重難點15解三角形的最值和范圍問題（舉一反三專項訓(xùn)練）

【全國通用】

【題型1三角形（四邊形）面積的最值或范圍問題】.........................................................................................2

【題型2三角形邊長的最值或范圍問題】.............................................................................................................5

【題型3三角形周長的最值或范圍問題】.............................................................................................................8

【題型4三角形的角的最值或范圍問題】...........................................................................................................11

【題型5利用基本不等式求最值（范圍）】.......................................................................................................14

【題型6轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值（范圍）】.......................................................................................................16

【題型7轉(zhuǎn)化為其他函數(shù)求最值（范圍）】.......................................................................................................19

【題型8“坐標(biāo)法”求最值（范圍）】...................................................................................................................23

【題型9與平面向量有關(guān)的最值（范圍）問題】...............................................................................................28

1、解三角形的最值和范圍問題

解三角形中的最值或范圍問題，通常涉及與邊長、周長有關(guān)的范圍問題，與面積有關(guān)的范圍問題，或

與角度有關(guān)的范圍問題，一直是高考的熱點與重點，有時也會與三角函數(shù)、平面向量等知識綜合考查，主

要是利用三角函數(shù)、正余弦定理、三角形面積公式、基本不等式等工具研究三角形問題，解決此類問題的

關(guān)鍵是建立起角與邊的數(shù)量關(guān)系，復(fù)習(xí)時要加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練，學(xué)會靈活求解.

知識點三角形中的最值和范圍問題

1．三角形中的最值（范圍）問題的常見解題方法：

(1)利用正、余弦定理結(jié)合三角形中的不等關(guān)系求最值（范圍）；

(2)利用基本不等式求最值（范圍）；

(3)轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值（范圍）；

(4)轉(zhuǎn)化為其他函數(shù)求最值（范圍）；

(5)坐標(biāo)法求最值（范圍）.

2．三角形中的最值（范圍）問題的解題策略：

(1)正、余弦定理是求解三角形的邊長、周長或面積的最值（范圍）問題的核心，要牢牢掌握并靈活運用．解

題時要結(jié)合正弦定理和余弦定理實現(xiàn)邊角互化，再結(jié)合角的范圍、輔助角公式、基本不等式等研究其最值

（范圍）．

(2)轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值（范圍）問題的解題策略

三角形中最值(范圍)問題，如果三角形為銳角三角形，或其他的限制，一般采用正弦定理邊化角，利用三

角函數(shù)的范圍求出最值或范圍.

(3)坐標(biāo)法求最值（范圍）求最值（范圍）問題的解題策略

“坐標(biāo)法”也是解決三角形最值問題的一種重要方法.解題時，要充分利用題設(shè)條件中所提供的特殊邊角關(guān)系，

建立合適的直角坐標(biāo)系，正確求出關(guān)鍵點的坐標(biāo)，將所要求的目標(biāo)式表示出來并合理化簡，再結(jié)合三角函

數(shù)、基本不等式等知識求其最值．

【題型1三角形（四邊形）面積的最值或范圍問題】

【例1】（2025·江西萍鄉(xiāng)·二模）在中，內(nèi)角所對的邊分別為，若，

5sin?cos?

則面積的最大值為（）△????,??,???,??,???=2,?1+cos?+sin?=3

△A?．??3B．C．D．

3

2323

【答案】A

【解題思路】首先利用三角函數(shù)的基本關(guān)系化簡得，再結(jié)合余弦定理以及基本不等式知識

34

sin?=5,cos?=5

得，則三角形面積的最大值可求.

【解?答?≤過1程0】對進(jìn)行化簡，

5sin?cos?

1+cos?+sin?=3

通分可得，

22

5sin?+1+cos?cos?5?4cos?+cos??4cos??5cos?+1?4cos??5

1+cos?sin?=1+cos?sin?=1+cos?sin?=sin?=3

即，又，解得；

2234

5?4cos?=3sin?sin?+cos?=1sin?=5,cos?=5

已知，由余弦定理，可得，

222228

根據(jù)基?=本2不等式?=?（+當(dāng)?且僅?當(dāng)2??cos?時取等號4）=，?+??5??

