技巧二．奔馳定理---解決面積比例問題C llAO.lA.3B.4C.5D.6A.B.C.D.由P+7P+5B=可得P+7P+5(P-P(=，即P+2P+5P=，設(shè)PA=xPD,PC=yPE，因為B,D,C三點共線，則存在實數(shù)λ,使得PB=λPD+(1-λ(PC，將P=xP,P=yP代入P+2PxP+2[λP+(1-λ(yP[+5yP=，即(x+2λ(P+[5y+2(1-λ(y[P=，同理，設(shè)PC=μPE，則PA=-2S△APEP||P|sin∠APE35,S△APEP||P|sin∠APE35,A.B.-C.D.-∴S△ACD=S△ABD 又E為線段AD上一點，若△ABE與△ACD的面積相等，∴S△ABES△ABD，E為AD的中點. 因為H為△ABC的垂心，所以O(shè)H=OA+因為G,O分別是△ABC的重心和外心，由垂心性質(zhì)得AH⊥BC，則AH.BC=故OA.OA-OB.OA+OA.OC-OA由余弦定理得cos∠AOB=R2+R2-c2=2R2-c2由余弦定理得cos∠AOB=R2+R2-c2=2R2-c2cos∠AOC=R2+R2-b2=2R2-b2代入可得R-=18，2-b2=a2， . AC5.故△ABC是以AC為斜邊的直角三角形，則cos∠BAC=ABAC5.當x≠0時，由A=xA+yA得A=A(+2yA(.由A=A+2yA及+2y=1，知E,O,F三點共線.又由A=A知F為AC的中點，故OF⊥AC，AE3.所以cos∠BAC=AFAE3. 由P.B=-，P.B=，可得(P+P(.B=-+=0，所以P在BC的垂直平分線上.所以BK=，從而BC=1.由正弦定理可得設(shè)內(nèi)切圓半徑為r，則(AC+BC+AB(.r=AC.BC，即(1+1+2(.r=，-AB2=23,O為AC的中點．則A.B=(-C(.(-C(=C.C=×4×23×=6．因為O為△ABC的外心，所以D,E分別是AB,AC的中點．則A.B=A.(A-A(=A.A-A.A2=①-②得2(O.O-O.O(=12，A.B=A.(B+O(=A.B+A.O2222=OA.OB-OA.OC=OD-AD-OE2222即O2-O2=A2-A2，從而A.B=O2-A2-O2+A2=2(A2-A2(=2(22-12(=6．若mI+I=，則m:n:p=a:b:c，a,b,c分別為三角形三邊BC,AC,AB的長度. 則O.O=(O+D(.(O+D(=O2-D2=(3(2-32=-6.AG=mAB+nBC=mAB+nBA+nAC=(m-n故A=(m-n(A+nA=A=(A+A(，rm-n=5rm=5rm-n=5rm=5則A(0,4(，B(-3,0(，C(3,又設(shè)G(0,y(，則A=(-3,-4(，所以B=k+((|=k(3,4(+(3,0所以A=(0,-，從而(0,-=m(-3,-4(+n(6,0(=(-3m+6n,-4m(，n=.n=.【解析】插入分點G，得A=xA+yB=xA+xG+yB+yG，即(x-1(A—+(y-x(B-yC—=，設(shè)內(nèi)切圓半徑為r．則S△ABC=×CA×CB=(AB+BC+CA(.r?r==1.設(shè)內(nèi)切圓與邊CA，CB的切點分別為D,E.則A=A+D=A+C=(A+B(-B=A+B.又AG=xAB+yBC，所以x= a-c(G+(b-c(G=．又因為GA與又因為GA與GB不共線，因為G=(-A-A(，G=(A+B(=(-A+2A(，所以aG+bG+cG=可化為(-A-A(+(2A-A(+c(-A+2A(=，即-+c(A++-c(A=．因為AB與AC不共線，因為AB與AC不共線，。,又A=(A+A(，:A=A=×(A+A(=A+A，:λ=、μ=，即又A=A+A，:|A|2=A+A(2=|A|2+|A|2+A.A=2A.A(，|A|2-4(≥(8-4(=， 則O.B=(O+D(.B=D.B=D.B=-A+A—(.(A-A(=(A2-A2(，又O.B=B2一條直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，該直線也被稱為歐拉線．已知在△ABC所以有O- 整理可得BC2-23BC+2=0，解得BC=3±1(舍去BC=3-1<2)，.不妨設(shè)H,b(，.因為AH⊥BC，.整理可得BC2-23BC+2=0，所以BC=3-1..不妨設(shè)H,c(，.因為AH⊥BC，解得c=-，所以H(-,-.所以G(-,.(-,-，2H.因為H+2H+3H=，所以(H+H(=-2(H+H(，所以H=-2H.所以H,D,E三點共線，且HD:HE=2.連接DE，則DE∥AB，且DE=AB. 