2025-2026學(xué)年第一學(xué)期九年級(jí)第一次綜合訓(xùn)練題(數(shù)學(xué)科)全卷總分：120分考試時(shí)間：120分鐘(202510)一.選擇題(本大題共10小題，每小題3分，共30分.)1.下列方程是一元二次方程的是()A.X2-3x+1=0B2x+1=0C.2.用配方法解方程x2A.x-42=7C.x-42=253.若關(guān)于x的一元二次方程x2A.m>1B.m≥1C.m<1D.m≤14.如圖(1)，一根木棍AB斜靠在與地面OM垂直的墻ON上，若測(cè)得木棍AB長(zhǎng)為6米，且點(diǎn)P是木棍AB的中點(diǎn)，則O，P兩點(diǎn)間的距離為()A.6米B.5米C.4米D.3米5.如圖(2)，為判斷這個(gè)四邊形門框是否為矩形，提出下列四個(gè)測(cè)量方案，其中正確的是()A.測(cè)量對(duì)角線是否相等B.測(cè)量一組鄰角是否互補(bǔ)C.測(cè)量?jī)山M對(duì)邊是否分別相等D.測(cè)量三個(gè)內(nèi)角是否都是直角6.觀察下列表格，估計(jì)一元二次方程x2x-101234x2+3x-5-7-5-151323A.-1和0之間B.1和2之間C.0和1之間D.2和3之間7.小琦在復(fù)習(xí)幾種特殊四邊形的關(guān)系時(shí)整理出如圖(3)所示的轉(zhuǎn)換圖，(1)(2)(3)(4)處需要添加條件，則下列條件添加錯(cuò)誤的是()A.(1)處可填∠A=90°B.(2)處可填A(yù)D=ABD.(4)處可填∠A=90°D.(4)處可填∠A=90°C.N(3)處可填A(yù)D=CBC.N(3)處可填A(yù)D=CB8.如圖(4)是某地下停車場(chǎng)的平面示意圖，停車場(chǎng)的長(zhǎng)為40m，寬為22m.停車場(chǎng)內(nèi)車道的寬都相等，若停車位的占地面積為520m2，求車道的寬度(單位：m).設(shè)停車場(chǎng)內(nèi)車道的寬度為xm，根據(jù)題意所列方程為()A.(40-2x)(22-x)=520B.(40-x)(22-x)=520C.(40-x)(22-2x)=520D.(40-x)(22+x)=5209.如圖(5)所示，將一張矩形紙片沿虛線對(duì)折兩次，當(dāng)剪刀與紙片的夾角∠ABC=45°時(shí)，已知AB=4cm，則剪下來(lái)圖形的周長(zhǎng)為()A.22cmB.42cmC.8210.如圖(6),矩形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O,過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AC,交AB于點(diǎn)E,連接CE,若矩形ABCD的周長(zhǎng)是20cm,則△BCE的周長(zhǎng)是()A.10cmB.15cmC.20cmD.40cm二.填空題(本大題5小題，每小題3分，共15分.)11.一元二次方程：3x2=x+212.一個(gè)菱形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)分別是6cm，8cm，則這個(gè)菱形的面積是cm2.13.若a是方程x2+3x-1=0的一個(gè)根，則a2+3a+2024=14.如圖(7),矩形OABC的頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,2),則對(duì)角線AC=.15.如圖(8),在矩形ABCD中,AC=60cm,∠BAC=60°,點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向以2cm/秒的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)F從點(diǎn)C出發(fā)沿CA方向以4cm/秒的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)E，F(xiàn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒(0<t≤15).過(guò)點(diǎn)F作OF⊥BC于點(diǎn)O,連接OE,EF.若四邊形AEOF能夠成為菱形,則t=.三.解答題(一)(本大題3小題，每小題8分，共24分.)16.解方程:x17.如圖,已知矩形ABCD中,∠BAD和∠ADC的平分線交于BC邊上一點(diǎn)E.點(diǎn)F為矩形外一點(diǎn)，四邊形AEDF為平行四邊形.求證：四邊形AEDF是正方形.點(diǎn)，四邊形AEDF為平行四邊形.