22

則?+?≥2??，?可=得?，

22882

4=?+??5??≥2???5??=5????≤10

三角形面積，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立,

133

?△???=2??sin?=10??≤10×10=3?=?

故選：A.

【變式1-1】（2025·遼寧·二模）在等邊三角形中，D、E、F分別在邊、、上，且

．則三角形面積的最大值是??（?）????????=3,??=

°

2,∠???=90???

A．B．C．D．

73

【答案】A3237363

【解題思路】結(jié)合已知，引入來表達(dá)，且據(jù)勾股定理可求出，則在

和中，分別用正弦定理∠?可?表?=達(dá)?，即可∠?表?達(dá)?,面∠?積?，?,從∠?而?分?析最值.??=1△???

【解△答?過??程】設(shè)，??

∠???=?

，

π2ππ

∴∠???=2??,∠???=3??,∠???=6+?

，

π

∵∠???=，2,??=2,??=3

∴??=1

在中，，即，

????3??

π2π

△???sin∠???=sin∠???sin3=sin3??

，

2π

∴??=2sin3??=3cos?+sin?

同理，在中，，

23π3

△?????=3sin6+?=3cos?+sin?

的邊長，

3221

∴△?????=??+??=3cos?+sin?+3cos?+sin?=3sin(?+?)

其中，

23

tan?=3

時，取得最大值為，

?π221

∵?∈0,2∴?+?=2??3

.

3232873

△???

故∴?選：A=.4??≤4×3=3

【變式1-2】（2024·重慶·模擬預(yù)測）已知的內(nèi)角所對應(yīng)的邊分別為，若.

??1+??

△????,?,??,?,??=1,?+?=??

(1)求；

(2)求?面積的最大值.

【答案△】?(1?)?

π

3

(2)

3

【解4題思路】（1）根據(jù)條件，得到，再利用余弦定理，即可求解；

22

（2）由（1）結(jié)果，利用基本不等式?，+得?到=??+，1再利用面積公式，即可求解.

??≤1

【解答過程】（1），得到，

??1+??22

?+?=???+?=??+1

由余弦定理知，，

22222

?+????+??1??1

cos?=2??=2??=2??=2

因為，所以．

π

?∈0,π?=3

（2），得到，當(dāng)且僅當(dāng)取等，

22

所以??+1=?+?≥2?，?（當(dāng)且?僅?≤當(dāng)1取?等=）?=1

13

?△???=2??sin?≤4?=?=1

故面積的最大值為．

3

4

【變△式??1-?3】（2024·全國·模擬預(yù)測）記銳角三角形的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知

，.??????????cos?=3?

(?1c)o求s?.2?sin?=3

(2)求?面積的取值范圍.

【答案△】?(1?)?；

π

?=6

(2).

333

【解題8思,路2】（1）方法一：由余弦定理角化邊求解；方法二：由正弦定理邊化角求解.

（2）利用正弦定理得，結(jié)合為銳角三角形，求得，進(jìn)而求得

?sin?3sin?+?33ππ3

，即可求解.?=sin?=sin?=2tan?+2△???3<?<22<

【?解<答2過程】（）方法一：由余弦定理，得，解得

1222222.

?+????+???

?×2??=3??×2???=3

又，所以由正弦定理，得.

?sin?1

2?sin?=3sin?=?=2

又為銳角三角形，所以.

π

△????=6

方法二：由題意知，.

由正弦定理得?cos?=2?sin???cos?，

所以sin?cos?=2sin?sin??，sin?cos?

所以sin?cos?+cos?sin?=，2s即in?sin?；

sin?+?=2sin?sin?sin?=2sin?sin?

又因為，所以，又因為，所以.

