專題8.6雙曲線（舉一反三講義）

【全國通用】

【題型1雙曲線的定義及其應用】...........................................................................................................................4

【題型2雙曲線的標準方程】...................................................................................................................................5

【題型3曲線方程與雙曲線】...................................................................................................................................5

【題型4求雙曲線的軌跡方程】...............................................................................................................................6

【題型5雙曲線的焦點、焦距、長軸、虛軸】.......................................................................................................7

【題型6雙曲線中的焦點三角形問題】...................................................................................................................7

【題型7雙曲線的漸近線方程】...............................................................................................................................8

【題型8求雙曲線的離心率或其取值范圍】...........................................................................................................9

【題型9與雙曲線有關的最值問題】.......................................................................................................................9

【題型10雙曲線的實際應用】...............................................................................................................................10

1、雙曲線

考點要求真題統(tǒng)計考情分析

2023年新高考I卷：第16題，5

分

2023年全國甲卷（文數）：第8雙曲線的方程及其性質是圓錐

題，5分曲線中的重要內容，是高考命題的重

(1)了解雙曲線的定義、幾何圖2023年北京卷：第12題，5分點內容.從近幾年的高考情況來看，

形和標準方程2023年天津卷：第9題，5分主要考查雙曲線的定義、方程與簡單

(2)掌握雙曲線的幾何性質(范2024年新高考I卷：第12題，5幾何性質等知識，主要以單選題、多

圍、對稱性、頂點、漸近線、分選題、填空題的形式出現，難度不大，

離心率)2024年全國甲卷（理數）：第5復習時要加強這方面的訓練.

(3)了解雙曲線的簡單應用題，5分與向量等知識結合綜合考查也

2025年全國一卷：第3題，5分是高考命題的一個趨勢，需要學會靈

2025年全國二卷：第11題，6分活求解.

2025年北京卷：第3題，4分

2025年天津卷：第9題，5分

知識點1雙曲線的方程及其性質

1．雙曲線的定義

雙曲線的定義：平面內與兩個定點的距離的差的絕對值等于非零常數(小于)的點的軌跡叫作雙

曲線.這兩個定點叫作雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫作雙曲線的焦距.

2．雙曲線的標準方程

雙曲線的標準方程與其在坐標系中的位置的對應關系：

雙曲線在坐標

系中的位置

標準方程

焦點坐標F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)

a,b,c的關系

3．雙曲線的簡單幾何性質

雙曲線的一些幾何性質：

圖形

標準方程

范圍x≥a或x≤-a,y∈Ry≥a或y≤-a,x∈R

對稱性關于x軸、y軸對稱，關于原點中心對稱

頂點A1(-a,0),A2(a,0)A1(0,-a),A2(0,a)

半軸長實半軸長為a,虛半軸長為b

離心率

漸近線方程

4．雙曲線的離心率

(1)定義：雙曲線的焦距與實軸長的比，叫作雙曲線的離心率.

(2)雙曲線離心率的范圍：e>1.

(3)離心率的意義：離心率的大小決定了漸近線斜率的大小，從而決定了雙曲線的開口大小.

因為=，所以e越大，越大，則雙曲線的開口越大.

(4)等軸雙曲線的兩漸近線互相垂直，離心率e=.

知識點2雙曲線方程的求解方法

1．雙曲線方程的求解

(1)用定義法求雙曲線的標準方程

根據雙曲線的定義，確定的值，結合焦點位置可寫出雙曲線的標準方程.

(2)用待定系數法求雙曲線的標準方程

用待定系數法求雙曲線的標準方程時，先確定焦點在x軸還是y軸上，設出標準方程，再由條件確定a2，

b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦點的位置不好確定，可將雙曲線的方程設為或

，再根據條件求解.

(3)與雙曲線有相同漸近線時，可設所求雙曲線方程為.

知識點3雙曲線的焦點三角形

1．雙曲線的焦點三角形

(1)焦點三角形的概念

設P是雙曲線上一點，F1,F2為雙曲線的焦點，當點P,F1,F2不在同一條直線上時，它們構成一個焦點三角形，

如圖所示.

(2)求雙曲線中的焦點三角形△PF1F2面積的方法

方法一：①根據雙曲線的定義求出||PF1|-|PF2||=2a；

②利用余弦定理表示出|PF1|、|PF2|、|F1F2|之間滿足的關系式；

③通過配方，利用整體的思想求出|PF1|·|PF2|的值；

④利用公式，求得面積.

方法二：利用公式，求得面積.

(3)焦點三角形的常用結論

若P是雙曲線上不同于實軸兩端點的任意一點，F1,F2分別為雙曲線的左、右焦點，則，其

中θ為.

知識點4雙曲線的離心率或其范圍的解題策略

1．求雙曲線離心率或其取值范圍的方法

(1)直接求出a,c的值，利用離心率公式直接求解.

