專題7.4空間直線、平面的垂直（舉一反三講義）

【全國通用】

【題型1垂直關(guān)系的有關(guān)命題的判斷】...................................................................................................................5

【題型2證明線線垂直】...........................................................................................................................................7

【題型3線面垂直的判定】.....................................................................................................................................10

【題型4線面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用】.................................................................................................................15

【題型5面面垂直的判定】.....................................................................................................................................20

【題型6面面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用】.................................................................................................................26

【題型7平行、垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用】.................................................................................................................32

【題型8垂直關(guān)系的探索性問題】.........................................................................................................................37

1、空間直線、平面的垂直

考點要求真題統(tǒng)計考情分析

空間直線、平面的垂直是高考的重

點、熱點內(nèi)容.從近幾年的高考情況來

2023年新高考Ⅱ卷：第20題，

看，主要分三方面進(jìn)行考查，一是空間

12分

中線面垂直關(guān)系的命題的真假判斷，常

(1)理解空間中直線與直線、直2024年新高考Ⅱ卷：第17題，

以選擇題、填空題的形式考查，難度較

線與平面、平面與平面的垂直15分

易；二是空間線線、線面、面面垂直的

關(guān)系2025年全國一卷：第9題，6

證明以及垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化，一般以解答

(2)掌握直線與平面、平面與平分、第17題，15分

題的第一小問的形式考查，難度中等；

面垂直的判定與性質(zhì)，并會簡2025年北京卷：第14題，5

三是線面平行、垂直關(guān)系的存在性問題，

單應(yīng)用分

難度中等；解題時要靈活運用直線、平

2025年天津卷：第17題，15

面的垂直的判定與性質(zhì)，復(fù)習(xí)備考時要

分

強化定理條件的嚴(yán)謹(jǐn)性，避免忽略定理

核心條件導(dǎo)致失誤.

知識點1線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理

1．直線與平面垂直

(1)定義

如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線l與平面α互相垂直，記作l⊥α.直線l叫做平面

α的垂線，平面α叫做直線l的垂面.直線與平面垂直時，它們唯一的公共點P叫做垂足.

(2)點到平面的距離

過一點作垂直于已知平面的直線，則該點與垂足間的線段，叫做這個點到該平面的垂線段，垂線段的長度

叫做這個點到該平面的距離.

2．直線與平面垂直的判定定理

(1)自然語言：如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直．

(2)圖形語言：如圖所示．

(3)符號語言：a?α，b?α，a∩b＝P，l⊥a，l⊥b?l⊥α.

該定理可簡記為“若線線垂直，則線面垂直”.

3．直線與平面垂直的性質(zhì)定理

(1)直線與平面垂直的性質(zhì)定理

①自然語言：垂直于同一個平面的兩條直線平行．

②圖形語言：如圖所示．

③符號語言：a⊥α，b⊥α?a∥b.

(2)性質(zhì)定理的作用

①由線面垂直證明線線平行.

②構(gòu)造平行線.

知識點2面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理

1．面面垂直的定義及判定定理

(1)平面與平面垂直的定義

一般地，兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直.平面α與β垂直，記

作α⊥β.

(2)兩個平面互相垂直的畫法

如圖，畫兩個互相垂直的平面時，通常把表示平面的兩個平行四邊形的一組邊畫成垂直.

(3)平面與平面垂直的判定定理

①自然語言

如果一個平面過另一個平面的垂線，那么這兩個平面垂直.

②圖形語言

③符號語言

.

該定理可簡記為“若線面垂直，則面面垂直”.

2．平面與平面垂直的性質(zhì)定理

(1)平面與平面垂直的性質(zhì)定理

①自然語言

兩個平面垂直，如果一個平面內(nèi)有一直線垂直于這兩個平面的交線，那么這條直線與另一個平面垂直.

②圖形語言

③符號語言

.

(2)性質(zhì)定理的作用

①證明線面垂直、線線垂直；

②構(gòu)造面的垂線.

