湖南高一年級階段考試數(shù)學

注意事項：

1．答題前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上．

2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改

動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在

本試卷上無效．

3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．

4．本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版必修第一冊第一章到第二章．

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的．

∣，∣

1.若集合M{x042x4}N{xx32}，則MN（）

A.x∣x2B.{x∣1x2}

C.{x∣0x1}D.{x∣x0}

【答案】A

【解析】

【分析】利用集合的并集定義即得.

【詳解】因為M{x∣0x2}，N{x∣x1}，

所以MNx∣x2．

故選：A.

2.命題“xR，x256”的否定是（）

A.xR，x256B.xR，x256

C.R，x256D.R，x256

【答案】D

【解析】

【分析】直接根據(jù)存在量詞命題的否定是全稱量詞命題，即可得到.

【詳解】因為存在量詞命題的否定是全稱量詞命題．

所以命題“xR，x256”的否定是：R，x256.

故選：D.

3.已知正數(shù)a，b滿足a2b232，則ab的最大值為（）

A.4B.6C.8D.10

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，借助基本不等式建立不等式，再求解不等式即得

2

ab

【詳解】32a2b2，

2

2

ab64，

0ab8，當且僅當ab4時，等號成立．

ab的最大值為8.

故選：C.

4.某投資方對某項目提出兩個投資方案：方案一為一次性投資1000萬元；方案二為第一年投資200萬元，

以后每年投資30萬元．下列不等式表示“經(jīng)過n年后，方案一的總投資不多于方案二的總投資”的是（）

A.30n1701000B.30n1701000

C.30n2001000D.30n1701000

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)題設寫出方案二n年后的總投資額，再由不等式的描述寫出不等關系即可.

【詳解】由題意，經(jīng)過n年后，方案二的總投資為20030n130n170萬元，

則“經(jīng)過n年后，方案一的總投資不多于方案二的總投資”的不等式表示為30n1701000.

故選：B

5.若M2a，Na23a，則（）

A.M=NB.MN

C.MND.M，N的大小關系不確定

【答案】B

【解析】

【分析】利用作差法即可比較大小.

2

【詳解】因為MN2aa23aa22a2a110，

所以MN．

故選：B.

5

6.“1”的一個充分不必要條件是（）

x2

A.x<4B.0x3

C.3x2D.x3或x2

【答案】A

【解析】

【分析】解分式不等式，再根據(jù)充分不必要條件的定義和集合間的包含關系判斷可得答案.

5x3

【詳解】1等價于0，

x2x2

x3

解不等式0，得x3或x2．

x2

因為“x<4”可以推出“x3或x2”，但“x3或x2”不能推出“x<4”，

5

所以“x<4”是“-1”的一個充分不必要條件．

x2

故選：A.

7.已知a0，b0，3a4b1.不等式abt3ab對于任意滿足已知條件的實數(shù)a,b恒成立，則t的最

大值為（）

A.18B.21C.24D.27

【答案】D

【解析】

【分析】先分離參數(shù)，再利用“1的妙用”求最值即可.

【詳解】不等式abt3ab等價于

1313134b9a31

t，3a4b151523627，當且僅當ba時，等號成

abababab26

立，所以t27．

故選：D.

8.某校利用課外活動時間開展了羽毛球、乒乓球、籃球培訓課．甲班共52名學生，每人至少報了上述培訓

課中的一門．已知報羽毛球、乒乓球、籃球培訓課的人數(shù)分別為30，25，20，其中既報了羽毛球培訓課又

報了乒乓球培訓課的有13人，既報了羽毛球培訓課又報了籃球培訓課的有8人，既報了乒乓球培訓課又報

了籃球培訓課的有5人，則同時報了羽毛球、乒乓球、籃球培訓課的學生人數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

【分析】利用韋恩圖來求解即可.

【詳解】設同時報了羽毛球、乒乓球、籃球培訓課的學生人數(shù)是x．由圖可知307x5x7x52，

解得x3．

故選：C.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．

9.若ab0c，則（）

11

A.B.bc

ab

C.acbD.a2b2

【答案】AC

【解析】

【分析】利用不等式的性質(zhì)進行推理即可逐一判斷各選項.

11

【詳解】對于A，因為ab0，則ab0，不等式兩邊同除以ab，可得，故A正確；

ab

對于B，因為b0，c0，所以b0，c0，但是不能確定b與c的大小關系，故B錯誤；

對于C，因為ac表示數(shù)軸上坐標為a，c的兩點之間的距離，b表示數(shù)軸上坐標為b，0的兩點之間的距

離，

又ab0c，所以acb，故C正確；

對于D，由ab0可得ab0，所以a2b20，故D錯誤．

故選：AC.

10.對于二次函數(shù)yx2bx1，下列結(jié)論正確的是（）

A.不存在實數(shù)x，使得y0

B.關于x的方程x2bx10有一個正根和一個負根

C.該函數(shù)的圖象與y軸交于負半軸

D.若當x1時，y隨著x的增大而增大，則b2

【答案】BC

【解析】

【分析】對于A，舉反例即可排除；對于B，由根的判別式和韋達定理即可判斷；對于C，由函數(shù)圖象經(jīng)過

點0,1即可說明；對于D，根據(jù)二次函數(shù)的圖象的開口與對稱軸、單調(diào)性即得.

