7/7第2講平拋運(yùn)動(dòng)考點(diǎn)一平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律及應(yīng)用1.定義：將物體以一定的初速度沿方向拋出，物體只在作用下的運(yùn)動(dòng)。2.性質(zhì)：平拋運(yùn)動(dòng)是加速度為g的曲線運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)軌跡是。3.研究方法：化曲為直（1）水平方向：運(yùn)動(dòng)；（2）豎直方向：運(yùn)動(dòng)。4.基本規(guī)律如圖，以拋出點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以初速度v0方向（水平方向）為x軸正方向，豎直向下為y軸正方向，建立平面直角坐標(biāo)系xOy。1.平拋運(yùn)動(dòng)物體的速度變化量因?yàn)槠綊佭\(yùn)動(dòng)的加速度為重力加速度g，所以做平拋運(yùn)動(dòng)的物體在任意相等時(shí)間間隔Δt內(nèi)的速度變化量Δv＝gΔt是相同的，方向恒為豎直向下，如圖所示。2.兩個(gè)推論（1）做平拋運(yùn)動(dòng)的物體在任意時(shí)刻的瞬時(shí)速度的反向延長(zhǎng)線一定通過(guò)此時(shí)水平位移的中點(diǎn)。（2）做平拋運(yùn)動(dòng)的物體在任意時(shí)刻任意位置處，有tanθ＝2tanα。平拋運(yùn)動(dòng)基本規(guī)律的應(yīng)用【例1】投壺是從先秦延續(xù)至清末的中國(guó)傳統(tǒng)禮儀和宴飲游戲，《禮記傳》中提到：“投壺，射之細(xì)也。宴飲有射以樂(lè)賓，以習(xí)容而講藝也?！比鐖D所示，甲、乙兩人沿水平方向各投出一支箭，箭尖插入壺中時(shí)與水平面的夾角分別為53°和37°；已知兩支箭質(zhì)量相同，忽略空氣阻力、箭長(zhǎng)及壺口大小等因素的影響，下列說(shuō)法正確的是（sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6）（）A.若兩人站在距壺相同水平距離處投壺，甲所投箭的初速度比乙的大B.若兩人站在距壺相同水平距離處投壺，乙所投的箭在空中運(yùn)動(dòng)時(shí)間比甲的長(zhǎng)C.若箭在豎直方向下落的高度相等，則甲投壺位置距壺的水平距離比乙大D.若箭在豎直方向下落的高度相等，則甲所投的箭落入壺口時(shí)速度比乙小聽課記錄平拋運(yùn)動(dòng)的兩個(gè)重要推論的應(yīng)用【例2】如圖所示，AB為一半徑為R的14圓弧，圓心位置為O，一小球從與圓心等高的任意點(diǎn)沿半徑方向水平拋出，恰好垂直落在AB面上的Q點(diǎn)，且速度與水平方向夾角為53°，則小球拋出后的水平距離為（A.0.6R B.0.8RC.R D.1.2R聽課記錄

【例3】跳臺(tái)滑雪是一項(xiàng)勇敢者的運(yùn)動(dòng)，某運(yùn)動(dòng)員從跳臺(tái)A處沿水平方向飛出，在斜面AB上的B處著陸，斜面AB與水平方向夾角為30°且足夠長(zhǎng)，不計(jì)空氣阻力，下列說(shuō)法正確的是（）A.運(yùn)動(dòng)員在空中相同時(shí)間內(nèi)的速度變化相同B.運(yùn)動(dòng)員在斜面上的落點(diǎn)到A點(diǎn)的距離與初速度成正比C.運(yùn)動(dòng)員落在B處的速度與水平方向夾角為60°D.運(yùn)動(dòng)員的質(zhì)量越大，落點(diǎn)離A越遠(yuǎn)聽課記錄考點(diǎn)二落點(diǎn)有約束條件的平拋運(yùn)動(dòng)平拋運(yùn)動(dòng)與斜面相結(jié)合斜面上的平拋運(yùn)動(dòng)問(wèn)題是一種常見的題型，在解答這類問(wèn)題時(shí)除要運(yùn)用平拋運(yùn)動(dòng)的位移和速度規(guī)律，還要充分運(yùn)用斜面傾角，找出斜面傾角同位移和速度與水平方向夾角的關(guān)系，從而使問(wèn)題得到順利解決。