則H+H=H+H=2H,H+H=H+H=2H.因為H+2H+3H=，所以2H+H(=-3H+H—(，所以H=-H—.所以H,P,Q三點共線，且HP:HQ=.因為P,Q為OB,OC的中點，綜上所述tan∠BAC:tan∠ABC:tan∠ACB=1:2:3.設(shè)tan∠BAC=k,k>0則tan∠ABC=2k,tan∠ACB=3k.因為銳角△ABC中，tan∠ACB=-tan(∠ABC+∠BAC(=--，所以tan∠BAC+tan∠ABC+tan∠ACB=tan∠BAC.tan∠ABC.tan∠ACB，-cos∠ACB=-.連接AG交BC于點D，點M在直線OP上，設(shè)G=λB=λ(A-A)，所以A=A+G=A+λ(A-A)=-λ(A++λ(A，所以所以2x+y 【解析】由A=A+A，得4A=(A+H(+2(A+H(，化簡得AH=HB+-A2=H.H+2H.H=3H.H=-1，故H.H=-.設(shè),y)，則-,y)，-=(x-1,y-3)； 化簡得(x-2+(y-2=1，|-即圓M上的動點C到點B距離的最小值，|D|2-當且僅當B,M,C三點共線時取到最小值．-=0得(2-x((1-2x(+(-y((3-2y(=0，整理可得(x-2+(y-2=，表示點C(x,y(在以M,為圓心，為半徑的圓上，-=-+---[=0，(.(--(.=0，-3,-=θ,-2-2-2-2-+1≤0-+1≥0，2≤2++則y2=13-2t+13+2t+2(13-2t((13+2t(=--+|-≥-|=13 BC=()A.B.-2C.D則SA:SCBO||BC|sinBO||BA|sin∠2=a:b，26.已知M是△ABC所在平面內(nèi)一點，滿足，則△ABM與△BCM的面積之比為()A.3B.4C.D所以EF與GH交于點M， 所以S△BMC=S△ABC-S△ABM-S△AMC=S△ABC-S△ABC-S△ABC=S△ABC，角形ABC的A.垂心B.內(nèi)心C.重心D.外心【解析】∵BA.BD=BC.BD，∴BA.BD-BC.BD∴BD是三角形ABC的高線，∴直線BD一定經(jīng)過三角形ABC的垂心.A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心所以點P在∠BAC的角平分線上.所以點P為△ABC的內(nèi)心.A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心所以點H的軌跡一定過△ABC的垂心，A.(-∞,0)B.(-1,0)CD.(0,+∞)因此直線BC的垂直平分線方程為yBC邊上的高所在的直線方程為y=-(x+1(，故H(x0,-(x0+1((，故F=(x0,-(x0+1(--=(x0,-(x0+1(-，由0=-(x0+1(+可得3(x-1(=y， A.銳角三角形B.鈍角三角形C.直角三角形D.上述三種情況都有可能【解析】作△ABC的邊BC上的中線AD，過點G作GE⊥BC于點E，過點A作AH⊥BC于點H．由OG.BC=6及BC=所以點H,C重合，故AC⊥BC．A.△ABC的內(nèi)心B.△ABC的垂心C.△ABC的重心D.△ABC的外心:P,C,D三點共線，所以點P的軌跡一定經(jīng)過△ABC的重心，A.16B.-16C.8D.-8則A.A=(A+D(.A=A.A+D.則P點的軌跡一定通過△ABC的()A.重心B.垂心C.外心D.內(nèi)心故AP丄BC，即點P的軌跡經(jīng)過△ABC的垂心. ()A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心∴2A.(C-C(=0，∴AB⊥PD，∴點P在AB中垂線上.∴P為△ABC的外心.A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心【解析】延長CO交AB于E，延長BO交AC于F，延長AO交BC于D，所以O(shè)為△ABC的內(nèi)心.A.16B.8C.4D.-8則A.A=(A+D(.A=A.A+D.故選:B．|OG|最大時，△ABC的外接圓半徑為()A.B.C.D.2O.O+2O.O+2O.O(={3r2+2r2[3-2(sin2A+sin2B+sin2C([{ =[3r2+2r2(3-2r)[=(9r2-4r3(，令f(r)=(9r2-4r3(，此時f’(r)=r(3-2r)，(r(>0，此時f(r)單調(diào)遞增；(r)<0，此時f(r)單調(diào)遞減；A),λ>0}，則△ABC的()一定屬于集合M.A.重心B.垂心C.外心D.