【詳解】對于A，當x0時，y10，故A錯誤．

對于B，因x2bx10的判別式b240，則方程有兩個不等實根；

，，

設兩根為x1x2，因x1x210，所以x1x2必一正一負，故B正確；

對于C，令x0，得y10，即函數(shù)圖象與y軸交于點0,1，故C正確；

bb

對于D，該拋物線開口向上，對稱軸為x，由題意需使1，得b2，故D錯誤．

22

故選：BC.

11.已知a,b,c為三個互不相等的正整數(shù)，命題p:ab0，命題q:bc0，命題s:ca0．若a,b,c

只需滿足三個命題p,q,s中僅有兩個是真命題，則a,b,cA．若x1,x2,x3A,x3,x4,x1A，則下

列結(jié)論一定成立的是（）

A.x2,x4,x1AB.x4,x1,x3A

C.x3,x2,x4AD.x3,x1,x2A

【答案】ACD

【解析】

【分析】分情況討論集合A中元素的特征，結(jié)合x1,x2,x3A,x3,x4,x1A，分析得出x1,x2,x3,x4的

大小關系，最后逐一分析選項.

【詳解】依題意可得當abc或bca或cab時，a,b,cA．

因為x1,x2,x3A，所以x1,x2,x3滿足x1x2x3或x2x3x1或x3x1x2．

因為x3,x4,x1A，所以x3,x4,x1滿足x3x4x1或x4x1x3或x1x3x4，

則c滿足x1x2x3x4或x4x1x2x3或x2x3x4x1或x3x4x1x2，

所以x2,x4,x1A，x4,x1,x3A，x3,x2,x4A，x3,x1,x2A．

故選：ACD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．

e

12.已知全集U={0，1，2，3，4}，集合A0，2，4，B0，1，2，則UAB___________．

【答案】1，3，4

【解析】

【分析】根據(jù)交集、補集的定義計算即可.

，e，，

【詳解】因為AB02，所以UAB134．

13.已知一元二次方程x2axb0的一個根為x2，且ab1，則a______．

【答案】3

【解析】

【分析】將x2代入方程并化簡得b2a4，與ab1聯(lián)立即可求解.

【詳解】因為x2是一元二次方程x2axb0的一個根，

所以42ab0，即b2a4，將b2a4代入方程ab1，解得a3．

故答案為：3

ba

14.已知正數(shù)a，b，c滿足a9bc0，則的最小值為___________．

a7bc

7

【答案】

16

【解析】

aababa

【分析】由已知將a9bc0變形得到，進而得，再將

7bca16ba7bcaa16b

ba

變形并利用基本不等式求得其最小值即可.

a7bc

【詳解】因為a9bc0，所以a9bc，

aa

所以a16b7bc，則，

7bca16b

baba

從而．

a7bcaa16b

baa16b1a117

又2，

aa16b16a16a16b161616

當且僅當3a16b時，等號成立，

ba716b43b

所以，當且僅當a，c時，等號成立．

a7bc1633

7

故答案為：.

16

四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．

15.判斷下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題，并判斷這些命題的真假．

（1）有些奇數(shù)是合數(shù)；

（2）任何實數(shù)都有算術(shù)平方根；

（3）至少有一個數(shù)能被3和5整除；

（4）所有的反比例函數(shù)的圖象都是中心對稱圖象．

【答案】（1）答案見解析

（2）答案見解析（3）答案見解析

（4）答案見解析

【解析】

【分析】根據(jù)命題中的量詞確定其命題性質(zhì)，再逐一判斷命題真假.

【詳解】對于（1），因為“有些”是存在量詞，所以“有些奇數(shù)是合數(shù)”是存在量詞命題，

比如，9是奇數(shù)也是合數(shù)，所以該命題是真命題；

對于（2），因為“任何”是全稱量詞，所以“任何實數(shù)都有算術(shù)平方根”是全稱量詞命題.

比如，1是實數(shù)，但1沒有算術(shù)平方根，所以該命題是假命題；

對于（3），因為“至少有一個”是存在量詞，所以“至少有一個數(shù)能被3和5整除”是存在量詞命題．

比如，15能被3和5整除，所以該命題是真命題；

對于（4），因為“所有的”是全稱量詞，所以“所有的反比例函數(shù)的圖象都是中心對稱圖象”是全稱量

詞命題.

k

因反比例函數(shù)的解析式形如y,k0，其圖象關于坐標原點中心對稱，故該命題是真命題.

x

16.（1）已知ab0，c0，證明：accbca．

（2）已知x，y均為正數(shù)，證明：x2y21xyxy．

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析

【解析】

【分析】（1）先利用不等式的乘法法則得acbc，然后利用不等式的加法法則證明即可；

（2）結(jié)合不等式的加法法則，利用基本不等式證明即可.

【詳解】（1）因為ab0，c0，所以acbc.

