4.4.1對(duì)數(shù)函數(shù)的概念第四章

§4.4

對(duì)數(shù)函數(shù)<<<1.理解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念.2.會(huì)求與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的定義域問題.(重點(diǎn))3.了解對(duì)數(shù)函數(shù)在生產(chǎn)實(shí)際中的簡(jiǎn)單應(yīng)用.(難點(diǎn))學(xué)習(xí)目標(biāo)

導(dǎo)語一、對(duì)數(shù)函數(shù)的概念及應(yīng)用二、求函數(shù)的定義域課時(shí)對(duì)點(diǎn)練三、對(duì)數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用隨堂演練內(nèi)容索引對(duì)數(shù)函數(shù)的概念及應(yīng)用一將y=2x化為對(duì)數(shù)式得到什么結(jié)果？根據(jù)這一結(jié)果，對(duì)于區(qū)間(0，+∞)內(nèi)的每一個(gè)y的值，是否都有唯一的實(shí)數(shù)x與之對(duì)應(yīng)？x能否看作是關(guān)于y的函數(shù)？問題提示x=log2y，任意y∈(0，+∞)，都有唯一的x對(duì)應(yīng)，x是關(guān)于y的函數(shù).一般地，函數(shù)

叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，定義域是

.y=logax(a>0，且a≠1)(0，+∞)(1)對(duì)數(shù)函數(shù)的系數(shù)為1.(2)真數(shù)只能是一個(gè)x.(3)底數(shù)a>0，且a≠1.

注

意

點(diǎn)<<<

例

1只有D滿足對(duì)數(shù)函數(shù)的定義.解析√

解析-5判斷一個(gè)函數(shù)是否為對(duì)數(shù)函數(shù)的方法判斷一個(gè)函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)必須是形如y=logax(a>0，且a≠1)的形式，即必須滿足以下條件：(1)系數(shù)為1.(2)底數(shù)為大于0且不等于1的常數(shù).(3)對(duì)數(shù)的真數(shù)僅有自變量x.

反思感悟

(1)若函數(shù)y=logax+a2-3a+2為對(duì)數(shù)函數(shù)，則a=

.函數(shù)y=logax+a2-3a+2為對(duì)數(shù)函數(shù)，所以a>0，且a≠1，a2-3a+2=0，則a=2.解析跟蹤訓(xùn)練12(2)已知對(duì)數(shù)函數(shù)f(x)的圖象過點(diǎn)P(8，3)，若點(diǎn)Q(t，log43)也在這個(gè)函數(shù)的圖象上，則t=

.

解析

二求函數(shù)的定義域

(課本例1)求下列函數(shù)的定義域：(1)y=log3x2；例

2因?yàn)閤2>0，即x≠0，所以函數(shù)y=log3x2的定義域是{x|x≠0}.解(2)y=loga(4-x)(a>0，且a≠1).因?yàn)?-x>0，即x<4，所以函數(shù)y=loga(4-x)的定義域是{x|x<4}.解

例

2(-1，1)

解析

延伸探究1

解

解延伸探究2求對(duì)數(shù)型函數(shù)的定義域需注意(1)真數(shù)大于0.(2)底數(shù)大于0且不等于1.(3)對(duì)數(shù)出現(xiàn)在分母上時(shí)，真數(shù)除了大于0，還不能為1.

反思感悟?qū)?shù)函數(shù)模型的應(yīng)用三

(課本例2)假設(shè)某地初始物價(jià)為1，每年以5%的增長率遞增，經(jīng)過t年后的物價(jià)為w.(1)該地的物價(jià)經(jīng)過幾年后會(huì)翻一番？例

3由題意可知，經(jīng)過t年后物價(jià)w為w=(1+5%)t，即w=1.05t(t∈[0，+∞)).由對(duì)數(shù)與指數(shù)間的關(guān)系，可得t=log1.05w，w∈[1，+∞).由計(jì)算工具可得，當(dāng)w=2時(shí)，t≈14.所以，該地區(qū)的物價(jià)大約經(jīng)過14年后會(huì)翻一番.解(2)填寫下表，并根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，說明該地物價(jià)的變化規(guī)律.根據(jù)函數(shù)t=log1.05w，w∈[1，+∞)，利用計(jì)算工具，可得下表：由表中的數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)，該地區(qū)的物價(jià)隨時(shí)間的增長而增長，但大約每增加1所需要的年數(shù)在逐漸縮小.解物價(jià)w12345678910年數(shù)t0

物價(jià)w12345678910年數(shù)t0142328333740434547

某公司制定了一個(gè)激勵(lì)銷售人員的獎(jiǎng)勵(lì)方案：當(dāng)銷售利潤不超過10萬元時(shí)，按銷售利潤的15%進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)；當(dāng)銷售利潤超過10萬元時(shí)，若超出A萬元，則超出部分按2log5(A+1)進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì).記獎(jiǎng)金為y(單位：萬元)，銷售利潤為x(單位：萬元).(1)寫出獎(jiǎng)金y關(guān)于銷售利潤x的解析式；例

3

解(2)如果業(yè)務(wù)員老江獲得5.5萬元的獎(jiǎng)金，那么他的銷售利潤是多少萬元？由題意知1.5+2log5(x-9)=5.5，即log5(x-9)=2，∴x-9=52，解得x=34.∴老江的銷售利潤是34萬元.解利用對(duì)數(shù)函數(shù)解決應(yīng)用問題(1)列出與對(duì)數(shù)有關(guān)的函數(shù)并根據(jù)實(shí)際問題確定變量的范圍.(2)代入自變量的值后，利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、換底公式計(jì)算.

