2025年上學(xué)期高三數(shù)學(xué)“典型圖形”識別與應(yīng)用試題一、函數(shù)圖像類典型圖形應(yīng)用（一）二次函數(shù)圖像與根的分布問題例題1：已知二次函數(shù)$f(x)=ax^2+bx+c(a>0)$的圖像經(jīng)過點(diǎn)$(1,0)$，且與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為$(m,0)$，若函數(shù)圖像的對稱軸為直線$x=2$，則實(shí)數(shù)$m$的值為（）A.3B.4C.5D.6解析：根據(jù)二次函數(shù)圖像的對稱性，對稱軸$x=2$為兩點(diǎn)$(1,0)$與$(m,0)$的中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得$\frac{1+m}{2}=2$，解得$m=3$，故選A。此類問題需抓住二次函數(shù)圖像的軸對稱性，明確頂點(diǎn)、對稱軸、與坐標(biāo)軸交點(diǎn)等關(guān)鍵要素的幾何意義。（二）三角函數(shù)圖像的平移與伸縮變換例題2：將函數(shù)$f(x)=\sin(2x+\frac{\pi}{3})$的圖像向右平移$\frac{\pi}{6}$個(gè)單位長度，再將所得圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)$g(x)$的圖像，則$g(x)$的解析式為（）A.$\sin(x+\frac{\pi}{6})$B.$\sinx$C.$\sin(x-\frac{\pi}{6})$D.$\sin(4x+\frac{\pi}{6})$解析：函數(shù)圖像平移遵循“左加右減”原則，向右平移$\frac{\pi}{6}$個(gè)單位后得$f(x-\frac{\pi}{6})=\sin[2(x-\frac{\pi}{6})+\frac{\pi}{3}]=\sin2x$；橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，即$x$的系數(shù)變?yōu)樵瓉淼?\frac{1}{2}$，得$g(x)=\sin(2\times\frac{1}{2}x)=\sinx$，故選B。解決此類問題需注意平移與伸縮的順序?qū)馕鍪降挠绊?，避免混淆“先平移后伸縮”與“先伸縮后平移”的差異。二、立體幾何類典型圖形應(yīng)用（一）正方體與球的內(nèi)切外接問題例題3：棱長為2的正方體的外接球表面積為（）A.$4\pi$B.$8\pi$C.$12\pi$D.$16\pi$解析：正方體的體對角線長即為外接球直徑。正方體體對角線$d=\sqrt{2^2+2^2+2^2}=2\sqrt{3}$，則球半徑$R=\sqrt{3}$，表面積$S=4\piR^2=4\pi\times3=12\pi$，故選C。此類問題需牢記正方體的內(nèi)切球（直徑=棱長）、外接球（直徑=體對角線）、與各棱相切球（直徑=面對角線）的半徑公式，結(jié)合球的表面積、體積公式求解。（二）三棱錐體積的等體積法應(yīng)用例題4：在棱長為1的正方體$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中，點(diǎn)$P$為棱$CC_1$的中點(diǎn)，則三棱錐$P-ABD$的體積為（）A.$\frac{1}{6}$B.$\frac{1}{3}$C.$\frac{1}{2}$D.1解析：以$\triangleABD$為底面，點(diǎn)$P$到平面$ABD$的距離為高。$\triangleABD$的面積$S=\frac{1}{2}\times1\times1=\frac{1}{2}$，點(diǎn)$P$到平面$ABD$的距離等于正方體棱長1（因$CC_1\perp$平面$ABCD$），則體積$V=\frac{1}{3}Sh=\frac{1}{3}\times\frac{1}{2}\times1=\frac{1}{6}$，故選A。等體積法是解決立體幾何體積問題的常用技巧，通過轉(zhuǎn)換底面和高，將復(fù)雜幾何體的體積轉(zhuǎn)化為易求的基本圖形體積。三、解析幾何類典型圖形應(yīng)用（一）橢圓與雙曲線的離心率問題例題5：已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的左、右焦點(diǎn)分別為$F_1,F_2$，過$F_1$的直線交橢圓于$A,B$兩點(diǎn)，若$\triangleABF_2$的周長為8，離心率$e=\frac{1}{2}$，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A.$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$B.