知識點3空間中的垂直關(guān)系的判定方法

1．直線與直線垂直的判定方法

(1)定義法：如果兩條異面直線所成的角是直角，那么我們就說這兩條異面直線互相垂直.直線a與直線b垂

直，記作a⊥b；

(2)利用線面垂直的性質(zhì)定理；

(3)利用面面垂直的性質(zhì)定理；

2．直線與平面垂直的判定方法

(1)定義法：利用定義：若一條直線垂直于一個平面內(nèi)的任意一條直線，則這條直線垂直于這個平面(不常用)；

(2)利用線面垂直的判定定理：如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么這條直線就和這個平

面垂直(常用方法);

(3)可作定理用的正確命題：如果兩條平行直線中的一條直線垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平

面(選擇、填空題常用)；

(4)面面垂直的性質(zhì)定理：如果兩個平面垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于這兩個平面的交線的直線垂直于另

一個平面(常用方法)；

(5)面面平行的性質(zhì)：如果一條直線垂直于兩個平行平面中的一個平面，則這條直線也垂直于另一個平面；

(6)面面垂直的性質(zhì)：若兩相交平面同時垂直于第三個平面，則這兩個平面的交線垂直于第三個平面.

3．面面垂直判定的兩種方法與一個轉(zhuǎn)化

(1)兩種方法：

①面面垂直的定義；

②面面垂直的判定定理.

(2)一個轉(zhuǎn)化：

在已知兩個平面垂直時，一般要用性質(zhì)定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化.在一個平面內(nèi)作交線的垂線，轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后

進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直.

4．平面與平面垂直的其他性質(zhì)與結(jié)論

(1)如果兩個平面互相垂直，那么經(jīng)過第一個平面內(nèi)一點垂直于第二個平面的直線在第一個平面內(nèi).

(2)如果兩個平面互相垂直，那么與其中一個平面平行的平面垂直于另一個平面.

(3)如果兩個平面互相垂直，那么其中一個平面的垂線平行于另一個平面或在另一個平面內(nèi).

(4)如果兩個相交平面都垂直于第三個平面，那么它們的交線垂直于第三個平面.

(5)三個兩兩垂直的平面的交線也兩兩垂直.

知識點4空間中位置關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化

1．線、面垂直位置關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化

2．平行關(guān)系與垂直關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化

【方法技巧與總結(jié)】

1．三垂線定理

平面內(nèi)的一條直線如果和穿過這個平面的一條斜線在這個平面內(nèi)的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直.

2．三垂線定理的逆定理

平面內(nèi)的一條直線如果和穿過該平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線在該平面內(nèi)的射影垂直.

3．兩個相交平面同時垂直于第三個平面，它們的交線也垂直于第三個平面.

【題型1垂直關(guān)系的有關(guān)命題的判斷】

【例1】（2025·重慶·二模）已知是兩條不重合的直線，，是兩個不重合的平面，則下列說法

正確的是（）?,?,?,???

A．若，則

B．若?⊥?，,?//?,?，⊥?，則?⊥?

C．若?⊥?，?⊥?，?//?，則?⊥?

D．若?//?，?//?，?//?，?則//?

【答案】D?//?????∩?=??//?

【解題思路】利用空間線、面平行或垂直的判定與性質(zhì)，對每個選項逐一判斷，通過舉反例可判斷ABC，由

線面平行的性質(zhì)可判斷D.

【解答過程】對于A，如圖所示：，，，但，故A錯誤；

?⊥??//??⊥??//?

對于B.，如圖所示：滿足，，，但，故B錯誤；

?⊥??⊥??//??//?

對于C，滿足，，，但不平行，故C錯誤；

?//??//??//??,?

對于D，，，，由線面平行的性質(zhì)可和，故D正確.

故選：D.?//?????∩?=??//?

【變式1-1】（2025·重慶·三模）已知直線，和平面，其中，則“”是“”的（）

A．充要條件??B．充分?不必要條?件???⊥??⊥?

C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件

【答案】C

【解題思路】由線面垂直判定定理及線面垂直的性質(zhì)即可判斷得出結(jié)論.

【解答過程】由，，則可能有，或者與相交，不能推出，

若，?，?則?有?⊥?，????//????⊥?

所以?⊥“??”?是“?”的?必⊥要?不充分條件.

故選：?C⊥.??⊥?

【變式1-2】（2025·天津濱海新·三模）已知，是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，則下列命題

正確的是（）????

A．若，，則B．若，，則

C．若?//?，???，?//，?則D．若?//?，?//?，?//?，則

【答案】C?⊥??⊥??⊥??⊥??⊥??∩?=??⊥??⊥?

【解題思路】根據(jù)線面平行的位置關(guān)系判斷AB；根據(jù)線面垂直、面面垂直的判定及性質(zhì)判斷CD.

【解答過程】對于A，由，，則或異面，故A錯誤；

對于B，由，?，/則/???或?，?/故/?B錯?誤,?；

對于C，由?//?，?//?，則?//?或???，

則在平面內(nèi)?存⊥在?直?線⊥?，而?//?，?則??，所以，故C正確；

對于D，由?，?//?，?⊥?，?⊥??⊥?

