第一講概率基本知識(shí)（上）（一）隨機(jī)現(xiàn)象

一、內(nèi)容提綱

1.隨機(jī)現(xiàn)象

2.隨機(jī)事件

3.事件日勺運(yùn)算

4.概率一一事件發(fā)生也許性大小的度量

二、考試規(guī)定

1.掌握隨機(jī)現(xiàn)象與事件H勺概念

2.熟悉事件的運(yùn)算（對(duì)立事件、并、交與差）

3.掌握概率是事件發(fā)生也許性大小的度量的概念

三、解說(shuō)

在產(chǎn)品H勺整個(gè)生命周期H勺各個(gè)階段，在所有過(guò)程的運(yùn)營(yíng)和成果中均可觀測(cè)到變異，提高質(zhì)量H勺

途徑便是減少變異。而記錄技術(shù)可以協(xié)助我們對(duì)觀測(cè)到的J變異進(jìn)行測(cè)量、描述、分析和解釋，更

好理解變異的性質(zhì)、限度和因素'從而有助于解決、甚至避免由變異引起的問(wèn)題，并增進(jìn)持續(xù)

改善。

一、事件與概率

（一）隨機(jī)現(xiàn)象

在一定條件下，并不總是浮現(xiàn)相似成果的現(xiàn)象稱為隨機(jī)現(xiàn)象。拋硬幣、擲骰子是兩個(gè)最簡(jiǎn)樸的

隨機(jī)現(xiàn)象的例子。拋一枚硬幣，也許浮現(xiàn)正面，也也許浮現(xiàn)背面，至于哪一面浮現(xiàn)，事先并不

懂得。又如擲一顆骰子，也許浮現(xiàn)1點(diǎn)到6點(diǎn)中某一種，至于哪一點(diǎn)浮現(xiàn)，事先也不懂得，從

這個(gè)定義中可以看出，隨機(jī)現(xiàn)象有兩個(gè)特點(diǎn)：

（1）隨機(jī)現(xiàn)象H勺成果至少有兩個(gè)：

（2）至于哪一種浮現(xiàn)，事先并不懂得。

只有一種成果H勺現(xiàn)象稱為擬定性現(xiàn)象。例如，太陽(yáng)從東方出，同性電荷相斥，異性電荷相吸，向

上拋一石子必然下落等。

例1.1-1如下是隨機(jī)現(xiàn)象的此外某些例子：

（1）一天內(nèi)進(jìn)入某超市的顧客數(shù)；

（2）一顧客在超市中購(gòu)買(mǎi)的商品數(shù)；

（3）一顧客在超市排隊(duì)等恃付款的時(shí)間；

（4）一棵麥穗上長(zhǎng)著的麥粒數(shù)；

（5）新產(chǎn)品在將來(lái)市場(chǎng)的占有率；

（6）?臺(tái)電視機(jī)從開(kāi)始使用到發(fā)生第?次故障的時(shí)間：

（7）加工某機(jī)械軸向誤差：

（8）一罐午餐肉的重量。

可見(jiàn)，隨機(jī)現(xiàn)象在質(zhì)量管理中隨處可見(jiàn)。

可見(jiàn)，隨機(jī)現(xiàn)象在質(zhì)量管理中隨處可見(jiàn)。

認(rèn)識(shí)一個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象首先要知道它的一切可能發(fā)生的基本結(jié)果,這里的基本結(jié)果稱為樣本點(diǎn)，隨

機(jī)現(xiàn)象一切可能樣本點(diǎn)的全體稱為這個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象的樣本空間，常記為0.

“拋一枚硬幣”的樣本空間0={正面、反面};

“拋一顆骰子”的樣本空間0:{1，2,3,4,5,6}；

“一顧客在超市中購(gòu)買(mǎi)商品件數(shù)”的樣本空間Q={0,1，2,…};

“一臺(tái)電視機(jī)從開(kāi)始使用到發(fā)生第一次故障的時(shí)間”的樣本空間0={十:七"0};

“測(cè)量某物理量的誤差?的樣本空間0={X：-8<x<oo）0

、（二）隨機(jī)事件

（二）隨機(jī)事件

隨機(jī)現(xiàn)象的某些樣本點(diǎn)構(gòu)成的集合稱為隨機(jī)事件，簡(jiǎn)稱事件，常用大寫(xiě)字母A.B.C等表達(dá)。如

在擲一顆骰子，”浮現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”是一種事件。它由1點(diǎn)、3點(diǎn)、5點(diǎn)共三個(gè)樣本點(diǎn)構(gòu)成，若記這

個(gè)事件為A,則有A={1,3,5}o同樣“浮現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”是一種事件。它由2點(diǎn)、4點(diǎn)、6點(diǎn)共三

個(gè)樣本點(diǎn)構(gòu)成，若記這個(gè)事件為B,則有B={2,4,6}。

1.隨機(jī)事件的特性

從隨機(jī)事件的定義可見(jiàn)，事件有如下幾種特性：

(1)任一事件A是相應(yīng)樣本空間Q中時(shí)一種子集。在概率論中常用一種長(zhǎng)方形示意樣本空間

用其中一種圓示意事件A,一般我們用維恩(Venn)圖表達(dá)。

(5)任同樣本空間。均有一種最小子集，這個(gè)最小子集就是空集，它相應(yīng)日勺事件稱為不也許事

件，記為。

［例1.1—2］若產(chǎn)品只辨別合格與不合格,并記合格品為“0”,不合格品為T(mén)”。則檢查兩件

產(chǎn)品的樣本空間Q由下列四個(gè)樣本點(diǎn)構(gòu)成。

。={(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}

其中樣本點(diǎn)(0,1)表達(dá)第一件產(chǎn)品為合格品，第二件產(chǎn)品為不合格品，其她樣本點(diǎn)可以類似解

釋。下面幾種事件可用集合表達(dá)，也可以用語(yǔ)言表達(dá)。

A="至少有一件合格品”={(0,0),(0,1),(1,0)}；

B="至少有一件不合格品{(1.0),(0.1).(1,1)}：

C=“正好有一件合格品”={(0,1),(1,0))；

。="至多有兩件合格品”={(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}；

C="有三件不合格品”。

目前我們來(lái)考察“檢查三件產(chǎn)品”這個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象，且合格品仍記為“0”，不合格品記為“1”。

它的樣本空間O具,有23=8個(gè)樣本點(diǎn).

