專題8.8直線與圓錐曲線的位置關(guān)系（舉一反三講義）

【全國(guó)通用】

【題型1直線與圓錐曲線的位置關(guān)系】...................................................................................................................5

【題型2圓錐曲線的弦長(zhǎng)問題】...............................................................................................................................7

【題型3圓錐曲線的中點(diǎn)弦問題】.........................................................................................................................11

【題型4圓錐曲線中的三角形（四邊形）面積問題】.........................................................................................16

【題型5圓錐曲線中的參數(shù)范圍及最值問題】.....................................................................................................21

【題型6圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值問題】.............................................................................................................28

【題型7圓錐曲線中的定直線問題】.....................................................................................................................33

【題型8圓錐曲線與其他知識(shí)的綜合問題】.........................................................................................................40

1、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

考點(diǎn)要求真題統(tǒng)計(jì)考情分析

2023年新高考I卷：第22題，

12分圓錐曲線是高考的重點(diǎn)、熱點(diǎn)內(nèi)

2023年新高考Ⅱ卷：第21題，容，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系是每

12分年高考必考內(nèi)容.從近幾年的高考情

2023年全國(guó)甲卷（理數(shù)）：第況來看，本節(jié)內(nèi)容主要以解答題的形

20題，12分式考查，有時(shí)也會(huì)以多選題的形式考

(1)了解直線與圓錐曲線位置

2024年新高考I卷：第16題，查，考查方向主要有兩個(gè)方面：一是

關(guān)系的判斷方法

15分平面解析幾何通性通法的研究；二是

(2)掌握直線被圓錐曲線所截

2024年新高考Ⅱ卷：第10題，6圓錐曲線中的弦長(zhǎng)、面積、最值、定

的弦長(zhǎng)公式

分點(diǎn)、定值或定直線等問題的求解；高

(3)能利用方程及數(shù)形結(jié)合思

2024年新高考Ⅱ卷：第19題，考復(fù)習(xí)時(shí)要加強(qiáng)圓錐曲線這方面內(nèi)容

想解決焦點(diǎn)弦、中點(diǎn)弦問題

17分的訓(xùn)練.

2025年全國(guó)一卷：第10題，6從近幾年的高考趨勢(shì)來看，圓錐

分、第18題，17分曲線有時(shí)會(huì)與向量、數(shù)列等知識(shí)結(jié)合

2025年全國(guó)二卷：第16題，15考查，其思維要求高，計(jì)算量較大，

分需要靈活求解.

2025年天津卷：第18題，15分

知識(shí)點(diǎn)1直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

1．直線與圓錐曲線的位置判斷

將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，消去y(或x)，得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程，則：

直線與圓錐曲線相交；直線與圓錐曲線相切；直線與圓錐曲線相離.

特別地，①與雙曲線漸近線平行的直線與雙曲線相交，有且只有一個(gè)交點(diǎn).

②與拋物線的對(duì)稱軸平行的直線與拋物線相交，有且只有一個(gè)交點(diǎn).

知識(shí)點(diǎn)2圓錐曲線中的弦長(zhǎng)問題

1．橢圓的弦長(zhǎng)問題

(1)定義：直線與橢圓的交點(diǎn)間的線段叫作橢圓的弦.

(2)弦長(zhǎng)公式：設(shè)直線l:y=kx+m交橢圓+=1(a>b>0)于，兩點(diǎn)，

則或.

2．雙曲線的弦長(zhǎng)問題

(1)弦長(zhǎng)公式：直線y=kx+b與雙曲線相交所得的弦長(zhǎng)d.

(2)解決此類問題時(shí)要注意是交在同一支，還是交在兩支上.

(3)處理直線與圓錐曲線相交弦有關(guān)問題時(shí)，利用韋達(dá)定理、點(diǎn)差法的解題過程中，并沒有條件確定直線與

圓錐曲線一定會(huì)相交，因此，最后要代回去檢驗(yàn).

(4)雙曲線的通徑：

過焦點(diǎn)且與焦點(diǎn)所在的對(duì)稱軸垂直的直線被雙曲線截得的線段叫作雙曲線的通徑.無論焦點(diǎn)在x軸上還是在

y軸上，雙曲線的通徑總等于.

3．拋物線的弦長(zhǎng)問題

設(shè)直線與拋物線交于A,B兩點(diǎn)，則|AB|==或

|AB|==(k為直線的斜率，k≠0).

