重難點(diǎn)20數(shù)列的綜合應(yīng)用

【全國(guó)通用】

【題型1等差、等比數(shù)列的綜合問(wèn)題】...................................................................................................................2

【題型2數(shù)列中的數(shù)學(xué)文化問(wèn)題】...........................................................................................................................3

【題型3數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解】...........................................................................................................................4

【題型4數(shù)列中的不等式恒成立、有解問(wèn)題】.......................................................................................................5

【題型5數(shù)列中的不等式證明問(wèn)題】.......................................................................................................................6

【題型6數(shù)列求和問(wèn)題】...........................................................................................................................................7

【題型7數(shù)列中的結(jié)構(gòu)不良題】...............................................................................................................................8

【題型8數(shù)列與其他知識(shí)的交匯問(wèn)題】.................................................................................................................10

【題型9數(shù)列中的新定義、新情景問(wèn)題】.............................................................................................................11

1、數(shù)列的綜合應(yīng)用

數(shù)列是高考的重點(diǎn)內(nèi)容和熱點(diǎn)內(nèi)容，命題形式多種多樣，大小均有，屬于高考的必考內(nèi)容之一.從近幾

年的高考情況來(lái)看，數(shù)列的綜合應(yīng)用問(wèn)題以及數(shù)列與函數(shù)、不等式等知識(shí)的交匯問(wèn)題，是歷年高考的熱點(diǎn)

內(nèi)容，以解答題的形式考查，一般圍繞等差數(shù)列、等比數(shù)列的知識(shí)命題，涉及數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)、通項(xiàng)公式、

前n項(xiàng)和公式等.

從近幾年的高考情況來(lái)看，高考?jí)狠S題中出現(xiàn)數(shù)列的新定義、新情景問(wèn)題也是高考的一個(gè)重要趨勢(shì)，

這類問(wèn)題綜合性強(qiáng)，難度大，需要學(xué)會(huì)靈活求解.

知識(shí)點(diǎn)1等差、等比數(shù)列的交匯問(wèn)題的解題策略

1．等差、等比數(shù)列的交匯問(wèn)題的求解思路：

(1)等差與等比數(shù)列的基本量間的關(guān)系，利用方程思想和通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式求解，求解時(shí)注意對(duì)性質(zhì)

的靈活運(yùn)用.

(2)數(shù)列的綜合運(yùn)算問(wèn)題常將等差、等比數(shù)列結(jié)合，兩者相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化，解答這類問(wèn)題的方法：尋找

通項(xiàng)公式，利用性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

知識(shí)點(diǎn)2數(shù)列的數(shù)學(xué)文化問(wèn)題

1．?dāng)?shù)列的數(shù)學(xué)文化問(wèn)題的解題步驟：

(1)讀懂題意：會(huì)脫去數(shù)學(xué)文化的背景，讀懂題意；

(2)構(gòu)造模型：根據(jù)題意，構(gòu)造等差數(shù)列、等比數(shù)列或遞推關(guān)系式的模型；

(3)求解模型：利用數(shù)列知識(shí)求解數(shù)列的基本量、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和等，解決問(wèn)題.

知識(shí)點(diǎn)3數(shù)列的新定義、新情景問(wèn)題

1．?dāng)?shù)列的新定義、新情景問(wèn)題的求解策略

(1)新定義問(wèn)題：遇到新定義問(wèn)題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點(diǎn)，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的

要求，“照章辦事”，逐條分析，運(yùn)算，驗(yàn)證，使得問(wèn)題得以解決.

(2)新情景問(wèn)題：通過(guò)給出一個(gè)新的數(shù)列的概念，或約定一種新的運(yùn)算，或給出幾個(gè)新模型來(lái)創(chuàng)設(shè)新問(wèn)題的

情景，要求在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識(shí)和方法，實(shí)現(xiàn)信息的遷移，達(dá)到

靈活解題的目的.

知識(shí)點(diǎn)4數(shù)列的綜合應(yīng)用

1．?dāng)?shù)列與不等式交匯問(wèn)題的解題策略

(1)解決數(shù)列與不等式的綜合問(wèn)題時(shí)，若是證明題，則要靈活選擇不等式的證明方法，如比較法、綜合法、分

析法、放縮法等；若是含參數(shù)的不等式恒成立、有解問(wèn)題，則可分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為研究最值問(wèn)題來(lái)解決.

