區(qū)間上連續(xù)的性質(zhì)。答案：函數(shù)在某區(qū)間上連續(xù)的性質(zhì)包括：若函數(shù)在某區(qū)間上連續(xù)，則在區(qū)間上任意兩點(diǎn)之間必有最大值和最小值；若函數(shù)在某區(qū)間上連續(xù)，則在區(qū)間上任意兩點(diǎn)之間必有介值；若函數(shù)在某區(qū)間上連續(xù)，則在區(qū)間上任意一點(diǎn)處必有極限。2.簡(jiǎn)述級(jí)數(shù)收斂的定義。答案：級(jí)數(shù)∑(n=1to∞)a_n收斂的定義是：若部分和S_n=a_1+a_2+...+a_n的極限存在且為有限值S，則稱(chēng)級(jí)數(shù)∑(n=1to∞)a_n收斂，其和為S。3.簡(jiǎn)述函數(shù)在某區(qū)間上可導(dǎo)的性質(zhì)。答案：函數(shù)在某區(qū)間上可導(dǎo)的性質(zhì)包括：若函數(shù)在某區(qū)間上可導(dǎo)，則在區(qū)間上任意一點(diǎn)處必有導(dǎo)數(shù)；若函數(shù)在某區(qū)間上可導(dǎo)，則在區(qū)間上任意一點(diǎn)處必有切線(xiàn)；若函數(shù)在某區(qū)間上可導(dǎo)，則在區(qū)間上任意一點(diǎn)處必有局部線(xiàn)性近似。4.簡(jiǎn)述函數(shù)在某區(qū)間上取得極值的條件。答案：函數(shù)在某區(qū)間上取得極值的條件包括：若函數(shù)在某區(qū)間上取得極值，則在極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0或?qū)?shù)不存在；若函數(shù)在某區(qū)間上取得極值，則在極值點(diǎn)兩側(cè)導(dǎo)數(shù)符號(hào)相反。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)在某區(qū)間上連續(xù)與可導(dǎo)的關(guān)系。答案：函數(shù)在某區(qū)間上連續(xù)與可導(dǎo)的關(guān)系是：若函數(shù)在某區(qū)間上可導(dǎo)，則函數(shù)在該區(qū)間上一定連續(xù)；但若函數(shù)在某區(qū)間上連續(xù)，則函數(shù)在該區(qū)間上不一定可導(dǎo)。例如，絕對(duì)值函數(shù)f(x)=|x|在x=0處連續(xù)，但不可導(dǎo)。2.討論級(jí)數(shù)收斂與發(fā)散的條件。答案：級(jí)數(shù)收斂與發(fā)散的條件是：若級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列有極限且為有限值，則級(jí)數(shù)收斂；若級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列無(wú)極限或?yàn)闊o(wú)窮大，則級(jí)數(shù)發(fā)散。常見(jiàn)的判別方法包括比較判別法、比值判別法、根值判別法等。3.討論函數(shù)在某區(qū)間上取得最大值與最小值的條件。答案：函數(shù)在某區(qū)間上取得最大值與最小值的條件是：若函數(shù)在某區(qū)間上連續(xù)，則在區(qū)間上必有最大值和最小值；最大值和最小值可以在區(qū)間的端點(diǎn)處取得，也可以在區(qū)間的內(nèi)部取得。通常通過(guò)