版權(quán)說明：本文檔由用戶提供并上傳，收益歸屬內(nèi)容提供方，若內(nèi)容存在侵權(quán)，請進(jìn)行舉報或認(rèn)領(lǐng)
文檔簡介
重難點05導(dǎo)數(shù)中的切線問題全歸納（舉一反三專項訓(xùn)練）
【全國通用】
【題型1求在曲線上一點處的切線方程】.............................................................................................................2
【題型2求過一點的切線方程】.............................................................................................................................3
【題型3與切線有關(guān)的參數(shù)問題】.........................................................................................................................3
【題型4利用切線求距離的最值問題】.................................................................................................................4
【題型5切線的條數(shù)問題】.....................................................................................................................................4
【題型6兩條切線平行、垂直問題】.....................................................................................................................5
【題型7公切線問題】.............................................................................................................................................5
【題型8與切線有關(guān)的新定義問題】.....................................................................................................................6
1、導(dǎo)數(shù)中的切線問題
導(dǎo)數(shù)中的切線問題是高考的重點內(nèi)容，是高考的熱點問題，從近幾年的高考情況來看，一般以選擇題、
填空題的形式考察求曲線的切線方程，公切線問題等，試題難度屬中低檔，導(dǎo)數(shù)的切線問題也可能會作為
解答題中的條件或一小問進(jìn)行考查，復(fù)習(xí)是要加強(qiáng)此方面的訓(xùn)練.
知識點1曲線的切線方程及其解題策略
1．求曲線“在”某點的切線方程的解題策略：
(1)求出函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)，即曲線y=f(x)在點(x0,f(x0))處切線的斜率；
(2)在已知切點坐標(biāo)和切線斜率的條件下，求得切線方程為y=y0+f'(x0)(x-x0).
2．求曲線“過”某點的切線方程的解題通法：
(1)設(shè)出切點坐標(biāo)T(x0,f(x0))(不出現(xiàn)y0)；
(2)利用切點坐標(biāo)寫出切線方程：y=f(x0)+f'(x0)(x-x0)；
(3)將已知條件代入②中的切線方程求解.
知識點2與切線有關(guān)的參數(shù)問題
1．與切線有關(guān)的參數(shù)問題的解題策略：
(1)處理與切線方有關(guān)的參數(shù)問題，通常利用曲線、切線、切點的三個關(guān)系列出參數(shù)的方程(組)并解出參數(shù)：
①切點處的導(dǎo)數(shù)是切線的斜率；
②切點在切線上，故滿足切線方程；
③切點在曲線上，故滿足曲線方程.
(2)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求參數(shù)問題時，注意利用數(shù)形結(jié)合，化歸與轉(zhuǎn)化的思想方法.
知識點3切線的條數(shù)問題
1．切線的條數(shù)問題的解題思路
(1)已知f(x)，過點(a,b)可作曲線的切線條數(shù)問題
第一步：設(shè)切點P0(x0,y0)；
第二步：計算切線斜率k=f'(x0)；
第三步：計算切線方程.根據(jù)直線的點斜式方程得到切線方程：y-y0=f'(x0)(x-x0).
第四步：將(a,b)代入切線方程，得：b-y。=f'(x?)(a-x?)，整理成關(guān)于x0的方程；
第五步：題意已知能作幾條切線，關(guān)于x0的方程就有幾個實數(shù)解.
(2)“過點型”切線條數(shù)判斷：
①有幾個切點橫坐標(biāo)，就有幾條切線；
②切線條數(shù)判斷，轉(zhuǎn)化為關(guān)于切點橫坐標(biāo)的新的函數(shù)零點個數(shù)判斷.
2．切線條數(shù)的求參問題
已知切線條數(shù)求參數(shù)，其實就是轉(zhuǎn)換成切線方程根的個數(shù)問題求參數(shù).
知識點4公切線問題及其解題策略
1．公切線問題的解題思路
求兩條曲線的公切線，如果同時考慮兩條曲線與直線相切，頭緒會比較亂，為了使思路更清晰，一般是把
兩條曲線分開考慮，先分析其中一條曲線與直線相切，再分析另一條曲線與直線相切，直線與拋物線相切
可用判別式法.
2．公切線問題的求解步驟：
(1)設(shè)兩切點，求出兩切點對應(yīng)的斜率k1、k2，且k1=k2；
(2)根據(jù)兩條曲線在切點處的斜率相等，并且切點不但在切線上而且在曲線上，列出有關(guān)切點橫坐標(biāo)的方程
組；
(3)解方程組，進(jìn)行求解，得出結(jié)論.
