第2課時(shí)橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程(2)學(xué)習(xí)目標(biāo)1．初步體驗(yàn)并利用相關(guān)點(diǎn)法求解與橢圓有關(guān)的曲線的軌跡方程問題．2．了解直譯法在求解橢圓(或圓錐曲線)軌跡方程問題中的思路過程．典例精講能力初成探究1定義法求軌跡例1已知圓F1，圓F2的圓心分別為點(diǎn)F1(－2，0)，F(xiàn)2(2，0)，半徑分別為r1，r2，且r1＝2，r2＝6；圓P的圓心為點(diǎn)P(x，y)，半徑為r．(1)寫出圓F1，圓F2的標(biāo)準(zhǔn)方程，并判斷其位置關(guān)系；(2)若圓P與圓F1外切且圓P與圓F2內(nèi)切，求圓心P的軌跡方程．探究2相關(guān)點(diǎn)法求軌跡例2如圖，線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)A，B分別在x軸、y軸上滑動，|AB|＝6，M是AB上一點(diǎn)，且|AM|＝2，求點(diǎn)M的軌跡方程．(例2)變式2如圖，從圓x2＋y2＝25上任意一點(diǎn)P向x軸作垂線段PP1，且線段PP1上一點(diǎn)M滿足|PP1|∶|P1M|＝5∶3，求點(diǎn)M的軌跡方程．(變式2)橢圓的軌跡問題的求法(1)定義法：如果動點(diǎn)P的運(yùn)動規(guī)律符合已知的某種曲線(如圓、橢圓等)的定義，那么可先設(shè)出軌跡方程，再根據(jù)已知條件，用待定系數(shù)法求出方程中的參數(shù)，即可得到動點(diǎn)P的軌跡方程；(2)直譯法：如果難以判斷動點(diǎn)P的運(yùn)動規(guī)律是否符合我們熟知的某些曲線的定義，但易于建立點(diǎn)P滿足的等量關(guān)系，那么可以先表示出點(diǎn)P所滿足的幾何上的等量關(guān)系，再用點(diǎn)P的坐標(biāo)表示該等量關(guān)系式，即可得到動點(diǎn)P的軌跡方程；(3)相關(guān)點(diǎn)法：如果動點(diǎn)P的運(yùn)動是由另外某一點(diǎn)P′的運(yùn)動引發(fā)的，而點(diǎn)P′的運(yùn)動規(guī)律已知(點(diǎn)P′的坐標(biāo)滿足某已知曲線的方程)，那么可以設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)(x，y)，并用x，y表示出相關(guān)點(diǎn)P′的坐標(biāo)，然后把點(diǎn)P′的坐標(biāo)代入已知曲線的方程，即可得到動點(diǎn)P的軌跡方程．探究3直譯法求軌跡例3已知△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是(－6，0)，(6，0)，邊AC，BC所在直線的斜率之積等于－eq\f(4,9)，求頂點(diǎn)C的軌跡方程．隨堂內(nèi)化及時(shí)評價(jià)1．已知|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝3，點(diǎn)A，B分別在y軸和x軸上運(yùn)動，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．若eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(OB,\s\up6(→))，則點(diǎn)P的軌跡方程為()A．eq\f(x2,4)＋y2＝1 B．x2＋eq\f(y2,4)＝1C．eq\f(x2,9)＋y2＝1 D．x2＋eq\f(y2,9)＝12．如圖，P為圓B：(x＋2)2＋y2＝36上一動點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2，0)，線段AP的垂直平分線交BP于點(diǎn)Q，求點(diǎn)Q的軌跡方程．(第2題)已知點(diǎn)M(4，0)，N(1，0)，若動點(diǎn)P滿足eq\o(MN,\s\up6(→))·eq\o(MP,\s\up6(→))＝6|eq\o(PN,\s\up6(→))|，求動點(diǎn)P的軌跡方程．4．已知圓F1：(x＋1)2＋y2＝16，定點(diǎn)F2(1，0)，動圓M過點(diǎn)F2，且與圓F1相內(nèi)切，求圓心M的軌跡方程．配套新練案一、單項(xiàng)選擇題1．已知△ABC的周長是20，且頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0，－4)，C的坐標(biāo)為(0，4)，那么頂點(diǎn)A的軌跡方程是()A．