內(nèi)心所以O(shè)=O+λt(A+A(，∵OP=OA+AP，∴A=λt(A+A(，設(shè)D為BC中點，則A=(A+A(，故A=2λtA，所以A,P,D共線，∴點P的軌跡為射線AD(不含端點A).∴△ABC的重心一定屬于集合M.A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心【解析】由P.P=P.P，所以P.P-P.P=P.(P-P(=P.B=0，則PA⊥BC，同理可證PB⊥AC,PC⊥AB，所以P為三角形的垂心.A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心2+B2=O2+C2?O2-O2=C2-B2，?(O-O(.(O+O(=(C-B(.(C+B(?B.(O+O(=(C-B(.B?B.(O+O(=(O-O-O+O(.B43.(2025·高三·福建泉州·A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心A.1B.3C.3-1D.3+1 -2所以△ABC的外接圓的半徑R為===，2由AO=xAB所以A.A=xA2+yA.A，所以y=0或cos∠BAC=，由AO=xAB+yAC，由AO=xAB+yAC，A=A+A今A2=A2+A2+A.A=，A.若P為△ABC的垂心，AB.AC=2，則APB.若P為銳角△ABC的外心，AP=xAB+yAC且x+2y=1，則A所以A.A=A.(A+P)=A.A+A.P=A.A=2，故A正確；又因為P為銳角△ABC的外心，則PD丄AC，所以BD垂直平分AC，故AB=BC，故B正確；(A+A(， 所以A.B=.BC，所以A.B-A.B=0，即(A-A).B=0，A.O.O=B.cos∠BOC=-C.O.A=-D.4b2-c2=2a2所以O(shè).A=O.(O-O(=O.O-O.O=-+=-，故C正確；由外心的性質(zhì)有∠BOC=2A,∠AOB=2C,∠AOC=2B，A.A.AC.若則P過△ABC的重心D.若A=λ(b.A+c.A—((λ>0(，則P過△ABC的外心故A正確；:AP丄BC，即AP丄BC，則P過△ABC的垂心，故B正確；:A+A—=μA+μA，:==μ其中表示角A的平分線所在向量，所以P過△AP的延長線交BC于點D，則下列說法正確的是()A.若P為△ABC的重心，則AP=2B.若P為△ABC的外心，則APC.若P為△ABC的垂心，則ADD.若P為△ABC的內(nèi)心，則AD= 對于C，由P為△ABC的垂心，則AD為BC邊上的高，由面積相等可得S△ABC=BC.AD=AB.ACsinA， 2 2.M+SB.M+SC.M=以下命題正確的有()則M+M+M=，所以M+2M=，2M=-M，設(shè)E,F分別是AB,AC的中點，同理可得C=C，B=B，所以M為△ABC的重心，故A正確；對于B，因為M為△ABC的內(nèi)心，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為r，則有SA=BC.r,SB=AC.r,SC=AB.r，所以BC.r.M+AC.r.M+AB.r.M=，即BC.M+AC.M+AB.M=，故B正確；對于C，因為M為△ABC的外心，設(shè)△ABC的外接圓半徑為R，所以SA=R2sin∠BMC=R2si對于D，延長AM交BC于D，延長BM交AC于F，延長CM交AB于E，如圖所示：因為M為△ABC的垂心，3M+4M+5M=， 設(shè)MD=x,MF=y，S.BC.ADAD2.BC.MD=MDS.BC.ADAD2則AM=3x,BM=2y,，所以在Rt△BMD中，BD=BM2-MD2=4y2-x2=5x，所以在Rt△ABD中，tan∠ABC=tan∠ABD==45；所以在Rt△AMF中，AF=AM2-MF2=9x2-y2=30x， 所以在Rt△ABF中，tan∠BAC=tan∠BAF===35； 所以tan∠BCA=tan[π-(∠ABC+∠BAC)]=-tan(∠ABC+∠BAC)=-552=P3=PPP)C.P2=P24=P4D.P+P2+P3PP=PPP，.P4P，由P2=PP+P2PP丄P4P2.P2=P24，由P24.P4=P4，PPP=PPP1所以O(shè)為中位線DM的三等分點.S△ABCS△AOCS△ABCS△AOC53.已知△ABC的三個頂點A,B,C及所在平面內(nèi)一點P滿足PA+PB+PC=AB，△BCP與△ABP的面54.“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論，因為這個定理對應的圖形與“奔馳”(Mercedes- -O(=0，延長CO交AB于點P，所以cosA:cosB=