常見的模型如下：方法內(nèi)容斜面總結(jié)分解速度水平速度：vx＝v0豎直速度：vy＝gt合速度：v＝v分解速度，構(gòu)建速度三角形分解位移水平位移：x＝v0t豎直位移：y＝12gt合位移：s＝x分解位移，構(gòu)建位移三角形【例4】（多選）如圖所示，A、D分別是斜面的頂端、底端，B、C是斜面上的兩個(gè)點(diǎn)，AB＝BC＝CD，E點(diǎn)在D點(diǎn)的正上方，與A等高。從E點(diǎn)以一定的水平速度拋出質(zhì)量相等的兩個(gè)小球，球1落在B點(diǎn)，球2落在C點(diǎn)，關(guān)于球1和球2從拋出到落在斜面上的運(yùn)動(dòng)過(guò)程（）A.球1和球2運(yùn)動(dòng)的時(shí)間之比為2∶1 B.球1和球2動(dòng)能增加量之比為1∶2C.球1和球2拋出時(shí)初速度之比為22∶1 D.球1和球2運(yùn)動(dòng)時(shí)的加速度之比為1∶2聽課記錄平拋運(yùn)動(dòng)與圓面相結(jié)合情景圖解規(guī)律分析如圖甲所示，小球從半圓弧左邊平拋，落到半圓內(nèi)的不同位置。由半徑和幾何關(guān)系可得：h＝12gt2，R±R2－h(huán)2＝v0如圖乙所示，小球恰好沿B點(diǎn)的切線方向進(jìn)入圓軌道，此時(shí)半徑OB垂直于速度方向，圓心角α與速度的偏向角相等。如圖丙所示，小球恰好從圓柱體Q點(diǎn)沿切線飛過(guò)，此時(shí)半徑OQ垂直于速度方向，圓心角θ與速度的偏向角相等?！纠?】如圖所示，半圓軌道固定在水平面上，一小球（小球可視為質(zhì)點(diǎn)）從半圓軌道上B點(diǎn)沿切線斜向左上方拋出，到達(dá)半圓軌道左端A點(diǎn)正上方某處時(shí)小球的速度剛好水平，O為半圓軌道圓心，半圓軌道半徑為R，OB與水平方向的夾角為60°，重力加速度為g，不計(jì)空氣阻力，則小球在A點(diǎn)正上方的水平速度為（）

A.33gR2C.3gR2聽課記錄平拋運(yùn)動(dòng)與豎直面相結(jié)合【例6】如圖所示，一演員表演飛刀絕技，由O點(diǎn)先后拋出完全相同的3把飛刀，分別依次垂直打在豎直木板M、N、P三點(diǎn)上。假設(shè)不考慮飛刀的轉(zhuǎn)動(dòng)，并可將其視為質(zhì)點(diǎn)，已知O、M、N、P四點(diǎn)距離水平地面高度分別為h、4h、3h、2h，以下說(shuō)法正確的是（）A.3把飛刀在擊中木板時(shí)速度相同B.到達(dá)M、N、P三點(diǎn)的飛行時(shí)間之比為1∶2∶3C.3把飛刀從拋出至分別到達(dá)M、N、P三點(diǎn)的過(guò)程中，重力的平均功率之比為3∶2∶1D.設(shè)到達(dá)M、N、P三點(diǎn)的飛刀的初速度與水平方向夾角分別為θ1、θ2、θ3，則有θ1∶θ2∶θ3＝3∶2∶1考點(diǎn)三平拋運(yùn)動(dòng)的臨界問(wèn)題1.平拋運(yùn)動(dòng)中臨界問(wèn)題的兩種常見情形（1）物體的最大位移、最小位移、最大初速度、最小初速度；（2）物體的速度方向恰好達(dá)到某一方向。2.解題技巧：在題中找出有關(guān)臨界問(wèn)題的關(guān)鍵字，如“恰好不出界”“剛好飛過(guò)壕溝”“速度方向恰好與斜面平行”“速度方向與圓周相切”等，然后利用平拋運(yùn)動(dòng)對(duì)應(yīng)的位移規(guī)律或速度規(guī)律進(jìn)行解題。【例7】（2024·山東濱州模擬）如圖所示，從高H＝4m處的點(diǎn)A先后水平拋出兩個(gè)小球1和2，球1與地面碰撞一次后，恰好越過(guò)位于水平地面上高為h的豎直擋板，然后落在水平地面上的D點(diǎn)，碰撞前后的速度水平方向不變，豎直方向等大反向。球2恰好越過(guò)擋板也落在D點(diǎn)，忽略空氣阻力。擋板的高度h為（）A.3.5m B.3mC.2.5m D.2m聽課記錄【例8】一乒乓球臺(tái)的縱截面如圖所示，AB是臺(tái)面的兩個(gè)端點(diǎn)位置，PC是球網(wǎng)位置，D、E兩點(diǎn)滿足AD＝BE＝18AB，且E、M、N在同一豎直線上。