重難點(diǎn)10導(dǎo)數(shù)中的二階導(dǎo)與洛必達(dá)法則（舉一反三專項訓(xùn)練）

【全國通用】

【題型1二階導(dǎo)解決函數(shù)單調(diào)性問題】.................................................................................................................3

【題型2二階導(dǎo)解決函數(shù)極值、最值問題】.........................................................................................................3

【題型3二階導(dǎo)解決不等式恒成立問題】.............................................................................................................4

【題型4二階導(dǎo)解決函數(shù)零點(diǎn)問題】.....................................................................................................................5

【題型5二階導(dǎo)證明不等式】.................................................................................................................................6

【題型6利用二階導(dǎo)解決其他問題】.....................................................................................................................7

【題型7洛必達(dá)法則】.............................................................................................................................................9

1、導(dǎo)數(shù)中的二階導(dǎo)與洛必達(dá)法則

導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要考查內(nèi)容，而導(dǎo)數(shù)中的二階導(dǎo)與洛必達(dá)法則也是高考考查的一個重點(diǎn)內(nèi)容.從近

幾年的高考情況來看，對于有些問題求一次導(dǎo)數(shù)之后無法求出導(dǎo)函數(shù)的根，甚至也不能直接看出導(dǎo)函數(shù)的

正負(fù)，因此無法判斷單調(diào)性，所以在高考中就可能用到二階導(dǎo)數(shù)；“洛必達(dá)法則”是高等數(shù)學(xué)中的一個重

要定理，用分離參數(shù)法(避免分類討論)解決成立或恒成立命題時，經(jīng)常需要求在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)(最)值，

若出現(xiàn)型或型可以考慮使用洛必達(dá)法則，這類問題難度較大，復(fù)習(xí)是要加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練.

知識點(diǎn)1二階導(dǎo)函數(shù)

1．二階導(dǎo)及其用法

要想判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性，則需要對函數(shù)f(x)進(jìn)行求導(dǎo)，并判斷f'(x)的正負(fù)，如果f'(x)的正負(fù)無法判斷，則

把f'(x)或者f'(x)中不能判斷正負(fù)的部分(通常為分子部分)設(shè)為新函數(shù)g(x)，進(jìn)而通過對函數(shù)g(x)進(jìn)行求導(dǎo)，

進(jìn)而求g(x)的最值，如果有g(shù)(x)min>0或g(x)max<0，則可判斷出f'(x)的正負(fù)，進(jìn)一步可判斷出函數(shù)f(x)的單調(diào)

性，進(jìn)而可繼續(xù)求解問題.

2．二階導(dǎo)問題的解題步驟

解決這類問題的一般解題步驟為：

第一步，求函數(shù)f(x)的定義域；

第二步，求函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x)，并且無法判斷導(dǎo)函數(shù)f'(x)的正負(fù)；

第三步，構(gòu)造函數(shù)g(x)=f'(x)，對g(x)求導(dǎo)，得到g'(x)；

第四步，找到x，g'(x)，g(x)的變化關(guān)系表；

第五步，判斷出f'(x)的正負(fù)，進(jìn)而得出函數(shù)f(x)的單調(diào)性，進(jìn)一步解答問題.

知識點(diǎn)2洛必達(dá)法則

“洛必達(dá)法則”是高等數(shù)學(xué)中的一個重要定理，用分離參數(shù)法(避免分類討論)解決成立或恒成立命題時，經(jīng)

常需要求在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)(最)值，若出現(xiàn)型或型可以考慮使用洛必達(dá)法則.

1．洛必達(dá)法則

法則1若函數(shù)f(x)和g(x)滿足下列條件：

(1)及；

(2)在點(diǎn)a的去心鄰域內(nèi)，f(x)與g(x)可導(dǎo)且g'(x)≠0；

(3)，那么.

法則2若函數(shù)f(x)和g(x)滿足下列條件：

(1)及；

(2)在點(diǎn)a的去心鄰域內(nèi)，f(x)與g(x)可導(dǎo)且g'(x)≠0；

(3)，那么.

2．用洛必達(dá)法則處理型函數(shù)的步驟：

(1)分離變量；

(2)出現(xiàn)型式子；

(3)運(yùn)用洛必達(dá)法則求值.

3．用洛必達(dá)法則處理型函數(shù)的步驟：

(1)分離變量；

(2)出現(xiàn)型式子；

(3)運(yùn)用洛必達(dá)法則求值.