Q={(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(0,1,1),(1,0,0),(1,0,1),(1,

1,0),(1,1,1))

下面幾種事件可用集合表達(dá)，也可以用語(yǔ)言表達(dá)。

A="至少有一件合格品”={。中剔去(1,1,1)的其他7個(gè)樣本點(diǎn)}:

B=，，至少有一件不合格品”;{Q中剔去(0,0,0)H勺其他7個(gè)樣本點(diǎn)};

c="恰有一件不合格品”={(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0)}：

D="恰有兩件不合格品”={(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0)}；

E:”全是不合格品”={(1,1,1))；

F="沒(méi)有不合格品”={(0,0,0.)}o

F="沒(méi)有不合格品”={(0,0,0,)}。

㈤第二講概率基本知識(shí)(下)

2.隨機(jī)事件之間的關(guān)系

2.隨機(jī)事件之間的關(guān)系

在一種隨機(jī)現(xiàn)象中常會(huì)遇到許多事件，它們之間有下列三種關(guān)系。

(1)涉及：在一種隨機(jī)現(xiàn)象中有兩個(gè)事件A與B,若事件A中任一種樣本點(diǎn)必在事件B中，則

稱事件A被涉及在事件B中，或事件B涉及事件A,

(2)互不相容：在一種隨機(jī)現(xiàn)象中有兩個(gè)事件A與B,若事件A與B沒(méi)有相似的樣本點(diǎn)，則稱

事件A與B互不相容。這時(shí)事件A與B不也許同步發(fā)生，如圖如在電視機(jī)壽命實(shí)驗(yàn)里，“電

視機(jī)壽命不不小于1萬(wàn)小時(shí)”與“電視機(jī)壽命超過(guò)4萬(wàn)小時(shí)”是兩個(gè)互不相容事件，由于它們沒(méi)

有相似H勺樣本點(diǎn)，或者說(shuō)它們不也許同步發(fā)生。

這種互不相容可以推廣到三個(gè)或更多事件的互不相容。

（3）相等：在一個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象中有兩個(gè)事件A與B,若事件A與B含有相同的樣本點(diǎn)，則稱事件A與B相等，記

為A=B.若工U8,且8U*,則A=B；皮之，如果A=B,則ACB,且8CA□

例如在擲骰子的隨機(jī)事件中，其樣本點(diǎn)記為（x,y）,其中x與y分別為第一與第二顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，如下兩

個(gè)事件：

A=｛（x,y）：x+y=奇數(shù)｝

B=｛（x,y）:x與y的奇偶性不同｝

可以驗(yàn)證A與B含有相同的樣本點(diǎn)，故A:B。

圖1.1-3

圖1.1-2

金（三）事件的運(yùn)算

（三）事件的運(yùn)算

1.事件的運(yùn)算的分類

事件的運(yùn)算有下列四種。

（1）對(duì)立事件：在一個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象中，a是樣本生間，A為事件，由a中而不在A中的樣本點(diǎn)組成的事件稱為

A的對(duì)立事件，記為N。如圖1.卜4其中的陰彩部分就表示A的對(duì)立事件A.N就是表示大不發(fā)生。對(duì)立事

件是相互的，A的對(duì)立事件是A,A的對(duì)立事件是A.特別地，必然事件Q與不可能事件?；閷?duì)立事件，

即C=。.

顯然有：AD￡=Q,AnA=

圖1」一4

圖1.1—5

（2）事件的并：由事件A與B中所有的樣本點(diǎn)（相同的只計(jì)入一次）蛆成的新事件稱為A與B并，記為4D3?

如圖1.1-5.并事件工DB發(fā)生意味著“事件A與B中至少有一個(gè)發(fā)生”.

顯然有：①』。/二/；

②工u工DB,BcA<JB;

③若工uB,則=特別地，-4uQ=Q,J4O^=A.

（3）事件的交：由割牛A與B中公共的樣本點(diǎn)蛆成的新事件稱為事件A與B的交，記為jC8或AB?如圖1.卜6?

交事件AnB發(fā)生意味著“事件A與B同時(shí)發(fā)生”。

顯然有：⑴AcBuA,AcBuB;

⑵若AuB,則AcB=A,特別地AQ=A;

⑶若A與B互不相容，則AB=夕，特別地?zé)?九

注：事件的交和并可推廣到更多個(gè)事件的情形。

圖1.1—7

圖1.1-6

(4)事件的差：由屬于事件A而不屬于事件B的樣本點(diǎn)組成的新事件稱為A對(duì)B的差，記為A-B,表示事件A

發(fā)生而事件B不發(fā)生的事件。如圖1.17。顯然，B-A,表示B對(duì)A的差，一般-幺。

顯然有：①不要求B,才有5一8,若AcB,則4?B=。；

②若金與B互不相容，則A-B=A,B-A=B;

③A-B=A-AcB;

④A-B=AF(證明：A-B=A-AB=A(Q-B)=AB)

2.事件的運(yùn)算性質(zhì)

事件的運(yùn)算具有如下性質(zhì)：

(1)交換律：AOB-BKJA,Ar\B=Bc\A\

(2)結(jié)合律：J4U(5UC)=(AUB)UC?工c(￡cC)=(4cB)cC;

(3)分配律：Au(5nC)=B)yn(AuC)>,』c(BuC)=Q4CB)U(J4CC)

(4)對(duì)偶律：AuB=AnB?AnB=AuB?