1ππ

sin?≠0sin?=2?∈0,2?=6

（2）由正弦定理，得；

?sin?3sin?+?3sin?cos?+3cos?sin?33

?=sin?=sin?=sin?=2tan?+2

因為為銳角三角形，所以π，

0<?<2

△???5ππ

0<?=6??<2

解得，所以，所以.

ππ3

3<?<2tan?>32<?<2

因為，所以，所以.

13333

?=3?△???=2??sin?=4?8<?△???<2

故面積的取值范圍為.

333

△???8,2

【題型2三角形邊長的最值或范圍問題】

【例2】（2025·江蘇連云港·模擬預(yù)測）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，

則邊b的取值范圍為（）△????=1?cos?=1+cos?

A．B．C．D．

【答案】B0,11,20,22,3

【解題思路】利用正弦定理邊化角，再利用和差角的正弦推理得，又由正弦定理得，根據(jù)

角A的范圍利用余弦函數(shù)性質(zhì)求解值域即可求解.?=2??=2cos?

【解答過程】由，得，，

由正弦定理可得?=1?cos?=1+cos?，?c即os?=?+?cos?，

所以sin?co，s?所=以sin?+sin?或cos?sin?co（s?舍?去sin）?，co所s?以=sin?，

sin???=sin????=????+?=π?=2?

由正弦定理得,，

?sin?sin2?

?=sin?=sin?=2cos?

而，，所以，

π

0<?<π,0<?=2?<π0<?=π?3?<π0<?<3

所以，所以，所以的取值范圍為.

1

2<cos?<1?=2cos?∈1,2?1,2

故選：B.

【變式2-1】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知是銳角三角形，內(nèi)角A，B，C所對應(yīng)的邊分別為a，b，c．若

，則的取值范圍是（）△???

22?

???=???+?

A．B．C．D．

32

【答案】C3,22?3,12?3,2?12+1,3+2

【解題思路】由余弦定理和正弦定理，結(jié)合正弦和角公式得到，結(jié)合為銳角三角形，

sin?=sin(???)△???

得到，故，再利用正弦定理得到，求出取值范圍即可.

ππ?1

2

【解答?過=程2】?因為6<?<4，得．?+?=4cos?+2cos??1

2222

由余弦定理得???=???，=?+??

222

所以?=?+??2??c，os即?．

222

由正弦?定+理??得=?+??2??cos??，=??2?cos?

sin?=sin??2sin?cos?

因為，則，

所以?=π?(?+?)sin?=s，in即(?+?)=sin?cos?+．cos?sin?

因為sin?=是si銳n?角co三s?角?形c，os所?s以in?sin?，=sin(???，)所以．

ππππ

△???0<?<20<?<2?2<???<2

又在上單調(diào)遞增，所以，則．

ππ

?=sin??2,2?=????=2?

因為是銳角三角形，所以，，，

πππ

△???0<?<20<?=2?<20<?=π?3?<2

所以，

ππ

6<?<4

由正弦定理得

?sin?sin?sin?

?+?=sin?+sin?=sin2?+sin(π?3?)=sin2?+sin3?

sin?1

==22

sin2?+sin2?，cos?+cos2?sin?2cos?+2cos?+2cos??1

1

2

=4cos?+2cos??1

令，因為，所以．

ππ23

cos?=?6<?<4?∈2,2

在上單調(diào)遞增，

2

21523

?=4?+2??1=4?+4?4?∈2,2

當(dāng)時，，當(dāng)時，，

23

?=2?=1+2?=2?=2+3

故

?111

2

?+?=4?+2??1∈2+3,1+2=2?3,2?1

故選：C．

【變式2-2】（2025·山東德州·三模）在中，角，，所對的邊分別為，，．已知

．△?????????2sin?=sin?+

(c1o)s求?ta；n?

(2)若?，求的邊的最大值．

2

【答案2】(?(1+)?)=?△????

π

?=3

(2)4．

【解題思路】（1）根據(jù)給定條件，利用和角的正弦化簡求解.