只有當(dāng)?或⊥??時∩?，=??，⊥故?D錯誤.

故選：C?.???//??⊥?

【變式1-3】（2025·天津和平·二模）已知a，b是空間兩條不同的直線，，，為三個不同的平面，則下

列命題正確的為（）???

A．若，，，則B．若，，則

C．若?∥???，????，?∥?，則D．若?∥?，?⊥?，則?⊥?

【答案】B?∩?=??∩?=??∥??∥??⊥?????⊥?

【解題思路】利用空間中點、線、面位置關(guān)系的判定定理和性質(zhì)逐項判斷可得正確的選項.

【解答過程】對于A，若，，，則或異面，故A錯誤；

對于B，若，則存在?∥直?線???，使??得?，?∥??,?

由于，?則∥?，可得??，?故B正確?；∥?

對于?C⊥，?若?⊥?，?⊥?，，則或相交，故C錯誤；

對于D，若?∩?，=??∩，?設(shè)=??∥?，?∥??,?

?⊥?????∩?=?

只有當(dāng)時，才能得到，故D錯誤.

故選：B?.⊥??⊥?

【題型2證明線線垂直】

【例2】（2025高二下·湖南株洲·學(xué)業(yè)考試）在正方體中，連接，，則直線，

位置關(guān)系是（）??????1?1?1?1????1????1

A．異面且垂直B．異面但不垂直

C．相交且垂直D．平行

【答案】A

【解題思路】易知與互為異面直線，根據(jù)線面垂直的判定定理與性質(zhì)即可證明.

【解答過程】如圖，??易知??1與互為異面直線.

????1

連接，則，

又??面??⊥，??面，

所以??1⊥???，?又???????、面，

所以??1⊥面??，?又?1∩??面=?,??，1?????1?

所以??⊥??.1???1???1?

故選：??A⊥.??1

【變式2-1】（24-25高二上·貴州·階段練習(xí)）如圖，在長方體中，直線與的位置關(guān)系

′′′′′

是（）?????????????

A．平行B．相交C．異面且垂直D．異面但不垂直

【答案】C

【解題思路】根據(jù)圖形結(jié)合線面垂直的性質(zhì)判斷即可.

【解答過程】在長方體中，平面，

′′′′′

因為平面，?所??以??????，??⊥????

′

又直線???與?不??相?交且不平??行⊥，??

′

所以直線???與?異面且垂直.

′

故選：C.????

【變式2-2】（24-25高二上·云南昭通·期中）如圖所示，在正方體中，.證明：

??????1?1?1?1??=1

(1)；

(2)??1與⊥?1?是異面直線.

【答?案?1】(1?)1證?明見解析

(2)證明見解析

【解題思路】（1）根據(jù)當(dāng)兩直線所成的角是直角時，兩直線垂直即可證明

（2）根據(jù)異面直線的定義可得

【解答過程】（1）如圖所示，連接，

??1

為正方體，

∵??????1，?1?1?1

∴平??面∥?1?1為平行四邊形，

∴???1?1

.

∴??1∥?為?1正,?方?1形=，??1

∵???1?1，

∴??1⊥?1?.

（∴2?）?由1⊥?1?面，面，且面面，

又與??1?不平??行?，1?1?1與??是??異?面1?直1線.???1?1//???1?1

1111

【變?式?2-3?】?（24-25高一∴?下?·吉林?長?春·期末）如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB⊥AC，D，E分別為BC，

A1B1的中點.

(1)求證：AB⊥DE.

(2)若AA1=3，AB=AC=2，求三棱錐A?BCE的體積.

【答案】(1)證明見解析

(2)2

【解題思路】（1）取AB中點H，連EH,HD.由中點性質(zhì)知AB垂直EH,AB垂直HD，根據(jù)線面垂直判定得AB

垂直平面EHD，進(jìn)而得AB⊥DE．

（2）利用三棱錐體積公式算出體積.

【解答過程】（1）取AB中點H，連接EH，HD，

在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB⊥AC，D，E分別為BC，A1B1的中點，

故EH//BB1,DH//AC，又因BB1⊥AB,則AB⊥EH，AB⊥HD，

因EH∩HD=H，EH,HD?平面EHD，

故AB⊥平面EHD，因為DE?平面EHD，所以AB⊥DE；

（2）因AA1=3，AB=AC=2，BB1⊥平面ABC，則EH⊥平面ABC，

111

則三棱錐A?BCE的體積為：V=V=S△·EH=××2×2×3=2．

A?BCEE?ABC3ABC32

【題型3線面垂直的判定】

【例3】（2025·上海青浦·模擬預(yù)測）如圖，已知四棱錐的底面為菱形，.