以上性質(zhì)都可用維恩圖加以驗(yàn)證，這些性質(zhì)都可推廣到更多個(gè)事件運(yùn)算上去。

［例1.1-3］設(shè)A、B、C為任意三個(gè)事件，試用MB、C的運(yùn)算關(guān)系表示下列各事件：

①三個(gè)事件中至少一個(gè)發(fā)生AuBuC

②沒(méi)有一個(gè)孰牛發(fā)生ABC=AuBuC(由對(duì)偶律)

③蛤有一個(gè)事件發(fā)生ABCuABCuABC

④至多有兩個(gè)事件發(fā)生(考慮其對(duì)立事件)

(ABCuABCuABC}u(ABCuABCuABC)u(ABC)=ABC=AuBuC

⑤至少有兩個(gè)事件發(fā)生ABCKJABCuABC<jABC=ABuBCkjCA

(四)概率

所謂概率，就是事件發(fā)生也許性大小的度量。

雖然隨機(jī)事件R勺發(fā)生與否是帶有偶爾性口勺，但是隨機(jī)事件發(fā)生的也許性大小還是有大小之別的，

是可以度量的。事實(shí)上，在生活、生產(chǎn)和經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中，人們也常關(guān)懷一種隨機(jī)事件發(fā)生的也許性

大小。例如：

(1)拋一枚均勻的硬幣，浮現(xiàn)正面與浮現(xiàn)背面的也許性各為"2。

(2)某廠試制成功一種新止痛片，在將來(lái)市場(chǎng)的占有率也許有多高呢？

(3)購(gòu)買(mǎi)彩券的中獎(jiǎng)機(jī)會(huì)有多少呢？

上述問(wèn)題中的正面浮現(xiàn)口勺機(jī)會(huì)、市場(chǎng)占有率、中簽率以及常用時(shí)不合格品率、命中率等都是用來(lái)

度量隨機(jī)事件發(fā)生的也許性大小。一種隨機(jī)事件A發(fā)生的也許性口勺大小稱為這個(gè)事件的概率，并

用P(A)表達(dá)。顯然，概率是一種介于0到1之間的數(shù)，由于也許性都是介于0%到100%之間歐J。

概率愈大，事件發(fā)生口勺也許性就愈大；概率愈小，事件發(fā)竺口勺也許性就愈小。

上述問(wèn)題中的J正面浮現(xiàn)日勺機(jī)會(huì)、市場(chǎng)占有率、中簽率以及常用日勺不合格品率、命中率等都是用來(lái)

度量隨機(jī)事件發(fā)生的也許性大小。一種隨機(jī)事件A發(fā)生的也許性的大小稱為這個(gè)事件的概率，并

用P(A)表達(dá)。顯然，概率是一種介于0到1之間的數(shù)，由于也許性都是介于0%到100%之間的。

概率愈大，事件發(fā)生H勺也許性就愈大；概率愈小，事件發(fā)生的也許性就愈小。

特別地，不可能事件的概率為0,必然事件的概率為1,即：P3=0,P(Q)=lo

雨第三講概率的古典定義與記錄定義(上)

古典概率的定義與記錄定義

一、內(nèi)容提綱

L概率的古典定義

2.概率日勺記錄定義

3.概率日勺基本性質(zhì)及加法法則

4.條件概率及概率的乘法法則

5.獨(dú)立性和獨(dú)立事件H勺概率

二、重點(diǎn)與難點(diǎn)

1.熟悉概率的古典定義及其簡(jiǎn)樸計(jì)算

2.掌握概率H勺記錄定義

3.掌握概率口勺基本性質(zhì)

4.掌握事件的互不相容性和概率附加法法則

5.掌握事件的獨(dú)立性、條件概率和概率的乘法法則

三、內(nèi)容解說(shuō)

二、古典概率的定義與記錄定義

擬定一種事件的概率有幾種措施，這里簡(jiǎn)介其中兩種最重要的措施，在歷史上，這兩種措施分

別被稱為概率H勺兩種定義，即概率的古典定義及記錄定義。

（一）概率的古典定義

用概率的古典定義擬定概率的措施的要點(diǎn)如下：

（1）所波及的隨機(jī)現(xiàn)象只有有限個(gè)樣本點(diǎn)，設(shè)共有n個(gè)樣本點(diǎn)；

（2）每個(gè)樣本點(diǎn)浮現(xiàn)的也許性相似（等也許性）；

（3）若被考察的事件A具有k個(gè)樣本點(diǎn)，則事件AH勺概率為：

（3）若被考察日勺事件A具有k個(gè)樣本點(diǎn)，則事件Ain概率為:

工中所含樣本點(diǎn)(11)

二)一月一口中樣本點(diǎn)的總數(shù)

［例1.1-3］擲兩顆骰子，期羊本點(diǎn)可用版(x,y)表示，其中，x與y分別表示第一與第二顆

骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)。這一隨枷現(xiàn)象的樣本空間為：

□=((x,7)|x,7=1,2,3,4,5,6)

它共含36個(gè)樣本點(diǎn)，并且每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性者解同。

(1)定義事件始“點(diǎn)位和為2"={(1,1)},它只含一個(gè)樣本點(diǎn)，故P(A)=l/36。

(2)定義事件氏"點(diǎn)數(shù)之和為5"={(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)},它含有4個(gè)樣本點(diǎn)，故P⑹=4/36=1/9。

(3)定義事件C="點(diǎn)數(shù)之和超過(guò)9"={(4,6),(5,5),(5,6),(6,4),(6,5),(6,6)},它含有6個(gè)樣本點(diǎn)，故

P(0=6/36=1/6。

(4)定義事件D="點(diǎn)數(shù)之和大干3,而小干7”

=((1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(23),(3,2),(4,1),(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)),它含有12個(gè)樣本點(diǎn)，故它的概

