重難點21數列中的新定義、新情景問題

【全國通用】

【題型1數列中的新概念】.......................................................................................................................................2

【題型2數列中的新運算】.......................................................................................................................................3

【題型3數列中的新情景問題】...............................................................................................................................4

【題型4斐波那契數列】...........................................................................................................................................5

【題型5牛頓數列問題】...........................................................................................................................................6

【題型6以數列和項與通項關系定義新數列】.......................................................................................................7

【題型7數列定義新性質問題】...............................................................................................................................8

【題型8數列中的其他新定義問題】.......................................................................................................................9

1、數列中的新定義、新情景問題

數列是高考的重點和熱點內容，屬于高考的必考內容之一.從近幾年的高考情況來看，高考壓軸題中出

現(xiàn)數列的新定義、新情景問題是高考的一個重要趨勢，我們總能在試卷的壓軸題位置發(fā)現(xiàn)新定義數列題的

身影，它們對數列綜合問題的考查常常以新定義、新構造和新情景形式呈現(xiàn)，這類問題綜合性強，有時還

伴隨著集合、導數以及平面解析幾何等內容，難度較大，需要靈活求解.

知識點1數列中的新概念

1．數列中的新概念問題的解題策略：

通過創(chuàng)新概念，以集合、函數、數列等的常規(guī)知識為問題背景，直接利用創(chuàng)新概念的內涵來構造相應的關

系式(或不等式等)，結合相關知識中的性質、公式來綜合與應用.

知識點2數列中的新定義、新情景問題

1．數列中的新定義問題的求解策略

(1)新定義問題：通過給定的與數列有關的新定義，或約定的一種新運算，或給出的由幾個新模型來創(chuàng)設的

新問題的情景，要求在閱讀理解的基礎上，依據題設所提供的信息，聯(lián)系所學的知識和方法，實現(xiàn)信息的

遷移，達到靈活解題的目的.

(2)求解策略：遇到新定義問題，應耐心讀題，分析新定義的特點，弄清新定義的性質，按新定義的

要求，“照章辦事”，逐條分析，運算，驗證，使得問題得以解決.

(3)求解新定義的數列，可以類比“熟悉數列”的研究方式，用特殊化的方法研究新數列，向“熟悉數列”

的性質靠攏.

2．數列中的新情景問題的求解策略

新情景問題：通過給出一個新的數列的概念，或約定一種新的運算，或給出幾個新模型來創(chuàng)設新問題的情

景，要求在閱讀理解的基礎上，依據題目提供的信息，聯(lián)系所學的知識和方法，實現(xiàn)信息的遷移，達到靈

活解題的目的.

知識點3斐波那契數列

1．斐波那契數列的概念

把這個數列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，...稱為斐波那契數列，一般記為{Fn}.

2．斐波那契數列的遞推公式

遞推公式：.

3．斐波那契數列的通項公式

通項公式：.

【題型1數列中的新概念】

【例1】（2025·四川南充·三模）對于數列，規(guī)定為數列的一階差分，其中，

*

??Δ????Δ??=??+1????∈N

規(guī)定為數列的k階差分，其中．若，則（）

????1??1*?(??1)(2??1)2

Δ????Δ??=Δ??+1?Δ???∈N??=6Δ?6=

A．7B．9C．11D．13

【變式1-1】（2025·全國·模擬預測）將正整數n分解為兩個正整數，的積，即，當，兩數

差的絕對值最小時，我們稱其為最優(yōu)分解.如?1?2，其中?=即?1為?212的?最1優(yōu)?分2解，

當，是n的最優(yōu)分解時，定義12=1，×則1數2=列2×6=的3前×42024項的3和×為4（）

?

?1A．?2B．??=?1?C．?2?2D．

1011101110121012

【變式1-2】（2?0215·湖北武漢2·三模）將按照2某種?順1序排成一列得到2數列，對任意，

如果，那么稱數對構成數1列,2,???,的?一個逆序對.若，則恰有2個??逆序對的數1列≤?<的?個≤數?

