考點05.一次方程（組）（精講）【命題趨勢】一次方程（組）在中考數學中較為簡單，每年考查2-3題左右，分值為10分左右。各地中考中，對于兩個方程的解法以及注意事項是必須掌握的，而在其應用上也是中考代數部分結合型較強的一類考點，也有在一次函數、二次函數的應用中解一元一次方程、二元一次方程組的工具性的考查。預計2024年各地中考還將繼續(xù)考查一次方程的解法和應用題，為避免丟分，學生應扎實掌握?！局R清單】1：等式的基本性質（☆☆）1）等式兩邊都加上（或減去）同一個數或同一個整式，所得的結果仍是等式；2）等式兩邊都乘以（或除以）同一個不等于零的數，所得的結果仍是等式；3）若a=b，b=c，則a=c（傳遞性）。2：一元一次方程（☆☆）1）方程：含有未知數的等式叫做方程．2）方程的解：使方程左右兩邊相等的未知數的值叫做方程的解；求方程的解的過程叫做解方程。3）一元一次方程：只含有一個未知數，并且未知數的次數為1，這樣的整式方程叫做一元一次方程。它的一般形式為。注意：x前面的系數不為0。4）一元一次方程的解：使一元一次方程左右兩邊相等的未知數的值叫做一元一次方程的解。5）一元一次方程的求解步驟變形名稱具體做法去分母在方程兩邊都乘以各分母的最小公倍數。去括號先去小括號，再去中括號，最后去大括號。移項把含有未知數的項都移到方程的一邊，其他項都移到方程的另一邊合并同類項把方程化成的形式系數化成1在方程兩邊都除以未知數的系數，得到方程的解為3：二元一次方程（組）（☆☆）1）二元一次方程：含有2個未知數，并且含有未知數的項的次數都是1的整式方程叫做二元一次方程。2）二元一次方程的解：使二元一次方程左右兩邊相等的未知數的值叫做二元一次方程的解。3）二元一次方程組：由兩個二元一次方程組成的方程組叫二元一次方程組。方程組中同一個字母代表同一個量，其一般形式為。4）解二元一次方程組的基本思想解二元一次方程組的基本思想是消元，即將二元一次方程組轉化為一元一次方程。5）二元一次方程組的解法（1）代入消元法：將方程中的一個未知數用含有另一個未知數的代數式表示出來，并代入另一個方程中，消去一個未知數，化二元一次方程組為一元一次方程。（2）加減消元法：將方程組中兩個方程通過適當變形后相加（或相減）消去其中一個未知數，化二元一次方程組為一元一次方程。4：一次方程（組）的實際應用（☆☆☆）1）列方程（組）解應用題的一般步驟：（1）審題；（2）設出未知數；（3）列出含未知數的等式——方程；（4）解方程（組）；（5）檢驗結果；（6）作答（不要忽略未知數的單位名稱）．2）一次方程（組）常見的應用題型（1）銷售打折問題：利潤售價-成本價；利潤率=×100％；售價=標價×折扣；銷售額=售價×數量．（2）儲蓄利息問題：利息=本金×利率×期數；本息和=本金+利息=本金×(1+利率×期數)；貸款利息=貸款額×利率×期數．（3）工程問題：工作量=工作效率×工作時間．（4）行程問題：路程=速度×時間．（5）相遇問題：全路程=甲走的路程+乙走的路程．（6）追及問題（同地不同時出發(fā)）：前者走的路程=追者走的路程．（7）追及問題（同時不同地出發(fā)）：前者走的路程+兩地間距離=追者走的路程．（8）水中航行問題：順水速度=靜水速度+水流速度；逆水速度=靜水速度-水流速度．【易錯點歸納】1.運用等式的性質2時，等式兩邊不能同時除以0，因為0不能作除數或分母。2.一元一次方程中未知數所在的式子是整式，即分母中不含未知數。3.二元一次方程有無數個解，滿足二元一次方程使得方程左右相等都是這個方程的解，但并不是說任意一對數值就是它的解。【核心考點】核心考點1.等式的基本性質例1：（2023·浙江杭州·統(tǒng)考二模）設a，b，m均為實數，（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則變式1.（2023·安徽宿州·統(tǒng)考三模）若a，b，c為互不相等的實數，且，則下列結論正確的是(

)A．B．C．D．例2：（2022·山東濱州·統(tǒng)考中考真題）在物理學中，導體中的電流Ⅰ跟導體兩端的電壓U，導體的電阻R之間有以下關系：去分母得，那么其變形的依據是（

）A．等式的性質1 B．等式的性質2 C．分式的基本性質 D．不等式的性質2變式1.（2023·福建福州·?？既＃┰诔ㄟ\算中，被除數余數商除數，小明在研究這個算法時，進行了以下操作：①．②由①得到19后，再做余數為4；③由①②得，被除數為38，余數為4，被除數余數，④由①②得，商為3，除數為，商除數；⑤根據除法逆運算公式：被除數余數商除數，可得：；⑥根據等式性質：，即顯然小明研究的步驟有誤，他第一次錯誤的步驟是．（僅填寫每一步驟前的序號）變式2.（2023·福建·統(tǒng)考模擬預測）推理是數學的基本思維方式、若推理過程不嚴謹，則推理結果可能產生錯誤．例如，有人聲稱可以證明“任意一個實數都等于0”，并證明如下：設任意一個實數為x，令，等式兩邊都乘以x，得．①等式兩邊都減，得．②等式兩邊分別分解因式，得．③等式兩邊都除以，得．④等式兩邊都減m，得x＝0.⑤所以任意一個實數都等于0.以上推理過程中，開始出現錯誤的那一步對應的序號是．例3：（2023·河北保定·?？家荒＃┤缱髨D的天平架是平衡的，其中同一種物體的質量都相等，如右圖，現將不同質量的一“○”和一個“”從通道的頂端同時放下，兩個物體等可能的向左或向右落在下面的托盤中，此時兩個托盤上物體的質量分別為和，則下列關系可能出現的是（

