數(shù)學(xué)幾何經(jīng)典例題與講解幾何學(xué)，作為數(shù)學(xué)的重要分支，不僅鍛煉邏輯思維與空間想象力，更在工程、建筑、藝術(shù)等領(lǐng)域有著廣泛應(yīng)用。許多經(jīng)典幾何例題因其巧妙的構(gòu)思和深刻的思想方法，成為學(xué)習(xí)幾何不可或缺的基石。本文選取數(shù)道不同難度與類(lèi)型的經(jīng)典幾何例題，詳細(xì)剖析其解題思路與方法，旨在幫助讀者深化對(duì)幾何知識(shí)的理解，提升解題能力。一、三角形中的輔助線(xiàn)與全等構(gòu)造例題1：在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，點(diǎn)D為BC延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，且BD=BA，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AD于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F。求證：CF=CD。圖形分析：本題給出的是一個(gè)等腰直角三角形背景，AB=AC，∠BAC=90°，因此△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=∠ACB=45°。點(diǎn)D在BC延長(zhǎng)線(xiàn)上，且BD=BA，這意味著△ABD是一個(gè)頂角為∠ABD（135°）的等腰三角形。BE垂直于AD，且與AC相交于F點(diǎn)。要證明的是CF=CD。思路點(diǎn)撥：1.尋求全等或相似：要證CF=CD，通?？赏ㄟ^(guò)證明含CF和CD的兩個(gè)三角形全等或利用等腰三角形性質(zhì)。觀察圖形，CD在△DCD中（自身），CF在△BCF中。直接看△BCF和△DCD，條件似乎不足。考慮是否需要構(gòu)造新的三角形。2.利用等腰與垂直：BD=BA，BE⊥AD，由等腰三角形“三線(xiàn)合一”的性質(zhì)（雖然BE并非AD邊的中線(xiàn)，但BE是AD邊上的高），可以聯(lián)想到E點(diǎn)可能是AD的中點(diǎn)。若能證明E為AD中點(diǎn)，則BE為AD的中垂線(xiàn)嗎？不對(duì)，中垂線(xiàn)需要垂直且平分。這里垂直是已知的，若能證明AE=ED，則BE垂直平分AD，從而有BA=BD，這恰好是已知條件。因此，E為AD中點(diǎn)。這個(gè)結(jié)論對(duì)后續(xù)證明很有用。3.角度計(jì)算與轉(zhuǎn)化：∠BAC=90°，BE⊥AD，所以∠FAE+∠BAE=90°，∠ABE+∠BAE=90°，故∠FAE=∠ABE。即∠CAD=∠ABF。4.構(gòu)造全等三角形：考慮在AC上截取一段與CD相等的線(xiàn)段，或者構(gòu)造一個(gè)包含CD且與△AFC（或△BFC）全等的三角形。注意到AB=AC=BD，∠ABD=135°，∠ACB=45°，則∠ACD=135°。∠ACD=∠ABD=135°，這是一個(gè)重要的等角條件。AB=BD，AC=AB，所以AC=BD。如果能在△ABF和△CAD中找到另一對(duì)對(duì)應(yīng)角相等，即可證明全等。由∠ABF=∠CAD（已證），AB=CA，∠BAF=∠ACD=90°和135°？不對(duì)，∠BAF是90°，∠ACD是135°不相等。那換一組。考慮△ABF和△CDA？AB=CD嗎？我們要證的是CF=CD，所以CD=CF，而AF=AC-CF=AB-CD。似乎不是直接對(duì)應(yīng)。換個(gè)思路，延長(zhǎng)AF到G，使AG=CD，連接BG。但感覺(jué)有點(diǎn)遠(yuǎn)。或者，過(guò)C作CG⊥BC交AD于G？因?yàn)椤螦CD=135°，則∠DCG=45°?；蛘?，直接利用角度計(jì)算：在Rt△ABE中，∠ABE=90°-∠BAE。在△ABD中，AB=BD，∠BAD=∠BDA=(180°-135°)/2=22.5°。所以∠ABE=90°-22.5°=67.5°?！螦BC=45°，所以∠FBC=∠ABE-∠ABC=67.5°-45°=22.5°。在△CDA中，∠CAD=∠BAC-∠BAD=90°-22.5°=67.5°，∠ADC=22.5°（已求），所以∠ACD=135°。在△BCF中，∠BCF=45°（因?yàn)椤螦CB=45°），∠FBC=22.5°，所以∠BFC=180°-45°-22.5°=112.5°。在△CDF中，若CF=CD，則∠CFD=∠CDF=22.5°。那么∠CFD是否等于22.5°呢？∠CFD是∠BFC的補(bǔ)角嗎？∠BFC=112.5°，∠CFD=180°-112.5°=67.5°。