第一次在M點(diǎn)將球擊出，軌跡最高點(diǎn)恰好過(guò)球網(wǎng)最高點(diǎn)P，同時(shí)落到A點(diǎn)；第二次在N點(diǎn)將同一乒乓球水平擊出，軌跡同樣恰好過(guò)球網(wǎng)最高點(diǎn)P，同時(shí)落到D點(diǎn)。乒乓球可看作質(zhì)點(diǎn)，不計(jì)空氣阻力作用，則兩次擊球位置到桌面的高度hM∶hN為（A.964 B.C.2164 D.聽課記錄平拋運(yùn)動(dòng)中與斜面最大距離問(wèn)題圖示方法最大距離及運(yùn)動(dòng)時(shí)間在運(yùn)動(dòng)起點(diǎn)同時(shí)分解v0、g由0＝v1－a1t，0－v12＝－2a得t＝v0d＝v分解平行于斜面的速度v由vy＝gt得t＝v【典例】如圖所示，在傾角為θ的斜面頂端以初速度v0水平拋出一小球，該斜面足夠長(zhǎng)，則從拋出開始計(jì)時(shí)，經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間小球離開斜面的距離達(dá)到最大，最大距離為多少？嘗試解題如圖所示，一固定斜面的傾角為α，高為h，一小球從斜面頂端沿水平方向拋出，最終落至斜面底端，不計(jì)小球運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所受的空氣阻力，設(shè)重力加速度為g，則小球從拋出到離開斜面距離最大所經(jīng)歷的時(shí)間為（）A.h2gC.2hg

第2講平拋運(yùn)動(dòng)考點(diǎn)一基礎(chǔ)梳理1.水平重力2.勻變速拋物線3.（1）勻速直線（2）自由落體4.gtgtv0v0t12gt2【例1】D根據(jù)題意，設(shè)位移與水平方向的夾角為θ，速度與水平方向的夾角為α，由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律有tanθ＝hx＝12tanα，若兩人站在距壺相同水平距離處投壺，則有h甲＞h乙，由h＝12gt2可得t＝2hg可知，甲所投的箭在空中運(yùn)動(dòng)時(shí)間長(zhǎng)，由x＝v0t可知，甲所投的箭的初速度較小，故A、B錯(cuò)誤；若箭在豎直方向下落的高度相等，則箭在空中運(yùn)動(dòng)時(shí)間相等，且根據(jù)前面分析有x甲＜x乙，則甲所投箭的初速度較小，由vy＝gt可知，甲、乙所投的箭落入壺口時(shí)豎直速度相等，則由v＝v02＋vy【例2】D如圖所示，小球恰好垂直落在AB面上的Q點(diǎn)，則作速度的反向延長(zhǎng)線，交于O點(diǎn)，由平拋運(yùn)動(dòng)的推論可知，速度反向延長(zhǎng)線交水平位移的中點(diǎn)，故滿足tan53°＝y(tǒng)12x，結(jié)合圓的幾何關(guān)系可得x22＋y2＝R2，聯(lián)立可解得x＝【例3】A運(yùn)動(dòng)員在空中只受重力，加速度恒定，單位時(shí)間內(nèi)速度變化相同，A正確；根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，有x＝v0t，h＝12gt2，tan30°＝hx，s＝hsin30°，得t＝2v0tan30°g，s＝2v02sin30°gcos230考點(diǎn)二【例4】BC因?yàn)锳C＝2AB，則E、C間的高度差是E、B間高度差的2倍，根據(jù)h＝12gt2，得t＝2hg，解得球1和球2運(yùn)動(dòng)的時(shí)間比為1∶2，故A錯(cuò)誤；根據(jù)動(dòng)能定理得mgh＝ΔEk，知球1和球2動(dòng)能增加量之比為1∶2，故B正確；B、D間在水平方向上的位移是C、D間在水平方向位移的2倍，結(jié)合x＝v0t，解得初速度之比為22∶1，故C正確；平拋運(yùn)動(dòng)的加速度為g，兩球的加速度相同，【例5】A小球做斜拋運(yùn)動(dòng)，由于到達(dá)半圓軌道左端A點(diǎn)正上方某處時(shí)小球的速度剛好水平，所以逆向看是小球從一半圓軌道左端A點(diǎn)正上方某處開始做平拋運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中恰好與半圓軌道相切于B點(diǎn)，則可以用平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律求解。