）A． B． C． D．變式1.（2023·河北承德·校聯(lián)考模擬預測）能運用等式的性質說明如圖事實的是（）A．如果，那么（a，b，c均不為0）B．如果，那么（a，b，c均不為0）C．如果，那么（a，b，c均不為0）D．如果，那么（a，b，c均不為0）核心考點2.一元一次方程例4：（2023·湖南永州·統(tǒng)考中考真題）關于x的一元一次方程的解為，則m的值為（

）A．3 B． C．7 D．變式1.（2023·廣東清遠·統(tǒng)考二模）下列方程中，解是的方程是（

）A． B． C． D．變式2.（2023·山東德州·九年級校考期中）已知方程是關于x的一元一次方程，則．例5：（2023·浙江·統(tǒng)考二模）以下是圓圓解方程的解答過程．解：去分母，得，去括號，得，移項，得，合并同類項，得，兩邊同除以，得．圓圓的解答過程是否有錯誤？如果有錯誤，寫出正確的解答過程．變式1．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考一模）解方程，以下去分母正確的是（

）A．B．C．D．變式2．（2023·浙江·統(tǒng)考一模）解方程：核心考點3.二元一次方程（組）例6：（2023·浙江衢州·統(tǒng)考中考真題）下列各組數滿足方程的是（

）A． B． C． D．變式1．（2023·河北秦皇島·模擬預測）若是關于x、y的二元一次方程的解，則a的值是（

）A． B． C． D．變式2．（2023·四川涼山·?？家荒＃┫铝蟹匠讨校嵌淮畏匠探M的是（

）A． B． C． D．例7：（2022·浙江臺州·中考真題）解方程組：．變式1.（2023·浙江衢州·?？家荒＃┙舛淮畏匠探M最好的做法首先采用（

）A．代入法 B．加減法 C．都可以 D．無法確定變式2．（2022·湖南株洲·中考真題）對于二元一次方程組，將①式代入②式，消去可以得到（

）A．B．C．D．變式3．（2022·廣西桂林·中考真題）解二元一次方程組：．變式4．（2023·山西大同·大同一中?？寄M預測）（1）計算：；（2）下面是小輝和小瑩兩位同學解方程組的過程，請認真閱讀并完成相應任務．解：令小輝：由②得，．③…………第一步將③代入①得，．……第二步整理得，．………………第三步解得．…………第四步將代入③，解得．………第五步∴原方程組的解為……………第六步小瑩：得，．………………第一步解得，…………第二步將代入①得，．…………第三步整理得，．………………第四步解得…………第五步∴原方程組的解為…………第六步任務一：請你從中選擇一位同學的解題過程并解答下列問題．①我選擇___________同學的解題過程，該同學第一步變形的依據是___________；②該同學從第___________開始出現錯誤，這一步錯誤的原因是___________；任務二：直接寫出該方程組的正確解；任務三：除以上兩位同學的方法，請你再寫出一種方法（不用求解）．例9：（2023·浙江杭州·?？既＃┤舴匠探M的解也是方程的解，則的值是（）A．6 B．10 C．9 D．變式1.（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考二模）如果實數x，y滿足方程組，那么．變式2．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考二模）已知二元一次方程組，則代數式變式3．（2023·江蘇無錫·校聯(lián)考一模）若二元一次方程組的解為，則．例8：（2023下·四川遂寧·七年級校聯(lián)考階段練習）解方程組：(1)(2)(3)變式1.（2023下·河南周口·七年級?？茧A段練習）方程組的解是（

）A． B． C． D．變式2．（2023下·四川成都·七年級校考期中）已知方程組，則的值是（）A．3 B．4 C．5 D．6核心考點4.一次方程（組）的實際應用例9：（2023·新疆·校聯(lián)考一模）商場按標價打八折銷售某品牌電器一件，可獲利500元，利潤率為．現如果按同一標價打九折銷售該電器一件，那么獲得的純利潤為（

）A．875元 B．750元 C．562.5元 D．550元變式1．（2023·四川成都·統(tǒng)考中考真題）《孫子算經》是中國古代重要的數學著作，是《算經十書》之一．書中記載了這樣一個題目：今有木，不知長短．引繩度之，余繩四尺五寸；屈繩量之，不足一尺．木長幾何？其大意是：用一根繩子去量一根長木，繩子還剩余尺；將繩子對折再量長木，長木還剩余尺．問木長多少尺？設木長尺，則可列方程為（

）A．B．C．D．變式2．（2023·山西大同·校聯(lián)考模擬預測）由于王亮在實驗室做實驗時，沒有找到天平稱取實驗所需藥品的質量，于是利用杠桿原理制作天平稱取藥品的質量（杠桿原理：動力動力臂阻力阻力臂）．如圖1，當天平左盤放置質量為60克的物品時，右盤中放置20克砝碼天平平衡；如圖2，將待稱量藥品放在右盤后，左盤放置12克砝碼，才可使天平再次平衡，則該藥品質量是（

）

A．6克 B．4克 C．3.5克 D．3克變式3．（2023·廣西南寧·統(tǒng)考一模）學習《設計制作長方體形狀的包裝紙盒》后，小寧從長方形硬紙片上截去兩個矩形（圖中陰影部分），再沿虛線折成一個無蓋的長方體紙盒．紙片長為，寬為，，則該紙盒的容積為（

）A． B． C． D．例10：（2021·四川資陽·統(tǒng)考中考真題）我市某中學計劃舉行以“奮斗百年路，啟航新征程”為主題的知識競賽，并對獲獎的同學給予獎勵．現要購買甲、乙兩種獎品，已知1件甲種獎品和2件乙種獎品共需40元，2件甲種獎品和3件乙種獎品共需70元．（1）求甲、乙兩種獎品的單價；（2）根據頒獎計劃，該中學需甲、乙兩種獎品共60件，且甲種獎品的數量不少于乙種獎品數量的，應如何購買才能使總費用最少？并求出最少費用．變式1．（2023·浙江杭州·?？家荒＃傲弧鼻跋?，市關工委準備為希望小學購進圖書和文具若干套，已知1套文具和3套圖書需104元，3套文具和2套圖書需116元，則1套文具和1套圖書需元．變式2．（2023·安徽宿州·統(tǒng)考模擬預測）“綠水青山就是金山銀山”，年月日是我國第個植樹節(jié)，某班組織學生在某園林基地進行植樹活動，活動開始前對若干棵樹苗進行分配，若人合作種植一棵樹苗，則還?？茫羧撕献鞣N植一棵樹苗，則還有人未分到樹苗，問共有多少棵樹苗，多少學生？變式3．（2023·山西朔州·校聯(lián)考模擬預測）太原古縣城，位于山西省太原市晉源區(qū)，是2500年晉陽古城文脈的延續(xù)．春節(jié)期間，在太原古縣城內舉辦的“錦繡太原中國年·鳳舞龍城花燈會”以及清明上河圖數字體驗館吸引了眾多游客．網上購買一張體驗館的門票比一張花燈會的門票多20元．一張體驗館的門票比現場購買少10元，一張花燈會的門票比現場購買少2元．現場購買，一張體驗館的門票比一張花燈會門票的2倍少22元．(1)請求出網上購買體驗館與花燈會的門票價格；(2)春節(jié)期間，某一購票網站搞活動，游客可以購買滿300送30元的優(yōu)惠券，若一個五口之家，通過網上購買體驗館門票和花燈會門票各5張，比現場購買便宜多少元？