為（??>）????,?????=4??

A．4B．5C．6D．7

【變式1-3】（2025·河南·模擬預測）我們把由0和1組成的數列稱為數列，數列在計算機科學

和信息技術領域有著廣泛應用，把斐波那契數列（，0?10?1）中的奇數換成0，

?12?+2??+1

偶數換成1可得到數列，若數列的前?項?和為=?，=且1?=，?則+的?值可能是（）

A．1000?B1．201????C．30?2????D=．130909?

【題型2數列中的新運算】

【例2】（2025·天津和平·三模）定義新運算：，已知數列滿足，

??*

=????????∈??1=?14

，則（）??

??+11

=10??10=

2??A．2239B．225C．211D．261

【變式2-1】（2025·天津·模擬預測）數列各項均為實數，對任意滿足，定義：行列式

???

???∈???+3=??=

且行列式為定值，則下列選項中不可能的是（）??

????+1

??????+2?+3=?

A．，??B．，

C．?1=1，?=1D．?1=2，?=2

【變式2-?21】=（1202?5=·廣0東揭陽·二模）已知數列?中1每=一2項?=0（其中，）構成

*

數組.定義運算如下：????∈0,1?，=其1,2中,?當,??時∈，??，

4

?=；當?1,?2,?時,?，?，???=?1,?2,；?3用,?,?,?表2?示?1,層?2嵌?套運算??=0?，2??1=1.

?*

?現(xiàn)2?取=0??=，記1?2中??相1=鄰0兩項?2組?=成1的?數=對1,2,?,?滿足???的數對個?數?為??.???∈?

?

(1)寫?出=0,1，?，?以及，；??,??+1??=??+1=1??

2

(2)證明：??數列??是?1等比?數2列；

?+2?

(3)若??，?證明：對任意的都有.

1*111117

??=3??+2?∈??1+?2+?3+?4+?+??<6

【變式2-3】（24-25高二下·廣東·期中）角谷猜想，也稱為“”猜想，其內容是：任取一個正整數，如

果是偶數，將它除以；如果是奇數，則將它乘以再加上3?，+如1此反復運算，該數最終將變?yōu)?；這就是

對一個正整數運算時“2萬數歸”現(xiàn)象的猜想，假如對3任意正整1數，按照上述規(guī)則實施第1次運算

后的結果記，實施第2次運1算后的結果記為，…實施第?0次?運0≥算2后的結果記為，實施第1次運

算后得到數?1，則停止運算，即可以得到有窮數?2??1（其中???1）其遞?推關

?12??1?

1為奇數?:?,???,1?≠1,?=1,2?,??1

系式為，稱作數列的原始項；將此遞推公式推廣為：

?為?偶數

3??+1,?

??+1=??=0,1,2,?,??1?0??

2,??

為奇數

，其它規(guī)則不變，得到的數列記作，試解答以

為偶數

???

?+1????+1,??

?=??=0,1,2,?,??1,?∈??~?

下問題：2,?

(1)若，求數列的項數；

(2)若數?0列=6滿足3~??，求原始項的所有可能取值構成的集合；

(3)對任意的3~數?列??6，=求1證：?0．

1~???≤2log2?1+2

【題型3數列中的新情景問題】

【例3】（24-25高三上·福建廈門·階段練習）如圖所示，九連環(huán)是中國傳統(tǒng)民間智力玩具，以金屬絲制成9

個圓環(huán)，解開九連環(huán)共需要256步，解下或套上一個環(huán)算一步，且九連環(huán)的解下和套上是一對逆過程.九連

環(huán)把玩時按照一定得程序反復操作，可以將九個環(huán)全部從框架上解下或者全部套上.將第個圓環(huán)解下最少需

要移動的次數記為，已知，按規(guī)則有?，

??