(2)列出含有a,b,c的齊次方程(或不等式)，借助于消去b，轉化為含有e的方程(或不等式)求解.

知識點5雙曲線中的最值問題的解題策略

1．雙曲線中的最值問題

求解此類問題一般有以下兩種思路：

(1)幾何法：若題目中的條件和結論能明顯體現幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質來解決，這就是幾何

法.解題的關鍵是能夠準確分析出最值問題所隱含的幾何意義，并能借助相應曲線的定義求解.

(2)代數法：若題目中的條件和結論能體現一種明確的函數關系，則可建立目標函數，將目標變量表示為一

個(或多個)變量的函數關系式，然后根據函數關系式的特征選用配方法、判別式法，應用基本不等式以及三

角函數的最值求法求出最大值、最小值或范圍，但要注意自變量的取值范圍對最值的影響.

【方法技巧與總結】

1．雙曲線的焦點到其漸近線的距離為b.

2．若P是雙曲線右支上一點，F1,F2分別為雙曲線的左、右焦點，則，.

3．同支的焦點弦中最短的為通徑(過焦點且垂直于實軸的弦)，其長為.

4．與雙曲線有共同漸近線的雙曲線方程可表示為(t≠0).

【題型1雙曲線的定義及其應用】

【例】（高二下河南階段練習）雙曲線：上的點到右焦點的距離為，則它到左焦

124-25··2219

??

點的距離為（）?25?144=1?

A．9B．7C．9或29D．7或19

【變式】（北京模擬預測）雙曲線：，焦距為，左右焦點分別為，，

1-12025··2210M

??

2

?1612

為E上一點滿足，則（?）?=1?>0??

A．13??1B=．71或1?3?2=C．10D．4或10

【變式】（高二上云南曲靖期末）雙曲線上一點到它的一個焦點的距離為，那么點

1-224-25··24

2?

??16=1?

到另一個焦點的距離為（）

?A．2B．6C．2或6D．4

【變式】（河北邢臺二模）若點是雙曲線：上一點，，分別為的左、右焦點，

1-32024··PC22C

??

16912

則“”是“”的（）?=1??

?A?．1既=不8充分也??不2必=要1條6件B．必要不充分條件

C．充要條件D．充分不必要條件

【題型2雙曲線的標準方程】

【例】（北京海淀一模）若雙曲線上的一點到焦點的距離比到焦點

22025··22

??

22

的距離大，則該雙曲線的方程為（??）?=1(?>0,?>0)(?5,0)

(5,0)．?．．．

A2B2C2D2

?2?22?2?

4??=12??=1??2=1??4=1

【變式】（江蘇淮安模擬預測）雙曲線與雙曲線：的漸近線相同，且過點，

2-12025··2

?2

12

則雙曲線的方程為（）??4??=12,2

1

．?．

A2B2

?22?

4??=1??4=1

．．

C22D

??232

2?2=1??2?=1

【變式】（寧夏石嘴山模擬預測）雙曲線與橢圓有公共的焦點，且的離心率是，則

2-22025··222

??

62

C的標準方程是（）?+=1?

．．．．

A2B2C22D22

2?2?????

??3=1??3=14?12=14?12=1

【變式】（四川雅安一模）已知為雙曲線的左、右焦點，點在

2-32025··22

??

1222

上，若，?,?的面積為?:??，?則=1的(?方>程0為,?（>0)）??

121212

．??=2??∠???=30°,△???．63?

A22B22

????

9?6=13?6=1

．．

C22D22

????

6?9=16?3=1

【題型3曲線方程與雙曲線】

【例】（新疆模擬預測）是方程表示雙曲線的（）

32025··“”“22”

??

A．充分不必要條件?>4B．?必?要1?不?充?4分=條1件

C．充要條件D．既不充分也不必要條件

【變式】（高二上河南許昌期末）若方程表示雙曲線，則的取值范圍是（）

3-124-25··22

??

A．或B．?+4+??7=1?

C．?<?7或?>4D．?7<?<4

?<?4?>7?4<?<7

【變式3-2】（24-25高二上·浙江·期中）對于方程，表示的曲線，下列說法正

22ππ

確的是（）?+?tan?=1,??∈?2,?2?

A．曲線只能表示圓、橢圓或雙曲線

B．若為?負角，則曲線為雙曲線

C．若?為正角，則曲線?為橢圓

D．若?為橢圓，則曲線?的焦點在軸上

【變式】?（安徽蚌埠?模擬預測）?已知曲線，則是曲線的焦點在

3-32025··22“”“C

??