例11：（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考一模）小明在超市購物時發(fā)現：顧客甲購買2瓶牛奶3個面包和5盒餅干花了32元，顧客乙購買3瓶牛奶2個面包和4盒餅干花了29元，則小明想購買4瓶牛奶1個面包和3盒餅干需要元．變式1.（2023·河北保定·統(tǒng)考二模）A，B兩個容器分別盛有部分液體，容器的底部分別有一個出水口，若從A中取出20升倒入B中，再打開兩容器的出水口，放完液體，B需要的時間是A的2倍．若將A中液體全部倒入B容器，并打開B容器的出水口，10分鐘可以放完．若將B中液體全部倒入A容器，并打開A容器的出水口，15分鐘可以放完．設開始時，A，B兩容器中液體體積分別為升、y升．下面是甲、乙、丙三位同學的分析：甲：從A中取出20升倒入B中后，B中液體是A中液體的2倍；乙：A出水口的液體流速是B出水口液體流速的；丙：，y之間滿足關系式：．其中分析正確的是（

）A．只有甲和乙 B．只有甲和丙 C．只有乙和丙 D．甲、乙丙變式2.（2023·北京平谷·統(tǒng)考二模）如圖所示，某工廠生產鏤空的鋁板雕花造型，造型由A（繡球花）、B（祥云）兩種圖案組合而成，因制作工藝不同，A、B兩種圖案成本不同，廠家提供了如下幾種設計造型，造型1的成本64元，造型2的成本42元，則造型3的成本為元；若王先生選定了一個造型1作為中心圖形，6個造型2分別位于中心圖形的四周，其余部分用個造型3填補空缺，若整個畫面中，圖案B個數不多于圖案A數的2倍，且王先生的整體設計費用不超過500元，寫出一個滿足條件的值．例12：（2021·四川瀘州·統(tǒng)考中考真題）某運輸公司有A、B兩種貨車，3輛A貨車與2輛B貨車一次可以運貨90噸，5輛A貨車與4輛B貨車一次可以運貨160噸．（1）請問1輛A貨車和1輛B貨車一次可以分別運貨多少噸？（2）目前有190噸貨物需要運輸，該運輸公司計劃安排A、B兩種貨車將全部貨物一次運完(A、B兩種貨車均滿載)，其中每輛A貨車一次運貨花費500元，每輛B貨車一次運貨花費400元．請你列出所有的運輸方案，并指出哪種運輸方案費用最少．變式1.（2023·河北石家莊·校考二模）小明為全班六一兒童節(jié)的活動準備獎品，A獎品每個2元，B獎品每個7元，購買A獎品個，B獎品個，共76元．（1）若，則；（2）若同時購買兩種獎品，則小明共有種不同的選購方案．變式2.（2023·北京昌平·統(tǒng)考二模）某旅店的客房有兩人間和三人間兩種，兩人間每間200元，三人間每間250元，某學校50人的研學團到該旅店住宿，租住了若干客房.其中男生27人，女生23人.若要求男女不能混住，且所有租住房間必須住滿.（1）要想使花費最少，需要間兩人間；（2）現旅店對兩人間打八折優(yōu)惠，且僅剩15間兩人間，此時要想花費最少，需要間三人間.考點05.一次方程（組）（精講）【命題趨勢】一次方程（組）在中考數學中較為簡單，每年考查2-3題左右，分值為10分左右。各地中考中，對于兩個方程的解法以及注意事項是必須掌握的，而在其應用上也是中考代數部分結合型較強的一類考點，也有在一次函數、二次函數的應用中解一元一次方程、二元一次方程組的工具性的考查。預計2024年各地中考還將繼續(xù)考查一次方程的解法和應用題，為避免丟分，學生應扎實掌握?！局R清單】1：等式的基本性質（☆☆）1）等式兩邊都加上（或減去）同一個數或同一個整式，所得的結果仍是等式；2）等式兩邊都乘以（或除以）同一個不等于零的數，所得的結果仍是等式；3）若a=b，b=c，則a=c（傳遞性）。2：一元一次方程（☆☆）1）方程：含有未知數的等式叫做方程．2）方程的解：使方程左右兩邊相等的未知數的值叫做方程的解；求方程的解的過程叫做解方程。3）一元一次方程：只含有一個未知數，并且未知數的次數為1，這樣的整式方程叫做一元一次方程。它的一般形式為。注意：x前面的系數不為0。4）一元一次方程的解：使一元一次方程左右兩邊相等的未知數的值叫做一元一次方程的解。5）一元一次方程的求解步驟變形名稱具體做法去分母在方程兩邊都乘以各分母的最小公倍數。去括號先去小括號，再去中括號，最后去大括號。移項把含有未知數的項都移到方程的一邊，其他項都移到方程的另一邊合并同類項把方程化成的形式系數化成1在方程兩邊都除以未知數的系數，得到方程的解為3：二元一次方程（組）（☆☆）1）二元一次方程：含有2個未知數，并且含有未知數的項的次數都是1的整式方程叫做二元一次方程。2）二元一次方程的解：使二元一次方程左右兩邊相等的未知數的值叫做二元一次方程的解。3）二元一次方程組：由兩個二元一次方程組成的方程組叫二元一次方程組。方程組中同一個字母代表同一個量，其一般形式為。4）解二元一次方程組的基本思想解二元一次方程組的基本思想是消元，即將二元一次方程組轉化為一元一次方程。5）二元一次方程組的解法（1）代入消元法：將方程中的一個未知數用含有另一個未知數的代數式表示出來，并代入另一個方程中，消去一個未知數，化二元一次方程組為一元一次方程。（2）加減消元法：將方程組中兩個方程通過適當變形后相加（或相減）消去其中一個未知數，化二元一次方程組為一元一次方程。4：一次方程（組）的實際應用（☆☆☆）1）列方程（組）解應用題的一般步驟：（1）審題；（2）設出未知數；（3）列出含未知數的等式——方程；（4）解方程（組）；（5）檢驗結果；（6）作答（不要忽略未知數的單位名稱）．2）一次方程（組）常見的應用題型（1）銷售打折問題：利潤售價-成本價；利潤率=×100％；售價=標價×折扣；銷售額=售價×數量．（2）儲蓄利息問題：利息=本金×利率×期數；本息和=本金+利息=本金×(1+利率×期數)；貸款利息=貸款額×利率×期數．（3）工程問題：工作量=工作效率×工作時間．（4）行程問題：路程=速度×時間．（5）相遇問題：全路程=甲走的路程+乙走的路程．（6）追及問題（同地不同時出發(fā)）：前者走的路程=追者走的路程．（7）追及問題（同時不同地出發(fā)）：前者走的路程+兩地間距離=追者走的路程．（8）水中航行問題：順水速度=靜水速度+水流速度；逆水速度=靜水速度-水流速度．【易錯點歸納】1.運用等式的性質2時，等式兩邊不能同時除以0，因為0不能作除數或分母。2.一元一次方程中未知數所在的式子是整式，即分母中不含未知數。3.二元一次方程有無數個解，滿足二元一次方程使得方程左右相等都是這個方程的解，但并不是說任意一對數值就是它的解?！竞诵目键c】核心考點1.等式的基本性質例1：（2023·浙江杭州·統(tǒng)考二模）設a，b，m均為實數，（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】B【分析】根據等式的性質和不等式的性質可直接進行排除選項．【詳解】解：A、若，則不一定大于，故錯誤；B、若，則，故正確；C、若，則不一定大于b，故錯誤；D、若，，則；若，，則或，故錯誤；故選：B．【點睛】本題考查了等式的性質和不等式的性質．解題的關鍵是掌握等式的性質和不等式的性質，注意等式兩邊乘同一個數或除以一個不為零的數，結果仍得等式．變式1.（2023·安徽宿州·統(tǒng)考三模）若a，b，c為互不相等的實數，且，則下列結論正確的是(