$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$C.$\frac{x^2}{2}+y^2=1$D.$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{6}=1$解析：根據(jù)橢圓定義，$\triangleABF_2$的周長為$|AB|+|AF_2|+|BF_2|=(|AF_1|+|BF_1|)+|AF_2|+|BF_2|=(|AF_1|+|AF_2|)+(|BF_1|+|BF_2|)=4a=8$，解得$a=2$。由$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$得$c=1$，則$b^2=a^2-c^2=3$，橢圓方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，故選A。橢圓的定義和離心率公式是解決此類問題的核心，需結(jié)合圖形中焦點(diǎn)三角形的周長、面積等幾何量建立方程。（二）拋物線的焦點(diǎn)弦問題例題6：過拋物線$y^2=4x$的焦點(diǎn)$F$作直線$l$交拋物線于$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$兩點(diǎn)，若$x_1+x_2=6$，則$|AB|=$（）A.6B.8C.10D.12解析：拋物線$y^2=4x$的焦點(diǎn)為$F(1,0)$，準(zhǔn)線方程為$x=-1$。根據(jù)拋物線定義，$|AF|=x_1+1$，$|BF|=x_2+1$，則$|AB|=|AF|+|BF|=x_1+x_2+2=6+2=8$，故選B。焦點(diǎn)弦問題中，拋物線的定義是轉(zhuǎn)化線段長度的關(guān)鍵，常見結(jié)論如“過焦點(diǎn)的弦長$|AB|=x_1+x_2+p$（$p$為焦準(zhǔn)距）”需熟練掌握。四、平面幾何類典型圖形應(yīng)用（一）三角形五心性質(zhì)的應(yīng)用例題7：在$\triangleABC$中，$AB=AC=5$，$BC=6$，則$\triangleABC$的外心到頂點(diǎn)$A$的距離為（）A.$\frac{25}{8}$B.$\frac{25}{6}$C.$\frac{125}{8}$D.$\frac{25}{4}$解析：等腰$\triangleABC$中，外心在底邊$BC$的中垂線上。取$BC$中點(diǎn)$D$，則$AD\perpBC$，$BD=3$，$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=4$。設(shè)外心$O$在$AD$上，$OA=OB=R$，$OD=4-R$，在$Rt\triangleOBD$中，$OB^2=OD^2+BD^2$，即$R^2=(4-R)^2+3^2$，解得$R=\frac{25}{8}$，故選A。三角形的外心、內(nèi)心、重心、垂心、旁心的性質(zhì)與位置關(guān)系是平面幾何的高頻考點(diǎn)，需結(jié)合等腰、直角、等邊三角形等特殊圖形的對稱性簡化計(jì)算。（二）圓的切線與割線定理應(yīng)用例題8：如圖，$PA$切$\odotO$于點(diǎn)$A$，$PBC$是$\odotO$的割線，若$PA=6$，$PB=3$，$BC=5$，則$AC$的長為（）A.$2\sqrt{10}$B.$4\sqrt{5}$C.$3\sqrt{10}$D.$6\sqrt{5}$解析：由切割線定理得$PA^2=PB\cdotPC$，即$6^2=3\timesPC$，解得$PC=12$，則$PB=3$，$BC=5$，$PC=PB+BC=8$（此處修正：原$PC=12$，則$BC=PC-PB=12-3=9$，題目條件可能存在筆誤，按切割線定理正確計(jì)算應(yīng)為$PC=12$，$BC=9$）。連接$AB$，由弦切角定理得$\anglePAB=\anglePCA$，又$\angleP$公共，故$\trianglePAB\sim\trianglePCA$，則$\frac{PA}{PC}=\frac{AB}{AC}=\frac{PB}{PA}$，即$\frac{6}{12}=\frac{AB}{AC}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，設(shè)$AB=k$，$AC=2k$，在$\triangleABC$中由余弦定理可進(jìn)一步求解（此處因題目條件修正，正確答案需結(jié)合實(shí)際數(shù)據(jù)計(jì)算，核心方法為切割線定理與相似三角形的綜合應(yīng)用）。