【注意】：

1．將上面公式中的換成，洛必達(dá)法則也成立.

2．洛必達(dá)法則可處理型求極限問題.

3．在著手求極限前，首先要檢查是否滿足型定式，否則濫用洛必達(dá)法則會出

錯，當(dāng)不滿足三個前提條件時，就不能用洛必達(dá)法則，這時稱洛必達(dá)法則不適用，應(yīng)從另外途徑求極限.

4．若條件符合，洛必達(dá)法則可連續(xù)多次使用，直到求出極限為止.

，如滿足條件，可繼續(xù)使用洛必達(dá)法則.

【題型1二階導(dǎo)解決函數(shù)單調(diào)性問題】

【例1】（2025·浙江杭州·模擬預(yù)測）定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，滿足，且，

2??ln?1

′2

若，，，則、、0,?的+大∞小關(guān)系是（）????+?=??e=2e

?A=．?3?=?2B?．=?e???C．D．

【變式1-?1】>（?2>02?5·安徽蚌埠?>·三?模>）?已知函數(shù)?及>其?導(dǎo)>函?數(shù)的定義?域>都?是>?，若函數(shù)是偶函數(shù)，

′

也是偶函數(shù)，且?(，?)則實(shí)數(shù)a的取?(值?)范圍是（）??(?)

′?

?(?)A+．e+?B．?(?)>?(3??1C)．D．

111111

?∞,22,+∞4,2?∞,4∪2,+∞

【變式1-2】（2025·貴州黔東南·三模）設(shè)函數(shù)．

2

(1)若，試求函數(shù)的極值；?(?)=ln?+????,?∈?

?=1?(?)

(2)設(shè)，討論的單調(diào)性．

1

?(?)=???(?)

【變式1-3】（2025·海南·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．

???

(1)當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間與極值點(diǎn)；?(?)=e+1?,?∈?

(2)已知?=2有兩個?極(?值)點(diǎn)，證明：．

?(?)?1<2<?2?1+?2>3

【題型2二階導(dǎo)解決函數(shù)極值、最值問題】

【例2】（2025·河北·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，，若函數(shù)在上有兩個

2

不同的極值點(diǎn)，則的取?值?范=圍?是ln（?+）??2???∈???0,+∞

A．?1,?2??1+??2B．

C．?∞,?6D．?∞,?3

【變式2-1?】∞（,?20l2n52·云?南2·三模）設(shè)函數(shù)?，∞,4ln2?20，若存在，使得，

?

?(?)=?+e?(?)=?+ln??1,?2??1=??2

則的最大值為（）

?1

?1

e??2

A．B．C．D．

【變式2-?2】1（2025·北京·二?模2）已知函數(shù)?e，其中?3．

?

(1)若曲線在點(diǎn)處的切線經(jīng)?過?點(diǎn)=???，1求e的?值ln；??>0

(2)證明：函?=數(shù)??存在極1,小?值1；2,2?

(3)記函數(shù)的?最?小值為，求的最大值．

??????

【變式2-3】（2025·北京海淀·三模）已知．

?+?

2?+1

(1)當(dāng)時，求函數(shù)的極值點(diǎn)和極值??；=

?=0??

(2)時，求函數(shù)在上的最小值；

11

?∈?2,?4??1,4

(3)若不等式的解集非空，求a取值范圍．

1

??≥4

【題型3二階導(dǎo)解決不等式恒成立問題】

【例3】（24-25高三下·廣東廣州·階段練習(xí)），不等式恒成立，則

?21

正實(shí)數(shù)的最大值是（）??∈0,+∞e+1≥2??+?ln??

?

A．B．C．D．

ee

【變式3-21】（2025·遼寧·一模e）已知函數(shù)e?1，若2時，恒有，則的取值范

2??2?

圍是（）??=e?e????≥0??≥0?

A．B．C．D．

【變式3-2?】∞（,22025·湖北·模擬?∞預(yù),測4）已知函數(shù)2,+∞4,+∞

??=?ln1??

(1)求在處的切線方程；

(2)若關(guān)??于的?不=等0式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

???+?1??≤??

【變式】（吉林延邊模擬預(yù)測）已知函數(shù)．

3-32025··2

?

(1)當(dāng)時，求的單調(diào)遞增區(qū)間；??=2+?ln???+1?