)A．B．C．D．【答案】D【分析】根據直接計算可判斷B、C錯誤；將變形求出，然后計算可判斷A錯誤，D正確．【詳解】解：∵，∴，故B、C錯誤；∵，∴，∴，∴，故A錯誤，D正確；故選：D．【點睛】本題考查等式的性質，解題的關鍵是正確的變形，等量代換．例2：（2022·山東濱州·統(tǒng)考中考真題）在物理學中，導體中的電流Ⅰ跟導體兩端的電壓U，導體的電阻R之間有以下關系：去分母得，那么其變形的依據是（

）A．等式的性質1 B．等式的性質2 C．分式的基本性質 D．不等式的性質2【答案】B【分析】根據等式的性質2可得答案．【詳解】解：去分母得，其變形的依據是等式的性質2，故選：B．【點睛】本題考查了等式的性質2：等式的兩邊同時乘以或除以同一個不為零的數，等式仍然成立．變式1.（2023·福建福州·?？既＃┰诔ㄟ\算中，被除數余數商除數，小明在研究這個算法時，進行了以下操作：①．②由①得到19后，再做余數為4；③由①②得，被除數為38，余數為4，被除數余數，④由①②得，商為3，除數為，商除數；⑤根據除法逆運算公式：被除數余數商除數，可得：；⑥根據等式性質：，即顯然小明研究的步驟有誤，他第一次錯誤的步驟是．（僅填寫每一步驟前的序號）【答案】③【分析】根據被除數余數商除數是針對同一個除法運算進行判斷即可．【詳解】解：被除數為38時，除數為2，能除盡，余數為0，故第③步錯誤，故答案為：③．【點睛】本題考查等式的基本性質，及有理數的除法運算，熟練掌握相關運算及性質是解決問題的關鍵．變式2.（2023·福建·統(tǒng)考模擬預測）推理是數學的基本思維方式、若推理過程不嚴謹，則推理結果可能產生錯誤．例如，有人聲稱可以證明“任意一個實數都等于0”，并證明如下：設任意一個實數為x，令，等式兩邊都乘以x，得．①等式兩邊都減，得．②等式兩邊分別分解因式，得．③等式兩邊都除以，得．④等式兩邊都減m，得x＝0.⑤所以任意一個實數都等于0.以上推理過程中，開始出現錯誤的那一步對應的序號是．【答案】④【分析】根據等式的性質2即可得到結論．【詳解】等式的性質2為：等式兩邊同乘或除以同一個不為0的整式，等式不變，∴第④步等式兩邊都除以，得，前提必須為，因此錯誤；故答案為：④．【點睛】本題考查等式的性質，熟知等式的性質是解題的關鍵．例3：（2023·河北保定·?？家荒＃┤缱髨D的天平架是平衡的，其中同一種物體的質量都相等，如右圖，現將不同質量的一“○”和一個“”從通道的頂端同時放下，兩個物體等可能的向左或向右落在下面的托盤中，此時兩個托盤上物體的質量分別為和，則下列關系可能出現的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分析左圖可知，1個“”的質量等于2個“○”的質量．兩個物體等可能的向左或向右落時，共有4種情況，分別計算出左邊托盤和右邊托盤的質量，即可得出和的關系．【詳解】解：由左圖可知2個“○”與1個“”的質量等于2個“”的質量，1個“”的質量等于2個“○”的質量．右圖中，兩個物體等可能的向左或向右落在下面的托盤中，共有4種情況：（1）“○”和“”都落到左邊的托盤時：左邊有3個“○”2個“”，相當于7個“○”，右邊有2個“”，相當于4個“○”，此時；（2）“○”和“”都落到右邊的托盤時：左邊有2個“○”1個“”，相當于4個“○”，右邊有3個“”1個“○”，相當于7個“○”，此時；（3）“○”落到左邊的托盤，“”落到右邊的托盤時：左邊有3個“○”1個“”，相當于5個“○”，右邊有3個“”，相當于6個“○”，此時；（4）“○”落到右邊的托盤，“”落到左邊的托盤時：左邊有2個“○”2個“”，相當于6個“○”，右邊有2個“”1個“○”，相當于5個“○”，此時；觀察四個選項可知，只有選項C符合題意，故選C．【點睛】本題考查等可能事件、等式的性質，解題的關鍵是讀懂題意，計算所有等可能情況下和的比值．變式1.（2023·河北承德·校聯(lián)考模擬預測）能運用等式的性質說明如圖事實的是（）A．如果，那么（a，b，c均不為0）B．如果，那么（a，b，c均不為0）C．如果，那么（a，b，c均不為0）D．如果，那么（a，b，c均不為0）【答案】A【分析】根據等式的性質解答即可．【詳解】解：觀察圖形，是等式的兩邊都減去c（a，b，c均不為0），利用等式性質1，得到，即如果，那么（a，b，c均不為0）．故選：A．【點睛】本題考查了等式的性質，掌握等式兩邊加或減去同一個數（或式子）結果仍得等式；等式兩邊乘同一個數或除以一個不為零的數，結果仍得等式是解題的關鍵．核心考點2.一元一次方程例4：（2023·湖南永州·統(tǒng)考中考真題）關于x的一元一次方程的解為，則m的值為（