五、概率統(tǒng)計(jì)類典型圖形應(yīng)用（一）頻率分布直方圖的應(yīng)用例題9：某學(xué)校為了解學(xué)生的數(shù)學(xué)成績，隨機(jī)抽取100名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到頻率分布直方圖如圖所示（部分?jǐn)?shù)據(jù)缺失），其中成績在$[50,60)$的頻率為0.05，$[60,70)$的頻率為0.15，$[70,80)$的頻率為0.3，$[80,90)$的頻率為0.35，$[90,100]$的頻率為$a$，則$a=$（），成績在$[80,100]$的學(xué)生人數(shù)為（）解析：頻率分布直方圖中各小矩形的面積之和為1，即$0.05+0.15+0.3+0.35+a=1$，解得$a=0.15$。成績在$[80,100]$的頻率為$0.35+0.15=0.5$，學(xué)生人數(shù)為$100\times0.5=50$。此類問題需明確頻率分布直方圖的縱軸表示“頻率/組距”，各區(qū)間的頻率等于對應(yīng)矩形的面積，通過總面積為1求解未知參數(shù)。（二）莖葉圖的數(shù)字特征計(jì)算例題10：某班10名學(xué)生的數(shù)學(xué)考試成績（單位：分）如莖葉圖所示：6|897|23578|1469|0則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)分別為（）A.75，75B.75，73C.74，75D.74，73解析：將數(shù)據(jù)從小到大排列：68，69，72，73，75，77，81，84，86，90，共10個(gè)數(shù)，中位數(shù)為第5、6個(gè)數(shù)的平均數(shù)，即$\frac{75+77}{2}=76$（此處修正：原數(shù)據(jù)中7開頭的數(shù)字為72,73,75,77，共4個(gè)；8開頭為81,84,86，共3個(gè)；6開頭2個(gè)，9開頭1個(gè)，總計(jì)10個(gè)，中位數(shù)應(yīng)為第5和第6個(gè)數(shù)75和77的平均76，題目選項(xiàng)可能存在錯(cuò)誤）。眾數(shù)是出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，本題中所有數(shù)據(jù)均只出現(xiàn)一次，無眾數(shù)（實(shí)際考試中莖葉圖數(shù)據(jù)通常會(huì)設(shè)計(jì)眾數(shù)，此處需注意數(shù)據(jù)特征的準(zhǔn)確提?。Ａ?、數(shù)列與不等式類典型圖形應(yīng)用（一）等差數(shù)列的圖像表示例題11：等差數(shù)列${a_n}$的前$n$項(xiàng)和為$S_n$，若$S_3=9$，$S_6=36$，則數(shù)列${\frac{S_n}{n}}$的圖像是（）A.過原點(diǎn)的直線B.不過原點(diǎn)的直線C.拋物線D.雙曲線解析：等差數(shù)列前$n$項(xiàng)和$S_n=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d=\fracgmi6cuw{2}n^2+(a_1-\fracags6m6g{2})n$，則$\frac{S_n}{n}=\fracaquuwcc{2}n+(a_1-\frac6myqmqy{2})$，表示關(guān)于$n$的一次函數(shù)，其圖像為直線。由$S_3=3a_1+3d=9$，$S_6=6a_1+15d=36$，解得$a_1=1$，$d=2$，則$\frac{S_n}{n}=n+0$，即$y=n$，過原點(diǎn)，故選A。等差數(shù)列的前$n$項(xiàng)和的圖像是過原點(diǎn)的拋物線（當(dāng)$d\neq0$時(shí)），而$\frac{S_n}{n}$的圖像為直線，這一幾何意義可幫助快速判斷數(shù)列類型。（二）線性規(guī)劃中的可行域圖形例題12：設(shè)變量$x,y$滿足約束條件$\begin{cases}x+y\leq5\2x-y\leq4\-x+y\leq1\y\geq0\end{cases}$，則目標(biāo)函數(shù)$z=2x+y$的最大值為（）A.7B.8C.9D.10解析：作出可行域如圖（此處省略圖形，可自行繪制），約束條件對應(yīng)的直線方程為：$x+y=5$（交x軸于(5,0)，y軸于(0,5)），$2x-y=4$（交x軸于(2,0)，y軸于(0,-4)），$-x+y=1$（交x軸于(-1,0)，y軸于(0,1)），$y=0$（x軸）?？尚杏虻捻旤c(diǎn)為：聯(lián)立$2x-y=4$與$x+y=5$得$(3,2)$；聯(lián)立$x+y=5$與$-x+y=1$得$(2,3)$；聯(lián)立$-x+y=1$與$y=0$得$(-1,0)$；聯(lián)立$2x-y=4$與$y=0$得$(2,0)$。將頂點(diǎn)代入目標(biāo)函數(shù)：$z(3,2)=8$，$z(2,3)=7$，$z(-1,0)=-2$，$z(2,0)=4$，最大值為8，故選B。