求證：四邊形AEDF是正方形.18.如圖，AC是菱形ABCD的一條對(duì)角線，點(diǎn)B在射線AE上.(1)請(qǐng)用尺規(guī)把這個(gè)菱形補(bǔ)充完整，(保留作圖痕跡，不要求寫作法)(2)若AC=6(1)請(qǐng)用尺規(guī)把這個(gè)菱形補(bǔ)充完整，(保留作圖痕跡，不要求寫作法)(2)若AC=63,∠CAB=30°,求菱形ABCD的周長(zhǎng).四、解答題(二)(本大題3小題，每小題9分，共27分.)19.提出問(wèn)題：為解方程x4-3x2-4=0,我們可以令x2=y,∴原方程的解為x以上方法就是換元法解方程，從而達(dá)到了降次的目的，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想.解決問(wèn)題：(1)運(yùn)用上述換元法解方程：x(2)若實(shí)數(shù)x滿足方程x2-x2-5x220.根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù)。素材1隨著數(shù)字技術(shù)、新能源、新材料等不斷突破，我國(guó)制造業(yè)發(fā)展迎來(lái)重大機(jī)遇.某工廠一車間借助智能化，對(duì)某款車型的零部件進(jìn)行一體化加工，生產(chǎn)效率提升，該零件4月份生產(chǎn)100個(gè),6月份生產(chǎn)144個(gè).素材2該廠生產(chǎn)的零件成本為30元/個(gè)，銷售一段時(shí)間后發(fā)現(xiàn)，當(dāng)零件售價(jià)為40元/個(gè)時(shí)，月銷售量為600個(gè)，若在此基礎(chǔ)上售價(jià)每上漲1元，則月銷售量將減少10個(gè).問(wèn)題解決任務(wù)1求該車間4月份到6月份生產(chǎn)數(shù)量的平均增長(zhǎng)率；任務(wù)2為使月銷售利潤(rùn)達(dá)到10000元，而且盡可能讓車企得到實(shí)惠，則該零件的實(shí)際售價(jià)應(yīng)定為多少元?21.實(shí)踐操作(1)在矩形紙片ABCD中AB=6,BC=10.①將矩形紙片折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)P處，折痕為DE.如圖D，若點(diǎn)P恰好在邊BC上，連接AP,則AP的長(zhǎng)度是;②將矩形紙片沿BD折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)E處如圖①.設(shè)DE與BC相交于點(diǎn)F，求BF的長(zhǎng)；(2)若AB=6,BC=8.將矩形紙片折疊,使點(diǎn)B與D重合如圖②,求折痕GH的長(zhǎng).五、解答題(三)(本大題2小題，每小題12分，共24分.)22.閱讀材料：對(duì)于一元二次方程a對(duì)于一元二次方程ax2+bx+c=0(其中a≠0),其兩個(gè)根x?和x?與系數(shù)a、b、c之間存在以下關(guān)系：①兩根的和：x解決問(wèn)題：(1)驗(yàn)證關(guān)系：給定一元二次方程3x(1)驗(yàn)證關(guān)系：給定一元二次方程3x2-5x+1=0,請(qǐng)驗(yàn)證其兩個(gè)根的和與積是否分別滿足x(2)應(yīng)用關(guān)系：若一元二次方程的兩個(gè)根分別為3和-2，且二次項(xiàng)系數(shù)為1，請(qǐng)寫出這個(gè)一元二次方程的一般形式；(3)能力素養(yǎng)：學(xué)習(xí)了根與系數(shù)的關(guān)系后，秦老師布置了一道課后思考題，題目是：x?和x?是關(guān)于x的方程x2+2a-1x+23.如圖，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E是直線BC上一點(diǎn)，將射線AE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α交直線CD于點(diǎn)F.(1)如圖①,若四邊形ABCD為菱形,∠B=60°,α=60°,則AE與AF之間的數(shù)量關(guān)系是;(2)如圖②,若四邊形ABCD為正方形,α=45°,連接EF,當(dāng)點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上時(shí),試猜想線段BE、DF與EF之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；(3)若四邊形ABCD為正方形,α=45°,連接EF,當(dāng)AB=4,BE=1

