初二數(shù)學(xué)平行四邊形提高題型鞏固練習(xí)平行四邊形作為初中幾何的重要組成部分，不僅是對三角形知識的延伸，更是后續(xù)學(xué)習(xí)特殊平行四邊形（矩形、菱形、正方形）的基礎(chǔ)。在初二階段，我們不僅要掌握平行四邊形的定義、性質(zhì)和判定定理，更要能夠靈活運用這些知識解決綜合性較強的問題，培養(yǎng)幾何直觀和邏輯推理能力。本文將結(jié)合一些典型的提高題型，幫助同學(xué)們鞏固所學(xué)，提升解題技巧。一、知識回顧：平行四邊形的核心要義在進入提高題型之前，我們先簡要回顧一下平行四邊形的核心知識，這是解決所有問題的基石。*定義：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。*性質(zhì)：1.平行四邊形的對邊平行且相等。2.平行四邊形的對角相等，鄰角互補。3.平行四邊形的對角線互相平分。4.平行四邊形是中心對稱圖形，對稱中心是兩條對角線的交點。*判定：1.兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形（定義法）。2.兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形。3.一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。4.兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形。5.對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。這些定義、性質(zhì)和判定定理，是我們進行幾何推理和計算的依據(jù)。在解決復(fù)雜問題時，往往需要綜合運用多條性質(zhì)和判定。二、提高題型分類解析與技巧點撥（一）平行四邊形的性質(zhì)與全等三角形的綜合應(yīng)用平行四邊形的很多性質(zhì)都與邊、角、對角線有關(guān)，而這些元素又常常是構(gòu)造全等三角形的條件。因此，將平行四邊形的性質(zhì)與全等三角形結(jié)合起來解決問題，是非常常見的題型。例題1：如圖，在平行四邊形ABCD中，點E、F分別在AD、BC上，且AE=CF。求證：BE=DF。思路分析：要證BE=DF，我們可以考慮證明它們所在的三角形全等。觀察圖形，BE在△ABE中，DF在△CDF中。在平行四邊形ABCD中，AB=CD，∠A=∠C（平行四邊形對邊相等，對角相等）。已知AE=CF，根據(jù)“SAS”即可判定△ABE≌△CDF，從而得出BE=DF。證明過程：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，∠A=∠C（平行四邊形的對邊相等，對角相等）。在△ABE和△CDF中，AB=CD，∠A=∠C，AE=CF，∴△ABE≌△CDF（SAS）。∴BE=DF（全等三角形的對應(yīng)邊相等）。技巧點撥：在平行四邊形中，遇到線段或角的相等關(guān)系證明，若直接用平行四邊形性質(zhì)無法解決，應(yīng)考慮構(gòu)造全等三角形。利用平行四邊形提供的對邊相等、對角相等、對角線互相平分等條件，尋找或創(chuàng)造全等的條件（SSS,SAS,ASA,AAS）。（二）平行四邊形的判定與性質(zhì)的綜合運用這類問題通常需要先判定一個四邊形是平行四邊形，然后再利用平行四邊形的性質(zhì)解決后續(xù)問題；或者已知是平行四邊形，利用性質(zhì)得到一些結(jié)論，再去判定其他四邊形是否為平行四邊形。例題2：如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，對角線AC、BD相交于點O，且AO=CO。求證：四邊形ABCD是平行四邊形，且AB=CD。思路分析：要證四邊形ABCD是平行四邊形，已知AB∥CD，根據(jù)平行四邊形的判定定理，若能再證AB=CD，或AD∥BC，或另一組對邊相等，或?qū)蔷€互相平分即可。題目中給出了AO=CO，且AB∥CD，可證△AOB≌△COD，從而得到AB=CD，進而根據(jù)“一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”得出結(jié)論。證明過程：∵AB∥CD，∴∠OAB=∠OCD（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）。在△AOB和△COD中，∠OAB=∠OCD，AO=CO，∠AOB=∠COD（對頂角相等），∴△AOB≌△COD（ASA）?！郃B=CD。又∵AB∥CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）。技巧點撥：判定平行四邊形時，要根據(jù)題目給出的條件，靈活選擇最合適的判定方法。若已知一組對邊平行，則可考慮證這組對邊相等，或證另一組對邊平行。若已知對角線關(guān)系，則考慮對角線互相平分。（三）含動態(tài)元素的平行四邊形問題這類問題通常涉及圖形的平移、旋轉(zhuǎn)、折疊，或點在線段上運動等，需要同學(xué)們在動態(tài)變化中尋找不變的量或關(guān)系，具有一定的綜合性和挑戰(zhàn)性。