巖石力學(xué)典型課后習(xí)題及詳細(xì)解析巖石力學(xué)是巖土工程、采礦工程、地質(zhì)工程等專業(yè)的核心課程，課后習(xí)題聚焦“巖石物理力學(xué)性質(zhì)計(jì)算、強(qiáng)度理論應(yīng)用、地下工程圍巖應(yīng)力分析”三大模塊。以下選取教材中高頻考點(diǎn)習(xí)題，結(jié)合國(guó)際巖石力學(xué)學(xué)會(huì)（ISRM）試驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)及工程實(shí)踐，提供分步解題思路與答案，覆蓋本科階段核心知識(shí)點(diǎn)。第一章巖石物理力學(xué)性質(zhì)（基礎(chǔ)計(jì)算）1.1習(xí)題：巖石密度與孔隙率計(jì)算題目：某砂巖試樣尺寸為50mm×50mm×100mm（長(zhǎng)×寬×高），干燥狀態(tài)下質(zhì)量為1250g，飽水狀態(tài)下質(zhì)量為1320g，試樣完全浸沒(méi)水中時(shí)排開(kāi)水的質(zhì)量為500g。已知水的密度ρ_w=1.0g/cm3，計(jì)算該砂巖的：（1）干密度ρ_d；（2）天然密度ρ（假設(shè)天然含水率ω=5%）；（3）孔隙率n。答案與解析：關(guān)鍵公式回顧：干密度：\rho_d=\frac{m_d}{V}（m_d為干質(zhì)量，V為試樣總體積）；天然密度：\rho=\frac{m_d(1+\omega)}{V}（\omega為含水率，以小數(shù)計(jì)）；孔隙率：n=\frac{V_v}{V}\times100\%（V_v為孔隙體積，V_v=\frac{m_s-m_d}{\rho_w}，m_s為飽水質(zhì)量）。計(jì)算步驟：（1）試樣總體積V：由排水法可知，V=\frac{m_{排水}}{\rho_w}=\frac{500g}{1.0g/cm3}=500cm3（或通過(guò)尺寸計(jì)算：5cm×5cm×10cm=250cm3？此處需注意單位統(tǒng)一！題目中尺寸為50mm=5cm，故V=5×5×10=250cm3，排水質(zhì)量500g為干擾項(xiàng)，實(shí)際巖石試樣排水體積應(yīng)等于自身體積，此處題目數(shù)據(jù)可能存在誤差，按尺寸計(jì)算更合理，修正后V=250cm3）；干密度\rho_d=\frac{1250g}{250cm3}=5.0g/cm3（若按排水體積500cm3計(jì)算為2.5g/cm3，需結(jié)合實(shí)際巖石密度范圍（2.0-3.0g/cm3）修正，故以尺寸計(jì)算為準(zhǔn)，題目排水質(zhì)量應(yīng)為250g，此處修正后繼續(xù)）；（2）天然含水率\omega=5\%=0.05，天然質(zhì)量m=m_d(1+\omega)=1250×(1+0.05)=1312.5g；天然密度\rho=\frac{1312.5g}{250cm3}=5.25g/cm3（同理，若按合理密度2.5g/cm3反推，干質(zhì)量應(yīng)為625g，題目數(shù)據(jù)需結(jié)合實(shí)際修正，核心掌握公式應(yīng)用）；（3）孔隙體積V_v=\frac{m_s-m_d}{\rho_w}=\frac{1320-1250}{1.0}=70cm3；孔隙率n=\frac{70}{250}×100\%=28\%。工程意義：孔隙率28%屬于中高孔隙率砂巖，此類巖石強(qiáng)度較低，易受水軟化影響，在地下工程中需注意防水與支護(hù)加固。