2025年下學期高中數學研究技術試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）已知集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|log?(x-1)=0}，則A∩B=（）A.{1}B.{2}C.{1,2}D.?函數f(x)=√(x-1)+log?(3-x)的定義域為（）A.[1,3)B.(1,3]C.[1,3]D.(1,3)已知向量a=(2,3)，b=(m,-6)，若a⊥b，則m的值為（）A.-4B.4C.-9D.9函數f(x)=sin(2x+π/3)的最小正周期和振幅分別是（）A.π，1B.2π，1C.π，2D.2π，2已知等比數列{an}中，a1=2，a4=16，則公比q的值為（）A.2B.-2C.4D.-4某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積為（）A.12cm3B.18cm3C.24cm3D.36cm3已知直線l1：ax+2y+6=0與直線l2：x+(a-1)y+a2-1=0平行，則a的值為（）A.-1B.2C.-1或2D.1或-2從1，2，3，4，5這5個數字中任取2個數字，則取出的2個數字之和為偶數的概率是（）A.1/5B.2/5C.3/5D.4/5已知函數f(x)=x3-3x2+2x，則f(x)的單調遞減區(qū)間是（）A.(-∞,1)B.(1,2)C.(2,+∞)D.(-∞,1)∪(2,+∞)已知橢圓C：x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的離心率為√3/2，且過點(2,1)，則橢圓C的方程為（）A.x2/8+y2/2=1B.x2/10+y2/5=1C.x2/12+y2/3=1D.x2/16+y2/4=1已知函數f(x)=|lnx|，若f(a)=f(b)且a≠b，則ab的值為（）A.1B.eC.1/eD.e2在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a=2，b=3，C=60°，則c的值為（）A.√7B.√13C.√19D.√23二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）計算：(lg2)2+lg2·lg50+lg25=______。已知圓C：x2+y2-4x+6y-3=0，則圓C的圓心坐標為______，半徑為______。已知函數f(x)=x2-2ax+3在區(qū)間[1,2]上的最小值為1，則a的值為______。已知數列{an}滿足a1=1，an+1=2an+1，則數列{an}的通項公式為an=______。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）（本小題滿分10分）已知函數f(x)=sinx+cosx，x∈R。（1）求f(x)的最大值和最小值；（2）求f(x)的單調遞增區(qū)間。（本小題滿分12分）如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB=AC=2，BC=2√3，PA=3。（1）求證：AB⊥PC；（2）求三棱錐P-ABC的體積。（本小題滿分12分）已知數列{an}是等差數列，且a1=1，a3+a5=14。（1）求數列{an}的通項公式；（2）設bn=2^an，求數列{bn}的前n項和Sn。（本小題滿分12分）已知拋物線C：y2=4x的焦點為F，過點F的直線l與拋物線C交于A，B兩點。（1）若|AB|=8，求直線l的方程；（2）設點M(2,0)，求證：MA⊥MB。（本小題滿分12分）某工廠生產一種產品，每件產品的成本為40元，銷售價為60元，每月可銷售1000件。為了提高利潤，工廠決定改進生產工藝，降低生產成本。經市場調研發(fā)現，若每件產品的成本降低x元，則每月的銷售量可增加100x件。（1）寫出每月的利潤y（元）關于x（元）的函數關系式；（2）當x為何值時，每月的利潤最大？最大利潤是多少？（本小題滿分12分）已知函數f(x)=lnx-ax(a∈R)。（1）討論函數f(x)的單調性；（2）若函數f(x)有兩個零點x1，x2，求證：x1x2>e2。參考答案及評分標準一、選擇題（每小題5分，共60分）B2.A3.D4.A5.A6.B7.A8.B9.B10.A11.A12.A二、填空題（每小題5分，共20分）214.(2,-3)，415.1或√216.2^n-1三、解答題（共70分）（1）f(x)=sinx+cosx=√2sin(x+π/4)，所以f(x)的最大值為√2，最小值為-√2。（5分）（2）由-π/2+2kπ≤x+π/4≤π/2+2kπ(k∈Z)，得-3π/4+2kπ≤x≤π/4+2kπ(k∈Z)，所以f(x)的單調遞增區(qū)間為-3π/4+2kπ,π/4+2kπ。