專(zhuān)題8.7拋物線（舉一反三講義）

【全國(guó)通用】

【題型1拋物線的定義及其應(yīng)用】...........................................................................................................................3

【題型2拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程】...................................................................................................................................5

【題型3拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程】...............................................................................................................7

【題型4拋物線的軌跡方程】...................................................................................................................................8

【題型5拋物線上的點(diǎn)到定點(diǎn)的距離及最值】.....................................................................................................10

【題型6拋物線上的點(diǎn)到定點(diǎn)和焦點(diǎn)距離的和、差最值】.................................................................................12

【題型7拋物線的焦半徑公式】.............................................................................................................................15

【題型8拋物線的幾何性質(zhì)】.................................................................................................................................17

【題型9拋物線中的三角形（四邊形）面積問(wèn)題】.............................................................................................19

【題型10拋物線的實(shí)際應(yīng)用】...............................................................................................................................22

1、拋物線

考點(diǎn)要求真題統(tǒng)計(jì)考情分析

2023年新高考Ⅱ卷：第10題，5

分

2023年全國(guó)乙卷（文數(shù)）：第拋物線的方程及其性質(zhì)是圓錐曲線

13題，5分中的重要內(nèi)容，拋物線及其性質(zhì)是高考

(1)掌握拋物線的定義、幾何2023年北京卷：第6題，4分?jǐn)?shù)學(xué)的熱點(diǎn)問(wèn)題.從近幾年的高考情況

圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程2024年新高考Ⅱ卷：第10題，6來(lái)看，主要考查拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方

(2)掌握拋物線的簡(jiǎn)單幾何性分程、幾何性質(zhì)、面積問(wèn)題等內(nèi)容，在選

質(zhì)(范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離2024年北京卷：第11題，5分擇、填空、解答題都可能出現(xiàn)，解題思

心率)2025年全國(guó)一卷：第10題，6路和解題步驟相對(duì)固定，強(qiáng)調(diào)通性通法，

(3)了解拋物線的簡(jiǎn)單應(yīng)用分選擇、填空題中難度不大，解答題中難

2025年全國(guó)二卷：第6題，5度偏大，一般以第一小問(wèn)考查拋物線的

分方程或軌跡問(wèn)題，需要靈活求解.

2025年北京卷：第11題，5分

2025年天津卷：第9題，5分

知識(shí)點(diǎn)1拋物線的方程及其性質(zhì)

1．拋物線的定義

(1)定義：平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(l不經(jīng)過(guò)點(diǎn)F)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫作拋物線.點(diǎn)F叫作拋

物線的焦點(diǎn)，直線l叫作拋物線的準(zhǔn)線.

(2)集合語(yǔ)言表示

設(shè)點(diǎn)M(x,y)是拋物線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)M到直線l的距離為d，則拋物線就是點(diǎn)的集合P={M||MF|=d}.

2．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)

標(biāo)準(zhǔn)方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)

圖形

頂點(diǎn)(0,0)(0,0)

軸對(duì)稱軸y=0對(duì)稱軸x=0

焦點(diǎn)

準(zhǔn)線

離心率e=1e=1

開(kāi)口開(kāi)口向右開(kāi)口向左開(kāi)口向上開(kāi)口向下

焦半徑

范圍x≥0x≤0y≥0y≤0

3．拋物線與橢圓、雙曲線幾何性質(zhì)的差異

拋物線與橢圓、雙曲線幾何性質(zhì)的差異：

①它們都是軸對(duì)稱圖形，但橢圓和雙曲線又是中心對(duì)稱圖形；

②頂點(diǎn)個(gè)數(shù)不同，橢圓有4個(gè)頂點(diǎn)，雙曲線有2個(gè)頂點(diǎn)，拋物線只有1個(gè)頂點(diǎn)；

③焦點(diǎn)個(gè)數(shù)不同，橢圓和雙曲線各有2個(gè)焦點(diǎn)，拋物線只有1個(gè)焦點(diǎn)；

④離心率取值范圍不同，橢圓的離心率范圍是0<e<1,雙曲線的離心率范圍是e>1，拋物線的離心率是e=1；

⑤橢圓和雙曲線都有兩條準(zhǔn)線，而拋物線只有一條準(zhǔn)線；

⑥橢圓是封閉式曲線，雙曲線和拋物線都是非封閉式曲線.