若?=2，??對恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

(2)2a

e

?≥0?(?)≥?2?∈1,+∞

【題型4二階導(dǎo)解決函數(shù)零點(diǎn)問題】

【例4】（2025·湖北恩施·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，直線.

(1)若點(diǎn)是函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，求點(diǎn)?到?直=線2距??離1的?最ln小?值；?:????3=0

(2)若??=??，討論函數(shù)的?零點(diǎn)的個?數(shù).

?

??=?(?)+?e?2???

【變式4-1】（2025·北京海淀·三模）已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線斜

ππ

??=?ln??sin??=??2,?2

率為．

1

π

(1)求的值．

(2)求?在上的零點(diǎn)個數(shù)．

??0,2π

(3)證明：在上存在兩個零點(diǎn)，且．

′π1

??0,2?1,?2?2??1>4

【變式4-2】（2025·重慶·三模）已知函數(shù)，函數(shù)在點(diǎn)，處的切線

?

方程為.??=??1e???+??=??0?0

(1)求，?+的?值+；2=0

(2)討論??的零點(diǎn)個數(shù).

??

【變式4-3】（2025高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)．

(1)當(dāng)時，求曲線在點(diǎn)處的切?線?方=程?；1???ln??1

(2)若?=2，求的?值=；??1,?1

(3)當(dāng)??≥?時1，證明?：有2個零點(diǎn)．

?

?>1??=??+?e??

【題型5二階導(dǎo)證明不等式】

【例5】（2025·湖南婁底·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，，

12?′

??=ln??2?+1????sin?+ln?+1??=?e??

為的導(dǎo)函數(shù).

??

(1)若函數(shù)的圖象與的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

′1

?????0∈2,1?

(2)當(dāng)時，證明：.

?=1??<0

【變式5-1】（2025·山東·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，曲線在處的切線方程為

???

．??=?+?e?=??1,?1?=

(21?)求?實(shí)1數(shù)的值

(2)證明：?,?．

??>ln2?

【變式5-2】（2025·海南?？凇つM預(yù)測）已知函數(shù)，當(dāng)時，的切線斜率．

(1)求的單調(diào)區(qū)間；?(?)=(?+?)ln??=1?(?)?=3

(2)已知?(?)，若，求證：若，則．

1?(?)+?(?)

?≥?≥2ln?+ln?=2?∈[1,2]2?+??∈[3,4]

【變式5-3】（2025·海南·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．

?2

(1)若，判斷并證明的單調(diào)性；??=e????∈R

(2)當(dāng)?=1時，若函?數(shù)?有兩個不同的零點(diǎn)，．

（?。┣?∈m的0,取+值∞范圍；???1?2

（ⅱ）證明：．

?1+?2>4

【題型6利用二階導(dǎo)解決其他問題】

【例6】（2025·甘肅白銀·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，且在處取得極值．

?

(1)求m的值及的單調(diào)區(qū)間；??=???2e?1???=0

(2)若存在?，?使得，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

?∈R??≤2e????1

【變式6-1】（2025·河北張家口·一模）已知，.

(1)若，求曲線在處的切線方?程(?；)=ln???(?+1)?∈?

(2)若?=2，使?(?)?=，1求的取值范圍.

??0∈(0,2]??0>0?

【變式6-2】（2025·江蘇揚(yáng)州·三模）已知函數(shù).

?2???

?(?)=e?e+??+??1

(1)若，且，求a的最小值；

′

(2)證明?=：0曲線??≥是0中心對稱圖形；

(3)若?=?當(dāng)(?且)僅當(dāng)，求b的取值范圍.

2

?(?)>e?11<?<2

【變式6-3】（2025·陜西咸陽·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．

22

?(?)=???(?+2)??ln?,?∈?

(1)當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)若函?>數(shù)2圖象上有?三(?個)點(diǎn)A，B，C并且從左到右橫坐標(biāo)成等差數(shù)列，判斷曲線在點(diǎn)B處的切線斜

率與A，C?(兩?)點(diǎn)連線斜率的大小關(guān)系．?(?)

【題型7洛必達(dá)法則】

【例7】（2025高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)．當(dāng)時，求的取

?

值范圍．??=???2e?e??2?>1??>0?

【變式7-1】（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，如果當(dāng)，且時，，

ln?1ln??

求的取值范圍．??=?+1+??>0?≠1??>??1+?

?

【變式7-2】（2025高三·全國·專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，

?2

??=e??+?????