（2）由（1）的結(jié)論，利用余弦定理及基本不等式求出最大值.

【解答過程】（1）由，得，

即2sin?，=又sin?+cos?tan?，則2sin?cos?=sin?cos?，+cos?sin?

2sin?cos?=sin(?+?)?+?+?=πsin(?+?)=sin?≠0

于是，又，所以.

1π

cos?=20<?<π?=3

（2）由（1）知，由余弦定理，得，

π2222

而?，=則3?=?+，??2??cos?=(?+?)?3??

22

因此2(?+?)=?2(?+?)=(?+?)?，3?解?得，

232

當(dāng)且僅(?當(dāng)+?)?時2(取?等+號?)，=則3??≤4(?+?)，?+?≤8

所以?=的?邊的最大值為?4=.2(?+?)≤4

【變式△2?-3?】（?2025?·貴州遵義·模擬預(yù)測）已知的內(nèi)角A、、的對邊分別為，，，且

．△????????3?cos?=?cos?+

(?1c)o求s?；

tan?

(2)若，且，求的取值范圍．

ππ

?∈4,3?=1?+?

【答案】(1)

2

(2)

36

【解題2思+路3】,（31+）3由正弦定理邊化角結(jié)合兩角和的正弦以及同角的三角函數(shù)關(guān)系可得；

（2）由正弦定理邊化角結(jié)合兩角和的正弦表示出，再結(jié)合正弦和正切的單調(diào)性求解即可；

?+?

【解答過程】（1）由正弦定理可得，

???

因為，所si以n?=sin?=sin?，

因為3?cos?，=所?c以os?+?cos?，3sin?cos?=sin?cos?+sin?cos?=sin?+?=sin?

所以?∈0,π，sin?>0，

326

cos?=3sin?=1?cos?=3

所以.

sin?

tan?=cos?=2

（2）由正弦定理可得，，

?sin?6?sin?sin?sin?+?sin?cos?+cos?sin?63

?=sin?=3sin??=sin?=sin?=sin?=sin?=3tan?+3

所以，

663

?+?=3sin?+3tan?+3

因為在均為單調(diào)遞增，

ππ

sin?,tan??∈4,3

所以在為單調(diào)遞減，

663ππ

?+?=3sin?+3tan?+3?∈4,3

所以當(dāng)時，最大值為；所以當(dāng)時，最小值為；

π6π3

?=43+3?=32+3

所以的取值范圍為.

36

?+?2+3,3+3

【題型3三角形周長的最值或范圍問題】

【例3】（2025·江西贛州·模擬預(yù)測）在銳角三角形ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知，

，則的周長的取值范圍是（）?=2?

?=A2．△???B．

C．4+22,6+23D．4+22,6+23

【答案】A4+22,6+234+22,6+23

【解題思路】將表示為角的形式，結(jié)合三角恒等變換以及三角函數(shù)的值域等知識確定正確答案.

【解答過程】?,?，

22

由正弦定理得sin3?=sin2?+?=sin2?cos?+cos2，?sin?=2sin?cos?+2cos??1sin?

???2??

sin?=sin?=sin?,sin?=sin2?=sin?+?

，

2??

由sin?于=2sin?cos?，=sin3?

所以sin?>0，

22

22sin?cos?+2cos??1sin?2

所以?=4cos?,?=sin?，=8cos??2

2

?+?+?=8cos?+4cos?

ππ

由于，所以，所以，

0<?<20<?<2

ππππ

0<?<20<2?<26<?<4

ππ

2<?+?<π2<3?<π

所以，則，

232

2<cos?<24<8cos?<6,22<4cos?<23

函數(shù)的開口向上，對稱軸為，

21

?=8?+4??=?4

所以.

2

故選：?+A.?+?=8cos?+4cos?∈4+22,6+23

【變式3-1】（24-25高一下·福建莆田·期中）在銳角三角形中，已知，，分別是角，，的對邊，

且，，則三角形的周長的取值范圍??是?（）??????