知識(shí)點(diǎn)2拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的求解方法

1．拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的求解

待定系數(shù)法：求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的常用方法是待定系數(shù)法，其關(guān)鍵是判斷焦點(diǎn)位置、開(kāi)口方向，在方程的

類(lèi)型已經(jīng)確定的前提下，由于標(biāo)準(zhǔn)方程只有一個(gè)參數(shù)p，只需一個(gè)條件就可以確定拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

知識(shí)點(diǎn)3拋物線的焦半徑公式

1．焦半徑公式

設(shè)拋物線上一點(diǎn)P的坐標(biāo)為，焦點(diǎn)為F.

(1)拋物線：，；

(2)拋物線：，；

(3)拋物線：，；

(4)拋物線：，.

注：在使用焦半徑公式時(shí)，首先要明確拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，不同的標(biāo)準(zhǔn)方程對(duì)應(yīng)于不同的焦半徑公

式.

知識(shí)點(diǎn)4與拋物線有關(guān)的最值問(wèn)題的解題策略

1．與拋物線有關(guān)的最值問(wèn)題的兩個(gè)轉(zhuǎn)化策略

(1)轉(zhuǎn)化策略一：將拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離轉(zhuǎn)化為該點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，構(gòu)造出“兩點(diǎn)之間線段最短”“三

角形兩邊之和大于第三邊”，使問(wèn)題得以解決.

(2)轉(zhuǎn)化策略二：將拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，利用“與直線上所有點(diǎn)的連線中垂線

段最短”原理解決.

2．與拋物線有關(guān)的最值問(wèn)題的求解策略

求解此類(lèi)問(wèn)題一般有以下兩種思路：

(1)幾何法：若題目中的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來(lái)解決，這就是幾何

法.解題的關(guān)鍵是能夠準(zhǔn)確分析出最值問(wèn)題所隱含的幾何意義，并能借助相應(yīng)曲線的定義求解.

(2)代數(shù)法：由條件建立目標(biāo)函數(shù)，然后利用函數(shù)求最值的方法進(jìn)行求解，如利用二次函數(shù)在閉區(qū)間上最值

的求法，利用函數(shù)的單調(diào)性等，亦可用均值不等式求解.

【方法技巧與總結(jié)】

1．通徑：過(guò)焦點(diǎn)與對(duì)稱軸垂直的弦長(zhǎng)等于2p.

2．拋物線上一點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離，也稱為拋物線的焦半徑.

【題型1拋物線的定義及其應(yīng)用】

【例1】（2025·重慶·三模）已知A為拋物線C：＞上一點(diǎn)，點(diǎn)A到C的焦點(diǎn)的距離為4，到x

2

軸的距離為2，則p=（）?=2??(?0)

A．2B．3C．4D．6

【答案】C

【解題思路】根據(jù)拋物線的定義，即拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離，先求出拋物線的準(zhǔn)線方

程，再結(jié)合點(diǎn)到焦點(diǎn)和軸的距離建立等式，進(jìn)而求出的值.

???

【解答過(guò)程】對(duì)于拋物線，其準(zhǔn)線方程為.

2?

?=2??(?>0)?=?2

已知點(diǎn)到的焦點(diǎn)的距離為，由拋物線的定義可知，點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離也為.

又因?yàn)辄c(diǎn)?到?軸的距離為，4所以點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為點(diǎn)?到軸的距離加上，4即.

??

??2???22+2=4

對(duì)進(jìn)行求解，移項(xiàng)可得，解得.

??

2+2=42=4?2=2?=4

故選：C.

【變式1-1】（2025·吉林·三模）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，則（）

2

A．3B．4?:?C．=58??D?．?6,4???=

【答案】B

【解題思路】先根據(jù)點(diǎn)在拋物線上求出的值，再根據(jù)拋物線的定義求出的值.

【解答過(guò)程】已知點(diǎn)?在拋物線?上，可得，解得|??.|

22

在拋物線中?(，?,焦4)點(diǎn)的坐標(biāo)?為:?=8，?準(zhǔn)線方程4為=8?.?=2

2

由拋物線的?:定?義=可8?知，拋物線?上的點(diǎn)到焦(2,點(diǎn)0)的距離等于到準(zhǔn)?=線?的2距離.

所以點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，即.

故選：B?.2?(?2)=4|??|=4

【變式1-2】（2025·陜西安康·三模）已知拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為6，則點(diǎn)到軸的距離

2

為（）?=16?????