(2)數(shù)列與不等式交匯問(wèn)題的答題模板

第一步：根據(jù)題目條件，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；

第二步：根據(jù)數(shù)列項(xiàng)的特征，選擇合適的方法(公式法、分組轉(zhuǎn)化法、裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減法等)求和；

第三步：利用第二步中所求得的數(shù)列的和，證明不等式或求參數(shù)的范圍；

第四步：反思解題過(guò)程，檢驗(yàn)易錯(cuò)點(diǎn)，規(guī)范解題步驟.

2．?dāng)?shù)列與函數(shù)交匯問(wèn)題的解題策略

數(shù)列與函數(shù)綜合問(wèn)題的主要類型及解題策略

(1)已知函數(shù)條件，解決數(shù)列問(wèn)題，此類問(wèn)題一般利用函數(shù)的性質(zhì)、圖象研究數(shù)列問(wèn)題.

(2)已知數(shù)列條件，解決函數(shù)問(wèn)題，解決此類問(wèn)題一般要利用數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式、求和方法等

對(duì)式子化簡(jiǎn)變形.

注意數(shù)列與函數(shù)的不同，數(shù)列只能看作是自變量為正整數(shù)的一類函數(shù)，在解決問(wèn)題時(shí)要注意這一特殊性.

3．子數(shù)列問(wèn)題的解題策略

子數(shù)列是數(shù)列問(wèn)題中的一種常見(jiàn)題型，將原數(shù)列轉(zhuǎn)化為子數(shù)列問(wèn)題一般適用于某個(gè)數(shù)列是由幾個(gè)有規(guī)律的

數(shù)列組合而成的，具體求解時(shí)，要搞清楚子數(shù)列的項(xiàng)在原數(shù)列中的位置，以及在子數(shù)列中的位置，即項(xiàng)不

變化，項(xiàng)數(shù)變化，它體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸以及分類討論、函數(shù)與方程的思想，能很好地考查學(xué)生的思維.

4．?dāng)?shù)列中結(jié)構(gòu)不良題的解法

(1))先定后動(dòng)，先對(duì)題目中確定的條件進(jìn)行分析推斷，再觀察分析“動(dòng)”條件，結(jié)合題干要求選出最適合自

己解答的條件求解.

(2)最優(yōu)法，當(dāng)題干中確定的條件只有一個(gè)時(shí)，要根據(jù)自己的知識(shí)優(yōu)勢(shì)和擅長(zhǎng)之處選擇更適合自己的條件進(jìn)

行解答.

【題型1等差、等比數(shù)列的綜合問(wèn)題】

【例1】（2025·湖南永州·模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，公差，若，且，，

?????≠0?5=70?2?4

成等比數(shù)列，則（）

?9A．30?6=B．32C．36D．40

【變式1-1】（2025·湖北黃岡·三模）給出條件的三邊既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列；為正三

角形；則是的（）?:△????:△???

A．充?分不?必要條件B．必要不充分條件

C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件

【變式1-2】（2025·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列滿足，且，，為等

比數(shù)列.???2?=2??+1?1+1?2+1?3+3

(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

(2)若??，求數(shù)列的前項(xiàng)和.

??1

??=3???????

【變式1-3】（2025·遼寧大連·一模）已知首項(xiàng)相同的等差數(shù)列的公差與等比數(shù)列的公比大小相等，

??

且，，??

?47

??+1>???2=2?4??2=5.

(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式;

(2)令??，?求?數(shù)列的前項(xiàng)和.

??=?????????

【題型2數(shù)列中的數(shù)學(xué)文化問(wèn)題】

【例2】（2025·江蘇宿遷·模擬預(yù)測(cè)）《周髀算經(jīng)》中有這樣一個(gè)問(wèn)題：從冬至日起，依次為小寒、大寒、立

春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種，這十二個(gè)節(jié)氣，其日影長(zhǎng)依次成等差數(shù)列，若

小寒、雨水、清明日影長(zhǎng)之和為36尺，前八個(gè)節(jié)氣日影長(zhǎng)之和為92尺，則谷雨日影長(zhǎng)為（）

A．15B．16C．17D．18

【變式2-1】（2025·陜西漢中·模擬預(yù)測(cè)）鬼工球，又稱同心球，要求制作者使用一整塊完整的材料，將其雕

成每層均同球心的數(shù)層可自由轉(zhuǎn)動(dòng)的空心球，空心球的球面厚度不計(jì).為保證鬼工球的每一層均可以自由轉(zhuǎn)