?12???1??2

則解下第5個圓環(huán)最?少?需≤要9,移?動∈N的次數為（?=）1,?=1?=?+2?+1?≥3,?∈N

A．4B．7C．16D．31

【變式3-1】（2025·四川自貢·一模）南末數學家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中，提出了一

些新的垛積公式，所討論的高階等差數列與一般等差數列不同，前后兩項之差并不相等，但是逐項差數之

差或者高次差成等差數列.對這類高階等差數列的研究，在楊輝之后一般稱為“垛積術”.現(xiàn)有高階等差數列，

其前項分別為，則該數列的第項（）

A7．3,7,13B,2．3,39,63,97C．8D．

【變式3-123】1（24-25高二下1·陜39西渭南·期末）我國古14代1《洛書》中記載著一14種3三階幻方：將九個數字

填入一個的正方形方格，滿足每行、每列、每條對角線上的三個數字之和相同（如圖）．已1知?數9列

的通項3公×式3為，現(xiàn)將該數列的前項填入一個的正方形方格，使其滿足四階幻??方?，∈

?

???=2?+2164×4

則此四階幻方中每一行的數字之和為（）

A．60B．72C．76D．80

【變式3-3】（2025·四川·一模）數列是密碼設置的常用手段，幾位大學生響應國家的創(chuàng)業(yè)號召，開發(fā)了一款

應用軟件．為激發(fā)大家學習數學的興趣，他們推出了“解數學題獲取軟件激活碼”的活動．這款軟件的激活碼

為下面數學問題的答案：已知數列0，2，4，6，8，11，14，17，20，23，27，31，35，39，43……其中第

1至5項構成公差為2的等差數列，第5至10項構成公差為3的等差數列，第10至15項構成公差為4的

等差數列，依此類推，求滿足如下條件的最小整數，且該數列的第項為2的整數冪減1，那么該

款軟件的激活碼是（）??>66?

A．87B．94C．101D．108

【題型4斐波那契數列】

【例4】（2025·海南省直轄縣級單位·模擬預測）斐波那契數列，又稱黃金分割數列，因數學家萊昂納多?斐

波那契以兔子繁殖為例子而引入，故又稱“兔子數列”，其數值為：1、1、2、3、5、8、13、21、34……，在

數學上，這一數列以如下遞推的方法定義：，，記此數

?

列為，則等?于1（=）1??=???1+???2?≥3,?∈?

A?．??2019+?2B02．0+?2022+?2024C．D．

【變式4-?1】202（324-25高三上?·安202徽4合肥·階段練習）數?2學025家斐波那契在研究兔?2子026繁殖問題時，發(fā)現(xiàn)有這樣一個

數列：1，1，2，3，5，8…，其中從第3項起，每一項都等于它前面兩項之和，即，

?12

?，這樣的數列稱為“斐波那契數列”.若?=，?則=1（）

??+2A=．?1?7+51+??B．176C．177??=2?3+?6D+．?1978+?+?174+1?=

【變式4-2】（2025·廣東·一模）斐波那契數列因數學家斐波那契以兔子繁殖為例而引入，又稱“兔子數列”.

這一數列如下定義：設為斐波那契數列，，，，其通項公

?

?12???1??2

式為?，設是?=1?=1?=?+?的正?整≥數3解,?，∈則?的最大值為

??

11+51?5??

?2

（）?=52?2?log1+5?1?5<?+4?

A．5B．6C．7D．8

【變式4-3】（2025·云南昆明·一模）數列成為斐波那契數列，是由十三世紀意

大利數學家列昂納多·斐波那契以兔子繁殖?為?例:1子,1,而2,3引,5入,8，,13故,2又1,3稱4,為..“.兔,子數列”，該數列從第三項開始，每

項等于其前兩相鄰兩項之和，記該數的前項和為，則下列結論正確的是（）

A．{??}B?．??

C．?2019=?2021+2D．?2019=?2021?1

?2019=?2020+2?2019=?2020?1

【題型5牛頓數列問題】

【例5】（2025·陜西·模擬預測）對函數，若數列滿足，則稱為牛頓數列．若

???

