第1頁(yè)/共1頁(yè)2022北京順義一中高一3月月考數(shù)學(xué)一、選擇題（每題4分共40分，每題只有一個(gè)正確答案，請(qǐng)把選項(xiàng)填涂在答題卡上）1．下列各組向量中，可以作為基底的一組是（）A．＝（0，0），＝（0，1） B．＝（﹣1，2），＝（3，﹣6） C．＝（3，4），＝（﹣3，﹣4） D．＝（2，1），＝（2，）2．函數(shù)f（x）＝cos22x﹣sin22x的最小正周期是（）A． B．π C．2π D．4π3．化簡(jiǎn)式子cos72°cos12°+sin72°sin12°的值是（）A． B． C． D．4．已知非零向量，滿足||＝2||，且（﹣）⊥，則與的夾角為（）A． B． C． D．5．為了得到函數(shù)y＝cos（）的圖象，只需要將函數(shù)y＝cos圖象上所有的點(diǎn)（）A．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 C．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度6．在△ABC中，若，則∠B＝（）A． B． C． D．7．設(shè)點(diǎn)A，B，C不共線，則“與的夾角為銳角”是“|+|＞||”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件8．在平行四邊形ABCD中，AD＝1，，∠BAD＝60°，E為CD的中點(diǎn)，則＝（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．29．如果平面向量＝（2，1），＝（1，3），那么下列結(jié)論中正確的是（）A．||＝3|| B． C．與的夾角為30° D．在上的投影向量的模為10．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在以（0，1）為圓心，半徑為1的圓上，A（﹣2，0），則的最大值為（）A．2 B．4 C．6 D．6二、填空題（每題5分共25分）11．若tanα＝﹣2，則＝．12．已知向量＝（﹣4，3），＝（6，m），若，則m＝，若，則m＝．13．向量，在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，則cos＜，＞＝．14．在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，E為CD的中點(diǎn)，若＝3，＝λ，則λ+μ＝．15．水車在古代是進(jìn)行灌溉引水的工具，亦稱“水轉(zhuǎn)筒車”，是一種以水流作動(dòng)力，取水灌田的工具．據(jù)史料記載，水車發(fā)明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的歷史，是人類的一項(xiàng)古老的發(fā)明，也是人類利用自然和改造自然的象征，如圖是一個(gè)半徑為R的水車，一個(gè)水車從點(diǎn)A（3，﹣3）出發(fā)，沿圓周按逆時(shí)針方向勻速旋轉(zhuǎn)，且旋轉(zhuǎn)一周用時(shí)120秒．經(jīng)過t秒后，水車旋轉(zhuǎn)到P點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），其縱坐標(biāo)滿足y＝f（t）＝Rsin（ωt+φ）（t≥0，ω＞0，|φ|＜），①φ＝﹣；②當(dāng)t∈（0，60]時(shí)，函數(shù)y＝f（t）單調(diào)遞增；③當(dāng)t＝100時(shí)，|PA|＝6；④當(dāng)t∈（0，60]時(shí)，f（t）的最大值為3．則上面敘述正確的是．三、解答題（共6道試題，總分85分）16．（14分）已知向量與的夾角θ＝，且||＝3，||＝2．（1）求，（）?（﹣2）；（2）求||；（3）與的夾角的余弦值．17．（14分）已知向量＝（﹣1，3），＝（1，2）．（Ⅰ）求；（Ⅱ）求|2﹣|及在上的投影向量的坐標(biāo)；（Ⅲ）（﹣m）⊥，求m的值．18．（14分）已知α∈（0，）且tanα＝．（1）tan2α，sin2α，cos2α；（2）若β為銳角，且cos（α+β）＝，求sinβ．19．（15分）設(shè)平面向量＝（sinx，cos2x﹣），＝（cosx，﹣1），函數(shù)f（x）＝．（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)增區(qū)間；（Ⅱ）當(dāng)x∈[0，]時(shí)，求函數(shù)f（x）的值域；（Ⅲ）若銳角α滿足f（）＝，求cos（2）的值．20．（14分）如圖，在△ABC中，D是BC邊上一點(diǎn)，cosC＝，CD＝7，AC＝5．（1）求AD的長(zhǎng)；（2）若AB＝8，求角B的大小．21．（14分）在△ABC中，，．再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求：（Ⅰ）∠A的大小；（Ⅱ）cosB和b的值．條件①：b﹣a＝1；條件②：．