知識(shí)點(diǎn)3圓錐曲線中的中點(diǎn)弦與焦點(diǎn)弦問題

1．橢圓的“中點(diǎn)弦問題”

(1)解決橢圓中點(diǎn)弦問題的兩種方法

①根與系數(shù)的關(guān)系法：聯(lián)立直線方程和橢圓方程構(gòu)成方程組，消去一個(gè)未知數(shù)，利用一元二次方程根與系

數(shù)的關(guān)系以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式解決.

②點(diǎn)差法：利用端點(diǎn)在曲線上，坐標(biāo)滿足方程，將端點(diǎn)坐標(biāo)分別代入橢圓方程，然后作差，構(gòu)造出中點(diǎn)坐

標(biāo)和斜率的關(guān)系.

設(shè)，，代入橢圓方程+=1(a>b>0)，得，

①-②可得+=0，

設(shè)線段AB的中點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，有+=0.

因?yàn)闉橄褹B的中點(diǎn)，從而轉(zhuǎn)化為中點(diǎn)與直線AB的斜率之間的關(guān)系，這就是處理弦中點(diǎn)

軌跡問題的常用方法.

(2)弦的中點(diǎn)與直線的斜率的關(guān)系

線段AB是橢圓+=1(a>b>0)的一條弦，當(dāng)弦AB所在直線的斜率存在時(shí)，弦AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為

，則弦AB所在直線的斜率為，即.

2．雙曲線的“中點(diǎn)弦問題”

“設(shè)而不求”法解決中點(diǎn)弦問題：

①過橢圓內(nèi)一點(diǎn)作直線，與橢圓交于兩點(diǎn)，使這點(diǎn)為弦的中點(diǎn)，這樣的直線一定存在，但在雙曲線的這類

問題中，則不能確定.要注意檢驗(yàn).

②在解決此類問題中，常用韋達(dá)定理及垂直直線的斜率關(guān)系.常用的解題技巧是如何應(yīng)用直線方程將轉(zhuǎn)

化為能用韋達(dá)定理直接代換的.垂直關(guān)系有時(shí)用向量的數(shù)量關(guān)系來刻畫，要注意轉(zhuǎn)化.

3．拋物線的焦點(diǎn)弦問題

拋物線=2px(p>0)上一點(diǎn)A與焦點(diǎn)F(,0)的距離為|AF|=，若MN為拋物線=2px(p>0)的焦

點(diǎn)弦，則焦點(diǎn)弦長(zhǎng)為|MN|=++p(,分別為M,N的橫坐標(biāo)).

設(shè)過拋物線焦點(diǎn)的弦的端點(diǎn)為A,B，則四種標(biāo)準(zhǔn)方程形式下的弦長(zhǎng)公式為：

標(biāo)準(zhǔn)方程弦長(zhǎng)公式

2

y=2px(p>0)|AB|=x1+x2+p

2

y=-2px(p>0)|AB|=p-(x1+x2)

2

x=2py(p>0)|AB|=y1+y2+p

2

x=-2py(p>0)|AB|=p-(y1+y2)

知識(shí)點(diǎn)4圓錐曲線中最值問題的解題策略

1.處理圓錐曲線最值問題的求解方法

圓錐曲線中的最值問題類型較多，解法靈活多變，但總體上主要有兩種方法：

一是利用幾何法，即通過利用曲線的定義、幾何性質(zhì)以及平面幾何中的定理、性質(zhì)等進(jìn)行求解；

二是利用代數(shù)法，即把要求最值的幾何量或代數(shù)表達(dá)式表示為某個(gè)(些)參數(shù)的函數(shù)(解析式)，然后利用函數(shù)

方法、不等式方法等進(jìn)行求解.

知識(shí)點(diǎn)5圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值、定直線問題

1．圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值問題

圓錐曲線中的定點(diǎn)定值問題一般與圓錐曲線的基本量和題設(shè)條件中的給定的點(diǎn)或值有關(guān)，曲線過定點(diǎn)問題

以直線過定點(diǎn)居多，定點(diǎn)問題其實(shí)也可以歸結(jié)到定值問題(定點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)為定值).這類問題用函數(shù)的思想方

法來處理，具體操作流程如下：

(1)變量——選擇合適的參變量；

(2)函數(shù)——要證明為定值的量表示出參數(shù)的函數(shù)；

(3)定值——化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，消去參數(shù)得定值.

一些存在性問題，是否存在定點(diǎn)使得某一個(gè)量為定值，是否存在定值使得某一量為定值，是否存在定點(diǎn)使

得曲線過定點(diǎn)，是否存在定值使得曲線過定點(diǎn)，可以看做定點(diǎn)定值問題的延伸.