哦，不對(duì)，那不是。再仔細(xì)看，∠CDF就是∠ADC，是22.5°。如果CF=CD，則∠CFD=∠CDF=22.5°，那么在△CFD中，∠FCD=180°-22.5°-22.5°=135°，這與∠ACD=135°是吻合的！所以問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明∠CFD=22.5°。∠CFD是△AFE的一個(gè)外角嗎？∠CFD=∠FAE+∠AEF?！螰AE=∠CAD=67.5°，∠AEF=90°，那∠CFD=157.5°？不對(duì)，點(diǎn)F在AC上，E在AD上，BE交AC于F。所以∠CFD應(yīng)該是∠AFD的對(duì)頂角？或者看△DFC，頂點(diǎn)是D、F、C。F在AC上，所以∠CFD就是∠AFD。在△AFD中，∠FAD=67.5°，∠ADF=22.5°，所以∠AFD=180°-67.5°-22.5°=90°。啊，對(duì)！∠AFD=90°，即DF⊥AC。如果能證明DF⊥AC，那么在Rt△DFC中，∠DCF=135°，不對(duì)，∠DCF是∠ACD=135°，而∠FCD是△DFC的內(nèi)角，就是135°，那么∠CFD=180°-135°-∠CDF=45°-22.5°=22.5°，從而∠CFD=∠CDF，故CF=CD。那么如何證明DF⊥AC呢？即證明∠AFD=90°。因?yàn)锽E⊥AD于E，即∠AEF=90°。若能證明A、E、F、D四點(diǎn)共圓，或者△AEF∽△ADF？或者利用E是AD中點(diǎn)（前面思路點(diǎn)撥2提到的）。若E是AD中點(diǎn)，則AE=ED。在Rt△AEF中，AE是斜邊AD的一半。如果△AFD是直角三角形，且∠AFD=90°，那么E作為AD中點(diǎn)，就有EF=AE=ED。這個(gè)可以反過(guò)來(lái)用。若能證明EF=AE，則∠EAF=∠EFA=67.5°，那么∠AEF=180°-67.5°-67.5°=45°，這與∠AEF=90°矛盾。所以此路不通?；氐阶畛醯娜人悸??！鰽BF和△CAD：AB=CA（已知），∠ABF=∠CAD（已證67.5°），還差一個(gè)條件?！螧AF=90°，∠ACD=135°，不相等。BF=AD嗎？不知道。AF=CD嗎？如果能證明AF=CD，而AC=AB=BD，那么CF=AC-AF=BD-CD=BC。即CF=BC？這需要證明?；蛘撸凇鰾FC中，利用正弦定理：CF/sin∠FBC=BC/sin∠BFC?！螰BC=22.5°，∠BFC=112.5°，sin112.5°=sin(67.5°)。所以CF=BC*sin22.5°/sin67.5°。在△BCD中，CD/sin∠CBD=BC/sin∠BDC?！螩BD=45°（因?yàn)椤螦BC=45°，D在BC延長(zhǎng)線(xiàn)上），∠BDC=22.5°，所以CD=BC*sin45°/sin22.5°。若要CF=CD，則需BC*sin22.5°/sin67.5°=BC*sin45°/sin22.5°。即sin222.5°=sin45°sin67.5°。sin67.5°=cos22.5°，sin45°=√2/2。所以sin222.5°=(√2/2)cos22.5°。這個(gè)等式成立嗎？我們知道cos45°=1-2sin222.5°=√2/2，所以sin222.5°=(1-√2/2)/2=(2-√2)/4。(√2/2)cos22.5°=(√2/2)*√((1+cos45°)/2)=(√2/2)*√((2+√2)/4)=(√2/2)*(√(2+√2)/2)=√(2(2+√2))/4=√(4+2√2)/4。顯然(2-√2)/4≈(2-1.414)/4≈0.146，而√(4+2.828)/4≈√6.828/4≈2.613/4≈0.653，不相等。所以正弦定理這條路似乎也證不出，說(shuō)明我前面的角度分析可能哪里出錯(cuò)了。重新聚焦到“E是AD中點(diǎn)”這個(gè)關(guān)鍵。因?yàn)锽E⊥AD，且△ABD是等腰三角形（AB=BD），所以BE是AD的垂直平分線(xiàn)嗎？是的！因?yàn)榈骄€(xiàn)段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上。AB=BD，所以B點(diǎn)在AD的垂直平分線(xiàn)上，又因?yàn)锽E⊥AD，所以BE就是AD的垂直平分線(xiàn)！因此，E是AD中點(diǎn)，并且BE上的任意一點(diǎn)到A、D兩點(diǎn)的距離相等。所以，F(xiàn)A=FD！因?yàn)镕在BE上，所以FA=FD。哦！這才是關(guān)鍵！FA=FD，所以△FAD是等腰三角形，∠FAD=∠FDA=67.5°。那么∠FDC=∠FDA-∠ADC=67.5°-22.5°=45°？不對(duì)，∠ADC就是∠BDC=22.5°，也就是∠FDA=22.5°？