??+1?′?

?=????=??????

函數，數列為牛頓數列，且，，則（）

2

A?．?20=??B?．?1=C2．3?0?=log2???10D=．

【變式5-1】（2025·黑龍江哈?3爾5濱·模擬預測）牛頓用“作切線”的方法求函?數55零點時給出一個數列

，我們把該數列稱為牛頓數列．如果函數??有兩個零點1，2，

???

'2

??:??+1=????????=??+??+??>0

數列為的牛頓數列．設，已知，的前項和為，則等于（）

???2

??????=ln???1?1=2??????2025+2

A．2025B．2026C．D．

20252026

【變式5-2】（2025·廣東韶關·二模）記上的可導函2數的導函數為2，滿足

′????

?+1?′

??????=??????∈?

的數列稱為函數的“牛頓數列”.已知數列為函數的牛頓數列，且數列滿足

2

???1

??.????=?????=

??

2,??=ln???1,??>1

(1)求；

(2)證明?2數列是等比數列并求；

(3)設數列?的?前項和為，若?不?等式對任意的恒成立，求t的取值范圍.

?2?

?????(?1)?????14≤???∈?

【變式5-3】（24-25高二下·四川·期中）物理學家牛頓用“作切線”的方法求函數零點時，給出了“牛頓數列”，

它在航空航天中應用非常廣泛．其定義是：對于函數，若滿足，則稱數列

′

為牛頓數列．已知，如圖，在橫坐標為?(?)的點處(作??+1?的?切?)?線(，??切)+線?與(?x?)軸=交0點的橫坐標

4

???(?)=??1=1?(?)

為，用代替重復上述過程得到，一直下去，得到數列．

?2?2?1?3??

(1)求數列的通項公式；

??

(2)若數列的前n項和為，且對任意的，滿足，求整數的最小值；（參考數

?5?

???

據：????∈??≥）16??(6)

4567

0.9=0.6561,0.9≈0.5905,0.9≈0.5314,0.9≈0.4783

(3)在（2）的前提下，設，直線與曲線有且只有兩個公共點

11′

?(?)=2??(?)?=??+?(?>0)?=?(?)

，其中，求的值．

?

?(?,?),(?,?)?<??(?)

【題型6以數列和項與通項關系定義新數列】

【例6】（2025·湖南永州·三模）如果數列對任意的，都有成立，則稱為“速

?

增數列”.若數列為“速增數列”，且任意?項?，?∈?，?，?+2+??>2，??則+1正整數k的最??大值為

（）????∈??1=1?2=3??=2025

A．62B．63C．64D．65

【變式6-1】（2024·江蘇南通·模擬預測）定義：已知數列的首項，前項和為.設與

?

{??}(?∈?)?1=1?????

是常數，若對一切正整數，均有111成立，則稱此數列為“”數列.若數列是

????

???+1???=???+1?&?{??}(?∈?)

“”數列，則數列的通項公式（）

3

3&2{??}??=

A．B．C．D．

??21(?=1)??21(?=1)

3×4??24×3??2

【變式6-2】（2025·河南信陽3·×模4擬預(測?）≥若2)數列滿足：當為奇數時，4×3(?≥2)；當為偶數時，

.則稱數列為和積交替數列.?????+??+1=??+2?

(?1?)?若?+數1列=?1?，+2a，b，6為和??積交替數列，分別求實數a，b的值；

(2)若數列為和積交替數列，且，.

1

???1=2?2=??>2

（i）若3是數列中的項，求實數的值；

?

（ii）若，證?明：.?

??1

2

?2=2?2?≥2

【變式6-3】（2025·河南安陽·三模）若正項數列滿足對任意，都有成立，則稱數列

???+2??+1

???∈???+1>????

為“倍增數列”.