反思感悟

跟蹤訓(xùn)練2√

解析1.知識(shí)清單：(1)對(duì)數(shù)函數(shù)的概念和定義域.(2)對(duì)數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用.2.方法歸納：待定系數(shù)法，轉(zhuǎn)化法.3.常見誤區(qū)：易忽視對(duì)數(shù)函數(shù)底數(shù)有限制條件.隨堂演練四12341.下列函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)的是A.y=log2x B.y=ln(x+1)C.y=logxe D.y=logxx√由對(duì)數(shù)函數(shù)的特征可得只有A選項(xiàng)符合.解析12342.函數(shù)f(x)=log2(1-x)的定義域是A.[1，+∞) B.(1，+∞)C.(-∞，1) D.(-∞，1]√由1-x>0，得x<1.解析12343.某種動(dòng)物的數(shù)量y(單位：只)與時(shí)間x(單位：年)的函數(shù)關(guān)系式為y=alog2(x+1)，若這種動(dòng)物第1年有100只，則第7年它們的數(shù)量為A.300只 B.400只C.500只 D.600只√由題意，知100=alog2(1+1)，解得a=100，則當(dāng)x=7時(shí)，y=100log2(7+1)=100×3=300.解析12344.若函數(shù)y=log(2a-1)x+a2-5a+4是對(duì)數(shù)函數(shù)，則a=

.

解析4課時(shí)對(duì)點(diǎn)練五題號(hào)12345678答案ABCCCBACDC128題號(hào)911121315答案DCABCD對(duì)一對(duì)答案1234567891011121314151610.答案123456789101112131415

1610.答案123456789101112131415

1614.答案123456789101112131415

1616.答案123456789101112131415

1616.答案123456789101112131415

16基礎(chǔ)鞏固

√A，B項(xiàng)中的函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)；C，D項(xiàng)中的真數(shù)不是x，故不是對(duì)數(shù)函數(shù).解析答案12345678910111213141516√

√答案12345678910111213141516f(f(10))=f(lg

10)=f(1)=12+1=2.解析3.在函數(shù)y=log(x-3)(7-x)中，函數(shù)的定義域是A.(-∞，7) B.(3，7)C.(3，4)∪(4，7) D.(3，+∞)√答案12345678910111213141516

解析

√答案12345678910111213141516

解析5.“每天進(jìn)步一點(diǎn)點(diǎn)”可以用數(shù)學(xué)來詮釋，假如你今天的數(shù)學(xué)水平是1，以后每天比前一天增加千分之五，則經(jīng)過y天之后，你的數(shù)學(xué)水平x與y之間的函數(shù)關(guān)系式是A.y=log1.05x

B.y=log1.005xC.y=log0.95x

D.y=log0.995x√答案12345678910111213141516由題意得x=(1+0.005)y=1.005y，化為對(duì)數(shù)函數(shù)得y=log1.005x.解析

√√

解析√答案123456789101112131415167.滿足“對(duì)定義域內(nèi)任意實(shí)數(shù)x，y，都有f(xy)=f(x)+f(y)”的函數(shù)f(x)可以是A.f(x)=x2 B.f(x)=2xC.f(x)=log2x D.f(x)=elnx答案12345678910111213141516√f(x)=x2，f(y)=y2，f(xy)=(xy)2=x2·y2=f(x)·f(y)，故A不正確；f(x)=2x，f(y)=2y，f(xy)=2xy≠f(x)+f(y)，故B不正確；f(x)=log2x，f(y)=log2y，f(xy)=log2(xy)=log2x+log2y=f(x)+f(y)，故C正確；f(x)=eln

x=x(x>0)，f(y)=y(y>0)，f(xy)=xy≠f(x)+f(y)，故D不正確.解析8.某公司為了業(yè)務(wù)發(fā)展制定了一個(gè)激勵(lì)銷售人員的獎(jiǎng)勵(lì)方案，在銷售額為x萬元時(shí)，獎(jiǎng)勵(lì)y萬元.若公司擬定的獎(jiǎng)勵(lì)方案為y=2log4x-2，某業(yè)務(wù)員要得到5萬元獎(jiǎng)勵(lì)，則他的銷售額應(yīng)為

萬元.答案12345678910111213141516128由題意得5=2log4x-2，即7=log2x，得x=27=128.解析

答案12345678910111213141516

解析10.求下列函數(shù)的定義域：(1)y=log(3x-1)5；答案12345678910111213141516

解

答案12345678910111213141516

解11.考古專家對(duì)某遺址出土的文物樣本進(jìn)行碳14年代測(cè)定，檢測(cè)出碳14年殘留量約為初始量的66%，已知碳14的半衰期是5

730年(即每經(jīng)過5

730年，遺存材料的碳14含量衰減為原來的一半).則該遺址距今約(參考數(shù)據(jù)：lg

2≈0.30，lg

3≈0.48，lg

11≈1.04)A.3

200年 B.3

262年C.3

386年 D.3

438年√綜合運(yùn)用答案12345678910111213141516答案123456789101112131415

解析1612.已知點(diǎn)P(16，2)，Q(t，log23)都在同一個(gè)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象上，則t等于A.3 B.6 C.9

D.12√答案12345678910111213141516設(shè)對(duì)數(shù)函數(shù)為y=logax(a>0，且a≠1)，因?yàn)镻(16，2)在函數(shù)的圖象上，所以loga16=2，解得a=4，則y=log4x.因?yàn)镼(t，log23)也在該函數(shù)的圖象上，所以log4t=log23，解得t=9.解析

答案12345678910111213141516√

解析14.20世紀(jì)70年代，里克特制定了一種表明地震能量大小的尺度，就是使用測(cè)震儀衡量地震能量的等級(jí)，地震能量越大，測(cè)震儀記錄的地震曲線的振幅就越大，這就是我們常說的里氏震級(jí)M，