專題7.3空間直線、平面的平行（舉一反三講義）

【全國通用】

【題型1有關平行命題的判斷】.............................................................................................................................4

【題型2證明線線平行】.........................................................................................................................................5

【題型3線面平行的判定】.....................................................................................................................................6

【題型4線面平行的性質定理的應用】.................................................................................................................7

【題型5面面平行的判定】.....................................................................................................................................9

【題型6面面平行的性質定理的應用】...............................................................................................................11

【題型7平行關系的綜合應用】...........................................................................................................................12

【題型8平行關系的探索性問題】.......................................................................................................................14

1、空間直線、平面的平行

考點要求真題統(tǒng)計考情分析

空間直線、平面的平行是高考的

2023年新高考I卷：第18題，

重點、熱點內容，屬于高考的?？純?/p>

12分

容之一.從近幾年的高考情況來看，主

(1)理解空間中直線與直線、直2024年新高考I卷：第17題，

要分兩方面進行考查，一是空間中線

線與平面、平面與平面的平行15分

面平行關系的命題的真假判斷，常以

關系，并加以證明2024年北京卷：第17題，14分

選擇題、填空題的形式考查，難度較

(2)掌握直線與平面、平面與平2025年全國一卷：第9題，6分

易；二是空間線線、線面、面面平行

面平行的判定與性質，并會簡2025年全國二卷：第17題，15

的證明，一般以解答題的其中一小問

單應用分

的形式考查，難度中等；解題時要靈

2025年北京卷：第17題，14分

活運用直線、平面的平行的判定與性

2025年上海卷：第18題，14分

質，復習時要加強這方面的訓練.

知識點1線面平行、面面平行的判定定理和性質定理

1．線面平行的判定定理和性質定理

(1)判定定理

①自然語言

如果平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，那么該直線與此平面平行.

②圖形語言

③符號語言

.

該定理可簡記為“若線線平行，則線面平行”.

(2)性質定理

①自然語言

一條直線與一個平面平行，如果過該直線的平面與此平面相交，那么該直線與交線平行.

②圖形語言

③符號語言

.

該定理可簡記為“若線面平行，則線線平行”.

(3)性質定理的作用

①作為證明線線平行的依據.當證明線線平行時，可以證明其中一條直線平行于一個平面，另一條直線是過

第一條直線的平面與已知平面的交線，從而得到兩條直線平行.

②作為畫一條與已知直線平行的直線的依據.如果一條直線平行于一個平面，要在平面內畫一條直線與已知

直線平行，可以過已知直線作一個平面與已知平面相交，交線就是所要畫的直線.

2．面面平行的判定定理和性質定理

(1)判定定理

①自然語言

如果一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行，那么這兩個平面平行.

②圖形語言

③符號語售

.

該定理可簡記為“若線面平行，則面面平行”.

(2)判定定理的推論

①自然語言

如果一個平面內有兩條相交直線分別平行于另一個平面內的兩條相交直線，那么這兩個平面平行.

②圖形語言

③符號語言

.

(3)性質定理

①自然語言

兩個平面平行，如果另一個平面與這兩個平面相交，那么兩條交線平行.

②圖形語言

③符號語言

.

該定理可簡記為“若面面平行，則線線平行”.

(4)兩個平面平行的其他性質

①兩個平面平行，其中一個平面內的任意一條直線都平行于另一個平面.

②平行直線被兩個平行平面所截的線段長度相等.

③經過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行.

④兩條直線同時被三個平行平面所截，截得的線段對應成比例.

⑤如果兩個平面分別平行于第三個平面，那么這兩個平面互相平行.

知識點2空間中的平行關系的判定方法

1．線線平行的證明方法

(1)定義法：即證明兩條直線在同一個平面內且兩直線沒有公共點；

(2)利用平面圖形的有關平行的性質，如三角形中位線，梯形，平行四邊形等關于平行的性質；

(3)利用基本事實4：找到一條直線，使所證的直線都與這條直線平行；

(4)利用線面平行與面面平行的性質定理來判定線線平行.

