第二章

直線和圓的方程2.5直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系第3課時(shí)圓與圓的位置關(guān)系學(xué)習(xí)目標(biāo)1．掌握利用圓心距和半徑之間的大小關(guān)系判定圓與圓的位置關(guān)系的方法．2．能根據(jù)兩圓的位置關(guān)系，求有關(guān)直線或圓的方程．新知初探·基礎(chǔ)落實(shí)一、

概念表述方程組的解的組數(shù)210兩圓的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)_______________兩圓的位置關(guān)系____________________________________210相交外切或內(nèi)切外離或內(nèi)含2．(幾何法)若兩圓的半徑分別為r1，r2，兩圓的圓心距為d，則兩圓的位置關(guān)系的判斷方法如下：位置關(guān)系圖示d與r1，r2的關(guān)系外離

___________外切

___________d＞r1＋r2d＝r1＋r2位置關(guān)系圖示d與r1，r2的關(guān)系相交

_______________________內(nèi)切

_______________|r1－r2|＜d＜r1＋r2d＝|r1－r2|位置關(guān)系圖示d與r1，r2的關(guān)系內(nèi)含

_______________d＜|r1－r2|二、

概念辨析：判斷正誤，正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”．(1)若兩圓沒(méi)有公共點(diǎn)，則兩圓一定外離． (

)(2)若兩圓外切，則兩圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，反之也成立． (

)(3)若兩圓有公共點(diǎn)，則兩圓相交． (

)(4)若兩圓有公共點(diǎn)，半徑分別為r1，r2，圓心距為d，則|r1－r2|≤d≤r1＋r2．

(

)×××√典例精講·能力初成探究1圓與圓的位置關(guān)系的判定

(教材P96例5補(bǔ)充)(1)圓C1：x2＋y2＋4x＝0與圓C2：(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置關(guān)系為_(kāi)_______．1【解析】相交

(2)若圓x2＋y2＝1與圓x2＋y2－6x－8y－m＝0相切，則實(shí)數(shù)m的值為_(kāi)__________．1【解析】－9或11探究2兩圓相交問(wèn)題已知圓C1：x2＋y2＋6x－4＝0和圓C2：x2＋y2＋6y－28＝0．(1)求兩圓公共弦所在直線的方程及弦長(zhǎng)；2【解答】已知圓C1：x2＋y2＋6x－4＝0和圓C2：x2＋y2＋6y－28＝0．(2)求經(jīng)過(guò)兩圓交點(diǎn)且圓心在直線x－y－4＝0上的圓的方程．【解答】2(1)求兩圓公共弦所在直線方程的方法：將兩圓的方程相減即得兩圓公共弦所在直線的方程．但必須注意只有兩圓方程中二次項(xiàng)的系數(shù)相同時(shí)，才能如此求解，否則應(yīng)先調(diào)整系數(shù)．(2)求兩圓公共弦長(zhǎng)的方法：①聯(lián)立兩圓的方程求出交點(diǎn)坐標(biāo)，再用距離公式求解；②先求出兩圓公共弦所在直線的方程，再利用半徑長(zhǎng)、弦心距和弦長(zhǎng)的一半構(gòu)成直角三角形，根據(jù)勾股定理求解．(3)已知圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0與圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，那么過(guò)兩圓交點(diǎn)的圓的方程可設(shè)為x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1，不包括圓C2)．變式2

已知圓C1：x2＋y2＋2x－6y＋1＝0與圓C2：x2＋y2－4x＋2y－11＝0相交于A，B兩點(diǎn)，求AB所在直線的方程和公共弦AB的長(zhǎng)．【解答】由圓C1的方程減去圓C2的方程，整理得方程3x－4y＋6＝0，即兩圓交點(diǎn)的坐標(biāo)一定是方程3x－4y＋6＝0的解．因?yàn)閮牲c(diǎn)確定一條直線，所以3x－4y＋6＝0是兩圓公共弦AB所在直線的方程．探究3兩圓相切問(wèn)題【解答】3－1

(多選)已知直線l與圓C1：(x－2)2＋(y－3)2＝8和圓C2：(x＋2)2＋(y＋1)2＝8都相切，則直線l的方程可能為 (

)A．x＋y－1＝0 B．x－y＋5＝0 C．x－y－3＝0 D．x－y－7＝03－2【解析】【答案】ABC

(1)兩圓的公切線的條數(shù)，可由圓與圓的位置關(guān)系求解．(2)兩圓的公切線的方程，可由圓心到切線的距離d＝r求解．(3)與圓有關(guān)的最值問(wèn)題，將圓的半徑長(zhǎng)、弦長(zhǎng)的一半、弦心距構(gòu)成直角三角形，根據(jù)勾股定理求解．隨堂內(nèi)化·及時(shí)評(píng)價(jià)1．圓x2＋y2－1＝0和圓x2＋y2－4x＋2y－4＝0的位置關(guān)系是 (

)A．內(nèi)切 B．相交C．外切 D．外離【解析】B2．圓x2＋y2＝50與圓x2＋y2－12x－6y＋40＝0的公共弦長(zhǎng)為 (

)【解析】C3．已知圓C的圓心坐標(biāo)為(2，1)，若圓C與圓M：x2＋y2－3x＝0的公共弦所在的直線過(guò)點(diǎn)(5，－2)，則圓C的方程為_(kāi)_____________________．【解析】