2．過定點(diǎn)問題的兩大類型及解法

(1)動(dòng)直線l過定點(diǎn)問題

解法：設(shè)動(dòng)直線方程（斜率存在）為，由題設(shè)條件將t用k表示為，得，

故動(dòng)直線過定點(diǎn)；

?=??+??=??+??=??+?+?

動(dòng)曲線過定點(diǎn)問題

(2)C??,?

解法：引入?yún)⒆兞拷⑶€C的方程，再根據(jù)其對(duì)參變量恒成立，令其系數(shù)等于零，得出定點(diǎn)．

3．求解定值問題的三個(gè)步驟

(1)由特例得出一個(gè)值，此值一般就是定值；

(2)證明定值，有時(shí)可直接證明定值，有時(shí)將問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)式，可證明該代數(shù)式與參數(shù)（某些變量）無關(guān)；

也可令系數(shù)等于零，得出定值；

(3)得出結(jié)論．

4．圓錐曲線中的定直線問題

定直線問題是指因圖形變化或點(diǎn)的移動(dòng)而產(chǎn)生的動(dòng)點(diǎn)在定直線上的問題.這類問題的核心在于確定定點(diǎn)的軌

跡，主要方法有：

(1)設(shè)點(diǎn)法：設(shè)點(diǎn)的軌跡，通過已知點(diǎn)軌跡，消去參數(shù)，從而得到軌跡方程；

(2)待定系數(shù)法：設(shè)出含參數(shù)的直線方程、待定系數(shù)法求解出系數(shù)；

(3)驗(yàn)證法：通過特殊點(diǎn)位置求出直線方程，對(duì)一般位置再進(jìn)行驗(yàn)證.

知識(shí)點(diǎn)6圓錐曲線中的探索性問題的解題策略

1.圓錐曲線中的探索性問題

此類問題一般分為探究條件、探究結(jié)論兩種.若探究條件，則可先假設(shè)條件成立，再驗(yàn)證結(jié)論是否成立，成

立則存在，否則不存在；若探究結(jié)論，則應(yīng)先求出結(jié)論的表達(dá)式，再針對(duì)其表達(dá)式進(jìn)行討論，往往涉及對(duì)

參數(shù)的討論.

【方法技巧與總結(jié)】

1．已知M，N是橢圓C：+=1(a>b>0)上的兩點(diǎn)，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且P是M，N的中點(diǎn)，則

.

2．若曲線為雙曲線，其余條件不變，則.

3．若曲線為拋物線，P為弦MN的中點(diǎn)：(開口向右)，(開口向左)，(開

口向上)，(開口向下).

【題型1直線與圓錐曲線的位置關(guān)系】

【例】（高二上江西期末）直線與橢圓（）的位置關(guān)系為（）

124-25··22

????

22

A．相離B．相切?+?=C．1相交?+?=1D?．>無?法>確0定

【答案】C

【解題思路】由直線與橢圓的位置關(guān)系求解即可.

【解答過程】因?yàn)橹本€過點(diǎn)，

??

?+?=1?,0,0,?

而為橢圓的右端點(diǎn)和上端點(diǎn)，

22

??

22

?,0,0,??+?=1(?>?>0)

故直線與橢圓相交

22.

????

22

故選：C?+.?=1?+?=1(?>?>0)

【變式】（北京門頭溝一模）是直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)

1-12025··“”“2”

1?2

的（）?=±2?=???34??=1

A．充分不必要條件B．必要不充分條件

C．充要條件D．既不充分也不必要條件

【答案】C

【解題思路】法一：根據(jù)題意，聯(lián)立直線與雙曲線方程，由直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)代入計(jì)算,即可得

到的取值，再根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可.

法二?：利用直線過定點(diǎn)的特征，結(jié)合雙曲線漸近線可作出判斷.

【解答過程】法一：由題意，聯(lián)立方程可得，

?2=???32222

?21?4???24???36??4=0

4??=1

當(dāng)時(shí)，即時(shí)，方程有一解，即只有一個(gè)公共點(diǎn)；

21

1?4?=0?=±2

當(dāng)時(shí)，，方程有兩解，即有兩個(gè)公共點(diǎn)，不符合題意.

22

所以1，?直4?線≠0Δ=8與0雙?曲+線16>0只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，

2.

?21

?=???34??=1?=±2

所以是直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的充要條件

“”“2”.

1?2

法二：?因=為±2直線?=??過?定3點(diǎn)，4雙?曲?線=的1右頂點(diǎn)為，如圖，

?=???3?3,0?2,0

根據(jù)圖象可知，當(dāng)且僅當(dāng)直線與雙曲線的漸近線平行時(shí)，直線與雙曲線只有交點(diǎn).