）A．3 B． C．7 D．【答案】A【分析】把代入再進行求解即可．【詳解】解：把代入得：，解得：．故選：A．【點睛】本題主要考查了一元一次方程的解，以及解一元一次方程，解題的關鍵是掌握使一元一次方程左右兩邊相等的未知數的值是一元一次方程的解，以及解一元一次方程的方法和步驟．變式1.（2023·廣東清遠·統(tǒng)考二模）下列方程中，解是的方程是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出每個一元一次方程的解即可做出判斷．【詳解】解：A．，解得，故選項不符合題意；B．，解得，故選項不符合題意；C．，解得，故選項不符合題意；D．，解得，故選項符合題意．故選：D．【點睛】此題考查了一元一次方程的解，熟練掌握一元一次方程的解法并正確求解是解題的關鍵．變式2.（2023·山東德州·九年級校考期中）已知方程是關于x的一元一次方程，則．【答案】1【分析】本題考查一元一次方程的定義，根據一元一次方程的定義得且，進而可求解，熟練掌握一元一次方程的定義：“只含有一個未知數（元），未知數的次數都是，等號兩邊都是整式，這樣的方程叫做一元一次方程”是解題的關鍵．【詳解】解：依題意得：且，解得：，故答案為：1．例5：（2023·浙江·統(tǒng)考二模）以下是圓圓解方程的解答過程．解：去分母，得，去括號，得，移項，得，合并同類項，得，兩邊同除以，得．圓圓的解答過程是否有錯誤？如果有錯誤，寫出正確的解答過程．【答案】見解析【分析】根據解一元一次方程的步驟判斷并求解即可．【詳解】解：有錯誤，去分母時，整數沒有乘以6，正確過程：去分母，得，去括號，得，移項，得，合并同類項，得，兩邊同除以，得．【點睛】此題考查了解一元一次方程，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．變式1．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考一模）解方程，以下去分母正確的是（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】各項同時乘以運算即可．【詳解】解：，去分母得，，故選：A．【點睛】本題考查了解一元一次方程去分母．解題的關鍵在于正確的運算．變式2．（2023·浙江·統(tǒng)考一模）解方程：【答案】【分析】按照去分母，去括號，移項，合并同類項，化系數為1的步驟，進行解答即可．【詳解】解：去分母，得：，移項，得：，合并同類項，得：，系數化為1，得：．【點睛】本題主要考查了解一元一次方程，解題的關鍵是在掌握解一元一次方程的方法和步驟．核心考點3.二元一次方程（組）例6：（2023·浙江衢州·統(tǒng)考中考真題）下列各組數滿足方程的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】代入的值，逐一判斷即可解答．【詳解】解：當時，方程左邊，方程左邊方程右邊，故A符合題意；當時，方程左邊，方程左邊方程右邊，故B不符合題意；當時，方程左邊，方程左邊方程右邊，故C不符合題意；當時，方程左邊，方程左邊方程右邊，故D不符合題意；故選：A．【點睛】本題考查了二元一次方程的解，熟知使得二元一次方程兩邊的值相等的兩位未知數是二元一次方程的解，是解題的關鍵．變式1．（2023·河北秦皇島·模擬預測）若是關于x、y的二元一次方程的解，則a的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】將代入原方程，可得出關于a的一元一次方程，解之即可得出a的值．【詳解】將代入原方程，可得：，解得：故選：C【點睛】本題考查了二元一次方程的解，能夠將方程的解代入原方程是解題的關鍵．變式2．（2023·四川涼山·?？家荒＃┫铝蟹匠讨?，是二元一次方程組的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據二元一次方程組的定義解答．【詳解】解：A中含有兩個未知數，含未知數的項的最高次數為2，故不符合定義；B符合定義，故是二元一次方程組；C中含有分式，故不符合定義；D含有三個未知數，故不符合定義；故選：B．【點睛】此題考查了二元一次方程組定義：含有兩個未知數，且含有未知數的項的最高次數為2的整式方程是二元一次方程組，熟記定義是解題的關鍵．例7：（2022·浙江臺州·中考真題）解方程組：．【答案】【分析】用加減消元法解二元一次方程組即可；【詳解】．解：，得．把代入①，得．∴原方程組的解為．【點睛】本題考查了二元一次方程組的解法，本題使用加減消元法比較簡單，當然使用代入消元求解二元一次方程組亦可．變式1.（2023·浙江衢州·?？家荒＃┙舛淮畏匠探M最好的做法首先采用（