A．B．C．2D．4

【答案】B2242

【解題思路】由拋物線的定義確定坐標(biāo)，即可求解.

【解答過(guò)程】由拋物線方程可得：拋?物線的準(zhǔn)線方程為：，

由拋物線的定義可得：點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為6，?=?4

所以點(diǎn)縱坐標(biāo)為，代入?拋物線方?程=?可4得：，

2

得：?，2?=32

所以點(diǎn)?=±到4軸2的距離為，

故選：B?.?42

【變式】（湖南長(zhǎng)沙一模）已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，為上一點(diǎn)，過(guò)作的垂線，

1-32025··2

?

4

垂足為.若，則（）?:?=??????

A．?2|??|=|??B|．|??|=C．4D．

323

【答案】C

【解題思路】由拋物線定義及已知條件知為等邊三角形，進(jìn)而可求.

【解答過(guò)程】由拋物線的定義知△?，?又?，??

所以為等邊三角形，|??|=|??|為準(zhǔn)|?線?與|=軸|?的?|交點(diǎn))，

°

拋物線△???的焦點(diǎn)，準(zhǔn)∠?線??=30，(?，?

2

?

?=4?0,1?:?=?1?=2

故，

???

°

sin∠???sin30

故∣??∣=.==2?=4

??=4

故選：C.

【題型2拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程】

【例2】（25-26高二上·全國(guó)·單元測(cè)試）已知拋物線C關(guān)于y軸對(duì)稱，頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，且焦點(diǎn)在直線

上，則拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）?+2??

6=A0．B．

22

C．?=?12?D．?=8?

22

【答案】?D=?12??=12?

【解題思路】求出直線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，得拋物線的焦點(diǎn)，進(jìn)而可得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

【解答過(guò)程】直線與y軸的交點(diǎn)為，

所以拋物線C的焦?點(diǎn)+為2??6，=故0，解得0，,3

?

0,32=3?=6

所以拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

2

故選：D．?=12?

【變式2-1】（24-25高二上·天津河西·期末）準(zhǔn)線方程為的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）

A．B．C．?=4D．

2222

【答案】D?=8??=?8??=16??=?16?

【解題思路】由準(zhǔn)線方程求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程即可求解.

【解答過(guò)程】由題意可知拋物線開(kāi)口向下，故設(shè)拋物線方程為.

2

?=?2??(?>0)

因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線方程為，所以，即，所以該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

?2

?=42=4?=8?=?16?

故選：D.

【變式2-2】（2025·山西·二模）若點(diǎn)在以原點(diǎn)為頂點(diǎn)x軸為對(duì)稱軸的拋物線C上，則C的方程為（）

A．B．(2,2)C．D．

2222

【答案】A?=2??=?+2?=2??=?+2

【解題思路】由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，代入可得結(jié)果.

【解答過(guò)程】由題意可知，拋物線C的方(程2,2為)，

2

將代入，可得，故拋物線?C的=方2?程?為.

22

故選(2,：2)A.?=2???=1?=2?

【變式2-3】（2024·寧夏石嘴山·三模）如圖，過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于兩點(diǎn)A、

2

B，交其準(zhǔn)線于C，與準(zhǔn)線垂直且垂足為，若?=2??(?>0)，則此拋物線的?方程為（）

?????=2??,??=3

A．B．

23?2

?=2?=9?

C．D．

29?2

?=2?=3?

【答案】D

【解題思路】過(guò)點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，設(shè)，得到，結(jié)合拋物線的定義，求得，再

由，列出?方,?程求得的值，即可求?解?.=???=3+3??=1

【解?答?/過(guò)/?程?】如圖所示，分別?過(guò)點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，

設(shè)，則?，?

由拋??物線=的?定義得??=2??=2?，

在直角中，可?得?=??=?，所以，

??1°

在直角△???中，因?yàn)閟in∠???，=可得??=2∠?，??=30

由△???，所以??=3，解得??=3，+3?

??=2??3+3?=6?=1

因?yàn)?，所以，解得，所以拋物線方程為.

12?32

??//???=3??=2?=3?

故選：D.

.

【題型3拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程】

【例3】（2025·北京朝陽(yáng)·二模）若拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則拋物線C的準(zhǔn)線方程

2

為（）?:?=??(?≠0)(0,?1)

A．B．C．D．

【答案】D?=2?=1?=2?=1

【解題思路】由拋物線方程及焦點(diǎn)坐標(biāo)直接求出準(zhǔn)線方程.

