專題7.4空間直線、平面的垂直（舉一反三講義）

【全國(guó)通用】

【題型1垂直關(guān)系的有關(guān)命題的判斷】...................................................................................................................5

【題型2證明線線垂直】...........................................................................................................................................5

【題型3線面垂直的判定】.......................................................................................................................................7

【題型4線面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用】...................................................................................................................8

【題型5面面垂直的判定】.....................................................................................................................................10

【題型6面面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用】.................................................................................................................12

【題型7平行、垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用】.................................................................................................................14

【題型8垂直關(guān)系的探索性問題】.........................................................................................................................16

1、空間直線、平面的垂直

考點(diǎn)要求真題統(tǒng)計(jì)考情分析

空間直線、平面的垂直是高考的重

點(diǎn)、熱點(diǎn)內(nèi)容.從近幾年的高考情況來

2023年新高考Ⅱ卷：第20題，

看，主要分三方面進(jìn)行考查，一是空間

12分

中線面垂直關(guān)系的命題的真假判斷，常

(1)理解空間中直線與直線、直2024年新高考Ⅱ卷：第17題，

以選擇題、填空題的形式考查，難度較

線與平面、平面與平面的垂直15分

易；二是空間線線、線面、面面垂直的

關(guān)系2025年全國(guó)一卷：第9題，6

證明以及垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化，一般以解答

(2)掌握直線與平面、平面與平分、第17題，15分

題的第一小問的形式考查，難度中等；

面垂直的判定與性質(zhì)，并會(huì)簡(jiǎn)2025年北京卷：第14題，5

三是線面平行、垂直關(guān)系的存在性問題，

單應(yīng)用分

難度中等；解題時(shí)要靈活運(yùn)用直線、平

2025年天津卷：第17題，15

面的垂直的判定與性質(zhì)，復(fù)習(xí)備考時(shí)要

分

強(qiáng)化定理?xiàng)l件的嚴(yán)謹(jǐn)性，避免忽略定理

核心條件導(dǎo)致失誤.

知識(shí)點(diǎn)1線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理

1．直線與平面垂直

(1)定義

如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線l與平面α互相垂直，記作l⊥α.直線l叫做平面

α的垂線，平面α叫做直線l的垂面.直線與平面垂直時(shí)，它們唯一的公共點(diǎn)P叫做垂足.

(2)點(diǎn)到平面的距離

過一點(diǎn)作垂直于已知平面的直線，則該點(diǎn)與垂足間的線段，叫做這個(gè)點(diǎn)到該平面的垂線段，垂線段的長(zhǎng)度

叫做這個(gè)點(diǎn)到該平面的距離.

2．直線與平面垂直的判定定理

(1)自然語言：如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直．

(2)圖形語言：如圖所示．

(3)符號(hào)語言：a?α，b?α，a∩b＝P，l⊥a，l⊥b?l⊥α.

該定理可簡(jiǎn)記為“若線線垂直，則線面垂直”.

3．直線與平面垂直的性質(zhì)定理

(1)直線與平面垂直的性質(zhì)定理

①自然語言：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行．

②圖形語言：如圖所示．

③符號(hào)語言：a⊥α，b⊥α?a∥b.

(2)性質(zhì)定理的作用

①由線面垂直證明線線平行.

②構(gòu)造平行線.

知識(shí)點(diǎn)2面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理

1．面面垂直的定義及判定定理

(1)平面與平面垂直的定義

一般地，兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個(gè)平面互相垂直.平面α與β垂直，記

作α⊥β.

(2)兩個(gè)平面互相垂直的畫法

如圖，畫兩個(gè)互相垂直的平面時(shí)，通常把表示平面的兩個(gè)平行四邊形的一組邊畫成垂直.

(3)平面與平面垂直的判定定理

①自然語言

如果一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面垂直.

②圖形語言

③符號(hào)語言

.

該定理可簡(jiǎn)記為“若線面垂直，則面面垂直”.