率P8)=12/36=1/3。

［例1.1—4］從標(biāo)號(hào)為1,2,…,10的10個(gè)同樣大小的球中任取一個(gè)，求下列事件的概率：A:'抽中

2號(hào)LB:，抽中奇數(shù)號(hào)'，C:，抽中的號(hào)數(shù)不小于7'。

解：顯然0=(1,2,3,...10),所以

154

RR)=—10,RB)=—10,PK(Q=—10

、排列與組合

(-)排列與組合

用古典措施求概率，常常需要用到排列與組合口勺公式?，F(xiàn)簡(jiǎn)要簡(jiǎn)介如下：

排列與組合是兩類計(jì)數(shù)公式，它們的獲得都基于如下兩條計(jì)數(shù)原理。

(1)乘法原理：如果做某件事需經(jīng)k步才干完畢，其中做第一步有ml種措施，做第二步m2種

措施，…，做第k步有mk種措施，那么完畢這件事共有m：Xm2X…Xmk種措施。

例如，甲城到乙城有3條旅游線路，由乙城到丙城有2條旅游線路，那么從甲城經(jīng)乙城去丙城

共有3X2=6條旅游線路。

(2)加法原理：如果做某件事可由k類不同措施之一去完也，其中在第一類措施中又有ml種完

畢措施，在第二類措施中乂有m2種完畢措施，…，在第k類措施中乂有mk種完畢措施，那么

完畢這件事共有ml+m2+…+mk種措施。

例如，由甲城到乙城去旅游有三類交通工具：汽車、火車和飛機(jī)，而汽車有5個(gè)班次，火車有3

個(gè)班次，飛機(jī)有2個(gè)班次，那么從甲城到乙城共有5+3+2H0個(gè)班次供旅游選擇。

例如，由甲城到乙城去旅游有三類交通工具：汽車、火車和飛機(jī)，而汽車有5個(gè)班次，火車有3

個(gè)班次，飛機(jī)有2個(gè)班次，那么從甲城到乙城共有5+3+2;0個(gè)班次供旅游選擇。

列與組合的定義及其計(jì)算公式如下

(3)排列與組合的I定義及其計(jì)算公式如下：

①排列:從n個(gè)不同元素中任取個(gè)元素排成一列稱為一種排列。按乘法原理，此種排列共有nX

(n-DX…X(n-r+1)個(gè)，記為。若r=n,稱為全排列，全排列數(shù)共有n!個(gè)，記為Pn,即：

=nX(n-1)X-X(n-r+1),P..=n!

②反復(fù)排列:從n個(gè)不同元素中每次取出一種作記錄后放回，再取下一種，如此持續(xù)取r次所得

H勺排列稱為反復(fù)排列。按乘法原理，此種反復(fù)排列共有個(gè)。注意，這里的r容許不小于n。

例如，從10個(gè)產(chǎn)品中每次取一種做檢查，放回后再取下一種，如此持續(xù)抽取4次，所得反復(fù)排

列數(shù)為。如果上述抽取不容許放回，則所得排列數(shù)為10X9X8X7=5040。

例如，從10個(gè)產(chǎn)品中每次我一種做檢杳，放回后再取下一種，如此持續(xù)抽取4次，所得反復(fù)排

列數(shù)為。如果上述抽取不容許放回，則所得排列數(shù)為10X9X8X7=5040。

組合

③組合：從n個(gè)不同元素中任取?丫丸）個(gè)元素并成一組（不考慮他們之間的排列順序）稱為一組

合，U次中組合數(shù)為：

_p：_月（刀-+1）_川

/!（"，）!

特別的規(guī)定01=1,因而「=lo另外，在組合中，r個(gè)元素“T接一個(gè)取出"與"同時(shí)取出“是等同

W

的。

例如，從10個(gè)產(chǎn)品中任取4個(gè)做檢瞼，所有可能取法是從10個(gè)中任取4個(gè)的組合數(shù)，則不同取法的

種數(shù)為：

伽、10x9x8x7…

=----------=21U

U4!

這是因?yàn)槿〕龅娜我釺且中的4個(gè)產(chǎn)品的全排^有4!=24種。而這24種排^在組合中只算一種。所

以210x24=月：=5040。

注意:加咧與組合者限計(jì)算"從n個(gè)不同元素中任取r個(gè)元素"的取法總數(shù)公式,他們的主要差別在于:

如果說(shuō)克取出元素間的次序，則用排列公式；如果不講究取出元素間的次序，則用組合公式。至于是否講

究次序，應(yīng)從具體問(wèn)題背景加以辨別。

[例1.1-5]一批產(chǎn)品共有N個(gè)，其中不合格品有M個(gè)，現(xiàn)從中隨機(jī)取出n個(gè)S4N),

問(wèn)：事件人“恰好有m個(gè)K合格品”的概率是多少？

從N個(gè)產(chǎn)品中隨機(jī)抽取n個(gè)其有燈個(gè)不同的樣本點(diǎn)，它們組成這個(gè)問(wèn)題的樣本空間□。

其中“隨機(jī)抽取”必導(dǎo)致這個(gè)樣本點(diǎn)是等可能的。媚對(duì)“隨機(jī)抽取”一m何以作同樣理解。

下面我們先計(jì)算事件&、氏的概率，然后計(jì)算一般事件A的概率。

事件恰好有0個(gè)不合格品“="全是合格品"，要使取出的n個(gè)產(chǎn)品全是合格品，那么必須從該比中

N-M個(gè)合格品中抽取，這有1種取法。故事件A)的概率為：

n

事件氏="恰好有1個(gè)不合格品"，要使取出的n個(gè)產(chǎn)品只有一個(gè)不合格品，其他rrl個(gè)是合格品，可

分二步來(lái)突見(jiàn)。第一步從M個(gè)不合格品中隨機(jī)取出1個(gè)，其有，[種取法；第二步從N~M個(gè)合格品中隨

(N-M、(N-M、

機(jī)取出rH個(gè)，共有I，.1種取法。依據(jù)乘法原則，事件氐共含有][_]個(gè)樣本點(diǎn)。故事件

氏的概率為：

最后，事件A發(fā)生，必須從M個(gè)不合格品中隨機(jī)抽取m個(gè)，而從N-M個(gè)合格品中隨機(jī)抽取n-m個(gè)，依

據(jù)乘法原則，事件反共含有個(gè)樣本點(diǎn)，故事件A的概率是:

、力一切

的伊-M

mn-m

R4)=擊〃，加=。，1，--/

6

其中r=min(n,M)為n,M中的較小的一個(gè)數(shù)，它是m的最大取值，這是因?yàn)閙既不可育遒過(guò)取出的產(chǎn)