1.2習(xí)題：巖石單軸抗壓強(qiáng)度與彈性模量計(jì)算題目：對(duì)某花崗巖試樣進(jìn)行單軸壓縮試驗(yàn)，得到應(yīng)力-應(yīng)變曲線，已知試樣尺寸為φ50mm×100mm（直徑d=50mm，高度h=100mm），破壞時(shí)最大荷載P_max=120kN，彈性階段內(nèi)應(yīng)力從50MPa增至100MPa時(shí)，應(yīng)變從0.0002增至0.0004。計(jì)算：（1）單軸抗壓強(qiáng)度σ_c；（2）彈性模量E。答案與解析：關(guān)鍵公式回顧：?jiǎn)屋S抗壓強(qiáng)度：\sigma_c=\frac{P_{max}}{A}（A為試樣橫截面積，A=\frac{\pid2}{4}）；彈性模量：E=\frac{\Delta\sigma}{\Delta\varepsilon}（\Delta\sigma為彈性階段應(yīng)力增量，\Delta\varepsilon為對(duì)應(yīng)應(yīng)變?cè)隽浚?。?jì)算步驟：（1）橫截面積A=\frac{\pi×502}{4}=1963.5mm2；單軸抗壓強(qiáng)度\sigma_c=\frac{120×103N}{1963.5mm2}≈61.1MPa（花崗巖單軸抗壓強(qiáng)度通常為80-150MPa，此處61.1MPa屬于弱風(fēng)化花崗巖，符合工程實(shí)際）；（2）應(yīng)力增量\Delta\sigma=100-50=50MPa；應(yīng)變?cè)隽縗Delta\varepsilon=0.0004-0.0002=0.0002；彈性模量E=\frac{50MPa}{0.0002}=250000MPa=250GPa（花崗巖彈性模量通常為200-300GPa，結(jié)果合理）。第二章巖石強(qiáng)度理論（摩爾-庫(kù)侖與格里菲斯準(zhǔn)則應(yīng)用）2.1習(xí)題：摩爾-庫(kù)侖強(qiáng)度準(zhǔn)則應(yīng)用（三軸壓縮試驗(yàn)）題目：對(duì)某頁(yè)巖進(jìn)行三軸壓縮試驗(yàn)，當(dāng)圍壓σ_3分別為0MPa、10MPa、20MPa時(shí)，對(duì)應(yīng)的破壞時(shí)最大主應(yīng)力σ_1分別為30MPa、55MPa、80MPa。試用摩爾-庫(kù)侖強(qiáng)度準(zhǔn)則確定該頁(yè)巖的黏聚力c和內(nèi)摩擦角φ。答案與解析：摩爾-庫(kù)侖強(qiáng)度準(zhǔn)則公式：破壞時(shí)滿足\sigma_1=\sigma_3\tan2(45°+\frac{\phi}{2})+2c\tan(45°+\frac{\phi}{2})，令K=\tan2(45°+\frac{\phi}{2})，B=2c\tan(45°+\frac{\phi}{2})，則公式簡(jiǎn)化為\sigma_1=K\sigma_3+B（線性關(guān)系，斜率為K，截距為B）。數(shù)據(jù)擬合與計(jì)算：列出三組數(shù)據(jù)：①σ_3=0MPa，σ_1=30MPa→30=K×0+B→B=30MPa；②σ_3=10MPa，σ_1=55MPa→55=10K+30→K=2.5；③σ_3=20MPa，σ_1=80MPa→80=20K+30→K=2.5（三組數(shù)據(jù)一致，擬合度良好）；求內(nèi)摩擦角φ：K=\tan2(45°+\frac{\phi}{2})=2.5→\tan(45°+\frac{\phi}{2})=\sqrt{2.5}≈1.581；45°+\frac{\phi}{2}=\arctan(1.581)≈57.7°→\phi≈2×(57.7°-45°)=25.4°（頁(yè)巖內(nèi)摩擦角通常為20°-30°，結(jié)果合理）；求黏聚力c：B=2c\tan(45°+\frac{\phi}{2})=30MPa→c=\frac{30}{2×1.581}≈9.5MPa（頁(yè)巖黏聚力通常為5-15MPa，結(jié)果合理）。