參考答案一、選擇題（每題4分共40分，每題只有一個(gè)正確答案，請(qǐng)把選項(xiàng)填涂在答題卡上）1．【分析】利用向量共線定理對(duì)應(yīng)各個(gè)選項(xiàng)逐個(gè)判斷即可求解．【解答】解：選項(xiàng)A：因?yàn)?×1＝0×0，所以向量，共線，故A錯(cuò)誤，選項(xiàng)B：因?yàn)椹?×（﹣6）＝2×3，所以向量，共線，故B錯(cuò)誤，選項(xiàng)C：因?yàn)?×（﹣4）＝4×（﹣3），所以向量，共線，故C錯(cuò)誤，選項(xiàng)D：因?yàn)?×（﹣）≠1×2，所以向量，不共線，故D正確，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量基本定理的應(yīng)用，涉及到向量共線定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．2．【分析】利用二倍角的余弦公式化簡(jiǎn)f（x），再求出f（x）的最小正周期即可．【解答】解：因?yàn)閒（x）＝cos22x﹣sin22x＝cos4x，所以f（x）的最小正周期T＝＝，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二倍角的余弦公式，余弦函數(shù)的周期性，屬于基礎(chǔ)題．3．【分析】由已知利用兩角差的余弦函數(shù)公式，特殊角的三角函數(shù)值即可化簡(jiǎn)得解．【解答】解：cos72°cos12°+sin72°sin12°＝cos（72°﹣12°）＝cos60°＝．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了兩角差的余弦函數(shù)公式，特殊角的三角函數(shù)值在三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值中的應(yīng)用，熟練掌握相關(guān)公式是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．4．【分析】由（﹣）⊥，可得，進(jìn)一步得到，然后求出夾角即可．【解答】解：∵（﹣）⊥，∴＝，∴＝＝，∵，∴．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量的數(shù)量積和向量的夾角，屬基礎(chǔ)題．5．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合平移“左加右減”準(zhǔn)則，即可求解．【解答】解：∵y＝cos（）＝，∴把函數(shù)y＝cos的圖形向右平移個(gè)單位可得到函數(shù)y＝cos（）．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角函數(shù)的平移，需要學(xué)生牢記“左加右減”準(zhǔn)則，屬于基礎(chǔ)題．6．【分析】由已知利用余弦定理可得cosB＝﹣，結(jié)合范圍B∈（0，π），可求B的值．【解答】解：因?yàn)?，所以由余弦定理可得cosB＝＝＝﹣，因?yàn)锽∈（0，π），所以B＝．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．7．【分析】“與的夾角為銳角”?“|+|＞||”，“|+|＞||”?“與的夾角為銳角”，由此能求出結(jié)果．【解答】解：點(diǎn)A，B，C不共線，＝，∴，當(dāng)與的夾角為銳角時(shí)，＝＞0，∴“與的夾角為銳角”?“|+|＞||”，“|+|＞||”?“與的夾角為銳角”，∴設(shè)點(diǎn)A，B，C不共線，則“與的夾角為銳角”是“|+|＞||”的充分必要條件．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查充分條件、必要條件、充要條件的判斷，考查向量等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．8．【分析】畫出圖形，可得出，代入進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算即可．【解答】解：如圖，∵，又，，∴＝＝．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了向量加法的平行四邊形法則，向量加法和數(shù)乘的幾何意義，數(shù)量積的運(yùn)算及計(jì)算公式，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．