品數(shù)R也不可能超過(guò)不合格品總數(shù)M,因此*《皿月,“),

假如NM0.M=2和用4,下面來(lái)計(jì)算諸事件A的概率：

IT

^)=\^=0.3333

*

pVlO-2^

11lU-l

R4)=壬方產(chǎn)?=05333

R4)==0.1334

而知孔等者隈不可能事件，因?yàn)?0個(gè)產(chǎn)品中只有2個(gè)不合格品，而要從中抽出3個(gè)或4個(gè)不合格品

是不可能的，因而P&)二P(A?)=0。

[例1.1-6](放回瓶羊)抽樣有兩中形式：不放回抽才羊與放回抽樣。上例討論的是不放回才耕羊，每次

抽取T，不放回，再抽取下T，這相當(dāng)于n個(gè)同時(shí)取出，因此可不論其次序。放回揄羊是每次才A個(gè)，

將其放回，均勻混合后用由下一個(gè)。這時(shí)要講究先后次序，煲寸上例采取放回才翻羊方式討論事件而="恰

好有m個(gè)不合格品”的概率。

從N個(gè)產(chǎn)品中每次隨機(jī)抽取一個(gè)，檢查后放回抽第二個(gè)，這樣直到抽出第n個(gè)產(chǎn)品為止。由于每次都

有N種可能，故在放回抽樣的問(wèn)題中共有W個(gè)可能的樣本點(diǎn)。

、概率的記錄定義

㈢概率的統(tǒng)計(jì)定義

概率的統(tǒng)計(jì)定義的要點(diǎn)如下：

（1）與事件A有關(guān)的隨機(jī)現(xiàn)象是可以大量重復(fù)試驗(yàn)的；

⑵若在n次重復(fù)試驗(yàn)中，事件A發(fā)生鼠次，則事件A發(fā)生的頻率為:

㈤（事件工發(fā)生的次數(shù)

工⑷=丁重復(fù)試驗(yàn)二（L12）

頻率fn（⑷能反映事件A發(fā)生的可能，住大??；

0）頻率右（⑷將會(huì)隨看重復(fù)試瞼次數(shù)不斷增加而趨于穩(wěn)定，這個(gè)頻率的穩(wěn)定值就是事件A的概率。在

實(shí)際中人們無(wú)法把一個(gè)試驗(yàn)無(wú)限次地重復(fù)下去，只育締重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)n較大時(shí)的頻率去近似表示概率。

［例1.1-7］說(shuō)明頻率穩(wěn)定的例子

（1）為了驗(yàn)證所枚均勻硬幣出現(xiàn)正面的概率為0.5,許多人做了大量的重復(fù)試驗(yàn)，圖1.1-10記錄了

前400次擲硬幣試臉中頻率匕住面）的變化t覦。在重復(fù)次數(shù)n較小時(shí)片波動(dòng)劇烈，隨著n的增大，工

波動(dòng)的幅度在逐漸變小。歷史上有不少人做過(guò)更多次重復(fù)試驗(yàn)。其結(jié)果（見(jiàn)表1.17）表明，正面出現(xiàn)的頻

率逐輜定在0.5。這個(gè)0.5就是斯率的穩(wěn)定值，也是正面出現(xiàn)的概率，這與用古典方法計(jì)算的概率是相

同的。

?1.1.1歷史上拋硬幣試齡中正而出現(xiàn)頰率

e的次敷e死而出現(xiàn)次般￡正向出現(xiàn)頻率Ma

2O4S10610.5⑻

■聿40402O4S05069

皮爾it12000601905016

麥爾遜240001201205OB

等尼300001499404W

f.

mi.i-io籌一枚便市,正面出禺第（率的

M（履*為對(duì)敷尺度）

（2）在英語(yǔ)中某些字母浮現(xiàn)的頻率遠(yuǎn)高于此外某些字母。人們對(duì)各類的英語(yǔ)書(shū)刊中字母浮現(xiàn)"勺頻

率進(jìn)行了記錄。發(fā)現(xiàn)各個(gè)字母的使用頻率相稱穩(wěn)定，其使用頻率見(jiàn)表1.l-2o這項(xiàng)研究在計(jì)算機(jī)

鍵盤(pán)設(shè)計(jì)（在以便的地方安排使用頻率較高的字母鍵）、印刷鉛字的鍛造（使用頻率高的字母應(yīng)

多鑄某些）、信息的編碼（使用頻率高的字母用較短n勺碼）、密碼的破譯等等方面都是有用口勺。

（2）在英語(yǔ)中某些字母浮現(xiàn)時(shí)頻率遠(yuǎn)高于此外某些字母。人們對(duì)各類H勺英語(yǔ)書(shū)刊中字母浮現(xiàn)H勺頻

率進(jìn)行了記錄。發(fā)現(xiàn)各個(gè)字母的使用頻率相稱穩(wěn)定，其使用頻率見(jiàn)表1.l-2o這項(xiàng)研究在計(jì)算機(jī)

鍵盤(pán)設(shè)計(jì)（在以便的地方安排使用頻率較高H勺字母鍵）、印刷鉛字的鍛造（使用頻率高的字母應(yīng)

多鑄某些）、信息的編碼（使用頻率高的字母用較短口勺碼）、密碼的破譯等等方面都是有用的。

A1.1-2英語(yǔ)字聯(lián)出現(xiàn)的頰率

字舞9串字再w?字母M率

￡0.l?D0OMG0.014

r0090LO.(D6B0.013

O0OBICo.a?VO.OJO

A0.071r0.Q2SK0.004

N0073u0.3Xoan

1OOMM0.036/0.001

R0067P0.022Q0.001

S0.065Y0.015z0.001

HOOMW0.015

帙：叫■L.BtfUwin.Sertnee?Mn?atienTlMerv.NewY?A,256.