動(dòng)，要求其從最內(nèi)層起，每層與其外一層球面的間距構(gòu)成首項(xiàng)為?公差為的等差數(shù)列，若一個(gè)鬼

工球最外層與最內(nèi)層的半徑之差為，則該鬼工球的層數(shù)為1（mm）4mm

190mm

A．9B．10C．11D．12

【變式2-2】（2025·云南昆明·模擬預(yù)測(cè)）每年6月到9月，昆明大觀公園的荷花陸續(xù)開放，已知池塘內(nèi)某種

單瓣荷花的花期為3天（第四天完全凋謝），池塘內(nèi)共有2000個(gè)花蕾，第一天有10個(gè)花蕾開花，之后每

天花蕾開放的數(shù)量都是前一天的2倍，則在第幾天池塘內(nèi)開放荷花的數(shù)量達(dá)到最大（）

A．6B．7C．8D．9

【變式2-3】（2025·山東青島·三模）《九章算術(shù)》是中國(guó)古代的數(shù)學(xué)名著，書中有“分錢問(wèn)題”：現(xiàn)有5個(gè)人

分5錢，5人分得錢數(shù)依次成等差數(shù)列，前兩人分得錢數(shù)之和等于后三人分得錢數(shù)之和，則分得錢數(shù)最少的

一人錢數(shù)為（）

A．B．C．D．

1125

3236

【題型3數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解】

【例3】（2025·江西新余·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足，且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式

??+1???

為（）??3?3=2?1=1??

A．B．

???1

C．??=2?1D．??=log32+1

??+1

【變式3-?1?】（=2lo0g235·2云南+·1一模）已知數(shù)列的前項(xiàng)??和=lo滿g3足2?1，若數(shù)列滿足，

*

，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為??（）?????=2???1?∈N???1=2

??+1A=．??+????B．C．D．

??1???1?

??2+1?2??2?1?2

【變式3-2】=（2025·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)?）=設(shè)數(shù)+列1的前項(xiàng)和為=，且.?=?1

3

???????=2???1

(1)求的通項(xiàng)公式；

??

(2)設(shè)，求的前項(xiàng)和．

??+1

??=????+1+log3???????

【變式3-3】（2025·河南駐馬店·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為．

1

?????,??≠0,?1=2,??=????+1

(1)求的通項(xiàng)公式；

(2)若??，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

2

1?+1??+1?

在（?=）1的條件?下，+若?=4?，求?的前項(xiàng)和．

(3)2??1

1???2

??=???????

【題型4數(shù)列中的不等式恒成立、有解問(wèn)題】

【例4】（2025·海南·模擬預(yù)測(cè)）數(shù)列滿足，對(duì)于任意的

51?

?1?+1???

恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（?）?=2,??=2??2?∈N,??2??1<2??2

A．?B．C．D．

33

?∞,?4?∞,?14,?+∞1,?+∞

【變式4-1】（2025·北京大興·三模）已知數(shù)列為無(wú)窮等比數(shù)列，為其前項(xiàng)和，“存在，對(duì)于任

??1

意的，”是“存在，對(duì)于?任意的?”的（?）?>0

??

A?．∈充N分而?不?必<要?條1件?2>0B．必要?而∈不N充,分??條<件?2

C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件

【變式4-2】（2025·山西忻州·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足．

?+1

(1)求的通項(xiàng)公式；??????=2+1

(2)若??，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

??

??∈??2?>???3?

【變式4-3】（2025·黑龍江大慶·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，數(shù)

2

??????

為奇數(shù)????>0,4?=?+2?+1

列滿足

為偶數(shù)

??+1+??,?,

????=

?+1?

(1)求數(shù)列的通?項(xiàng)公?式?；,?,

(2)記數(shù)列??的前項(xiàng)和為，若對(duì)于任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

*

??????∈?,??≥10?+??

【題型5數(shù)列中的不等式證明問(wèn)題】

【例5】（2025·遼寧沈陽(yáng)·三模）已知數(shù)列中，，，且數(shù)列為等差數(shù)列．

??

???1=3?3=15?

