微專題3隱圓問題典例剖析素養(yǎng)初現(xiàn)拓展1阿波羅尼斯圓例1已知兩個定點A(－2，0)，B(4，0)，若動點P滿足eq\f(|PA|,|PB|)＝eq\f(1,2)，求動點P的軌跡．阿波羅尼斯圓的定義：在平面上給定相異的兩點A，B，設(shè)點P在同一平面上且滿足eq\f(|PA|,|PB|)＝λ(λ≠1)，則點P的軌跡是一個圓，這個圓稱為阿波羅尼斯圓，簡稱為阿氏圓．(1)阿波羅尼斯圓的圓心C在直線AB上，半徑為eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(λ,λ2－1)))|AB|；(2)阿波羅尼斯圓的圓心C一定不在點A，B之間，且|CA|·|CB|等于半徑的平方．拓展2其他形式的隱圓例2(1)已知圓C：(x－a)2＋(y－a＋2)2＝1，點A(0，2)，若圓C上存在點M，滿足|MA|2＋|MO|2＝10，則實數(shù)a的取值范圍是．(2)若直線l1：kx－y＋2＝0與直線l2：x＋ky－2＝0交于點P，則當(dāng)實數(shù)k變化時，點P到直線x－y－4＝0的距離的最大值為．(3)若圓x2＋y2＝6上的兩個動點A，B滿足|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝2eq\r(2)，點M在圓x2＋y2＝16上運動，則|eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))|的最小值為．(4)(多選)已知點A(－1，0)，B(1，0)，若圓(x－2a＋1)2＋(y－2a－2)2＝1上存在點M滿足eq\o(MA,\s\up6(→))·eq\o(MB,\s\up6(→))＝3，則實數(shù)a的值可能為()A．－2 B．－1C．2 D．0(5)已知a，b均為單位向量，且夾角為eq\f(π,3)，若向量c滿足(c－2a)·(c－b)＝0，則|c|的最大值為()A．eq\f(7＋\r(3),2) B．eq\f(\r(7)－\r(3),2)C．eq\f(\r(11)＋\r(7),2) D．eq\f(\r(7)＋\r(3),2)圓的方程是?？純?nèi)容，但有些時候，條件中不會直接給出圓的相關(guān)信息，而是將信息隱藏在題目中，要通過分析和轉(zhuǎn)化，發(fā)現(xiàn)圓(或圓的方程)，從而可以利用圓的知識來求解，我們稱這類問題為“隱圓”問題．如何發(fā)現(xiàn)隱圓(或圓的方程)是關(guān)鍵，常見的模型如下：模型一：利用圓的定義(到定點的距離等于定長的點的軌跡)確定隱圓；模型二：利用動點P對兩定點A，B的張角是90°(即直線PA，PB的斜率存在時，kPA·kPB＝－1或直線PA，PB中一條直線的傾斜角為0°，另一條直線的傾斜角為90°，也即eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝0)確定隱圓；模型三：利用兩定點A，B，動點P滿足eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝λ確定隱圓；模型四：利用兩定點A，B，動點P滿足|PA|2＋|PB|2是定值確定隱圓．隨堂內(nèi)化及時評價1．已知定點A(－2，0)，B(2，0)，動點C滿足|AC|＝2|BC|，那么動點C的軌跡為一個阿波羅尼斯圓，記此圓為圓P．若點D在圓P上(點D在第一象限)，AD交圓P于點E，連接EB并延長交圓P于點F，連接DF，則當(dāng)∠DFE＝30°時，直線AD的斜率為()A．eq\f(\r(39),13) B．eq\f(\r(26),13)C．eq\f(\r(3),4) D．eq\f(\r(13),4)2．已知點A(－1，0)，B(1，0)．若圓(x－a＋1)2＋(y－a－2)2＝1上存在點M滿足eq\o(MA,\s\up6(→))·eq\o(MB,\s\up6(→))＝8，則實數(shù)a的值不可能為()A．－2 B．－1C．0 D．33．已知圓O：x2＋y2＝1和圓O1：(x－2)2＋y2＝1，過動點P分別作圓O，圓O1的切線PA，PB(A，B為切點)，且|PA|2＋|PB|2＝18，則|PA|的最大值為．4．已知向量a，b，c滿足|a|＝4，|b|＝2eq\r(2)，〈a，b〉＝eq\f(π,4)，(c－a)·(c－b)＝－1，則|c－a|的最大值為．配套新練案一、單項選擇題1．如果圓(x－a)2＋(y－1)2＝1上總存在兩個點到原點的距離為2，那么實數(shù)a的取值范圍是()A．(－2eq\r(2)，0)∪(0，2eq\r(2)) B．(－2eq\r(2)，2eq\r(2))C．(－1，0)∪(0，1) D．(－1，1)2．已知點A(1－m，0)，B(1＋m，0)，若圓C：x2＋y2－8x－8y＋31＝0上存在點P，使得PA⊥PB，則實數(shù)m的最大值是()A．4 B．5C．6 D．73．設(shè)向量a，b，c滿足|a|＝|b|＝1，a·b＝eq\f(1,2)，(a－c)·(b－c)＝0，則|c|的最小值是()A．eq\f(\r(3)＋1,2) B．eq\f(\r(3)－1,2)C．eq\r(3) D．14．已知點O(0，0)，A(3，0)，動點P滿足eq\f(|PA|,|PO|)＝2，那么動點P的軌跡與圓(x－1)2＋y2＝1的位置關(guān)系是()A．外離 B．外切C．相交 D．內(nèi)切二、填空題5．已知圓C：(x＋1)2＋(y－2)2＝1，點A(－1，0)，B(1，0)．設(shè)P是圓C上的動點，令d＝|PA|2＋|PB|2，則d的最小值為．6．已知點A(2，0)，圓C：(x－a－1)2＋(y－eq\r(3)a)2＝1上存在一點P，使得eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PO,\s\up6(→))＝3，則實數(shù)a的取值范圍是．7．已知圓C：(x－2)2＋y2＝2，直線l：y＝k(x＋2)，若直線l與x軸交于點A，過直線l上一點P作圓C的切線，切點為T，且|PA|＝eq\r(2)|PT|，則點P的軌跡方程是，實數(shù)k的取值范圍是．8．(2025·徐州期末)已知點A(0，2)，若圓(x－a)2＋(y－a＋4)2＝1上存在一點P，使得|PO|2＋|PA|2＝34(O為坐標(biāo)原點)，則實數(shù)a的取值范圍是．三、解答題9．如圖，A，B是兩個垃圾中轉(zhuǎn)站，B在A的正東方向16km處，AB的南面為居民生活區(qū)．為了妥善處理生活垃圾，政府決定在AB的北面建一個垃圾發(fā)電廠P．垃圾發(fā)電廠P的選址擬滿足以下兩個要求(A，B，P可看成三個點)：