2025年下學期高中數(shù)學宇宙天文探索試卷一、單項選擇題（每題5分，共60分）已知某恒星的視星等m=6.5，絕對星等M=-2.0，根據(jù)距離模數(shù)公式m-M=5logD-5（D的單位為秒差距pc），該恒星與地球的距離約為（）A.100pcB.316pcC.1000pcD.3162pc三角視差法測量比鄰星距離時，測得其年視差角為0.772角秒，1秒差距（pc）定義為視差角為1角秒時的距離，則比鄰星距離約為（）A.0.772pcB.1.295pcC.2.295pcD.3.26pc開普勒第三定律指出行星繞太陽運動的周期T（單位：年）與軌道半長軸a（單位：天文單位AU）滿足T2=a3。已知火星公轉周期約為1.88年，則其軌道半長軸約為（）A.1.52AUB.1.88AUC.2.5AUD.3.5AU某星系光譜線波長觀測值為656.3nm，實驗室中該譜線標準波長為656.0nm，根據(jù)多普勒效應公式z=Δλ/λ?=v/c（v為徑向速度，c=3×10?km/s），該星系的退行速度約為（）A.110km/sB.137km/sC.150km/sD.200km/s天文學家觀測到某球狀星團中恒星的分布近似滿足球體體積公式V=(4/3)πr3。若星團半徑為5光年，恒星平均密度為0.1顆/立方光年，則該星團中恒星總數(shù)約為（）A.52顆B.105顆C.210顆D.420顆地球同步衛(wèi)星軌道周期與地球自轉周期相同（23小時56分），根據(jù)萬有引力公式GMm/r2=m(2π/T)2r（G為引力常量，M為地球質量），其軌道半徑約為（）A.3.6×10?kmB.6.4×103kmC.1.5×10?kmD.3.8×10?km獵戶座星云的角直徑約為60角分，距離地球約1344光年。根據(jù)小角度近似公式D=θd/206265（θ為角直徑弧秒，d為距離），該星云的實際直徑約為（）A.12光年B.24光年C.36光年D.48光年某變星的光變周期為5.4天，視星等最大值為2.0，最小值為3.5，其光變幅度（最大值與最小值之差）的正弦函數(shù)模型可表示為（）A.y=0.75sin(πt/2.7)+2.75B.y=1.5sin(πt/5.4)+2.75C.y=0.75sin(2πt/5.4)+2.75D.y=1.5sin(2πt/5.4)+2.0宇宙微波背景輻射溫度約為2.73K，根據(jù)黑體輻射定律，其輻射峰值波長λ_max=b/T（b=2.898×10?3m·K），則峰值波長約為（）A.1.06mmB.2.73mmC.5.6mmD.10mm某彗星軌道為拋物線，太陽位于焦點處。若近日點距離為0.5AU，根據(jù)拋物線方程y2=4px（p為焦點到準線距離），則該彗星軌道的參數(shù)p為（）A.0.25AUB.0.5AUC.1.0AUD.2.0AU利用萬有引力公式F=GMm/r2計算地球與月球間的引力（G=6.67×10?11N·m2/kg2，M=5.98×102?kg，m=7.35×1022kg，r=3.84×10?m），結果約為（）A.1.98×102?NB.2.98×102?NC.3.56×1022ND.4.0×102?N某天文望遠鏡的物鏡焦距為2000mm，目鏡焦距為20mm，其放大倍數(shù)為（）A.10倍B.50倍C.100倍D.200倍二、填空題（每題6分，共30分）已知天狼星的絕對星等M=1.43，視星等m=-1.46，根據(jù)距離模數(shù)公式計算其距離為______秒差距（結果保留整數(shù)）。某行星繞恒星做勻速圓周運動，軌道半徑r=1.0×1011m，公轉周期T=3.15×10?s，根據(jù)向心力公式GMm/r2=m(2π/T)2r，可推導出恒星質量M=______kg（G=6.67×10?11，結果用科學記數(shù)法表示）。仙女座星系（M31）距離地球約250萬光年，若宇宙膨脹速率為70km/s/Mpc（哈勃常數(shù)H?），根據(jù)哈勃定律v=H?d，其退行速度約為______km/s（1Mpc≈3.26×10?光年）。某球狀星團的恒星分布密度函數(shù)為ρ(r)=ρ?/(1+r2)，其中r為到中心的距離（單位：pc），ρ?=100顆/pc3。則距離中心1pc范圍內的恒星總數(shù)為______顆（積分結果保留兩位小數(shù)）。日全食時月球遮擋太陽的視面積可近似看作圓形。已知太陽直徑1.39×10?km，日地距離1.5×10?km，月球直徑3476km，月地距離3.84×10?km，月球遮擋太陽的面積占太陽視面積的比例約為______%（保留一位小數(shù)）。三、解答題（共60分）（12分）三角視差法應用天文學家在相隔半年的兩次觀測中，測得某恒星的視差角為0.2角秒（1度=3600角秒）。（1）計算該恒星的距離（以秒差距為單位）；（2）若將此距離換算為光年（1pc≈3.26光年），結果為多少？（3）若地球公轉軌道半徑取1AU，忽略地球半徑，計算兩次觀測的基線長度（以km為單位，1AU=1.5×10?km）。（14分）開普勒定律與行星運動某小行星繞太陽運行的軌道為橢圓，近日點距離r?=0.5AU，遠日點距離r?=3.5AU。（1）求橢圓軌道的半長軸a和半焦距c；（2）計算該小行星的公轉周期（以年為單位）；（3）比較小行星在近日點和遠日點的運行速度大小，并說明理由。（14分）天體光度測量已知某造父變星的光變周期P=5.0天，其絕對星等與周期滿足關系M=-2.76lgP+1.43。（1）計算該變星的絕對星等M；（2）若觀測到其視星等m=12.5，求它與地球的距離（以秒差距為單位）；（3）若該變星所在星系的退行速度v=5000km/s，根據(jù)哈勃定律估算星系距離（H?=70km/s/Mpc），并判斷該變星是否屬于銀河系（銀河系直徑約30kpc）。（20分）宇宙膨脹與多普勒效應（1）某星系的氫α譜線（實驗室波長λ?=656.3nm）在觀測中紅移至λ=670.0nm，計算該星系的退行速度v（c=3×10?km/s）；（2）根據(jù)哈勃定律v=H?d，計算該星系距離d（以Mpc為單位）；（3）若該星系的視星等m=18.5，絕對星等M=-21.5，用距離模數(shù)公式驗證（2）中結果的合理性；（4）推導宇宙年齡的估算公式t≈1/H?，并計算當前宇宙年齡的數(shù)量級（以年為單位，1Mpc=3.086×101?km）。四、附加題（共20分）（20分）黑洞質量估算根據(jù)廣義相對論，黑洞的史瓦西半徑R?=2GM/c2。某球狀星團中心存在一超大質量黑洞，觀測到周圍恒星繞黑洞做圓周運動的速度v=200km/s，軌道半徑r=1.0×101?m。（1）利用牛