2．平面與平面垂直的性質(zhì)定理

(1)平面與平面垂直的性質(zhì)定理

①自然語言

兩個(gè)平面垂直，如果一個(gè)平面內(nèi)有一直線垂直于這兩個(gè)平面的交線，那么這條直線與另一個(gè)平面垂直.

②圖形語言

③符號(hào)語言

.

(2)性質(zhì)定理的作用

①證明線面垂直、線線垂直；

②構(gòu)造面的垂線.

知識(shí)點(diǎn)3空間中的垂直關(guān)系的判定方法

1．直線與直線垂直的判定方法

(1)定義法：如果兩條異面直線所成的角是直角，那么我們就說這兩條異面直線互相垂直.直線a與直線b垂

直，記作a⊥b；

(2)利用線面垂直的性質(zhì)定理；

(3)利用面面垂直的性質(zhì)定理；

2．直線與平面垂直的判定方法

(1)定義法：利用定義：若一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線，則這條直線垂直于這個(gè)平面(不常用)；

(2)利用線面垂直的判定定理：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么這條直線就和這個(gè)平

面垂直(常用方法);

(3)可作定理用的正確命題：如果兩條平行直線中的一條直線垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于這個(gè)平

面(選擇、填空題常用)；

(4)面面垂直的性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于這兩個(gè)平面的交線的直線垂直于另

一個(gè)平面(常用方法)；

(5)面面平行的性質(zhì)：如果一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面，則這條直線也垂直于另一個(gè)平面；

(6)面面垂直的性質(zhì)：若兩相交平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，則這兩個(gè)平面的交線垂直于第三個(gè)平面.

3．面面垂直判定的兩種方法與一個(gè)轉(zhuǎn)化

(1)兩種方法：

①面面垂直的定義；

②面面垂直的判定定理.

(2)一個(gè)轉(zhuǎn)化：

在已知兩個(gè)平面垂直時(shí)，一般要用性質(zhì)定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化.在一個(gè)平面內(nèi)作交線的垂線，轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后

進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直.

4．平面與平面垂直的其他性質(zhì)與結(jié)論

(1)如果兩個(gè)平面互相垂直，那么經(jīng)過第一個(gè)平面內(nèi)一點(diǎn)垂直于第二個(gè)平面的直線在第一個(gè)平面內(nèi).

(2)如果兩個(gè)平面互相垂直，那么與其中一個(gè)平面平行的平面垂直于另一個(gè)平面.

(3)如果兩個(gè)平面互相垂直，那么其中一個(gè)平面的垂線平行于另一個(gè)平面或在另一個(gè)平面內(nèi).

(4)如果兩個(gè)相交平面都垂直于第三個(gè)平面，那么它們的交線垂直于第三個(gè)平面.

(5)三個(gè)兩兩垂直的平面的交線也兩兩垂直.

知識(shí)點(diǎn)4空間中位置關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化

1．線、面垂直位置關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化

2．平行關(guān)系與垂直關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化

【方法技巧與總結(jié)】

1．三垂線定理

平面內(nèi)的一條直線如果和穿過這個(gè)平面的一條斜線在這個(gè)平面內(nèi)的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直.

2．三垂線定理的逆定理

平面內(nèi)的一條直線如果和穿過該平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線在該平面內(nèi)的射影垂直.

3．兩個(gè)相交平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，它們的交線也垂直于第三個(gè)平面.

【題型1垂直關(guān)系的有關(guān)命題的判斷】

【例1】（2025·重慶·二模）已知是兩條不重合的直線，，是兩個(gè)不重合的平面，則下列說法

正確的是（）?,?,?,???

A．若，則

B．若?⊥?，,?//?,?，⊥?，則?⊥?

C．若?⊥?，?⊥?，?//?，則?⊥?

D．若?//?，?//?，?//?，?則//?