例題3：如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8。點P從點A出發(fā)沿AB方向向點B勻速運動，速度為1單位/秒；同時點Q從點B出發(fā)沿BC方向向點C勻速運動，速度為2單位/秒。設(shè)運動時間為t秒（0<t<4）。連接PQ，當t為何值時，四邊形APQC的面積為19？思路分析：首先，我們需要明確四邊形APQC的形狀。在運動過程中，AP在AB上，QC在BC上，AQ和PC是連接的線段，但題目并未說明它是特殊四邊形。要求其面積，我們可以用△ABC的面積減去△PBQ的面積。Rt△ABC的面積為(AB×BC)/2=(6×8)/2=24。AP=t，所以PB=AB-AP=6-t。BQ=2t，所以△PBQ的面積為(PB×BQ)/2=[(6-t)×2t]/2=t(6-t)。則四邊形APQC的面積S=24-t(6-t)=t2-6t+24。令S=19，即t2-6t+24=19，整理得t2-6t+5=0，解得t?=1，t?=5?！?<t<4，∴t=5舍去。故當t=1秒時，四邊形APQC的面積為19。技巧點撥：解決動態(tài)問題，關(guān)鍵是用含時間t的代數(shù)式表示出相關(guān)的線段長度、面積等。然后根據(jù)題目中的等量關(guān)系列出方程求解。要注意分析動點的運動范圍，從而確定自變量t的取值范圍，對解出的結(jié)果進行取舍。（四）平行四邊形與圖形變換（平移、折疊）平行四邊形本身具有中心對稱性，與平移變換結(jié)合緊密。折疊問題則常常涉及軸對稱性質(zhì)。例題4：將平行四邊形紙片ABCD沿對角線AC折疊，點D落在點D'處，AD'與BC交于點E。求證：AE=CE。思路分析：折疊后，∠DAC=∠D'AC。因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以AD∥BC，從而∠DAC=∠BCA（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）。因此，∠D'AC=∠BCA，所以AE=CE（等角對等邊）。證明過程：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC（平行四邊形的對邊平行）?！唷螪AC=∠BCA（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）?！邔⑵叫兴倪呅渭埰珹BCD沿對角線AC折疊，點D落在點D'處，∴∠DAC=∠D'AC（折疊的性質(zhì)）?！唷螪'AC=∠BCA?！郃E=CE（等角對等邊）。技巧點撥：折疊問題的核心是“折疊前后對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等”。結(jié)合平行四邊形的平行性質(zhì)，可以得到很多等角關(guān)系，進而利用等腰三角形的判定或全等三角形來解決問題。三、鞏固練習(xí)題以下練習(xí)題供同學(xué)們鞏固所學(xué)知識和技巧，請務(wù)必獨立思考后再查看提示或答案。練習(xí)1：已知：如圖，在平行四邊形ABCD中，E、F是對角線AC上的兩點，且AE=CF。求證：四邊形BFDE是平行四邊形。（提示：可連接BD交AC于點O，利用平行四邊形對角線互相平分及已知條件證得EO=FO，BO=DO，從而判定四邊形BFDE是平行四邊形。）練習(xí)2：如圖，在平行四邊形ABCD中，∠ABC的平分線交AD于點E，且AE=2，DE=1。求平行四邊形ABCD的周長。（提示：由AD∥BC得∠AEB=∠EBC，結(jié)合角平分線得∠ABE=∠AEB，所以AB=AE=2，進而求出AD長，得到周長。）練習(xí)3：在平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，點E、F分別是OB、OD的中點。求證：四邊形AECF是平行四邊形。（提示：證OE=OF，OA=OC。）練習(xí)4：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是AC的中點，過點A、D作直線l，交BC的延長線于點E。若AB=BE，求證：四邊形ABED是平行四邊形。（提示：先證△ADC≌△EDC，得AD=ED，AC=EC。再證△ABC≌△EBC，得AB=BE，結(jié)合已知AB=BE，以及∠BAE=∠BEA，AD=ED，可嘗試證AB∥DE或AD∥BE。）練習(xí)5：如圖，平行四邊形ABCD中，AB=5，AD=8，將平行四邊形ABCD沿AE翻折，使點D恰好落在AB邊上的點D'處。求折痕AE的長。（提示：過點E作EH⊥AB于H。設(shè)DE=D'E=x，則EC=8-x，AD'=AD=8，因為AB=5，所以D'B=AD'-AB=3。在Rt△D'EB中，D'E=x，EB=5-(8-x)=x-3，D'B=3，利用勾股定理列方程求解x，再在Rt△AHE中求AE。）四、總結(jié)與學(xué)習(xí)建議平行四邊形的提高題型千變?nèi)f化，但其核心離不開對定義、性質(zhì)、判定的深刻理解和靈活運用。要想熟練掌握，同學(xué)們在學(xué)習(xí)過程中應(yīng)注意以下幾點：1.