1

?=±2?

所以是直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的充要條件

“”“2”.

1?2

故選：?C=.±2?=???34??=1

【變式1-2】（2025·天津·二模）“”是“直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)”的（）

12

?=2?=??+1?=2?

A．充分不必要條件B．必要不充分條件

C．充要條件D．既不充分也不必要條件

【答案】A

【解題思路】聯(lián)立直線與拋物線的方程，可得，分和，討論方程只有一

22

??+(2??2)?+1=0?=0?≠0

個(gè)解可得或，再由充分條件和必要條件的定義即可得出答案.

1

【解答過程?】=若0直線?=2與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，

2

則方程?=只?有?一+個(gè)1解，?=2?

2

即方程(??+1)=2?只有一個(gè)解，

22

當(dāng)?時(shí)?，+(2??2)?+恒1有=一0個(gè)解；

當(dāng)?=0時(shí)，?2?+1=0，得，此時(shí)方程只有一個(gè)解．

221

?≠0(2??2)?4?=0?=2

即直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，可得或，

21

?=??+1?=2??=0?=2

故“”是“直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)”的充分不必要條件，

12

?=2?=??+1?=2?

故選：A．

【變式1-3】（24-25高二上·浙江溫州·期末）已知直線與曲線有兩個(gè)公共

12

?:?=?(?+3)+1?:?=24??

點(diǎn)，則k的取值范圍是（）

A．B．C．D．

616161

(?5,0)[?5,0)(?5,3)(?5,?5]

【答案】B

【解題思路】當(dāng)直線l與橢圓上半部分有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，直線l的斜率k介于直線l與橢圓上半部分相切時(shí)的斜

率和直線l過橢圓上半部分右頂點(diǎn)時(shí)的斜率之間.

【解答過程】直線過定點(diǎn)，曲線是橢圓的上半部分，

2

?2

當(dāng)直線l與橢圓上?半:?部=分?(有?兩+個(gè)3)交+點(diǎn)1時(shí)，直線(?l3的,1斜)率k介?于直線l4與+橢?圓=上1半部分相切時(shí)的斜率

和直線l過橢圓上半部分右頂點(diǎn)時(shí)的斜率之間，直線l與橢圓上半部分相切時(shí)的斜率為，

?=0

直線l過橢圓上半部分右頂點(diǎn)時(shí)的斜率為，

1?01

?=?3?2=?5

所以k的取值范圍為.

1

[?5,0)

故選：B.

【題型2圓錐曲線的弦長(zhǎng)問題】

【例】（高二上重慶期末）已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)是，過原點(diǎn)的直線與相交于點(diǎn)，，

224-25··2

?2

?:9+?=1????

的面積是，則（）

210

△???5|??|=

A．B．C．D．

35651852185

【答案】D5555

【解題思路】設(shè)直線方程，聯(lián)立直線與橢圓，根據(jù)的面積求出，

利用弦長(zhǎng)公式求出弦?長(zhǎng)?.?=??,??1,?1,??2,?2△????=±6

【解答過程】如圖：

由題，不妨設(shè)，直線斜率存在，

設(shè)直線方程?0,22??，

???=??,??1,?1,??2,?2

聯(lián)立2，

?2

9+?=1222

??+9??9=0,Δ=36?+9>0

?=??，

?9

2

?1+?2=0,?1??2=?+9

，

112136210

△???1212122

解?得=2|?，?|?|???|=2×22×?+??4??=2×22×?+9=5

故?=±6，

262185

12

故選|??：|D=.1+?|???|=37×45=5

【變式】（北京模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，過的直線與雙曲

2-12024··2

2?

121

線的同一支交于，兩點(diǎn)，且，?:則?線?段3=的1長(zhǎng)度為（）?,??

11

?A．??B．9??=2??C．??D．6

927

44

【答案】C

【解題思路】根據(jù)對(duì)稱性不妨設(shè)過的直線為，與雙曲線的方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定

3

1

理和向量共線的坐標(biāo)表示，結(jié)合弦?長(zhǎng)公式，計(jì)?算=可??得?．2?>0,?≠3

【解答過程】雙曲線中，，，則，

2

2?22

?:??3=1?=1?=3?=?+?=2?10,?2

根據(jù)對(duì)稱性不妨設(shè)過的直線為，

3

?1?=???2?>0,?≠3

聯(lián)立，可得，

?=???222

223??1??12??+9=0

則3???=3

222

設(shè)Δ=144?，?363?，?則1=36?+1，>0，①

12?9

1122122122

由??,???，,?可得?+?=，3??1??=3??1

即有??1=2??1，②?