3A?．=2?sin??=3B．???C．D．

【答案】C3?3,333?3,333+3,333+3,33

【解題思路】

由正弦定理化簡已知可得，再由是銳角，得到，然后根據(jù)正弦定理和三角形內(nèi)角和將周長用

π

sin???=3?

表示，結(jié)合三角恒等變化和三角函數(shù)圖象即可求得范圍.

【解答過程】因為，

根據(jù)正弦定理得，3?=2?sin?，

因為為銳角，所以3sin?＞=，2sin?sin?

?sin?0

所以，即，而A為銳角，

3

3=2sin?sin?=2

所以，

π

?=3

因為根據(jù)正弦定理，

???3

3

sin?=sin?=sin?==2

所以，2

因為三?=角2形si周n?長,?為=2sin?，

又因為，所以?+?+?=，3+2sin?+2sin?

π2

?=3?=3π??

所以，

2π

?+?+?=3+2sin?+2sin3π??=3+2sin?+3cos?+sin?=23sin?+6+3

因為，即，

πππ2π

?∈0,2,?∈0,2?∈0,2,3π??∈0,2

所以，

ππ

?∈6,2

即，，

ππ2π3

63362

所以?+∈,πsin?，+∈.,1

故選：?+C.?+?∈3+333

【變式3-2】（2025·湖北武漢·模擬預(yù)測）已知分別為銳角三個內(nèi)角的對邊，且

.?,?,?△????,?,??cos?+

(13)求?sin；?????=0

(2)若?；求周長的取值范圍.

【答案?】=(13)△???

π

3

(2)

【解題3+思3路】3,9（1）由正弦定理邊化角變形已知等式，再結(jié)合兩角和的正弦，輔助角公式和誘導(dǎo)公式可得；

（2）由正弦定理邊化角和兩角差的正弦得到，再結(jié)合銳角范圍和三角函數(shù)值域可得.

【解答過程】（1）?+?.

由正弦定理得∵?cos?+3?sin?????=0

∴在中，sin?cos?+3sin?sin??sin??sin?=0

△???∵?+?+?=π,∴sin?=sin?+?=sin?cos?+cos?sin?

代入上式化簡得：

因為，所以3sin?sin??cos?sin，?即?sin?=0

π

sin?≠03sin??cos?=12sin??6=1

為銳角，.

π

∵?∴?=3

（2）由正弦定理得

???2π

2?=sin?=sin?=sin?=23,?+?=3

所以

2π

?+?=2?sin?+2?sin?=23sin?+sin?=23sin?+sin3??

，

33π

=232sin?+2cos?=6sin?+6

是銳角三角形，，

ππ2ππ

∵△???∴0<?<2,0<?<2,0<3??<2

，

ππππ2π

∴6<?<2,∴3<?+6<3

即，

3π

26

所以<sin周?長+的取≤值1,范∴圍3為3<?+?≤6,.∴3+33<?+?+?≤9

【變式△3?-3?】?（2025·湖南永州·模擬3+預(yù)3測）3,在9中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，

?sin??sin?

△????=1???=

，.

(s1in)求(?+?)的?外≠接?圓半徑；

(2)若△???為銳角三角形，求周長的取值范圍.

△???△???

【答案】(1)

3

3

(2)

【解題1+思路3】,3（1）根據(jù)正弦定理邊角互化可得，即可由余弦定理求解，

222

?+???=??

（2）根據(jù)正弦定理以及三角恒等變換可得，即可利用三角形的邊角關(guān)系求解.

π

?+?=2sin?+6

【解答過程】（）由可得，

12

?sin??sin??sin??sin????

故，由?于??=，si故n(?+?)???=sin(?+?)=sin?????=?

22222

由余?弦+定?理?得?=???=1?+???=??

222

?+???1

cos?=2??=2

由于，所以，

π

?∈0,π?=3

，根據(jù)解得，

3?3

sin?=22?=sin??=3

所以的外接圓半徑為.