π

??????∠???=3,??=??

(1)求證：平面BDS；

(2)若??⊥，求四棱錐的體積.

【答案?】?(=1)證2,明??見=解析3,??=1??????

(2)1

【解題思路】（1）由菱形與等腰三角形的性質(zhì)，可得線線垂直，根據(jù)線面垂直判定，可得答案；

（2）由菱形的性質(zhì)與勾股定理，根據(jù)（1）可分割三棱錐的底與高，結(jié)合體積公式，可得答案.

【解答過程】（1）設(shè)AC與BD相交于點，

?

因為底面ABCD為菱形，所以，且為、中點.

??⊥???????

又因為，所以、平面BDS，

所以??平=面??BDS.??⊥??,??∩??=?,?????

（2）因??為⊥底面ABCD是菱形，，所以是等邊三角形，則.

π

3

在中，∠???=，,滿??足=2△???，??=??=2

222

根據(jù)△勾??股?定理?逆?定=理可3,知??=1,??=2，即??+.??=??

°

∠???=90??⊥??

由（1）知平面BDS，所以，

1

??⊥???????=3?△??????

.

3×13

?△???=2=2,??=23

則.

13

??????

【變?式3-1】（=230×252·山×西2·三3模=）1如圖所示，在三棱錐中，，，，

點，，分別在棱，，上運動，且?平?面???，??=平?面???，=?，?=分?別?=是?線?段??和=2?的?

中點?．??????????//?????//?????????

(1)證明：直線平面；

??⊥???

(2)當(dāng)三角形面積的最大值為時，求三棱錐的體積．

1

???2?????

【答案】(1)證明見解析

(2)

214

【解題3思路】（1）即證，，利用線面垂直的判定定理即可得證；

??⊥????⊥??

（2）利用三角形面積的最大值為，即可求出各棱長，利用三棱錐的體積公式即可求解.

1

???2

【解答過程】（1）因為平面，平面，平面，

平面平面??，//所以????，?同?理???，??????

連接???，∩，???=????//????//??

∵????，所以，

??=??=??=??△????△???

又因為，分別是線段和的中點，

所以??，所以???，?所以，

又因為??=??，??⊥，??平?面?⊥?，?平面，，

所以??平⊥面???，?所⊥以?????，所以??????，?????∩??=?

因為??⊥平面???，?平?面⊥??，??⊥??，

所以???平面???．????????∩??=?

??⊥???

（2）由（1）及已知可得，因為，，

????????????

??+??=1??=????=??

所以，又因為，所以，

????

又因為??+??平=面1，所?以?=??，??+??=??

所以??⊥，所?以???，?⊥??

所以??⊥????⊥??，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，

2

11??+??21??1

△???

所以?=，2又?????≤2，則2=2×4=2，??=??

因為??=平2面??，=所2?以???=??=??=??=4

1

???????????????△???

因為??⊥????=?，所以+?=3????，

2222

所以??=??=?????=15．??=?????=14

11214

??????=3×2×2×14×2=3

所以三棱錐的體積為.

214

?????3

【變式3-2】（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，且

，，，點，分別為，的中??點?.???????

??⊥????⊥????=2??????

(1)求證：平面；

(2)求點到??平⊥面?的?距??離.

【答案】?(1)證明見??解?析；

(2).

23

【解題3思路】（1）根據(jù)給定條件，利用線面垂直的判定、性質(zhì)推理即得.

（2）利用等體積法求出點到平面的距離.

【解答過程】（1）由底面為正方形，得，又平面，

于是平面，而???平?面，則??⊥，??同理??⊥??，,??∩??=?,??,??????

又??⊥?????平?面??，???⊥????⊥??

所以??∩??平=面?,??,?.??????

（2）由??（⊥1）得????，點為的中點，在中，，點為的中點，同理，

在中，??⊥???，?因?此Rt△?????=，2?????=2

1133

△?????=2??=2?△???=2×2×2×2=2

在直角中，，

11

△????△???=2×2×2×2=1

由（1）知平面，則平面，于是點到平面的距離為

1

??⊥?????⊥???????2??=1

設(shè)點到平面的距離為，由，得，解得，

13123

???????????=??????3×2×?=3×1×1?=3

所以點到平面的距離為.