【解答過(guò)程】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，

2

所以拋物線方程為?:?，=??(?≠0)(0,?1)

2

準(zhǔn)線方程為.?=?4?

故選：D.?=1

【變式3-1】（2025·安徽·模擬預(yù)測(cè)）拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）

12

?=8?

A．B．C．D．

【答案】A(0,2)(0,?2)(?2,0)(2,0)

【解題思路】變形得即可判斷焦點(diǎn)坐標(biāo).

2

?=8?

【解答過(guò)程】，即，則，則其焦點(diǎn)坐標(biāo)為.

122

?=8??=8??=4(0,2)

故選：A.

【變式3-2】（2025·安徽·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線恰好經(jīng)過(guò)圓的圓

222

心，則的準(zhǔn)線方程為（）?:2?+??=0?:??1+?+2=1

A．?B．C．D．

1111

?=2?=?2?=8?=?8

【答案】C

【解題思路】求出圓心坐標(biāo)，將圓心坐標(biāo)代入拋物線方程，將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，即可得出拋物線

的準(zhǔn)線方程.?

【解答過(guò)程】圓的圓心為，

將圓心的坐標(biāo)?代入拋物線?的1方,?程2得，解得，

2

故拋物線?的方程為，標(biāo)準(zhǔn)2×方1程為?2?=0，?=1

221

?2?+?=0?=?2?

則，所以，，故拋物線的準(zhǔn)線方程為.

1?11

2?=22=8??=8

故選：C.

【變式3-3】（2025·安徽合肥·三模）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，第一象限的點(diǎn)

2

在拋物線上，且?:?=2??(?>．0若)，則拋物線C的準(zhǔn)線方程為

（??）1,?1,??2,?2??=??+3,??=32?1+?2=6

A．B．C．D．

3

?=?2?=?3?=?1?=?2

【答案】A

【解題思路】根據(jù)題意結(jié)合拋物線的定義可得，再根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式可得，最后

2

代入方程作差可得，即可得結(jié)果.?1??2=3?1??2=9

【解答過(guò)程】因?yàn)?=3，則，可得，

??

??=??+3?1+2=?2+2+3?1??2=3

又因?yàn)椋傻茫?/p>

2222

??=?1??2+?1??2=?1??2+9=32?1??2=9

且，兩式相減得，即，

2

?1=2??122

2?1??2=2??1??2?1+?2?1??2=2??1??2

平方?可2=得2??2，

2222

且?1+，?可2得?1??2=4??1，?即?2

22

且?1+?，2=即6，36×9=4?×9?=9

?>0?=3

所以所求準(zhǔn)線方程為.

3

?=?2

故選：A．

【題型4拋物線的軌跡方程】

【例4】（2025·湖南衡陽(yáng)·三模）已知點(diǎn)，動(dòng)圓過(guò)點(diǎn)，且與相切，記動(dòng)圓圓心點(diǎn)的軌跡為曲

線，則曲線的方程為（）?(2,0)???=?2?

ΓA．ΓB．C．D．

2222

?=2??=4??=8??=12?

【答案】C

【解題思路】分析題意，利用拋物線的定義判斷曲線是拋物線，再求解軌跡方程即可.

【解答過(guò)程】由題意知，點(diǎn)到點(diǎn)的距離和它到直線的距離相等，

所以點(diǎn)的軌跡是以為?焦點(diǎn)的?拋物線，所以的方?程=為?2，故C正確.

2

故選：C?.(2,0)Γ?=8?

【變式4-1】（2025·遼寧沈陽(yáng)·一模）已知平面直角坐標(biāo)系中不同的三點(diǎn)，圓心在y軸

上的圓E經(jīng)過(guò)A，B，C三點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，則M點(diǎn)的軌跡方?(程0,為5)（,?(?,）0),?(0,?)

A．B．?,?

22

C．?=5?(?≠0)D．?=5?(?≠0)

22

【答案】?D=?5?(?≠0)?=?5?(?≠0)

【解題思路】根據(jù)給定條件可得，再利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示求出方程.

【解答過(guò)程】由圓心在y軸上的圓??E⊥經(jīng)?過(guò)?點(diǎn)，得線段為圓的直徑，

而點(diǎn)在軸上，則，又?(0,5),?(?,0),?(0，,?)???

于是????⊥??，而?