6】第五講概率I內(nèi)性質(zhì)及其運(yùn)算法則

概率的基本性質(zhì)及加法法則

概率的性質(zhì)及其演法則

一、吃

1.概率的基本性質(zhì)及加法法則

2.條件概率及概率的秘法則

3.獨(dú)立性和獨(dú)立事件的概率

二、^

1、掌握概率的基本性質(zhì)

2、掌握事件的互不相容性和概率的加法法則

3、掌握事件的獨(dú)立性、條件概率和概率的乘法法則

三、內(nèi)容講解：

三、概率的性質(zhì)及其運(yùn)算法則

根據(jù)概率的上述定義，可以看出它具有以下基本性質(zhì)：

性質(zhì)L概率是非負(fù)的，其數(shù)值介千。與1之間，艮取寸任意事件&有:

特別，不可能事件的怖為0,必然事件的概率為1，即：

RO)=0.RQ)=l

性質(zhì)2：若N是A的對(duì)立事件，貝4：_

R4)+RN)=1

或—

RN)=1-R4)

性質(zhì)3b若工則：

P(A-B)=P(A)-P(B)

性質(zhì)生事件A與B的并的概率為：

R工盼-R工c切

這個(gè)性質(zhì)稱為概率的加法法則。特別若A與B互不相容，即：

若只＞4切=口0)=0,貝小

性質(zhì)5c對(duì)于多個(gè)互不相容事件4，為，…，，有：

P(A2'.…)"⑷+?⑷+…

例1.1-7

［例1.1-7］拋三枚硬幣，至少一個(gè)正面出現(xiàn)(記為事件月3)的概率是多少？

解：在拋三枚硬幣的隨機(jī)試驗(yàn)中，樣本空間共有8個(gè)樣本點(diǎn)：(正、正、正)、(反、反、反)、(正、

反、反)、(反、正、反)、'反、反、正)、(正、正、反)、(正、反、正)、(反、正、正)。心中所含的樣

本點(diǎn)較互但其對(duì)立事件％="拋三枚硬幣，全是反面餐{飯，反，反)},只含一個(gè)樣本點(diǎn)，從等可能性

可知R4)=I/8。再由性質(zhì)2,可得：_

^3)=1-P(^)=1-1/8=7/8=0.875

［例1.1-8］設(shè)事件工,8的概率分別為：，!.在初三種情況下分別求R極的值：

(1)月與&互斥；

(2)工uB；

解：(1)因?yàn)樵屡c3互斥，所以<8=如P(AB)=O

(2)因?yàn)镽uB；所以凡工場(chǎng)=/⑷=g

［例1.1-9］一批產(chǎn)品共100件，其中5件不合格品，現(xiàn)從中隨機(jī)抽出10件，其中最多有兩件不合格品

的概率是多少?

解：設(shè)Ai表示事件“抽出10件中恰好有I件不合格品”，干是所求事件上&="最多有2件不合格

品可表示為：A=&UAiU的，并且A>Ai&為三個(gè)互不相容事件，由性質(zhì)5可知：P(A)=P(AO)+P

(Al)IP(A2)o余下就是用古典方法算得Ai的概率。據(jù)A0的定義，從100件產(chǎn)品隨機(jī)抽出10件的所

100

有樣本點(diǎn)共有個(gè)。要使I由出的10件產(chǎn)品中有0件不合格品，即全是合格品，則10件必須從95件

10

合格品中抽取，所以:

竺x吧，9。吵88歷硬二"837

P(Ao)=?

10010185!100!100x99x98x97x96

10

類似的可算得:

一北

P(A1)0.3394

L10,

P(A2)=0.0702

干是所求的概率為：

P(A)=0.5837-H3.3394-KI0.0702=0,9933

可見(jiàn)事件A發(fā)生的概率很接近千1,說(shuō)明發(fā)生的可能，也匕而它的對(duì)立事件人="抽1。件產(chǎn)品中至

少有3件不合格品”的概率P(1)=1-P(A)=0.0067,發(fā)生的可能，由艮小。

［例1.1-10］某足球隊(duì)在未耒一周中有兩場(chǎng)比賽，在第一場(chǎng)匕縷中獲勝的概率為1/2,在第二場(chǎng)比賽中

獲勝的概率是1/3,如果在兩場(chǎng)比賽中都獲勝概率是1/6,那么在兩場(chǎng)比賽中至少有一場(chǎng)獲勝的概率是多

少？

解:設(shè)事件Ai=“第1場(chǎng)比會(huì)勝”，1=1,2。干是有：

P(A1)=1/2,P?2)=l/3,P(AlA2)=l/6o

由千事件“兩場(chǎng)比賽中至少有一場(chǎng)獲勝“可用事件A1UA2表示，所求概率為

P(AlUA2)o另外由千事件Al與A2是可能同時(shí)發(fā)生的，故A1與A2不是互不相容事件，應(yīng)用性質(zhì)4

來(lái)求，即：

P(A1UA2)=P(Al)+P(A2)-P(A1A2)=1/2+1/3-1/6=273

這表明在未耒兩場(chǎng)比賽中至少有一鰥勝的概率為273。

⑸第六講概率的性質(zhì)及其運(yùn)算法則(下)

條件概率及概率的乘法法則

㈡及

條件概率涉及兩個(gè)事件A與&在事件B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的概率稱為條件概率，記為

R川功。條件概率的計(jì)算公式為：

R川切=

鬻.。(1.1-3)

為了幫助同學(xué)們理解，我們用圖1.1—11來(lái)說(shuō)明L1Y式中各符號(hào)的含

義：尸(皮是事件B的面積除以樣本空間的面積,P《A3)是圖中的陰影部

分的面積除以樣本空間的面積，P(力|8)是陰影部分的面積除以事件B的

面積。

注：①RB)=O時(shí)，條怖率短義。(即條1牛不能是不可能事件)

②Q=凡4Q)/RC)=RR)。(即耳⑷是特殊的條件概率)

1.1-3式表明:條件概率可用兩個(gè)特定的(無(wú)條件)概率之商來(lái)計(jì)算，在舉例說(shuō)明之前，先導(dǎo)出概率

的乘法公式。

性質(zhì)&對(duì)任意兩個(gè)事件A與B有：

其中第一個(gè)等式要求P(B)>0,第二個(gè)等式要求P(A)>0。這一性質(zhì)可以從圖1.1-11中很容易看出。

［例1.1-11］考慮有肉個(gè)孩子的家庭：Q={(b"),(b,g),(g,b),(g,g)},其中b表示男孩，g表示女

孩。求：(1)家中有一個(gè)男孩和一個(gè)女孩的概率。(2)在有女孩的家庭中，有一個(gè)男孩的概率。

解：若事件A表示：家中至少有一個(gè)男孩，則P(A)=4；

4

3

若事件B表示：家中至少有一個(gè)女孩，則P(B)=；；

4

家中有一個(gè)男孩和一個(gè)女孩的概率為：

蟲(chóng)所;