設(shè)圓C的半徑為r，則圓C的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝r2，即x2＋y2－4x－2y＋5－r2＝0，圓C與圓M的方程相減得公共弦所在直線的方程為x＋2y－5＋r2＝0．因?yàn)樵撝本€過(guò)點(diǎn)(5，－2)，所以r2＝4，故圓C的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝4．(x－2)2＋(y－1)2＝4(1)若a＝2，則公共弦所在直線的方程為_(kāi)_______________；【解析】(2)若弦長(zhǎng)|AB|＝2，則a＝_______．【解析】－2與圓C1和圓C2都相切的直線的方程：_____________________________________．【解析】【答案】y＝x＋3(或y＝x－1或y＝－x＋5，答案不唯一，寫出一個(gè)即可)

配套新練案一、

單項(xiàng)選擇題1．圓O1：x2＋y2＝1與圓O2：(x－2)2＋y2＝9的位置關(guān)系是 (

)A．內(nèi)含 B．內(nèi)切C．相交 D．外切【解析】

因?yàn)閳AO1：x2＋y2＝1的圓心為O1(0，0)，半徑r1＝1，圓O2：(x－2)2＋y2＝9的圓心為O2(2，0)，半徑r2＝3，所以這兩個(gè)圓的圓心距|O1O2|＝2．又r2－r1＝3－1＝2，所以圓O1與圓O2內(nèi)切．B2．圓x2＋y2＝1與圓x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0的交點(diǎn)的坐標(biāo)為 (

)A．(1，0)和(0，1) B．(1，0)和(0，－1)C．(－1，0)和(0，－1) D．(－1，0)和(0，1)【解析】C3．若圓C1：x2＋y2＋4x－6y－12＝0與圓C2：(x－4)2＋(y＋5)2＝m有且僅有3條公切線，則實(shí)數(shù)m的值為 (

)A．4 B．25C．5 D．16【解析】B4．已知圓C1：(x－a)2＋(y－a)2＝8(a＞0)與圓C2：x2＋y2－2x－2y＝0沒(méi)有公共點(diǎn)，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍為 (

)A．(0，2) B．(4，＋∞)C．(0，2)∪(4，＋∞) D．(0，1)∪(0，2)∪(4，＋∞)【解析】C二、

多項(xiàng)選擇題5．下列圓中與圓C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0相切的是 (

)A．(x＋2)2＋(y＋2)2＝9 B．(x－2)2＋(y＋2)2＝9C．(x－2)2＋(y－2)2＝25 D．(x－2)2＋(y＋2)2＝49【解析】【答案】BCD

6．若圓C1：x2＋y2－3x－3y＋3＝0與圓C2：x2＋y2－2x－2y＝0的交點(diǎn)為A，B，則 (

)A．線段AB的中垂線的方程為x－y＋1＝0B．公共弦AB所在直線的方程為x＋y－3＝0C．公共弦AB的長(zhǎng)為2D．在過(guò)A，B兩點(diǎn)的所有圓中，面積最小的圓是圓C1【解析】由題意可知線段AB的中垂線為直線C1C2，易得直線C1C2的方程為x－y＝0，故A錯(cuò)誤；【答案】BD

三、

填空題7．若點(diǎn)P在圓O：x2＋y2＝1上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在圓C：(x－3)2＋y2＝1上運(yùn)動(dòng)，則|PQ|的最小值為_(kāi)____．【解析】

由題意知|PQ|的最小值應(yīng)為圓心距減去兩圓的半徑和，即|PQ|min＝|OC|－2＝3－2＝1．1【解析】1四、

解答題9．已知圓C1：x2＋y2＝1與圓C2：x2＋y2－2x－2y＋1＝0．(1)求經(jīng)過(guò)圓C1與圓C2交點(diǎn)的直線的方程；【解答】9．已知圓C1：x2＋y2＝1與圓C2：x2＋y2－2x－2y＋1＝0．(2)求圓C1與圓C2的公共弦長(zhǎng)．【解答】10．已知圓C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0和圓C2：x2＋y2＋2x＝0．(1)當(dāng)m＝1時(shí)，判斷圓C1和圓C2的位置關(guān)系．【解答】10．已知圓C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0和圓C2：x2＋y2＋2x＝0．(2)是否存在實(shí)數(shù)m，使得圓C1和圓C2內(nèi)含？若存在，求出實(shí)數(shù)m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解答】11．(多選)已知兩個(gè)不重合的圓C1：x2＋y2－2x－4y＝0，圓C2：x2＋y2＋mx＋ny＝0，則下列說(shuō)法正確的是 (

)A．圓C1，C2恒有公共點(diǎn)B．圓C1，C2至多有三條公切線C．若圓C2平分圓C1的周長(zhǎng)，則m＋2n＝10D．若圓C2平分圓C1的周長(zhǎng)，則n2－m的最小值為9【解析】對(duì)于A，圓C1和圓C2都一定過(guò)原點(diǎn)(0，0)，則圓C1，C2恒有公共點(diǎn)，故A正確．對(duì)于B，由選項(xiàng)A可得兩圓一定不外離，所以公切線至多有三條，故B正確．對(duì)于D，由C可得m＋2n＝－10，即m＝－2n－10，所以n2－m＝n2＋2n＋10＝(n＋1)2＋