驗(yàn)證：將φ=25.4°、c=9.5MPa代入準(zhǔn)則，當(dāng)σ_3=10MPa時(shí)，σ_1=10×tan2(57.7°)+2×9.5×tan(57.7°)=10×2.5+19×1.581≈25+30≈55MPa，與試驗(yàn)數(shù)據(jù)一致，驗(yàn)證正確。2.2習(xí)題：格里菲斯強(qiáng)度準(zhǔn)則應(yīng)用（拉壓強(qiáng)度關(guān)系）題目：已知某巖石的單軸抗壓強(qiáng)度σ_c=80MPa，根據(jù)格里菲斯強(qiáng)度準(zhǔn)則，計(jì)算該巖石的單軸抗拉強(qiáng)度σ_t（假設(shè)巖石為均質(zhì)、各向同性脆性材料）。答案與解析：格里菲斯強(qiáng)度準(zhǔn)則核心關(guān)系：對(duì)于脆性巖石，單軸抗壓強(qiáng)度與單軸抗拉強(qiáng)度滿足\sigma_c=8\sigma_t（推導(dǎo)過(guò)程：當(dāng)圍壓σ_3=0時(shí)，破壞主應(yīng)力σ_1=σ_c，根據(jù)格里菲斯準(zhǔn)則，當(dāng)拉應(yīng)力達(dá)到σ_t時(shí)，裂紋擴(kuò)展，最終推導(dǎo)得σ_c=8σ_t，適用于無(wú)圍壓脆性破壞）。計(jì)算過(guò)程：\sigma_t=\frac{\sigma_c}{8}=\frac{80MPa}{8}=10MPa（實(shí)際巖石抗拉強(qiáng)度通常為抗壓強(qiáng)度的1/10-1/50，此處1/8屬于高強(qiáng)度巖石，如花崗巖，結(jié)果合理）。工程啟示：巖石抗拉強(qiáng)度遠(yuǎn)低于抗壓強(qiáng)度，在隧道開(kāi)挖中，頂板巖石易因拉應(yīng)力集中發(fā)生掉塊，需優(yōu)先進(jìn)行錨桿支護(hù)，抵抗拉應(yīng)力。第三章地下工程圍巖應(yīng)力分析（彈性與塑性理論）3.1習(xí)題：圓形隧道彈性圍巖應(yīng)力計(jì)算（平面應(yīng)變問(wèn)題）題目：某圓形隧道埋深H=500m，隧道半徑r_0=3m，原巖應(yīng)力場(chǎng)為靜水壓力場(chǎng)（水平應(yīng)力σ_h=垂直應(yīng)力σ_v=γH，γ為巖石容重，取25kN/m3），圍巖彈性模量E=200GPa，泊松比ν=0.25。計(jì)算：（1）原巖應(yīng)力σ_v和σ_h；（2）隧道周邊（r=r_0）的徑向應(yīng)力σ_r和切向應(yīng)力σ_θ；（3）應(yīng)力集中系數(shù)K（K=σ_θ/σ_v）。答案與解析：關(guān)鍵公式（彈性力學(xué)厚壁圓筒理論）：圓形隧道在靜水壓力場(chǎng)下，任意半徑r處的應(yīng)力為：徑向應(yīng)力：\sigma_r=\sigma_0(1-\frac{r_02}{r2})（\sigma_0為原巖應(yīng)力，\sigma_0=\sigma_v=\sigma_h）；切向應(yīng)力：\sigma_θ=\sigma_0(1+\frac{r_02}{r2})；應(yīng)力集中系數(shù)K=\frac{\sigma_θ(r_0)}{\sigma_0}（隧道周邊r=r_0處切向應(yīng)力最大）。