eq\f(x2,20)＋eq\f(y2,36)＝1 B．eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,20)＝1(x≠0)C．eq\f(x2,20)＋eq\f(y2,36)＝1(x≠0) D．eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,20)＝12．已知橢圓C：eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在橢圓C上，若|PF1|＝2，則∠F1PF2等于()A．30° B．45°C．60° D．120°3．已知橢圓C：eq\f(x2,4)＋y2＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在橢圓C上，則|PF1|·|PF2|的最大值為()A．2 B．2eq\r(2)C．4 D．84．(2024·新高考Ⅱ卷)已知曲線C：x2＋y2＝16(y＞0)，從曲線C上任意一點(diǎn)P向x軸作垂線段PP′，P′為垂足，則線段PP′的中點(diǎn)M的軌跡方程為()A．eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1(y＞0) B．eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,8)＝1(y＞0)C．eq\f(y2,16)＋eq\f(x2,4)＝1(y＞0) D．eq\f(y2,16)＋eq\f(x2,8)＝1(y＞0)二、多項(xiàng)選擇題5．若方程eq\f(x2,5－m)＋eq\f(y2,m－1)＝1所表示的曲線為C，則()A．曲線C可能是圓B．若曲線C為橢圓，且焦點(diǎn)在x軸上，則1＜m＜3C．若1＜m＜5，則曲線C為橢圓D．當(dāng)m＝2時(shí)，曲線C表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，焦距為eq\r(2)6．《文心雕龍》中說：“造化賦形，支體必雙；神理為用，事不孤立．”意思是自然界的事物都是成雙成對的．已知動點(diǎn)P與定點(diǎn)F(4，0)的距離和它到定直線l：x＝eq\f(25,4)的距離的比是常數(shù)eq\f(4,5)．若某條直線上存在這樣的點(diǎn)P，則稱該直線為“成雙直線”．則下列結(jié)論正確的是()A．動點(diǎn)P的軌跡方程為eq\f(x2,24)＋eq\f(y2,8)＝1B．直線l1：2x－y－5＝0為成雙直線C．若直線y＝kx與點(diǎn)P的軌跡相交于A，B兩點(diǎn)，M為點(diǎn)P的軌跡上不同于A，B的一點(diǎn)，且直線MA，MB的斜率分別為k1，k2，則k1·k2＝－eq\f(9,25)D．若M為點(diǎn)P的軌跡上的任意一點(diǎn)，Q(－4，0)，∠FMQ＝60°，則△MFQ的面積為9eq\r(3)三、填空題7．古希臘數(shù)學(xué)家帕普斯在他的《數(shù)學(xué)匯編》中探討了圓錐曲線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線的性質(zhì)：平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離和到定直線的距離成一定比例的所有點(diǎn)的軌跡是一圓錐曲線．這就是圓錐曲線的第二定義或稱為統(tǒng)一定義．若平面內(nèi)一動點(diǎn)P(x，y)到定點(diǎn)A(1，0)的距離和到定直線x＝4的距離之比是eq\f(1,2)，則點(diǎn)P的軌跡方程為．8．已知一動圓與圓x2＋y2＋6x＋5＝0外切，同時(shí)與圓x2＋y2－6x－91＝0內(nèi)切，則動圓圓心的軌跡方程為．四、解答題9．已知△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)分別是B(0，6)和C(0，－6)，邊AB，AC所在直線的斜率的乘積是－eq\f(2,3)，求頂點(diǎn)A的軌跡方程．10．如圖，在圓C：(x＋1)2＋y2＝25內(nèi)有一點(diǎn)A(1，0)，Q為圓C上一點(diǎn)，AQ的垂直平分線與C，Q的連線交于點(diǎn)M，求點(diǎn)M的軌跡方程．(第10題)11．已知F是橢圓C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的左焦點(diǎn)，P為橢圓C上任意一點(diǎn)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(1，1)，則|PQ|＋|PF|的最大值為()A．3 B．5C．eq\r(41) D．1312．如圖，把