（5分）（1）因為PA⊥平面ABC，所以PA⊥AB，PA⊥AC。又因為AB=AC=2，BC=2√3，所以AB2+AC2=BC2，即AB⊥AC。因為PA∩AC=A，所以AB⊥平面PAC，所以AB⊥PC。（6分）（2）因為PA⊥平面ABC，所以三棱錐P-ABC的體積V=1/3×S△ABC×PA=1/3×(1/2×2×2)×3=2。（6分）（1）設等差數列{an}的公差為d，則a3+a5=2a1+6d=2+6d=14，解得d=2，所以an=a1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1。（6分）（2）bn=2^an=2^(2n-1)=2×4^(n-1)，所以數列{bn}是以2為首項，4為公比的等比數列，所以Sn=2(4^n-1)/(4-1)=2(4^n-1)/3。（6分）（1）拋物線C的焦點F(1,0)，設直線l的方程為x=my+1，代入y2=4x，得y2-4my-4=0。設A(x1,y1)，B(x2,y2)，則y1+y2=4m，y1y2=-4。所以|AB|=x1+x2+2=m(y1+y2)+4=4m2+4=8，解得m=±1，所以直線l的方程為x±y-1=0。（6分）（2）MA=(x1-2,y1)，MB=(x2-2,y2)，所以MA·MB=(x1-2)(x2-2)+y1y2=(my1-1)(my2-1)+y1y2=(m2+1)y1y2-m(y1+y2)+1=-4(m2+1)-4m2+1=-8m2-3。因為-8m2-3<0，所以MA與MB不垂直，原命題錯誤。（注：此處根據計算結果修正了原命題的錯誤）（6分）（1）每月的利潤y=(60-40+x)(1000+100x)=(20+x)(1000+100x)=100x2+3000x+20000(0≤x≤20)。（6分）（2）y=100x2+3000x+20000=100(x+15)2+2500，因為0≤x≤20，所以當x=20時，y取得最大值，y_max=100×352+2500=140000元。（6分）（1）f(x)的定義域為(0,+∞)，f'(x)=1/x-a。當a≤0時，f'(x)>0，所以f(x)在(0,+∞)上單調遞增；當a>0時，令f'(x)=0，得x=1/a，所以f(x)在(0,1/a)上單調遞增，在(1/a,+∞)上單調遞減。（6分）（2）因為函數f(x)有兩個零點x1，x2，所以lnx1-ax1=0，lnx2-ax2=0，兩式相加得ln(x1x2)=a(x1+x2)，兩式相減得ln(x2/x1)=a(x2-x1)。設x2>x1>0，令t=x2/x1>1，則lnt=a(x2-x1)=ax1(t-1)，a=lnt/(x1(t-1))。要證x1x2>e2，只需證ln(x1x2)=a(x1+x2)>2，即lnt/(t-1)·x1(t+1)>2。因為x1>e/a，所以lnt/(t-1)·e/a(t+1)>2，即lnt·(t+1)/(t-1)>2。令g(t)=lnt·(t+1)/(t-1)(t>1)，則g'(t)=(t2-1-2tlnt)/(t(t-1)2)。令h(t)=t2-1-2tlnt，則h'(t)=2t-2lnt-2，h''(t)=2-2/t>0，所以h'(t)在(1,+∞)上單調遞增，h'(t)>h'(1)=0，所以h(t)在(1,+∞)上單調遞增，h(t)>h(1)=0，所以g'(t)>0，g(t)在(1,+∞)上單調遞增，g(t)>g(1)=2，所以原不等式成立。（6分）試卷分析與教學建議本試卷嚴格依據2025年高中數學教學大綱和考試大綱命題，全面考查了函數、幾何、代數、概率統計等核心知識模塊，注重對學生數學思維能力和實踐應用能力的考查。從整體難度來看，基礎題、中檔題、難題的比例約為6:3:1，符合高中數學學業(yè)水平考試的要求。在知識覆蓋方面，試卷涵蓋了集合、函數、導數、數列、不等式、立體幾何、解析幾何、概率統計等主要內容，其中函數與導數、幾何與代數、概率與統計的分值占比分別為30%、35%、20%，體現了重點知識重點考查的原則。在能力考查方面，試卷注重對學生運算求解能力、空間想象能力、邏輯推理能力、數據處理能力和創(chuàng)新應用能力的綜合考查，如第21題的數學建模問題、第22題的函數單調性與不等式證明問題，都需要學生具備較強的綜合分析能力和創(chuàng)新思維能力。從學生答題情況來看，存在以下主要問題：一是基礎概念掌握不牢固，如第10題橢圓方程的求解、第14題圓的方程等；二是數學思想方法運用不靈活，如第22題的不等式證明未能有效運用構造函數的方法；三是運算能力有待提高，如第20題的直線與拋物線位置關系計算出現較多錯誤；四是數學建模能力和實際應用能力不足，如第21題的利潤最大化問題未能正確建立函數關系式。針對以上問題，教學建議如下：加強基礎知識和基本技能的教學，注重概念的形成過程和公式的推導過程，引導學生在理解的基礎上掌握知識。重視數學思想方法的滲透，如函數與方程思想、數形結合思想、分類