夯實基礎(chǔ)：對平行四邊形的性質(zhì)和判定定理要爛熟于心，不僅要記住結(jié)論，還要理解其推導(dǎo)過程。2.多思多練：幾何學(xué)習(xí)離不開解題實踐。通過典型例題的學(xué)習(xí)，掌握解題思路和方法；通過適量練習(xí)，積累經(jīng)驗，提高解題速度和準確性。3.學(xué)會轉(zhuǎn)化：很多復(fù)雜問題都可以轉(zhuǎn)化為我們熟悉的基本模型，如全等三角形模型、等腰三角形模型等。要善于從復(fù)雜圖形中分解出基本圖形。4.規(guī)范表達：幾何證明題的書寫要規(guī)范、嚴謹，邏輯清晰，因果關(guān)系明確。5.錯題反思：建立錯題本，及時總結(jié)錯題原因，查漏補缺，避免重復(fù)犯錯。希望通過本文的梳理和練習(xí)，同學(xué)們能夠?qū)ζ叫兴倪呅蔚奶岣哳}型有更清晰的認識，解題能力得到有效提升。幾何學(xué)習(xí)是一個循序漸進、不斷積累的過程，只要堅持不懈，一定能攻克難關(guān)，領(lǐng)略幾何的魅力！參考答案與提示：*練習(xí)1：連接BD交AC于O?！逜BCD是平行四邊形，∴AO=CO，BO=DO?！逜E=CF，∴AO-AE=CO-CF，即EO=FO。∴四邊形BFDE是平行四邊形（對角線互相平分的四邊形是平行四邊形）。*練習(xí)2：∵AD∥BC，∴∠AEB=∠EBC?！連E平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC?！唷螦BE=∠AEB，∴AB=AE=2。AD=AE+DE=3。周長=2×(AB+AD)=2×(2+3)=10。*練習(xí)3：∵ABCD是平行四邊形，∴AO=CO，BO=DO?！逧、F分別是OB、OD中點，∴OE=?OB，OF=?OD，∴OE=OF?！嗨倪呅蜛ECF是平行四邊形（對角線互相平分的四邊形是平行四邊形）。*練習(xí)4：∵D是AC中點，∴AD=CD。∵∠C=90°，∴∠ACD=∠ECD=90°。在△ADC和△EDC中，∠ADC=∠EDC（對頂角），AD=CD，∠ACD=∠ECD，∴△ADC≌△EDC（ASA）?！郃D=ED，AC=EC。在△ABC和△EBC中，AC=EC，∠ACB=∠ECB=90°，BC=BC，∴△ABC≌△EBC（SAS）?！郃B=BE，∠BAC=∠BEC。∵AB=BE，∴∠BAE=∠BEA?！唷螧AE=∠BEC，∴AB∥DE（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）。又∵AD=ED，AB=BE，若能證AD∥BE則更直接?；蛴葾B∥DE且AB=BE=AB（等量代換AB=BE），即AB=DE且AB∥DE，∴四邊形ABED是平行四邊形。*練習(xí)5：設(shè)DE=D'E=x，則EC=8-x?！逜D=AD'=8，AB=5，∴D'B=AD'-AB=8-5=3?！逥C=AB=5，∴D'E=DE=x，EC=8-x，D'C=DC=5？不對，折疊的是△ADE，D'落在AB上，所以D'E=DE=x，AD'=AD=8。過E作EH⊥AB于H，則EH=BC（平行四邊形的高）。在Rt△D'EB中，D'E=x，EB=AB-AE'？不，AE=AE，D'E=x，AD'=8，AE2=AD'^2+D'E^2-2*AD'*D'E*cos∠AD'E？太復(fù)雜。換個思路，∵DC∥AB，∴∠DEA=∠EAD'。由折疊∠DAE=∠EAD'，∴∠DEA=∠DAE，∴AD=DE=8？不對，AD=8，DE=x，AE是折痕。哦，應(yīng)該是∠DEA=∠EAB（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）。由折疊∠DAE=∠EAB，∴∠DEA=∠DAE，∴AD=DE=8。??！對了！∵DC∥AB，∴∠DEA=∠EAB。∵折疊，∠DAE=∠EAB，∴∠DEA=∠DAE，∴AD=DE=8。但AD=8，DE=x=8，而AD=8，DE是AD上的一段，AD=AE+ED？不，E在AD上，所以AE+ED=AD=8。若DE=8，則AE=0，不可能。我之前的思路錯了。正確的是：∵AB∥CD，∴∠AED'=∠EAB（折疊后D'E∥DC，所以D'E∥AB？不，D'在AB上，所以D'E是△AED'的邊。應(yīng)該是∠AED'是翻折后的∠AED，∠AED=∠AED'?！逜B∥CD，∴∠BAE=∠AED（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）。∴∠BAE=∠AED'，∴AD'=D'E?！逜D'=AD=8，∴D'E=8。設(shè)AE=y，在Rt△AD'E中，AD'=8，D'E=8，AE=y，這是等腰直角三角形？AD'=D'E=8，∠AD'E=90°？若AB=5，AD'=8，則D'在AB的延長線上？題目說“點D恰好落在AB邊上的點D'處”，所以AD'=8，AB=5，那么D'點在AB的延長線上，BD'=AD'-AB=3。設(shè)DE=D'E=x，則AE=AD-DE=8-x。在Rt△BD'E中，BD'=3，BE=BC-EC？不，BC=AD=8，EC=DC-DE？DC=AB=5，DE=x，EC=5-x？不對，E在AD上，C在BC上。過E作EF⊥AB交AB延長線于F