）A．代入法 B．加減法 C．都可以 D．無法確定【答案】B【分析】觀察方程中的y的系數特點為互為相反數，即可得出最好的解法．【詳解】解：解二元一次方程組最好的做法首先采用加減消元法，故選B【點睛】本題考查解二元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元法．變式2．（2022·湖南株洲·中考真題）對于二元一次方程組，將①式代入②式，消去可以得到（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】將①式代入②式消去去括號即可求得結果．【詳解】解：將①式代入②式得，，故選B．【點睛】本題考查了代入消元法求解二元一次方程組，熟練掌握代入消元法是解題的關鍵．變式3．（2022·廣西桂林·中考真題）解二元一次方程組：．【答案】【分析】利用加減消元法可解答．【詳解】解：①+②得：2x＝4，∴x＝2，把x＝2代入①得：2﹣y＝1，∴y＝1，∴原方程組的解為：．【點睛】本題考查二元一次方程組的解法，熟練掌握加減消元法解二元一次方程組是解題的關鍵．變式4．（2023·山西大同·大同一中?？寄M預測）（1）計算：；（2）下面是小輝和小瑩兩位同學解方程組的過程，請認真閱讀并完成相應任務．解：令小輝：由②得，．③…………第一步將③代入①得，．……第二步整理得，．………………第三步解得．…………第四步將代入③，解得．………第五步∴原方程組的解為……………第六步小瑩：得，．………………第一步解得，…………第二步將代入①得，．…………第三步整理得，．………………第四步解得…………第五步∴原方程組的解為…………第六步任務一：請你從中選擇一位同學的解題過程并解答下列問題．①我選擇___________同學的解題過程，該同學第一步變形的依據是___________；②該同學從第___________開始出現錯誤，這一步錯誤的原因是___________；任務二：直接寫出該方程組的正確解；任務三：除以上兩位同學的方法，請你再寫出一種方法（不用求解）．【答案】（1）；（2）①小輝；等式的基本性質1（或等式的兩邊同時加（或減）同一個代數法，所得結果仍是等式）；②三；去括號時，括號外是“”號，去年括號后未給括號內的第二項進行變號；任務二：；任務三：【分析】（1）根據負整數指數冪，有理數的乘方以及特殊角的三角函數值進行計算即可求解；（2）任務一：①根據小輝或小瑩的解法分析，根據等式的基本性質1即可求解；②根據去括號時，括號外是“”號，去年括號后未給括號內的第二項進行變號；任務二：根據加減消元法解二元一次方程組；任務三：，加減消元法解二元一次方程組即可求解．【詳解】解：原式；（2）任務一：①小輝；等式的基本性質1（或等式的兩邊同時加（或減）同一個代數法，所得結果仍是等式）；②三；去括號時，括號外是“”號，去年括號后未給括號內的第二項進行變號；或①小瑩；等式的基本性質1（或等式的兩邊同時加（或減）同一個代數式，所得結果仍是等式）；②四；移項未變號；任務二：令得，解得：將代入①得，解得：正確的解為任務三：．得解得：，代入①得，解得：【點睛】本題考查了負整數指數冪，有理數的乘方以及特殊角的三角函數值，解二元一次方程組，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．例9：（2023·浙江杭州·?？既＃┤舴匠探M的解也是方程的解，則的值是（）A．6 B．10 C．9 D．【答案】D【分析】先解二元一次方程組，再將二元一次方程組的解代入，求解即可得到答案．【詳解】解：，②①得：，，將代入①得：，，方程組的解為，將代入得：，，故選：D．【點睛】本題主要考查了解二元一次方程組及二元一次方程組的解，熟練掌握解二元一次方程組的解法是解題的關鍵．變式1.（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考二模）如果實數x，y滿足方程組，那么．【答案】【分析】把分解因式，再整體代入即可．【詳解】解：∵實數x，y滿足方程組，∴；故答案為：【點睛】本題考查的是利用平方差公式分解因式，二元一次方程組的解的含義，熟記平方差公式是解本題的關鍵．變式2．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考二模）已知二元一次方程組，則代數式【答案】6【分析】將兩個方程相加，可得，等式兩邊同時除以2，可得代數式的值．【詳解】解：兩個方程相減，得，即，兩邊同時除以2，得．故答案為：6．【點睛】本題主要考查了解二元一次方程組，解題關鍵是將看作一個整體，可以使計算簡便．變式3．（2023·江蘇無錫·校聯(lián)考一模）若二元一次方程組的解為，則．【答案】【分析】把、的值代入方程組，再將兩式相加即可求出的值．【詳解】解：將代入方程組，得：，得：，，故答案為：．【點睛】本題考查二元一次方程組的解，解題的關鍵是觀察兩方程的系數，從而求出的值．例8：（2023下·四川遂寧·七年級校聯(lián)考階段練習）解方程組：(1)(2)(3)【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）用加減消元法先算出x的值，然后代入計算y即可；（2）先化簡方程組，然后用加減消元法算出x的值，代入計算y值即可；（3）先將后邊兩個方程相加，得到一個和x，y相關的方程，在和第一個方程聯(lián)立求解x，y，在代入求z即可．【詳解】（1），可得：，解得：，將代入可得：，∴原方程組的解是；（2）化簡原方程組可得：，可得：，解得：，將代入可得：∴原方程組的解是；（3），可得：，可得：，解得：，將代入可得：，將，代入可得：，∴原方程組的解是：．【點睛】本題主要考查解二元一次方程組和三元一次方程組，選擇合適的消元法解方程是解題的關鍵．變式1.（2023下·河南周口·七年級?？茧A段練習）方程組的解是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據加減消元法求解即可．【詳解】解：，由得：，解得：．由得：，解得：．由得：，解得：．故原方程組的解為．故選D．【點睛】本題考查解三元一次方程組，掌握解三元一次方程組的方法和步驟是解題關鍵．變式2．（2023下·四川成都·七年級?？计谥校┮阎匠探M，則的值是（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】利用解方程中的整體思想，進行計算即可解答．．【詳解】解：，得：，∴．故選：A．【點睛】本題考查解三元一次方程組．理解和掌握解方程過程中的整體思想是解題的關鍵．核心考點4.一次方程（組）的實際應用例9：（2023·新疆·校聯(lián)考一模）商場按標價打八折銷售某品牌電器一件，可獲利500元，利潤率為．現如果按同一標價打九折銷售該電器一件，那么獲得的純利潤為（