(1)求的通項(xiàng)公式；

?

(2)記?為數(shù)列的前n項(xiàng)和，證明：．

13

??????<4

【變式5-1】（2025·海南·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，

?

(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；??????=2?????∈?

?

(2)設(shè)?，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：．

11

??=log2??+1?log2??+1+1?????2≤??<1

【變式5-2】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和．

(1)求的通項(xiàng)公式；????=2????

??

(2)證明：．

?1+1?2+1?3+1??+15

?2+?4+?6+?+?2?<4

【變式5-3】（2025·江蘇·三模）已知數(shù)列是等差數(shù)列，記其前項(xiàng)和為，且，．

1

??????3=?5?2?=2??+4

(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

?

(2)將數(shù)列?與的所有項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列．

①求的?前?20項(xiàng)?和?；??

?

②證明?：．

111

222

?1+?2+?+??<32

【題型6數(shù)列求和問(wèn)題】

【例6】（2025·江西·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足：，，令

?1?+1123??

，數(shù)列的前項(xiàng)和，則?（?）=2?=?+2?+3?+?+???=

?+3

??+1+??+2+??+3??????2025=

A．B．C．D．

11111111

8?2029!6?2028!4?2027!2?2026!

【變式6-1】（2025·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）數(shù)列的前2025項(xiàng)和為（）

??1?

A．1012B．C(．?110)13???∈?D．

【變式6-2】（2025·云南昭通?·1模01擬2預(yù)測(cè)）已知數(shù)列是等差數(shù)列，且?1013，數(shù)列的前項(xiàng)和為

，且，．???2?=2??+1???

?

(?1?)求??和=2?的1通項(xiàng)?2公=式2；?2?1

??

(2)求數(shù)?列?的前項(xiàng)和．

??

?????

【變式6-3】（2025·云南玉溪·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，，且

.?????1=?1=1?2??2=?3?

(?13)求=1與的通項(xiàng)公式；

????

(2)設(shè)?，求的前項(xiàng)和．

?

?,1?=2??1,?∈?

??=???2??2?

log2??log2??+2,?=2?,?∈?

【題型7數(shù)列中的結(jié)構(gòu)不良題】

【例7】（2025·江蘇·一模）在①；②；③這三個(gè)條件

2?

中，請(qǐng)選擇一個(gè)合適的條件，補(bǔ)?充?在=下?題?橫2線上（?1只=要1寫,??序+1號(hào)=），??并+1解+答該??題．2???1=??

已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前項(xiàng)和為，且對(duì)任意正整數(shù)，有______．

(1)求的?通?項(xiàng)公式；????

?

(2)設(shè)?，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：．

??+13

??=?????+1?????4≤??<1

【變式7-1】（2024·廣西賀州·一模）在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充

?973

2136

在下面的問(wèn)題中，并解答．??3?=0?=14?=9

設(shè)是遞增的等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，且，__________．

(1)求??的通項(xiàng)公式；???2=4

?

?為奇數(shù)

(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和．

為偶數(shù)

2??1,?

????=??2??2?

?

（注：若選擇多個(gè)解答，按第?一,?個(gè)解答計(jì)分）

【變式7-2】（2025·黑龍江齊齊哈爾·三模）已知數(shù)列滿足，數(shù)列為各項(xiàng)均為正數(shù)的等

比數(shù)列，且滿足???1=3,?2=6??

*

(1)求數(shù)列的通??項(xiàng)?公?+1式?；??=??+1,?∈?

(2)已知數(shù)列??的前項(xiàng)和為，若______．

下面三個(gè)條件?中?任選?一個(gè)，補(bǔ)?充?在上面橫線中．

①；

②3?2=?3?成3等差數(shù)列；

③?2,2?3,?成3等比數(shù)列．

?1,?3,?3

為奇數(shù)

記數(shù)列滿足求數(shù)列的前20項(xiàng)和．

為偶數(shù)

??,?,

????=???20

32?

注：若選擇多個(gè)條件分lo別g解?答,?，則按第,一個(gè)解答計(jì)分．

【變式7-3】（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）在①，，，成等比數(shù)列，②，，

③，，這三個(gè)條件中任?選1一=個(gè)1，?補(bǔ)1充?到3下?面9的問(wèn)題中并作答?2．+?4=6?1??5=5

36

問(wèn)題