線性規(guī)劃問題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確作出可行域，找到目標(biāo)函數(shù)在可行域頂點(diǎn)處的最值，常見目標(biāo)函數(shù)類型有截距型、斜率型、距離型等。七、綜合應(yīng)用類典型圖形問題（一）函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的圖像交點(diǎn)問題例題13：已知函數(shù)$f(x)=\lnx$，$g(x)=ax^2-bx(a,b\inR)$，若函數(shù)$f(x)$與$g(x)$的圖像在$x=1$處有公共切線，且在區(qū)間$(0,+\infty)$上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)$a$的取值范圍是（）A.$(-\infty,1)$B.$(0,1)$C.$(0,\frac{1}{2})$D.$(\frac{1}{2},1)$解析：首先，$f(1)=0$，$g(1)=a-b$，由公共點(diǎn)得$a-b=0$即$b=a$。其次，切線斜率相等：$f'(x)=\frac{1}{x}$，$f'(1)=1$；$g'(x)=2ax-b$，$g'(1)=2a-b=1$，又$b=a$，解得$a=1$，$b=1$（此處題目條件應(yīng)為“在$x=1$處有公共切線”，則$g(x)=ax^2-ax$）。函數(shù)$f(x)$與$g(x)$的交點(diǎn)即方程$\lnx=ax^2-ax$的解，令$h(x)=\lnx-ax^2+ax$，則$h(x)$在$(0,+\infty)$有兩個(gè)零點(diǎn)。$h'(x)=\frac{1}{x}-2ax+a=\frac{-2ax^2+ax+1}{x}$，令$h'(x)=0$得$-2ax^2+ax+1=0$（$a>0$，否則二次函數(shù)開口向上，$h(x)$在$x\to+\infty$時(shí)趨向$-\infty$，不可能有兩個(gè)零點(diǎn)），判別式$\Delta=a^2+8a>0$，方程有兩個(gè)正根$x_1,x_2$（$x_1<x_2$）。$h(x)$在$(0,x_1)$遞增，$(x_1,x_2)$遞減，$(x_2,+\infty)$遞增（需結(jié)合導(dǎo)數(shù)符號判斷），要使$h(x)$有兩個(gè)零點(diǎn)，需$h(x_1)>0$且$h(x_2)<0$，結(jié)合$h(1)=0$，可得$a$的取值范圍為$(0,1)$，故選B。此類問題綜合考查函數(shù)圖像的切線、單調(diào)性、極值與零點(diǎn)，需結(jié)合導(dǎo)數(shù)工具分析函數(shù)的變化趨勢。（二）圓錐曲線與直線的位置關(guān)系例題14：已知橢圓$C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且過點(diǎn)$(2,1)$，過橢圓右焦點(diǎn)$F$的直線$l$與橢圓交于$M,N$兩點(diǎn)，若$|MN|=\frac{4\sqrt{5}}{5}$，求直線$l$的方程。解析：由離心率$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$得$c=\frac{\sqrt{3}}{2}a$，$b^2=a^2-c^2=\frac{1}{4}a^2$，橢圓方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{4y^2}{a^2}=1$，將點(diǎn)$(2,1)$代入得$\frac{4}{a^2}+\frac{4}{a^2}=1$，解得$a^2=8$，$b^2=2$，橢圓方程為$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1$，右焦點(diǎn)$F(\sqrt{8-2},0)=(\sqrt{6},0)$。當(dāng)直線$l$斜率不存在時(shí)，方程為$x=\sqrt{6}$，代入橢圓得$y^2=2-\frac{6}{8}=\frac{1}{4}$，$y=\pm\frac{1}{2}$，$|MN|=1$，不符合題意。當(dāng)直線$l$斜率存在時(shí)，設(shè)方程為$y=k(x-\sqrt{6})$，聯(lián)立橢圓方程得：$\frac{x^2}{8}+\frac{k^2(x-\sqrt{6})^2}{2}=1$，化簡得$(1+4k^2)x^2-8\sqrt{6}k^2x+24k^2-8=0$。設(shè)$M(x_1,y_1)$，$N(x_2,y_2)$，則$x_1+x_2=\frac{8\sqrt{6}k^2}{1+4k^2}$，$x_1x_2=\frac{24k^2-8}{1+4k^2}$。弦長$|MN|=\sqrt{1+k^2