(1)試判斷數列1，2，5，13和數列1，3，8，21是否為“倍增數列”；

(2)設數列為“倍增數列”，若為整數，，，，求正整數k的最大值；

??+1

?????1=1?2=1??=2025

(3)設數列滿足，，試判斷數列是否是“倍增數列”，并說明

?

理由.????+2=??+1+???∈??1=?2=1?2??1

【題型7數列定義新性質問題】

【例7】（2025·上海楊浦·模擬預測）已知是一個公差不為的等差數列，其前項和為.若存在正整數

(其中)使得，則稱?具?有性質，稱有序數0對是的一?組“數對??”，記由的

?全,?體“數?對<”所?組成的??集+合??為=0.關于命??題①“若Γ具有性質且?,???，則?！迸c命??題

???

②存Γ在具有性質的及互Ω不?相同的正整數??(其中Γ1且,4∈Ω?，使得Ω?=1,4且

?，下Γ列說??法正確的是（）?1,?2,??1<??2<??1,?∈Ω??

?

?2,?A．∈①Ω是?真命題，②是真命題B．①是真命題，②是假命題

C．①是假命題，②是真命題D．①是假命題，②是假命題

【變式7-1】（2025·北京海淀·一模）對于無窮數列和正整數，若存在滿足

?12?12

且，則稱數列具有性質?．下列選?項?中≥錯2誤的是（?）,?,?,??<?<

??1??2???

?<???1=?2=?=??????

A．若，則數列不具有性質

2

B．若??=???，則數列?2具有性質

C．存在??數=列??1和+cos，?π使得和??均不具有?性20質25，且具有性質

D．若數列?和??均?具有性質???，?則具有?2性質??+???2025

?????2025??+???2025

【變式7-2】（2025·河北·模擬預測）設，，，若各項均為正數的數列滿足，

1

?>1?≥1?∈??????<??+1<??

則稱數列具有性質“”．

(1)已知數列??的前n項?和?為，且，試判斷數列是否具有性質“”，并說明理

*

由；??????=1????∈????4

(2)若數列滿足，且．

2??*

???1=3??+1=lne?1?ln???∈?

（i）證明：數列具有性質“”；

???3

（ii）記數列的前n項和為，證明：．

1

?*

??????≥1?3?∈?

【變式7-3】（2025·河北·二模）已知是公差不為0的無窮等差數列.若對于中任意兩項，，在

中都存在一項，使得，則??稱數列具有性質.????????

(1)已知??，??=????，判?斷?數列，?是否具有性質；

(2)若數列??=2具?有?性?=質4?，+證3明?：=1,2的,?各項均為整數；?????

(3)若??，求具有性?質的數列??的個數.

?1=18???

【題型8數列中的其他新定義問題】

【例8】（2025·河南·模擬預測）已知數列和常數存在以下關系：對，當

*

?????>0,??∈??>?

時，，則稱為的極限，若數列的極限是，則稱數列為“超極限數列”.已知數列

5?1

????<??????2????

滿足.

??*

:?1=?2=1,??+2=??+??+1,??=??+1,?∈?

(1)寫出的前5項；

(2)證明：??為“超極限數列”；

(3)若??，從中任取一項，求該項能被9整除的概率.

*222

?∈?,??=?1+?2+?+???1,?2,?,??

【變式8-1】（2025·河南·模擬預測）若對于任意的，為數列中小于的項的個數，則稱數列

*

是的“生成數列”.?∈????????

?

(1)分?別寫出數列1，0，3，4及，，2，的“生成數列”的前4項；

(2)若數列滿足，且2的“3生成數列5”為，求；

(3)若為?等?比數列??，=且2??，?公比，的?“?生成數??列”為，的“生成數列”為，求.

???1=2?=3??????????

【變式8-2】（2025·新疆喀什·模擬預測）對于有限正整數數列，若存在連續(xù)子列

和符號序列，，使得，其中?:?1,?2,???,??，則稱數列??,?存?+在1,平???衡,??

??

連續(xù)子列．????+1,???,??∈?1,1