4?

x軸上”的（）?:+=1(?≠0)?∈(0,4)

A．充分不必要條件B．必要不充分條件

C．充要條件D．既不充分也不必要條件

【題型4求雙曲線的軌跡方程】

【例4】（2024·廣西柳州·一模）在平面直角坐標系中，點的坐標分別是，，直線，

相交于點，且它們的斜率之積是，則點的軌跡方程為?（,?）?5,05,0????

4

?9?

．．

A22B22

?9??3?

25?100=1?≠±525?100=1?≠±5

．．

C22D22

?3??9?

【變式4-215】?（120002=5·黑1龍?≠江±遼5寧·模擬預測）若圓25?100=1?≠上±恰5有三個點到直線

22

的距離為1，則動點的軌跡?:方?程+是?（?6）?=0??+??+1=0?≠

0,??≠05?+3,?5?

A．B．

222

??2532

4?5=14?+5?5?=1

．．

CD22

2522??

4??5?=15?4=1

【變式】（重慶沙坪壩模擬預測）已知雙曲線與直線有唯一的公

4-22025··2

2?

共點，過點且與垂直的直線分別交軸、軸于??4=1兩點．當?:點?=運??動+時?，?點≠±2的軌跡方

程是（?）??????,0,?0,????,?

．．

A2B2

?2?2

4+?=1?≠04??=1?≠0

．．

C22D22

?4??4?

25+25=1?≠025?25=1?≠0

【變式】（浙江一模）雙曲線的另一種定義：動點與定點的距離和它與定直線：

4-32025··2

?

??,???,0??=?

的距離的比是常數，則點的軌跡是一個雙曲線.動點與定點的距離和它與定直線：

?

?0<?<????3,0?

的距離的比是，則點的軌跡方程為（）

3

?=33?

．．

A2B2

?22?

2??=1??2=1

．．

C2D2

?22?

2??=1??2=1

【題型5雙曲線的焦點、焦距、長軸、虛軸】

【例】（云南昆明模擬預測）已知雙曲線的一個焦點坐標為，則實數的值為（）

52025··22

??

A．1B．2C．53??=1D．4?3,0?

【變式】（江西新余一模）雙曲線的實軸長為（）

5-12025··22

??

616

A．B．4?C．=1D．8

【變式】6（廣東廣州三模）已知雙曲線2：6的左右焦點分別為、，過作

5-22025··C22C

??

2

9?122

其中一條漸近線的垂線，垂足為A，直線交另一漸近?線于=點1(B?，>若0)，則雙曲線?C的?焦距為?（）

2

A．??B．??=?

C．32D．62

【變式6】（陜西安康模擬預測）已知雙曲1線2的焦距為，且

5-32025··22

??

22

，則下列說法正確的是（）?:???=1(?>0,?>0)2?

?:?:A?．=1的:2實:軸5長為2B．的漸近線方程為

1

???=±2?

C．的離心率為D．的右焦點的坐標為

?5?(5,0)

【題型6雙曲線中的焦點三角形問題】

【例】（江西二模）過雙曲線的中心作直線與雙曲線交于、兩點，設雙曲線的右

62025··2

?2

?:2??=1?????

焦點為，已知，則的面積為（）

2π

?∠???=3△???

A．B．1C．D．

3

323

【變式】（河南安陽一模）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過

6-12025··22

??

2212

點的直線與的右支交于，兩點，且?:???=1?>0,，?若>0的周長為20，則?的?實軸長

為（?2）?????2:??2:??1=1:2:3△???1?

A．1B．2C．4D．6

【變式】（青海海南一模）已知雙曲線：的左、右焦點分別為，，點在的右支

6-22025··2

2?

12

上，且，則的面積為（?）??3=1????

A．??1=1+7B．6△??1?2C．3D．

【變式】7（?1廣東一模）如圖，、是雙曲線的7左+、1右焦點，過的直線與雙曲

6-32025··22

??

1221

線分別交于點、，若為等邊?三角?形，則9??的=面1積(?為>（0)）??

??△???2△??1?2

A．B．

C．83D．93

183273

【題型7雙曲線的漸近線方程】

【例】（河北一模）雙曲線的離心率為，則的漸近線方程為（）

72025··22

??

22

?:???=1(?>0,?>0)2?

A．B．

3

?=±3??=±3?

C．D．

1

?=±2??=±2?

【變式】（四川成都一模）雙曲線的漸近線方程為（）

7-12025··22

??

A．B．2?C．8=1D．

【變式2】?±（?=0安徽六安?±模2擬?預=測0）已知雙曲4線?±?=0的?±離4心?率=為0，則此雙曲線的漸近

7-22025··22

??21

22

線方程為（）???=1?,?>03

A．B．C．D．

2356

?=±2??=±2??=±2??=±2?

【變式】（福建泉州模擬預測）已知分別為雙曲線的左、右焦點，直線過與

7-32025··22

??

12221

交于兩點，若，?,?，則的漸近?:線?為?（?=1）???

?,?|??|=|??2|3?