計(jì)算步驟：（1）原巖應(yīng)力：\sigma_v=\gammaH=25kN/m3×500m=12500kPa=12.5MPa；靜水壓力場(chǎng)下\sigma_h=\sigma_v=12.5MPa；（2）隧道周邊應(yīng)力（r=r_0=3m）：徑向應(yīng)力\sigma_r(r_0)=\sigma_0(1-\frac{r_02}{r_02})=0（隧道周邊為自由面，徑向應(yīng)力為0，符合工程實(shí)際）；切向應(yīng)力\sigma_θ(r_0)=\sigma_0(1+\frac{r_02}{r_02})=2\sigma_0=2×12.5=25MPa；（3）應(yīng)力集中系數(shù)K=\frac{25MPa}{12.5MPa}=2（圓形隧道在靜水壓力場(chǎng)下應(yīng)力集中系數(shù)為2，若為偏壓場(chǎng)，K會(huì)增大，需加強(qiáng)支護(hù)）。支護(hù)設(shè)計(jì)啟示：隧道周邊切向應(yīng)力25MPa，需根據(jù)圍巖強(qiáng)度（如單軸抗壓強(qiáng)度≥25MPa）選擇支護(hù)方式，若圍巖強(qiáng)度不足，需采用噴射混凝土+錨桿聯(lián)合支護(hù)，限制塑性區(qū)發(fā)展。3.2習(xí)題：巖石塑性區(qū)半徑計(jì)算（摩爾-庫(kù)侖屈服準(zhǔn)則）題目：承接3.1題，若該隧道圍巖的黏聚力c=5MPa，內(nèi)摩擦角φ=30°，采用摩爾-庫(kù)侖屈服準(zhǔn)則，計(jì)算隧道周邊的塑性區(qū)半徑R_p。答案與解析：塑性區(qū)半徑公式（靜水壓力場(chǎng)，平面應(yīng)變）：根據(jù)彈塑性力學(xué)理論，圓形隧道塑性區(qū)半徑為：R_p=r_0\times\left[\frac{2(1+\sin\phi)}{2\sigma_0\sin\phi+2c\cos\phi}\right]^{\frac{1-\sin\phi}{2\sin\phi}}（推導(dǎo)前提：塑性區(qū)應(yīng)力滿足摩爾-庫(kù)侖準(zhǔn)則，彈性區(qū)應(yīng)力按厚壁圓筒理論計(jì)算，交界處應(yīng)力連續(xù)）。計(jì)算步驟：已知參數(shù)：r_0=3m，σ_0=12.5MPa，c=5MPa，φ=30°，sin30°=0.5，cos30°≈0.866；代入公式：分子部分：2(1+\sin\phi)=2×(1+0.5)=3；分母部分：2\sigma_0\sin\phi+2c\cos\phi=2×12.5×0.5+2×5×0.866=12.5+8.66=21.16MPa；指數(shù)部分：\frac{1-\sin\phi}{2\sin\phi}=\frac{1-0.5}{2×0.5}=0.5；括號(hào)內(nèi)值：\frac{3}{21.16}≈0.1418；塑性區(qū)半徑R_p=3×\sqrt{0.1418}≈3×0.3765≈1.13m（塑性區(qū)半徑較小，說(shuō)明圍巖穩(wěn)定性較好，支護(hù)荷載較?。?。工程應(yīng)用：塑性區(qū)半徑1.13m，支護(hù)設(shè)計(jì)需覆蓋塑性區(qū)，錨桿長(zhǎng)度應(yīng)大于塑性區(qū)半徑（如取2.0m），確保錨桿錨固在彈性區(qū)，發(fā)揮懸吊作用。第四章巖石力學(xué)試驗(yàn)與數(shù)據(jù)處理（試驗(yàn)規(guī)范與誤差分析）4.1習(xí)題：巖石三軸壓縮試驗(yàn)數(shù)據(jù)處理（破壞準(zhǔn)則驗(yàn)證）題目：某石灰?guī)r三軸壓縮試驗(yàn)數(shù)據(jù)如下表，試用摩爾圓繪制與摩爾-庫(kù)侖強(qiáng)度準(zhǔn)則擬合，確定黏聚力c和內(nèi)摩擦角φ，并驗(yàn)證準(zhǔn)則適用性。圍壓σ_3（MPa）破壞時(shí)最大主應(yīng)力σ_1（MPa）565109015