答案和解析一、選擇題答案：D

解析：一元二次方程標(biāo)準(zhǔn)形式為ax2+bx+c=0。選項(xiàng)D需補(bǔ)全，如為x答案：C

解析：以x2+4x+2=0為例，配方法變形為(x+2答案：A

解析：若方程無(wú)實(shí)根，判別式Δ=b2-4ac<0，解得答案：D

解析：O為墻角，P為AB中點(diǎn)，在直角三角形中斜邊中線等于斜邊一半，故OP=3米。答案：D

解析：矩形的判定條件為三個(gè)內(nèi)角是直角（實(shí)際只需一個(gè)直角+對(duì)邊相等，但選項(xiàng)D最嚴(yán)謹(jǐn)）。答案：B

解析：由表格，f(1)=-1,f(2)=5，根在1和2之間。答案：C

解析：(3)處AD=CB只能證明平行四邊形，無(wú)法確保菱形或矩形。答案：A

解析：車道的寬為x，則剩余長(zhǎng)40-2x，寬22-x，面積方程(40-2x)(22-x)=520。答案：B

解析：折疊后形成等腰直角三角形，邊長(zhǎng)為4√2cm，周長(zhǎng)4×4√2=16答案：A

解析：OE垂直平分AC，△BCE周長(zhǎng)=BE+EC+BC=(BE+EA)+BC=AB+BC=?周長(zhǎng)=10cm。二、填空題答案：2

解析：方程如x2+2x-3=0，一次項(xiàng)系數(shù)為2答案：24

解析：菱形面積=對(duì)角線乘積÷2=6×8÷2=24?cm答案：2025

解析：由方程a2+3a=1，原式=1+2024=2025答案：13

解析：矩形對(duì)角線AC=OB，點(diǎn)B(3,2)，則OB長(zhǎng)度32+答案：t=10秒

解析：菱形AEOF需滿足AE=AF且EF⊥AO，列方程60-4t=2t，解得t=10。三、解答題16.解方程：

答案：x=1±2

解析：用求根公式或配方法解x217.證明正方形

解析：∠BAD和∠ADC的平分線交于E，則∠EAD=45°，同理∠EDA=45°。四邊形AEDF為平行四邊形，且鄰邊相等且角為直角，故為正方形。18.菱形補(bǔ)充與周長(zhǎng)

解析：(1)作AC的垂直平分線交AE于D，連接ABCD即為菱形。(2)周長(zhǎng)=4×邊長(zhǎng)=4×6=24（利用30°角計(jì)算邊長(zhǎng)）。四、解答題19.換元法解方程

(1)答案：x=2或x=3

解析：令y=x2-4x，方程化為(2)答案：22

解析：令t=x2+3x，方程化為t2-5t-6=0，解得t=6或t=-120.任務(wù)1與任務(wù)2任務(wù)1：增長(zhǎng)率20%

解析：100(1+r)2=144，解得任務(wù)2：售價(jià)50元

解析：設(shè)漲價(jià)x元，列方程(40+x-30)(600-10x)=10000，解得x=10（取整后定價(jià)50元）。21.幾何折疊問(wèn)題

(1)①答案：8

解析：AP為矩形對(duì)角線的一半，勾股定理得AP=62②答案：BF=6

解析：利用折疊性質(zhì)及勾股定理，設(shè)BF=x，解x2+(10-x(2)答案：5

解析：GH為BD的垂直平分線，BD=10，GH=?BD=5。五、解答題22.根與系數(shù)關(guān)系

(1)解析：方程x2-5x+6=0，根為2和3，和5（=5/1），積