【題型1求在曲線上一點處的切線方程】
【例1】（2025·福建福州·模擬預(yù)測）曲線在點處的切線方程為（）
3
A．B．??C=．?+3??1,???D1．
【變式1-?1】+（42=0205·青海海東2?·三?模??）2曲=線0在6點???=處0的切線方程為6（???）+2=0
?
A．B．?=eC．(e,1)D．
???=0??e?=0???+1?e=0e???=0
【變式1-2】（2025·新疆喀什·模擬預(yù)測）曲線在點處的切線方程為（）
sin?
?(?)=?(π,0)
A．B．
C．?+π??π=0D．??π??π=0
【變式1-?3】?（π?20+25π·廣=東0湛江·二模）已知函數(shù)π????π，=則0曲線在點處的切線方程為
?
?(?)=e+2??=?(?)(0,?(0))
（）
A．B．C．D．
?=2?+1?=3?+1?=2??=3?
【題型2求過一點的切線方程】
【例2】（2025·江西景德鎮(zhèn)·一模）過點且與曲線相切的直線方程是（）
3
A．?(0,1)B．?(?)=?+2??1
C．?=5?+1D．?=2?+1
【變式2-?1】=（?2+0125·新疆·二模）過點且與曲線?=?2?+1相切的直線方程為（）
3
A．1,4B．??=?+?+2
C．4???=0或D．7??4?+9或=0
【變式2-42?】?（?20=250·貴州7?·二?模4?）+已9知=函0數(shù)4???=的0圖象4在?點?7?+24=處的0切線斜率為．
?
(1)求的值；?(?)=(?+?)e(1,?(1))3e
(2)求?的單調(diào)區(qū)間；
(3)求曲?(?線)過原點的切線方程．
?=?(?)
【變式2-3】（2025·湖北·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．
??+1
?=?(?)=e,?∈?
(1)若，求過原點且與相切的切線方程；
1
?=2?=?(?)
(2)若關(guān)于的不等式對所有成立，求的取值范圍．
??(?)>2?+e?∈(0,+∞)?
【題型3與切線有關(guān)的參數(shù)問題】
【例3】（2025·河南·模擬預(yù)測）已知曲線的一條切線的方程為，則實數(shù)（）
A．0B．1??=C．?-+1?ln?+?D．?=??=
【變式3-1】（2025·河南許昌·三模）若直線與曲線e相切，則的值為（）
?=?+??=ln(?+?)???
A．1B．C．2D．
35
22
【變式3-2】（2025·陜西安康·模擬預(yù)測）已知曲線與傾斜角為且橫截距為a
24
??=ln?+?????≥545°
的直線l相切，則（）
A．1?=B．2C．3D．4
【變式3-3】（2025·江西景德鎮(zhèn)·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若曲線在點
2
處的切線方程為，則的值為（）??=?(???)??2??=??2?,0
A．?=?+B．?1?C．D．2
?1?2
【題型4利用切線求距離的最值問題】
【例4】（2025·河南駐馬店·模擬預(yù)測）已知點為曲線上的動點，則點到直線的距離的
9
最小值為（）??=?+???+?=0
A．B．6C．D．9
92
2
【變式4-31】2（2025·江蘇南京·二模）已知，則的最小值為（）
22
?=???+?ln???+3?∈R?
A．2B．1C．D．
21
【變式4-2】（24-25高二下·山東棗莊·階段練習(xí)）點2是曲線上2任意一點，則點到直線
2
的距離的最小值是（）??=??ln???=??4
A．1B．C．2D．
【變式】（高二下山2東階段練習(xí)）已知函數(shù)的圖象與函數(shù)22的圖象關(guān)于某一條直線
4-324-25··?
e
對稱，若，分別為它們圖象上的兩個動點，則這兩?點=之2間距離的最小值?為=（ln(2?）)
???
A．B．C．D．
2ln22ln22(1+ln2)
24221?ln2
【題型5切線的條數(shù)問題】
【例5】（24-25高三上·河北承德·開學(xué)考試）過點可作曲線的切線條數(shù)為（）
3
A．1B．2C．32,0??D=．?0?3??2
【變式5-1】（2025·山東·模擬預(yù)測）若過點可以作的三條切線，則實數(shù)的取值范圍是
?
（）(1,?)?=(?+1)e?
A．B．C．D．
?2?3?3
【變式5-(2】?（4e202,05)·河南·模(擬?預(yù)6e測）,0過)原點且與曲(線?6e,2e)相切的直線(e有,2（e)）
?=?sin?
A．1條B．2條C．3條D．4條
【變式5-3】（2024·內(nèi)蒙古·三模）若過點可以作曲線的兩條切線，則的取值范圍為（）
A．?,2B．?=ln??