）A．875元 B．750元 C．562.5元 D．550元【答案】A【分析】先根據打八折后獲利500元，利潤率為，求出該電器成本價，設該電器售價為x，列出方程，求出x的值，即可求出該電器打九折后獲得利潤．【詳解】解：該電器成本為：，設該電器售價為x，，解得：，∴該電器打九折后獲得利潤為：（元），故選：A．【點睛】本題主要考查了一元一次方程的實際應用，解題的關鍵是正確理解題意，根據題意找出等量關系，列出方程求解．變式1．（2023·四川成都·統(tǒng)考中考真題）《孫子算經》是中國古代重要的數學著作，是《算經十書》之一．書中記載了這樣一個題目：今有木，不知長短．引繩度之，余繩四尺五寸；屈繩量之，不足一尺．木長幾何？其大意是：用一根繩子去量一根長木，繩子還剩余尺；將繩子對折再量長木，長木還剩余尺．問木長多少尺？設木長尺，則可列方程為（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】設木長尺，根據題意“用一根繩子去量一根長木，繩子還剩余尺；將繩子對折再量長木，長木還剩余尺”，列出一元一次方程即可求解．【詳解】解：設木長尺，根據題意得，，故選：A【點睛】本題考查了一元一次方程的應用，根據題意列出方程是解題的關鍵．變式2．（2023·山西大同·校聯(lián)考模擬預測）由于王亮在實驗室做實驗時，沒有找到天平稱取實驗所需藥品的質量，于是利用杠桿原理制作天平稱取藥品的質量（杠桿原理：動力動力臂阻力阻力臂）．如圖1，當天平左盤放置質量為60克的物品時，右盤中放置20克砝碼天平平衡；如圖2，將待稱量藥品放在右盤后，左盤放置12克砝碼，才可使天平再次平衡，則該藥品質量是（

）

A．6克 B．4克 C．3.5克 D．3克【答案】B【分析】根據動力動力臂阻力阻力臂，得，設該藥品質量是x克，據此由題意可列方程為，求解即可．【詳解】解：設該藥品質量是x克，由題意，得，解得：，答：該藥品質量是4克．故選：B．【點睛】本題考查一元一次方程的應用，理解題意，找出等量關系，列出方程是解題的關鍵．變式3．（2023·廣西南寧·統(tǒng)考一模）學習《設計制作長方體形狀的包裝紙盒》后，小寧從長方形硬紙片上截去兩個矩形（圖中陰影部分），再沿虛線折成一個無蓋的長方體紙盒．紙片長為，寬為，，則該紙盒的容積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設，則，列出關于x的方程并求解，再計算該紙盒的容積．【詳解】解：設，則，，解得：，所以，則長方體的底面寬為：，所以該紙盒的容積為：故選：D【點睛】此題主要考查了展開圖折疊成幾何體及一元一次方程應用，解題的關鍵是正確題意，然后根據題目的數量關系列出代數式解決問題．例10：（2021·四川資陽·統(tǒng)考中考真題）我市某中學計劃舉行以“奮斗百年路，啟航新征程”為主題的知識競賽，并對獲獎的同學給予獎勵．現要購買甲、乙兩種獎品，已知1件甲種獎品和2件乙種獎品共需40元，2件甲種獎品和3件乙種獎品共需70元．（1）求甲、乙兩種獎品的單價；（2）根據頒獎計劃，該中學需甲、乙兩種獎品共60件，且甲種獎品的數量不少于乙種獎品數量的，應如何購買才能使總費用最少？并求出最少費用．【答案】（1）甲種獎品的單價為20元，乙種獎品的單價為10元；（2）購買甲種獎品20件，乙種獎品40件時總費用最少，最少費用為800元．【分析】（1）設甲種獎品的單價為x元，乙種獎品的單價為y元，根據題意列方程組求出x、y的值即可得答案；（2）設總費用為w元，購買甲種獎品為m件，根據甲種獎品的數量不少于乙種獎品數量的可得m的取值范圍，根據需甲、乙兩種獎品共60件可得購買乙種獎品為（60-m）件，根據（1）中所求單價可得w與m的關系式，根據一次函數的性質即可得答案．【詳解】（1）設甲種獎品的單價為x元，乙種獎品的單價為y元，∵1件甲種獎品和2件乙種獎品共需40元，2件甲種獎品和3件乙種獎品共需70元，∴，解得：，答：甲種獎品的單價為20元，乙種獎品的單價為10元．（2）設總費用為w元，購買甲種獎品為m件，∵需甲、乙兩種獎品共60件，∴購買乙種獎品為（60-m）件，∵甲種獎品的單價為20元，乙種獎品的單價為10元，∴w=20m+10（60-m）=10m+600，∵甲種獎品的數量不少于乙種獎品數量的，∴m≥（60-m），∴20≤m≤60，∵10>0，∴w隨m的增大而增大，∴當m=20時，w有最小值，最小值為10×20+600=800（元），∴購買甲種獎品20件，乙種獎品40件時總費用最少，最少費用為800元．【點睛】本題考查二元一次方程組的應用、一元一次不等式的應用及一次函數的應用，正確得出等量關系及不等關系列出方程組及不等式，熟練掌握一次函數的性質是解題關鍵．變式1．（2023·浙江杭州·?？家荒＃傲弧鼻跋?，市關工委準備為希望小學購進圖書和文具若干套，已知1套文具和3套圖書需104元，3套文具和2套圖書需116元，則1套文具和1套圖書需元．【答案】48【分析】設1套文具的價格為x元，一套圖書的價格為y元，根據“1套文具和3套圖書需104元，3套文具和2套圖書需116元”，即可得出關于x、y的二元一次方程組，解之即可得出x、y的值，將其代入中，即可得出結論．【詳解】解：設1套文具的價格為x元，一套圖書的價格為y元，根據題意得：，解得：，∴．故答案為：48．【點睛】本題考查二元一次方程組的應用，找準等量關系，列出關于x、y的二元一次方程組是解題的關鍵變式2．（2023·安徽宿州·統(tǒng)考模擬預測）“綠水青山就是金山銀山”，年月日是我國第個植樹節(jié)，某班組織學生在某園林基地進行植樹活動，活動開始前對若干棵樹苗進行分配，若人合作種植一棵樹苗，則還?？茫羧撕献鞣N植一棵樹苗，則還有人未分到樹苗，問共有多少棵樹苗，多少學生？【答案】共有14棵樹苗，44名學生．【分析】設共有棵樹苗，名學生，根據若人合作種植一棵樹苗，則還?？?，若人合作種植一棵樹苗，則還有人未分到樹苗．列出二元一次方程組，解方程組即可．、【詳解】解：設共有棵樹苗，名學生，由題意等：，解得：，答：共有棵樹苗，名學生．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用，找準等量關系，正確列出二元一次方程組是解題的關鍵．變式3．（2023·山西朔州·校聯(lián)考模擬預測）太原古縣城，位于山西省太原市晉源區(qū)，是2500年晉陽古城文脈的延續(xù)．春節(jié)期間，在太原古縣城內舉辦的“錦繡太原中國年·鳳舞龍城花燈會”以及清明上河圖數字體驗館吸引了眾多游客．網上購買一張體驗館的門票比一張花燈會的門票多20元．一張體驗館的門票比現場購買少10元，一張花燈會的門票比現場購買少2元．現場購買，一張體驗館的門票比一張花燈會門票的2倍少22元．