9．【分析】求出與的?？膳袛噙x項(xiàng)A；根據(jù)向量平行的條件可判斷選項(xiàng)B；利用向量的夾角公式可判斷選項(xiàng)C；由投影的計(jì)算公式可判斷選項(xiàng)D．【解答】解：對(duì)于A，，，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由于2×3﹣1×1＝5≠0，故不平行，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，又，則與的夾角為，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于D，在的投影向量的模為，選項(xiàng)D正確．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．10．【分析】設(shè)P（x，y），則，易知x∈[﹣1，1]，由此可得的最大值．【解答】解：設(shè)P（x，y），依題意，x2+（y﹣1）2＝1，∵，∴，由圖象可知，﹣1≤x≤1，∴2x+4∈[2，6]，即的最大值為6．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查數(shù)形結(jié)合思想及運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題（每題5分共25分）11．【分析】根據(jù)tanα的值和兩角和與差的正切公式可直接得到答案．【解答】解：∵tanα＝﹣2∴tan（α+）＝＝故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查兩角和與差的正切公式．屬基礎(chǔ)題．要記準(zhǔn)、記熟公式．12．【分析】由向量垂直的性質(zhì)，可得?＝﹣24+3m＝0，然后求出m即可；由向量平行的性質(zhì)，可得﹣4m＝18，然后求出m即可．【解答】解：向量＝（﹣4，3），＝（6，m），若，則?＝﹣24+3m＝0，解得m＝8，若，則﹣4m＝3×6＝18，解得m＝﹣，故答案為：8；﹣．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了向量垂直和平行的性質(zhì)，考查了方程思想，屬于基礎(chǔ)題．13．【分析】根據(jù)題意，設(shè)正方形網(wǎng)格的邊長(zhǎng)為1，建立坐標(biāo)系，表示出、的坐標(biāo)，進(jìn)而求出、的模以及?的值，由此計(jì)算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)正方形網(wǎng)格的邊長(zhǎng)為1，如圖建立坐標(biāo)系，則＝（3，1），＝（﹣1，﹣2），故||＝＝，||＝＝，?＝﹣3﹣2＝﹣5，故cos＜，＞＝＝﹣；故答案為：﹣．【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量數(shù)量積的計(jì)算，涉及向量的坐標(biāo)表示方法，屬于基礎(chǔ)題．14．【分析】利用平面向量的線性運(yùn)算，平面向量基本定理求解即可．【解答】解：∵E為CD的中點(diǎn)，＝3，∴＝＝（+）＝﹣，∴＝+＝+，∵＝λ，∴λ＝，μ＝，∴λ+μ＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量的線性運(yùn)算，平面向量基本定理，屬于基礎(chǔ)題．15．【分析】求出圓的半徑R，利用周期求出ω，通過三角函數(shù)的解析式求出初相，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)判斷求解即可．【解答】解：由題意，R＝＝6，T＝120，所以ω＝＝；又點(diǎn)A（3，﹣3）代入f（x）可得﹣3＝6sinφ，解得6sinφ＝﹣；又|φ|＜，所以．故①正確；因?yàn)閒（t）＝6sin（t﹣），當(dāng)t∈（0，60]時(shí)，t﹣∈（﹣，]，所以函數(shù)f（x）先增后減，②錯(cuò)誤；當(dāng)t＝100時(shí)，t﹣＝，P的縱坐標(biāo)為y＝﹣3，橫坐標(biāo)為x＝﹣3，所以|PA|＝|﹣3﹣3|＝6，③正確．t∈（0，60]時(shí)，點(diǎn)P到x軸的距離的最大值為6，④錯(cuò)誤；所以說法正確的是①③．故答案為：①③．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了y＝Asin（ω+φ）的解析式和性質(zhì)的判斷，求了解析式是解答本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．