因為a0，c0，所以ca，

所以accbca.

（2）因為x0，y0，所以x2y22xy，當且僅當xy時，等號成立.

同理y2122y，當且僅當y1時，等號成立，

x2122x，當且僅當x1時，等號成立，

所以x2y21xyxy，

當且僅當xy1時，等號成立.

17.如圖，OA,OB是兩條長度足夠長的互相垂直的筆直小路，矩形OCPD的頂點C,D分別在OA,OB上，

且該矩形區(qū)域內(nèi)種滿了荷花．為了讓觀賞者有更好的觀賞體驗，現(xiàn)計劃經(jīng)過點P修一條小路EF，其中點E

在小路OA上，點F在小路OB上，并在OEF區(qū)域內(nèi)種滿荷花．已知

50mOF75m,OD25m,OC40m，記OEF的面積為Sm2．

（1）設ECxm，試用x表示OF，并求x的取值范圍．

（2）當EC的長度為多少時，S取得最小值？最小值是多少？

1000

【答案】（1）OF25m,20x40；

x

（2）當EC40m時，S取得最小值，為2000m2.

【解析】

1000

【分析】（1）利用三角形相似，根據(jù)相似比得DFm，再由OFODDF及其范圍列不等式求x

x

范圍；

11400002

（2）根據(jù)已知有SOFOE100025x1000m，應用基本不等式求最小值，并確

22x

定取值條件，即可得.

【小問1詳解】

ECPDx401000

依題意，得PCEFDP，所以，即，得DFm，

CPDF25DFx

1000

所以OFODDF25m，50mOF75m，

x

1000

所以502575，解得20x40；

x

【小問2詳解】

由OEOCCE40xm，

1110001400002

所以SOFOE2540x100025x1000m，

22x2x

1400002

由基本不等式可得S2000225x2000m，

2x

40000

當且僅當25x，即x40時，等號成立，

x

故EC40m時，S取得最小值，為2000m2.

18.已知二次函數(shù)yx22mx2m5．

t

（1）若函數(shù)yx22mx2m5與函數(shù)yx0的圖象相交于A，B兩點，且A點的橫坐標為

x

1，B點的橫坐標為4，求m，t的值；

（2）在（1）的條件下，求關于x的不等式x22mx2m511的解集；

（3）求關于x的不等式x22mx2m54的解集．

t4，

【答案】（1）

m2．

（2）{x∣2x6}

（3）答案見解析

【解析】

t

【分析】（1）由題意可得A1，t，B4，，代入yx22mx2m5求解可求得答案；

4

（2）將（1）中m的值代入不等式x22mx2m511，求解即得；

（3）不等式x22mx2m54可化為x1x2m10，通過按2m1與1的大小關系分類來

解含參不等式即得.

【小問1詳解】

t

由點A，B在函數(shù)yx0的圖象上，且A點的橫坐標為1，B點的橫坐標為4，

x

t

可知A1，t，B4，.

4

把A，B兩點的坐標代入yx22mx2m5，

12m2m5t，

t4，

得t解得

168m2m5，m2．

4

【小問2詳解】

由（1）知m2，不等式x22mx2m511即x24x120，

所以x2x60，

解得2x6，

所以x22mx2m511的解集為{x∣2x6}.

【小問3詳解】

由x22mx2m54得x22mx2m10，

即x1x2m10，

當2m11，即m1時，不等式x1x2m10的解集為x∣x1；

當2m11，即m1時，不等式x1x2m10的解集為{x∣x2m1或x1}；

當2m11，即m1時，不等式x1x2m10的解集為{x∣x2m1或x1}.

故當m1時，原不等式的解集為{x∣x2m1或x1}；

當m1時，原不等式的解集為x∣x1；

當m1時，原不等式的解集為{x∣x2m1或x1}.

19.已知至少含兩個元素的集合A是N*的子集，若對于A中的任意兩個元素a，b，都有abk（k是

正整數(shù)），則稱集合A具有性質(zhì)Pk．

（1）試判斷集合B5，6，7和C1，6，11是否具有性質(zhì)P2，并說明理由．

，，，，，，，，

（2）若集合Aa1a2a9a10121617，證明：A不可能具有性質(zhì)P3．

（3）若集合A1，2，，247，248，且A具有性質(zhì)P5和P8，求A中元素個數(shù)的最大值．

【答案】（1）集合B不具有性質(zhì)P2，集合C具有性質(zhì)P2，理由見解析

（2）證明見解析（3）115.

【解析】

【分析】（1）根據(jù)定義判斷B、C是否具有性質(zhì)即可；

（2）將集合中的元素分為9個集合，進行求解即可；

（3）先說明連續(xù)13項中集合A中最多選取6項，然后求出集合A中共有115個元素，即可.

【小問1詳解】

對于集合B5，6，7，因為752，所以集合B不具有性質(zhì)P2.

對于集合C1，6，11，因為611162，1112，所以集合C具有性質(zhì)P2.

【小問2詳解】

證明：將集合1，2，，16，17中的元素分為如下9個集合：1，4，2，5，3，6，7，10，

8，11，9，12，13