(1)請求出網上購買體驗館與花燈會的門票價格；(2)春節(jié)期間，某一購票網站搞活動，游客可以購買滿300送30元的優(yōu)惠券，若一個五口之家，通過網上購買體驗館門票和花燈會門票各5張，比現場購買便宜多少元？【答案】(1)網上購買體驗館與花燈會的門票價格分別為68元和48元(2)90【分析】（1）設網上購買體驗館與花燈會的門票價格分別為元和元，可得到現場購買的價格，再根據網上購買體驗館與花燈會門票的價格關系與現場購買體驗館與花燈會門票的價格關系建立二元一次方程組，解方程組即可得到答案；（2）分別計算出現場購買的價格，計算出現場購買的總價，再計算出網上購買的總價，減去優(yōu)惠卷的額度，得到網上購買優(yōu)惠后的價格，即可求得答案．【詳解】（1）解：設網上購買體驗館與花燈會的門票價格分別為元和元，則現場購買體驗館的門票價格為：元，現場購買花燈會的門票價格為：元；∵網上購買一張體驗館的門票比一張花燈會的門票多20元，∴，∵現場購買，一張體驗館的門票比一張花燈會門票的2倍少22元，∴，∴，解方程組得：，∴網上購買體驗館與花燈會的門票價格分別為68元和48元；（2）解：根據（1）得現場購買體驗館的門票價格為78元，現場購買花燈會的門票價格為50元，∴現場購買體驗館門票和花燈會門票各5張的價格為元，網上購買體驗館門票和花燈會門票各5張的價格為元，∵游客可以購買滿300送30元的優(yōu)惠券，∴網上購買體驗館門票和花燈會門票各5張的價格為元，∴比現場購買便宜元．【點睛】本題考查二元一次方程組的應用，解題的關鍵是根據題意建立正確的方程組．例11：（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考一模）小明在超市購物時發(fā)現：顧客甲購買2瓶牛奶3個面包和5盒餅干花了32元，顧客乙購買3瓶牛奶2個面包和4盒餅干花了29元，則小明想購買4瓶牛奶1個面包和3盒餅干需要元．【答案】26【分析】設1瓶牛奶x元，1個面包y元，1盒餅干z元，根據題意列出三元一次方程組，然后利用即可求解．【詳解】設1瓶牛奶x元，1個面包y元，1盒餅干z元，∴，∴得，．∴小明想購買4瓶牛奶1個面包和3盒餅干需要26元．故答案為：26．【點睛】此題考查了三元一次方程組的應用，解題的關鍵是設出未知數列出方程．變式1.（2023·河北保定·統(tǒng)考二模）A，B兩個容器分別盛有部分液體，容器的底部分別有一個出水口，若從A中取出20升倒入B中，再打開兩容器的出水口，放完液體，B需要的時間是A的2倍．若將A中液體全部倒入B容器，并打開B容器的出水口，10分鐘可以放完．若將B中液體全部倒入A容器，并打開A容器的出水口，15分鐘可以放完．設開始時，A，B兩容器中液體體積分別為升、y升．下面是甲、乙、丙三位同學的分析：甲：從A中取出20升倒入B中后，B中液體是A中液體的2倍；乙：A出水口的液體流速是B出水口液體流速的；丙：，y之間滿足關系式：．其中分析正確的是（

）A．只有甲和乙 B．只有甲和丙 C．只有乙和丙 D．甲、乙丙【答案】C【分析】根據題意得出A容器的流速是B容器流速的，然后列出相應關系式即可．【詳解】解：∵若將A中液體全部倒入B容器，并打開B容器的出水口，10分鐘可以放完，若將B中液體全部倒入A容器，并打開A容器的出水口，15分鐘可以放完，∴A容器的流速是B容器流速的，∴相同時間流出的液體，A容器是B容器的，∴，整理得，故選C．【點睛】題目主要考查二元一次方程的應用，理解題意是解題關鍵．變式2.（2023·北京平谷·統(tǒng)考二模）如圖所示，某工廠生產鏤空的鋁板雕花造型，造型由A（繡球花）、B（祥云）兩種圖案組合而成，因制作工藝不同，A、B兩種圖案成本不同，廠家提供了如下幾種設計造型，造型1的成本64元，造型2的成本42元，則造型3的成本為元；若王先生選定了一個造型1作為中心圖形，6個造型2分別位于中心圖形的四周，其余部分用個造型3填補空缺，若整個畫面中，圖案B個數不多于圖案A數的2倍，且王先生的整體設計費用不超過500元，寫出一個滿足條件的值．【答案】226（答案不唯一，6，7，8均可）【分析】設A種圖案成本每個x元，B種圖案成本每個y元，根據造型1的成本64元，造型2的成本42元，列方程組，則由造型3的成本為元；再根據圖案的個數不多于圖案個數的2倍，且整體設計費用不超過