【變式1-1】?（//2?025·?重?慶?·三??！桑?已=知?直線，?//和?平面，其中，則“”是“”的（）

A．充要條件??B．充分?不必要條?件???⊥??⊥?

C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件

【變式1-2】（2025·天津?yàn)I海新·三模）已知，是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，則下列命題

正確的是（）????

A．若，，則B．若，，則

C．若?//?，???，?//，?則D．若?//?，?//?，?//?，則

【變式1-3】?（⊥2?025·?天⊥津?和平?·⊥二?模）已?知⊥?a，b是空間?兩⊥條?不?同∩的?直=線?，?，⊥?，為?三⊥個(gè)?不同的平面，則下

列命題正確的為（）???

A．若，，，則B．若，，則

C．若?∥???，????，?∥?，則D．若?∥?，?⊥?，則?⊥?

?∩?=??∩?=??∥??∥??⊥?????⊥?

【題型2證明線線垂直】

【例2】（2025高二下·湖南株洲·學(xué)業(yè)考試）在正方體中，連接，，則直線，

位置關(guān)系是（）??????1?1?1?1????1????1

A．異面且垂直B．異面但不垂直

C．相交且垂直D．平行

【變式2-1】（24-25高二上·貴州·階段練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)方體中，直線與的位置關(guān)系

′′′′′

是（）?????????????

A．平行B．相交C．異面且垂直D．異面但不垂直

【變式2-2】（24-25高二上·云南昭通·期中）如圖所示，在正方體中，.證明：

??????1?1?1?1??=1

(1)；

(2)??1與⊥?1?是異面直線.

??1?1?

【變式2-3】（24-25高一下·吉林長(zhǎng)春·期末）如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB⊥AC，D，E分別為BC，

A1B1的中點(diǎn).

(1)求證：AB⊥DE.

(2)若AA1=3，AB=AC=2，求三棱錐A?BCE的體積.

【題型3線面垂直的判定】

【例3】（2025·上海青浦·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知四棱錐的底面為菱形，.

π

??????∠???=3,??=??

(1)求證：平面BDS；

(2)若??⊥，求四棱錐的體積.

??=2,??=3,??=1??????

【變式3-1】（2025·山西·三模）如圖所示，在三棱錐中，，，，

點(diǎn)，，分別在棱，，上運(yùn)動(dòng)，且?平?面???，??=平?面???，=?，?=分?別?=是?線?段??和=2?的?

中點(diǎn)?．??????????//?????//?????????

(1)證明：直線平面；

??⊥???

(2)當(dāng)三角形面積的最大值為時(shí)，求三棱錐的體積．

1

???2?????

【變式3-2】（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，且

，，，點(diǎn)，分別為，的中??點(diǎn)?.???????

??⊥????⊥????=2??????

(1)求證：平面；

(2)求點(diǎn)到??平⊥面?的?距??離.

????

【變式3-3】（2025·四川雅安·三模）四棱錐中，，底面為等腰梯形，，

，為線段的中點(diǎn)，???.?????=????????∥????=

2??=2??=2?????⊥??

(1)證明：平面；

(2)若??，⊥求直線???與平面所成角的正弦值.

??=2??????

【題型4線面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用】

【例4】（2025·上海楊浦·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，

，，，??????平面?.???

°

∠???=90??//????=2??=1,??=??=4,??⊥????

(1)求證:直線；

(2)求直線與??平⊥面??所成角的大小.

?????

【變式4-1】（2025·湖南長(zhǎng)沙·一模）在多面體中，已知

，且平面與平面均垂直于平面????為?的中點(diǎn)??.=??=2,??=22,??=??=??=??=

5?????????,???

(1)證明：；

(2)求直線??與∥平?面?所成角的正弦值.

?????

【變式4-2】（2025·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，平面四邊形中，，，，，

，點(diǎn)滿足．將???沿?翻??折=至8??=，3使3得??=9．∠???=90°

23

∠???=30°?,??