23

【變式3?-3】（20?25?·?四川雅安·三3模）四棱錐中，，底面為等腰梯形，，

，為線段的中點，???.?????=????????∥????=

2??=2??=2?????⊥??

(1)證明：平面；

(2)若??，⊥求直線???與平面所成角的正弦值.

【答案?】?(=1)證2明見解析??????

(2).

310

【解題10思路】（1）分析題意，利用線面垂直的判定定理求解即可.

（2）利用線面垂直找到線面角，放到三角形中求解正弦值即可.

【解答過程】（1）因為為線段的中點，所以，

在等腰梯形中，作??=??,?于，則?由???⊥??得，

1

??????⊥?????=2??=2??=2??=2??

所以，所以，

??1°°

cos∠???=??=2∠???=60,∠???=30

因為，所以，所以，

????1

所以??=2????=，??所=以2△??，?～所△以???，

°°

因為∠???=∠???=30，∠???平=面90，所以??⊥?平?面，

因為??在⊥平??面,??∩內(nèi)??，=所?以??,???，?????⊥???

因為?????在平?面?⊥??內(nèi)，所以平面.

（2）因??為∩??=?,??,??，所以?????⊥?，??

取的中?點?=，2連,?接?=1，則??=，3,??=??=3

因為??平面?，??平面??P⊥CA?，?所以，

又??⊥?，?????平面，所以??⊥?平?面，

所以??∩??為=直?線??,與??平?面???所?成的角，??⊥????

在正∠???中，??，又因??為??，

311

△?????=2??=2??=2

在中，，所以，

222510

Rt△?????=??+??=2??=2

所以3.

??2310

10

??

sin∠???==2=10

所以直線與平面所成角的正弦值為.

310

??????10

【題型4線面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用】

【例4】（2025·上海楊浦·模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，

，，，??????平面?.???

°

∠???=90??//????=2??=1,??=??=4,??⊥????

(1)求證:直線；

(2)求直線與??平⊥面??所成角的大小.

【答案】(1?)證?明見解?析??

(2)

25

【解a題rct思an路5】（1）利用線面垂直的判定定理證明平面，再利用線面垂直的性質(zhì)定理即可證明；

（2）先證明平明，從而得到為直線??⊥與平面???所成角，再在中求解即可.

【解答過程】?（?1⊥）由題??意?知∠?????，所以???，Rt△???∠???

又因為，tan所∠以???=2=tan∠???，所以∠???=∠?；??

°°

又因為∠???平+面∠???=，90平面∠???，+所∠?以??=90，??⊥??

又因為??⊥???????平面???，???⊥??

所以??平∩面??=?，,?又?,??在?平面???內(nèi)，

所以直??線⊥???；?????

（2）因為??⊥平??面，平面，所以，

因為??⊥，?????，????平??明，?所?⊥以??平面，

所以??⊥?為?直線??∩與?平?=面??所?成,?角??，?????⊥???

∠????????

在中，因為，

所以Rt△?????=25,??=4

??25

tan∠???=??=5

所以直線與平面所成角的大小為.

25

5

【變式4-1?】（?2025·湖?南??長沙·一模）在多面a體rctan中，已知

，且平面與平面均垂直于平面????為?的中點??.=??=2,??=22,??=??=??=??=

5?????????,???

(1)證明：；

(2)求直線??與∥平?面?所成角的正弦值.

【答案】(1?)證?明見解?析??

(2).

42

【解題9思路】（1）取的中點，證明四邊形為平行四邊形即可得證；

（2）建立空間直角坐標(biāo)??系,?，?運用法?向,量?求解即可.??????∥??

【解答過程】（1）如圖，分別取的中點，連接，

因為，故，又?平?面,??平?面,?，且平??面,??,??平面，

因此??=平??面?，?⊥?????⊥??????∩???=??

同理可??知⊥，??平?面，

因此??且⊥???，故四邊形為平行四邊形，所以，

又因為??∥??，??所=以??.??????∥??

??∥????∥??

（2）因為，所以，所以，

222°

以為原點??，=?為?=軸2，,??=為2軸2，過且?與?平+面??=垂?直?的直線為∠??軸?，=建9立0如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

由題?意知，??????????，?

，?0,0,0,?2,0,0,?0,2,0,?1,0,2,?0,1,2

11

?2,2,2

所以.

11

22

設(shè)平面??=的?2法,2向,0量,?為?=?2,1,2,，??=,,2

則有???即