在有女孩的家庭中，有一個(gè)男孩的概率為:

尸(工場(chǎng)%2

r\AID)-------=――；=—

凡為%3

［例1.1-12］設(shè)某樣本空間含有25個(gè)等可能的樣本點(diǎn)，又設(shè)事件A含有其中15個(gè)樣本點(diǎn)，事件B含

有7個(gè)樣本點(diǎn)，交事件AB含有5個(gè)樣本點(diǎn)，詳見(jiàn)圖L1T1(書(shū)第23頁(yè))。由古典定義可知：

R工)=15能/為=毛7,R郎)=攝5

干是在事件B發(fā)生的條件下，事件A的條件概率為：

H<⑶=^^=芍=2

…%7

這個(gè)條件概率也可以這樣來(lái)認(rèn)識(shí)：事件B發(fā)生，意味著其對(duì)立事件》再不會(huì)發(fā)生。因此》中18個(gè)樣

本點(diǎn)可不予考慮，可能的情況是事件B中的7個(gè)樣本點(diǎn)之一?？梢?jiàn)事件B的發(fā)生把原來(lái)的樣本空間C縮減

為新的樣本空間QS=B。這時(shí)事件A所含樣本點(diǎn)在06中所占比率為5/7。這與公式計(jì)算結(jié)果T，任一條

件概率都可這樣解釋。

類似地，利用這個(gè)解釋，可得RBM)=5/15=l/3。

［例1.1-13］表1.1-3給出了烏龜?shù)膲勖恚浭录?"烏龜能活到X歲”，從表中讀出P(A20)=

0.92,P(A80)=0.87等。現(xiàn)衣F列事件的條件概率：

1)已活到20歲的烏龜能活到80歲的概率是多少？

要求的概率是條件概率P(A80|A20),按公式應(yīng)為

P(A80|A20)=P(A20A80)/P(A20)

由于活到80歲的烏龜一定先活到2。歲，這意味著A80U力20；從而交事件

A20A80=A80故上述條件概率為：

P(A80|A20)=P(A80)/P(A20)=0.87/0.92=0.9^

即100只活到20歲的烏龜中大約有95只能活到80歲。

2)已活到120歲的烏龜育踞到200歲的概率是多少？

類似的

P(A200|A120)=P(A120A200)/P(A120)=0.39/0.78=0.5

即活到120歲的鳥(niǎo)龜中人約有一半還能活到200歲。

假如我們自睡得彈藥的貯存壽命，那么就可計(jì)算已存放10年的彈藥再存放5年仍完好的概率。假如

有一個(gè)國(guó)家的人的壽命表，就可處出30歲的人育器到60歲的概率是多少？保險(xiǎn)公司正是利用條件概率對(duì)

不同年齡的投保人計(jì)算人壽保險(xiǎn)費(fèi)率的。

舟獨(dú)立性和獨(dú)立事件的概率

㈢獨(dú)立性和獨(dú)立事件的廨

設(shè)有兩個(gè)事件A與B,［瞅口其中T事件的發(fā)生不影響另一個(gè)事件的發(fā)生與否，則稱事件A與B相互

獨(dú)立。

性質(zhì)7:假如兩個(gè)事件A與B相互獨(dú)立，則A與B同時(shí)發(fā)生的概率為:

P(AB)=P(A)P(B)(1.1-5)

兩個(gè)事件的相互獨(dú)立性可以推廣到三個(gè)或更多個(gè)事件的相互獨(dú)立性。此時(shí)性質(zhì)7可以推廣到更多個(gè)事

件上去。蟄口：若小，月2,43,4為相互獨(dú)立的四個(gè)事件，則有：

――4)=—)2(4)尸—

性質(zhì)8:1瞅口兩個(gè)事件A與B相互獨(dú)立，則在事件B發(fā)生的條件下，事件A的條件概率只川功等干

事件A的比條件)概率P(A)。這是因?yàn)椋?/p>

'所翳.FT'.)(1.1-6)

［例1.1-14］設(shè)實(shí)驗(yàn)室一個(gè)標(biāo)本被污染的概率為0.15,如今有三個(gè)標(biāo)本獨(dú)立地在實(shí)驗(yàn)室制作，問(wèn)

三個(gè)標(biāo)本者腋:藻的概率是多少？

解：設(shè)4="第i個(gè)實(shí)魄室標(biāo)本被污染"，i=l,2,3,要求的概率為「(月潭24)，由千三個(gè)標(biāo)本相互獨(dú)

立，所以:

?(月兇由)=秋4)尸(4)P(4)=(0.15)3=0QQ3375

這個(gè)概率蜀艮小的,表明同B報(bào)感染的機(jī)會(huì)很小，這跟實(shí)際，情況完全符合。

［例1.1-15］用晶體管裝^某儀表要用到128個(gè)元器件，改用集成電路元件后，只要用12只就夠了，

如果每個(gè)元器件能正常工作2000小時(shí)以上的概率是0.996。并且這些元件工作狀態(tài)是相互獨(dú)立的，儀表中

每個(gè)元件都正常工作時(shí)，儀表才^正常工作，試分別求出上述兩種場(chǎng)合下能正常工作2000小時(shí)的概率。

國(guó)1第七講隨機(jī)變量及其分布

隨機(jī)變量

隨機(jī)變量及其分布

一、內(nèi)容提綱：

1.離散隨機(jī)變量日勺分布

2.持續(xù)隨機(jī)變量日勺分布的性質(zhì)

3.隨機(jī)變量的均值、方差的運(yùn)算性質(zhì)

二、考試大綱

1.熟悉隨機(jī)變量H勺概念

2.掌握隨機(jī)變量的取值及隨機(jī)變量分布的概念

3.熟悉離散隨機(jī)變量的概率函數(shù)

4.熟悉離散隨機(jī)變量均，直、方差和原則差口勺定義

5.熟悉持續(xù)隨機(jī)變量的分布密度函數(shù)