(1)若，（為常數(shù)），求的解析式；

1

?0=0??1=e?????

(2)在（1）條件下，若當(dāng)時，，求的取值范圍．

?≥0??≥0?

【變式7-3】（2024·浙江·二模）①在微積分中，求極限有一種重要的數(shù)學(xué)工具——洛必達(dá)法則，法則中有結(jié)

論：若函數(shù)，的導(dǎo)函數(shù)分別為，，且，則

′′

????????l?i→m??(?)=l?i→m??(?)=0

′.

?(?)?(?)

′

l?i→m??(?)=l?i→m??(?)

②設(shè)，k是大于1的正整數(shù)，若函數(shù)滿足：對任意，均有成立，且，

?

?>0???∈0,???≥??l?i→m0??=0

則稱函數(shù)為區(qū)間上的k階無窮遞降函數(shù).

結(jié)合以上兩??個信息，回0,答?下列問題：

(1)試判斷是否為區(qū)間上的2階無窮遞降函數(shù)；

3

??=??3?0,3

計算：；

(2)1

?

l?i→m0(1+?)

(3)證明：，.

sin?33

??π<cos??∈π,2π

一、單選題

1．（24-25高二下·遼寧沈陽·階段練習(xí)）已知，若0是的極小值點(diǎn)，則a的取

?

值范圍為（）??=?????1e+???

A．B．C．D．

2．（20205,+·四∞川成都·一模）1已,+知∞為常數(shù)，函數(shù)?∞,1存在極大?值∞，,0則不等式的解集為

（）???=???ln???<0

A．B．C．D．

3．（20205,·?江蘇常州·模擬預(yù)1測,?）函數(shù)?,1的所有零0點(diǎn),1之和為（）

?

A．1B．3?(?)=(C?．?5)e+e?+3eD．7

4．（24-25高二下·吉林長春·期中）1696年，洛必達(dá)在他的著作《無限小分析》一書中創(chuàng)造了一種算法，

用以尋找滿足一定條件的兩函數(shù)之商的極限，法則的大意為：在一定條件下通過對分子?分母分別求導(dǎo)再求

極限來確定未定式值的方法如：，按此法則有（）

.′???

sin?(sin?)cos?e+e?2

′

A．2B．1l?i→m0?=l?i→m0C．?0=l?i→m01=1D．-2l?i→m01?cos?=

5．（2025·黑龍江佳木斯·三模）已知不等式，對恒成立，則的取值范

?

圍為（）?e??≥ln?+?+3??∈0,+∞?

A．B．C．D．

11

?≤?2?≥?2?>?2?≤?2

6．（24-25高二下·新疆伊犁·期中）我們把分子?分母同時趨近于0的分式結(jié)構(gòu)稱為型，比如：當(dāng)時，

0

0?→0

的極限即為型兩個無窮小之比的極限可能存在，也可能不存在，為此，洛必達(dá)在年提出洛必達(dá)法

?.1696

e?10

?0

則：在一定條件下通過對分子?分母分別求導(dǎo)再求極限來確定未定式值的方法如：

.??′

e?1e?1

′

l?i→m0?=l?i→m0?=

，則（）

?

eln?

?02

l?i→m01=l?i→m0e=e=1l?i→m1??1=

A．B．C．1D．2

31

82

7．（2025·云南曲靖·二模）已知函數(shù)，若該函數(shù)有且只有一個零點(diǎn)，

??

則的值為（）??=?+??2(0<?<1,?>1)

?A?．1B．C．D．

11

2

???

8．（2025·江西新余·模擬預(yù)測）若關(guān)于的不等式在上恒成

?222

立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）??e+ln?≥?+2ln?+1?+ln?0,+∞

A．?B．C．D．

11

二、多選e,題+∞0,ee,+∞0,e

9．（2025·海南·模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù)，則（）

A．當(dāng)時，的最小值為??=?+?ln?,?∈?

1

?=0???e

B．當(dāng)時，有且僅有兩個極值點(diǎn)

1

2

0<?<e??

C．若為增函數(shù)，則

1

3

???≥e

D．若，則

10．（2025?·四?川≥樂0山·三?模=）?已1知函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)時，導(dǎo)函數(shù)

'

成立，則下列說法正確的是（）??=ln4???ln?+??1<?<3??>0

A．B．

4''2

?=3?e?1+?22<3

C．D．

2025

''2?+1

?e?1+?22>3