2
C．?∞,eD．?∞,ln2
2
0,e0,ln2
【題型6兩條切線平行、垂直問題】
【例6】（2025·山東菏澤·一模）曲線在，兩點處的切線互相垂直，則
11
112212
的值為（）?=ln?+1??,???,??+?
A．B．0C．1D．
【變式6-?1】1（2025·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的圖象e上存在不同的兩點，使得曲線
2
在點處的切線都與直線?垂?直=，?則+實?數(shù)+的ln取?值范圍是（）?,?
?=A?．??,?B．?+2?=0C．?D．
【變式6-2?】∞（,120?25·2四川涼山1·一?模2）,0函數(shù)?∞,1+在2區(qū)間的圖0,1象+上存2在兩條相互垂直的切線，
12
則的取值范圍為（）??=2?+?ln?1,2
?A．B．C．D．
【變式6-3?】2（,12025·河北邢臺?·2二,?模1）已知函數(shù)?2,0的圖像在?3,?2，兩個不同
2
點處的切線相互平行，則下面等式可能成立的?是?（=?）+2ln???1,??1??2,??2
A．B．C．D．
1010
?1+?2=2?1+?2=3?1?2=2?1?2=3
【題型7公切線問題】
【例7】（2025·河南南陽·三模）已知函數(shù)與存在公切線，則實數(shù)的最小值為（）
?
A．B．?(?)=C2．?e?(?)=ln?+1D．?
1111
e2e4e6e
【變式7-1】（2025·寧夏石嘴山·三模）已知函數(shù)，若曲線與
2
有兩條公切線，則的取值范圍是（）?(?)=??+1(?>0),?(?)=ln??=?(?)?=?(?)
A．?B．C．D．
11111
333
(0,2e)(2e,2e)(2e,+∞)(2e,+∞)
【變式7-2】（2025·河北秦皇島·模擬預(yù)測）設(shè)，若曲線在點處的切線也是曲
線的切線，則．?≠0??=?ln??12,?2
???2
??e?=
【變式7=-3】（2025·河北·模擬預(yù)測）若函數(shù)與的圖象有兩條公切線，則實
??112
??=e??=?2?+2?+?
數(shù)的取值范圍是.
?
【題型8與切線有關(guān)的新定義問題】
【例8】（2025·湖北黃岡·三模）在平面直角坐標(biāo)系中，當(dāng)，不是原點時，定義P的“伴隨點”為
；當(dāng)P是原點時，定義P的“伴隨點”為它?自?身?.平面曲線C上所有點的“伴隨點”所構(gòu)成的
???
2222
??+?,?+?
曲線定義為曲線的伴隨曲線則曲線：（其中是自然對數(shù)的底數(shù)）的伴隨曲
C“”.C??1
??e+1,?>0
??=12e
線長為（）16?+1,?≤0
A．B．C．D．
ππ
1.5223
【變式8-1】（24-25高二下·遼寧·期中）牛頓迭代法亦稱切線法，它是求函數(shù)零點近似解的另一種方法，若
定義是函數(shù)零點近似解的初始值，過點的切線為，切線與
′
軸交點??的?橫∈坐?標(biāo)，即為函數(shù)零點近似解的下一?個??初?,始?值??以此類推，滿?足=精?度??的初??始?值?即+為?函??數(shù)零點的近?
似解，設(shè)函數(shù)??+1，滿足，應(yīng)用上述方法，則（）
2
??=??2?0=2?2=
A．B．C．D．
3717577
2512408
【變式8-2】（2024·湖北黃岡·二模）第二十五屆中國國際高新技術(shù)成果交易會（簡稱“高交會”）在深圳閉幕.
會展展出了國產(chǎn)全球首架電動垂直起降載人飛碟.觀察它的外觀造型，我們會被其優(yōu)美的曲線折服.現(xiàn)代產(chǎn)品
外觀特別講究線條感，為此我們需要刻畫曲線的彎曲程度.考察如圖所示的光滑曲線上的曲線段
，其弧長為，當(dāng)動點從沿曲線段運動到點時，點的切線也隨著轉(zhuǎn)動到?點:?的=切?線?，記這兩條
?切?線之間的夾角Δ?為（它等于?的傾斜?角?與的傾?斜角之?差）.顯然，??當(dāng)弧長固定時，?夾角越大?，?曲線的彎
??
曲程度就越大；當(dāng)夾Δ?角固定時，?弧長越小則?彎曲程度越大，因此可以定義為曲線段的平均曲率；
Δ?
?