三、解答題（共6道試題，總分85分）16．【分析】（1）直接利用數(shù)量積公式計(jì)算即可；（2）利用模長(zhǎng)公式直接計(jì)算即可；（3）利用向量的夾角公式直接計(jì)算即可．【解答】解：（1）∵向量與的夾角θ＝，且||＝3，||＝2，∴；＝；（2）；（3）＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算以及向量的模及其夾角，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．17．【分析】（Ⅰ）直接利用數(shù)量積公式計(jì)算即可；（Ⅱ）利用模長(zhǎng)公式及投影向量公式計(jì)算即可；（Ⅲ）依題意，，由此可解得m的值．【解答】解：（Ⅰ）∵＝（﹣1，3），＝（1，2），∴；（Ⅱ），∴；在上的投影向量的坐標(biāo)為；（Ⅲ）∵（﹣m）⊥，∴，即10﹣5m＝0，解得m＝2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．18．【分析】（1）由二倍角公式可得tan2α的值，結(jié)合二倍角公式與同除余弦可化切的思想，可求出sin2α的值，再由cos2α＝，得解；（2）易得sin（α+β）＝，cosα＝，sinα＝，根據(jù)β＝（α+β）﹣α，利用兩角差的正弦公式，展開運(yùn)算，得解．【解答】解：（1）因?yàn)閠anα＝，所以tan2α＝＝，sin2α＝＝＝＝，cos2α＝＝．（2）因?yàn)棣痢剩?，），且β為銳角，所以α+β∈（0，π），由cos（α+β）＝，知sin（α+β）＝，因?yàn)棣痢剩?，）且tanα＝，所以cosα＝，sinα＝，所以sinβ＝sin[（α+β）﹣α]＝sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα＝×﹣×＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，熟練掌握二倍角公式，兩角差的正弦公式，同除余弦可化切的思想是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．19．【分析】（Ⅰ）利用數(shù)量積公式結(jié)合輔助角公式即可得到f（x），再由三角函數(shù)的性質(zhì)即可得到單調(diào)遞增區(qū)間；（Ⅱ），則，由此可得值域；（Ⅲ）依題意，，再由二倍角公式得解．【解答】解：（Ⅰ）＝，令，解得，∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，∴，即函數(shù)f（x）的值域?yàn)?；（Ⅲ），則，∴．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量的數(shù)量積以及三角恒等變換，三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．20．【分析】（1）直接利用余弦定理求出結(jié)果．（2）利用余弦定理和正弦定理求出結(jié)果．【解答】解：（1）在△ADC中，cosC＝，CD＝7，AC＝5．利用余弦定理AD2＝AC2+CD2﹣2?AC?CD?cosC＝＝32，解得AD＝4．（2）利用余弦定理＝，所以sin∠BDA＝sin∠ADC＝，在△ABD中，利用正弦定理，整理得，故∠B＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：正弦定理和余弦定理，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題．21．【分析】選擇①：b﹣a＝1．（1）在△ABC中，由，，結(jié)合正弦定理得sinA．由b﹣a＝1，得a＜b，推出∠A．（Ⅱ）由，推出．由，推出cosC，cosB，再由正弦定理（解法1）或余弦定理（解法2）可得b．選擇②：．（Ⅰ）在△ABC中，因?yàn)?，，結(jié)合正弦定理得sinA．由b﹣a＝1，得a＜b，推出∠A．（Ⅱ）因?yàn)椋瞥觯?，推出cosC，cosB，再由正弦定理（解法1）或余弦定理（解法2）可得b．【解答】解：選擇①：b﹣a＝1．（1）在△ABC中，因?yàn)椋?，所以由正弦定理得．因?yàn)閎﹣a＝1，所以a＜b．所以．所以．（Ⅱ）因?yàn)?，所以a＞c．所以．因?yàn)?，所以．所以cosB＝cos[π﹣（A+C）]＝﹣cos（A+C）＝sinAsinC﹣cosAcosC＝．法一：所以．由正弦定理得，即7b＝8a．因?yàn)閎﹣a＝1，所以b＝8．法二：因?yàn)閎﹣a＝1，所以a＝b﹣1．因?yàn)?，所以．所以b2＝a2+c2﹣2accosB＝．所以