我徹底暈了，∠BAD到底是多少？重新計(jì)算△ABD的內(nèi)角：AB=BD，所以∠BAD=∠BDA?！螦BD=180°-∠ABC=180°-45°=135°。所以∠BAD=∠BDA=(180°-135°)/2=22.5°。對(duì)！∠BAD=22.5°，所以∠CAD=∠BAC-∠BAD=90°-22.5°=67.5°。因?yàn)镕A=FD（F在AD的垂直平分線(xiàn)BE上），所以∠FAD=∠FDA=67.5°。那么∠FDC=∠FDA嗎？點(diǎn)D、C、B在一條直線(xiàn)上，∠FDA就是∠FDB，它等于67.5°?！螧DC=22.5°，所以∠FDC=∠FDB-∠BDC=67.5°-22.5°=45°。在△FCD中，∠FCD=180°-∠ACB=135°，∠FDC=45°，所以∠CFD=180°-135°-45°=0°？這不可能！我一定是把點(diǎn)F的位置搞錯(cuò)了。F是BE與AC的交點(diǎn)，應(yīng)該在AC線(xiàn)段上，而不是延長(zhǎng)線(xiàn)上。所以，AD是從A出發(fā)，經(jīng)過(guò)E，到D（在BC延長(zhǎng)線(xiàn)上）。BE是從B出發(fā)，垂直AD于E，然后交AC于F。所以F應(yīng)該在A和C之間。那么∠FDA就是∠ADF，也就是∠FDC。因?yàn)镈、F、C三點(diǎn)，F(xiàn)在AC上，D在BC延長(zhǎng)線(xiàn)上。所以∠FDA就是∠FDC。因?yàn)镕A=FD，所以∠FAD=∠FDA=67.5°，即∠FDC=67.5°。那么在△FCD中，∠FCD=135°（∠ACB的補(bǔ)角），∠FDC=67.5°，則∠CFD=180°-135°-67.5°=-22.5°。這顯然是不可能的。我到底哪里錯(cuò)了？啊！BE是AD的垂直平分線(xiàn)，所以F在BE上，所以FA=FD?！螰AD=∠FDA=67.5°，這個(gè)沒(méi)錯(cuò)?！螦DC=∠BDA=22.5°，這個(gè)也沒(méi)錯(cuò)。那么∠FDA（67.5°）和∠ADC（22.5°）是什么關(guān)系？點(diǎn)C在BD上，所以D、C、B共線(xiàn)。F點(diǎn)是在AD的上方還是下方？BE是從B出發(fā)，垂直AD于E。因?yàn)椤螧AD=22.5°，所以AD是從A向BC延長(zhǎng)線(xiàn)方向射出，E點(diǎn)在AD上，靠近A還是靠近D？如果AB=BD，且∠ABD=135°，那么AD的長(zhǎng)度可以用余弦定理算出來(lái)，AD2=AB2+BD2-2ABBDcos135°=2AB2(1+√2/2)=AB2(2+√2)。BE是高，所以BE=ABsin∠BAD=ABsin22.5°。AE=ABcos∠BAD=ABcos22.5°。ED=AD-AE。如果E是中點(diǎn)，AE=ED=AD/2。那么AD=2AE=2ABcos22.5°。AD2=4AB2cos222.5°。而前面AD2=AB2(2+√2)。所以4cos222.5°=2+√2。cos222.5°=(2+√2)/4，這是正確的，因?yàn)閏os45°=2cos222.5°-1=√2/2，所以cos222.5°=(1+√2/2)/2=(2+√2)/4。所以E確實(shí)是AD中點(diǎn)！那么BE就是AD的垂直平分線(xiàn)。所以F在BE上，所以FA=FD。那么∠FAD=∠FDA=67.5°。而∠ADC=∠BDA=22.5°。所以∠FDC=∠FDA-∠ADC=67.5°-22.5°=45°。在△FCD中，∠FCD=180°-∠ACB=135°，∠FDC=45°，所以∠CFD=180°-135°-45°=0°。這顯然不可能，說(shuō)明F點(diǎn)和C點(diǎn)重合了？這不可能。我明白了！錯(cuò)誤在于∠FDC的認(rèn)定。FA=FD，所以△FAD是等腰三角形，頂點(diǎn)是F。那么∠FDA=∠FAD=67.5°，這個(gè)∠FDA就是∠FDB，即F、D、B三點(diǎn)的那個(gè)角。而∠ADC=∠BDC=22.5°，是D點(diǎn)處，B、D、C三點(diǎn)的角。所以∠FDC=∠FDB-∠BDC=67.5°-22.5°=45°。在△FCD中，∠FCD=135°（∠ACD），∠FDC=45°，所以∠CFD=0°。這說(shuō)明我的圖形想象出了問(wèn)題。F點(diǎn)應(yīng)該在AC的延長(zhǎng)線(xiàn)上？題目說(shuō)“交AC于點(diǎn)F”，通常指線(xiàn)段AC。如果F在AC延長(zhǎng)線(xiàn)上，那∠FCD就是180°-135°=45°。那么在△FCD中，∠FCD=45°，∠FDC=45°，所以∠CFD=90°，CF=CD。??！這樣就對(duì)了！看來(lái)我之前想當(dāng)然認(rèn)