3

△???3

（2）由（1）知，，，，

π2ππ

?=3?+?=3?≠3

由正弦定理有，

???123

3

sinsin

?=?=sin?=2=3

所以

23232323π

?+?=3sin?+3sin?=3sin?+3sin3+?

，

232331π

=3sin?+32cos?+2sin?=3sin?+cos?=2sin?+6

π

因為為銳角三角形，所以0<?<2，解得，

2ππππππ

△???0<3??<2?∈6,3∪3,2

π

?≠3

所以，則，

ππππ2ππ

?+6∈3,2∪2,32sin?+6∈3,2

所以，則.

所以3<?周+長?的<取2值范1圍+為3<?+?+.?<3

△???1+3,3

【題型4三角形的角的最值或范圍問題】

【例4】（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·一模）記的內(nèi)角的對邊分別為．若，則

的取值范圍是（）△????,?,??,?,??=3,?=2?+?

A．B．

2π5π2π

3,63,π

C．D．

5ππ5π

6,π2,6

【答案】B

【解題思路】先根據(jù)邊的關(guān)系求出的范圍，然后表示出，求出其范圍進(jìn)而可得的范圍，則的取

值范圍可求.?cos???+?

【解答過程】根據(jù)三角形三邊關(guān)系可得，

即2?3，<?<2+3

22222

?+???4+??3?+111

cos?=2??=4?=4?=4?+?

由對勾函數(shù)單調(diào)性可知，其在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；

1

?=?+?2?3,11,2+3

即，可得,所以.

111π2π

cos?=4?+?∈2,1?∈(0,3]?+?∈3,π

故選：B.

【變式4-1】（2025·河南許昌·模擬預(yù)測）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，

??8?

則的最小值是（）△???cos?+cos?=cos?

tan?+tan?

A．B．C．D．

3339

【答案】C22433

【解題思路】利用正弦定理化邊為角，通過三角公式推出，再將轉(zhuǎn)化，借助基本

不等式求最小值.tan?tan?=9tan?+tan?

【解答過程】因為，由正弦定理得，

??8?sin?sin?8sin?

cos?+cos?=cos?cos?+cos?=cos?

所以.又因為，

所以tan?+tan?=8tan?，?=π?(?+?)

8(tan?+tan?)

tan?+tan?=?1?tan?tan?

所以，即.所以，

89

1=tan?tan??1tan?tan?=9tan?=tan?

，

119

顯tan然?=8(t必an為?正+，ta否n?則)=8(ta和n?+ta都n?為)負(fù)，就兩個鈍角，

所以tan?tan?tan?，

1999999

tan?+tan?=tan?+8(tan?+tan?)=8tan?+8tan?≥28tan??8tan?=4

當(dāng)且僅當(dāng)，即，取等號，

99π

8tan?=8tan?tan?=1?=4

所以的最小值是，

9

tan?+tan?4

故選：C.

【變式4-2】（2024·四川成都·模擬預(yù)測）記的內(nèi)角的對邊分別為．若，，則

的取值范圍是（）△????,?,??,?,??=1?=2?+?

A．B．C．D．

2π5π2π5ππ5π

3,63,π6,π2,6

【答案】C

【解題思路】先根據(jù)邊的關(guān)系求出的范圍，然后表示出，求出其范圍，進(jìn)而可得的范圍i，則

的范圍可求.?cos???+?

【解答過程】根據(jù)三角形三邊關(guān)系可得，即，

又，???<?<?+?1<?<3

2222

?+???3+?13

cos?=2??=4?=4?+?

因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

3

?=?+?1,33,3

所以，

33

?+?min=3+3=23

又，所以，

333

1+1=4,3+3=4?+?<4

所以，又為三角形的內(nèi)角，

3

2≤cos?<1?

所以，

π

0<?≤6

所以.

5π

6≤?+?<π

故選：C.

【變式4-3】（2025·湖北黃岡·模擬預(yù)測）在