因小球運(yùn)動(dòng)過(guò)程中恰好與半圓軌道相切于B點(diǎn)，則速度與水平方向的夾角為30°，設(shè)位移與水平方向的夾角為θ，則tanθ＝tan30°2＝36，因?yàn)閠anθ＝y(tǒng)x＝y(tǒng)R＋Rcos60°＝y(tǒng)32R，可得豎直位移y＝3R4，而vy2＝2gy＝32gR【例6】C將飛刀的運(yùn)動(dòng)逆過(guò)來(lái)是平拋運(yùn)動(dòng)，三把刀在擊中木板時(shí)的速度大小即為平拋運(yùn)動(dòng)的初速度大小，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t＝2hg，初速度為v0＝xt＝xg2h，由圖看出，三把刀飛行的高度不同，運(yùn)動(dòng)時(shí)間不同，水平位移大小相等，所以平拋運(yùn)動(dòng)的初速度大小不等，即打在木板上的速度大小不等，故A錯(cuò)誤；豎直方向上逆過(guò)來(lái)看是自由落體運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t＝2hg，則得三次飛行時(shí)間之比為3h∶2h∶h＝3∶2∶1，故B錯(cuò)誤；根據(jù)WG＝mgh，3把飛刀從拋出至分別到達(dá)M、N、P三點(diǎn)的過(guò)程中，重力做功之比為3∶2∶1，根據(jù)P＝Wt，結(jié)合B選項(xiàng)可知重力的平均功率之比為3∶2∶1，故C正確；設(shè)任一飛刀拋出的初速度與水平方向夾角分別為θ，則tanθ＝vyv0＝2ghxg2h＝2hx，則得tanθ1∶tanθ2∶tanθ3＝3∶2∶1考點(diǎn)三【例7】B設(shè)1、2球的初速度分別為v1、v2，從拋出到落到D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間分別為t1、t2，則對(duì)兩球在水平方向有v2t2＝v1t1依題意t1＝3t2所以v2＝3v1又因兩球飛過(guò)豎直擋板前的水平位移相同，而速度的水平分量的關(guān)系為v2＝3v1故它們飛過(guò)擋板前的運(yùn)動(dòng)時(shí)間滿足t1'＝3t2'設(shè)球1從第一次落地到飛至擋板頂端所用的時(shí)間為t，則上述關(guān)系可寫為2Hg＋t＝球1第一次落地時(shí)速度的豎直分量為v1'＝2到達(dá)擋板頂端時(shí)速度的豎直分量為v1″＝2兩者滿足v1'＝v1″＋gt聯(lián)立方程并代入數(shù)據(jù)可得h＝3m故選B?！纠?】C設(shè)CP高為H，M點(diǎn)距離臺(tái)面的高度為hM，N點(diǎn)距離臺(tái)面的高度為hN，取M關(guān)于CP的對(duì)稱點(diǎn)Q，由幾何關(guān)系可知，Q的高度與M的高度相等，且Q點(diǎn)位于D點(diǎn)上方。只看第一次球從P點(diǎn)到A的平拋過(guò)程，可知P到Q的水平距離為P到A的水平距離的34，則有P到Q的時(shí)間為P到A時(shí)間的34，根據(jù)y＝12gt2，可知，P到Q的豎直運(yùn)動(dòng)的距離為P到A的916，所以有H－h(huán)MH＝916，解得hM＝716H，同理，對(duì)第二次擊球后的平拋運(yùn)動(dòng)有xEC＝12xED，tEC＝12tED，所以hN－HhN＝14，解得【難點(diǎn)剖析·深度】平拋運(yùn)動(dòng)中與斜面最大距離問(wèn)題【典例】v0gtanθ

解析：將小球的實(shí)際運(yùn)動(dòng)分解為沿斜面向下和垂直于斜面向上的分運(yùn)動(dòng)。取沿斜面向下為x軸的正方向，垂直于斜面向上為y軸的正方向，如圖所示。在y軸