6.熟悉持續(xù)隨機(jī)變量均直、方差和原則差的定義

7.掌握持續(xù)隨機(jī)變量在某個(gè)區(qū)間內(nèi)取值概率的計(jì)算措施

三、內(nèi)容解說(shuō)

第二節(jié)隨機(jī)變量及其分布

一、隨機(jī)變量

表達(dá)隨機(jī)現(xiàn)象成果的變量稱為隨機(jī)變量。常用大寫(xiě)字母X,Y,Z等表達(dá)，它們的取值用相應(yīng)的J小

寫(xiě)字母x,y,z等表達(dá)。

如果一種隨機(jī)變量?jī)H取數(shù)軸上有限個(gè)點(diǎn)或可列口勺個(gè)數(shù)點(diǎn)(見(jiàn)圖L2T),則稱此隨機(jī)變量為離散

隨機(jī)變量，或離散型隨機(jī)變量。

如果一種的機(jī)變量的1所有也許取值布滿數(shù)軸上一種區(qū)間圖1.2-2),則稱此附機(jī)變量

為持續(xù)隨機(jī)變量，或持續(xù)型隨機(jī)變量，其中a可以是一，b可以是+o

［例1.2T］產(chǎn)品的質(zhì)量特性是表征產(chǎn)品性能II勺指標(biāo)，產(chǎn)品的性能一般都具有隨機(jī)性，因此每個(gè)

質(zhì)量特性就是一種隨機(jī)變量。例如：

(D設(shè)X是一只鑄件上的瑕疵數(shù)，則X是一種離散隨機(jī)變量，它可以取0,1,2,…等值。

為了以便，人們常用隨機(jī)變量X的取值來(lái)表達(dá)事件，如“X=0”表達(dá)事件“鑄件上無(wú)瑕疵“；"=2"

表達(dá)事件“鑄件上有兩個(gè)瑕疵”：〃X>2〃表達(dá)事件“鑄件上的瑕疵超過(guò)兩個(gè)“等等。這些事件也許

發(fā)生，也也許不發(fā)生，由于X取0,1,2…等值是隨機(jī)H勺。類似地，一平方米玻璃上的氣泡數(shù)、

一匹布上的疵點(diǎn)數(shù)、一臺(tái)車床在一天內(nèi)發(fā)生的故障數(shù)都是取非負(fù)整數(shù)｛0,1,2,3,…｝的離散

隨機(jī)變量。

(2)一臺(tái)電視機(jī)日勺壽命X(單位:小時(shí))是在［0,)上取值的持續(xù)隨機(jī)變量。"X=0〃表達(dá)事件“一

臺(tái)電視機(jī)在開(kāi)箱時(shí)就發(fā)生故障"；"XW10000”表達(dá)事件："電視機(jī)壽命不超過(guò)10000小時(shí)”：

"X>40000”表達(dá)事件"電視機(jī)壽命超過(guò)40000小時(shí)”。

(3)檢查一種產(chǎn)品，成果也許是合格品，也也許是不合格品。設(shè)X表達(dá)檢杳一種產(chǎn)品口勺不合格品

數(shù)，則X是只能取0或1兩個(gè)值的隨機(jī)變量J'X=0〃表達(dá)產(chǎn)品時(shí)合格品，表達(dá)產(chǎn)品是不合格

品。類似地，若檢查10個(gè)產(chǎn)品，則不合格品數(shù)X是，且僅也許是取0,1,…，10等11個(gè)值的

離散隨機(jī)變量。更一般的，在n個(gè)產(chǎn)品中的不合格品數(shù)X是也許取0,1,2,n等"1個(gè)值

H勺離散隨機(jī)變量。

(3)檢查一種產(chǎn)品，成果也許是合格品，也也許是不合格品。設(shè)X表達(dá)檢查一種產(chǎn)品口勺不合格品

數(shù)，則X是只能取0或1兩個(gè)值歐J隨機(jī)變量?！╔=0〃表達(dá)產(chǎn)品時(shí)合格品，〃X=1"表達(dá)產(chǎn)品是不合格

品。類似地，若檢查10個(gè)產(chǎn)品，則不合格品數(shù)X是，且僅也許是取0,1,…，10等11個(gè)值的

離散隨機(jī)變量。更一般n勺，在n個(gè)產(chǎn)品中的不合格品數(shù)X是也許取0,1,2,…，n等n+1個(gè)值

的離散隨機(jī)變量。

5隨機(jī)變量的分布

二、隨機(jī)變量的分布

雖然隨機(jī)變量H勺取值是隨機(jī)的J,但其本質(zhì)上還是有規(guī)律性的，這個(gè)規(guī)律性可以用分布來(lái)描述。結(jié)

識(shí)一種隨機(jī)變量X的核心就是要懂得它的分布，分布涉及如下兩方面內(nèi)容：

(1)X也許取哪些值，或在哪個(gè)區(qū)間上取值。

(2)X取這些值口勺概率各是多少，或X在任一區(qū)間上取值的概率是多少？

下面分離散隨機(jī)變量和持續(xù)隨機(jī)變量來(lái)論述它們的分布，H于這兩類隨機(jī)變量是最重要的兩類

隨機(jī)變量，而它們的分布形式是有差別的。

(一)離散隨機(jī)變量的分布

離散隨機(jī)變量H勺分布可用分布列來(lái)表達(dá)，例如，隨機(jī)變量：（僅取n個(gè)值：xl,x2,…,xn,

隨機(jī)變量X取xl的概率為pl,取x2的概率為p2,…，取xn啊概率為pn。這些可用一張表清

晰地表達(dá)：

隨機(jī)變量X取x出勺概率為p”取用的J概率為.，…，取%均概率為以。這些可用一張表清晰地

表達(dá)：

Xxlx2x3...xn

Pplp2p3...pn

或用一個(gè)簡(jiǎn)明的數(shù)學(xué)式子表示：

戶（、=陽(yáng)）=，,1=1,2,?，尸

作為一個(gè)分布，小徜足以下兩個(gè)條件：

Pi之0,P1+P2+…+外=1

滿足這兩個(gè)條件的分布稱為離散分布，這一組總也稱為分布的概率函數(shù).

[例1.2-2]擲兩顆股子，點(diǎn)數(shù)分布的樣本空間為：

<14)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)