2．線面平行的判定方法

(1)利用線面平行的定義：直線與平面沒有公共點；

(2)利用線面平行的判定定理：如果平面外有一條直線與此平面內的一條直線平行，那么該直線與此平面平

行(簡記為“線線平行—線面平行”)；

(3)利用面面平行的性質定理：如果兩個平面平行，那么在一個平面內所有直線都平行于另一個平面.(簡記為

“面面平行—線面平行”).

3．面面平行的判定方法

(1)面面平行的定義：兩個平面沒有公共點，常與反證法結合(不常用)；

(2)面面平行的判定定理：如果一個平面內的兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行(主要

方法)；

(3)垂直于同一條直線的兩個平面平行(選擇、填空題可用)；

(4)平行于同一個平面的兩個平面平行(選擇、填空題可用).

【方法技巧與總結】

1．垂直于同一條直線的兩個平面平行，即若a⊥α，a⊥β，則α//β.

2．平行于同一個平面的兩個平面平行，即若α//β，β//γ，則α//γ.

3．垂直于同一個平面的兩條直線平行，即若a⊥α，b⊥α，則a//b.

4．若α//β，aα，則a//β.

【題型1有關平行命題的判斷】

【例1】（2025·河北唐山·二模）已知為平面外的一條直線，則下列命題中正確的是（）

A．存在直線，使得，??B．存在直線，使得，

C．存在直線?，使得?⊥?，?⊥?D．存在直線?，使得?⊥?，?//?

【變式1-1】（2025?·廣東深圳?/·/一?模）?/已/?知直線分別在兩個?不同的平?面//?內?，⊥則?“直線和直線平行”是“平

面和平面平行”的（）?,??,???

?A．充分?不必要條件B．必要不充分條件

C．充要條件D．既不充分也不必要條件

【變式1-2】（24-25高一下·福建龍巖·期中）已知直線，，是三條不同的直線，平面，，是三個不同

的平面，下列命題正確的是（）??????

A．若，，則

B．若?//?，?//?，則?//?

C．若?//?，?//?，且?//?，，則

D．，??，?三?個?平?面最多?/可/?將空?/間/?分割成?//?個部分

【變式1-?3】（?24?-25高一下·安徽合肥·期中）已知8l，，是三條不同的直線，，，是三個不同的平面，

則下列命題一定正確的是（）?????

A．若，，，則

B．若?//?，?//?，?//?，?//?，則

C．若??，???，???//?，?/則/??//?

D．若?//?，????，∩?=，?且?//?，，則

??????????//??//??//?

【題型2證明線線平行】

【例2】（24-25高一下·全國·課堂例題）如圖所示，在三棱錐中，，，，分別是棱，，，

的中點，則與的位置關系是（）???????????????

??????

A．平行B．相交C．異面D．平行或異面

【變式2-1】（24-25高一·全國·課后作業(yè)）在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是側面AA1D1D，側面

CC1D1D的中心，G，H分別是線段AB，BC的中點，則直線EF與直線GH的位置關系是（）

A．相交B．異面C．平行D．垂直

【變式2-2】（24-25高一下·全國·課堂例題）已知正方體中，，分別是，的中

點．求證：．??????1?1?1?1????1??1

??//??1

【變式2-3】（24-25高二上·云南大理·期末）如圖，在棱長為3的正方體中，分別為

棱的中點．??????1?1?1?1?,?

??,??1

(1)證明：；

(2)求三棱錐??1//??的體積．

???1??

【題型3線面平行的判定】

【例3】（2025·山西晉城·模擬預測）如圖，在四棱柱中，底面為平行四邊形，點

是線段上的一個動點，、分別是、的中?點?.????1?1?1?1?????

?1?1??????

(1)求證：平面；

(2)若四棱柱??//???1?1的體積為，求三棱錐的體積的值.

??????1?1?1?124??????

【變式3-1】（2025·寧夏石嘴山·模擬預測）如圖，在正方體中，是的中點．

?1?1?1?1????????1

(1)求證：平面；

(2)若?1?，1//求點?到?平?面的距離.

??1=6????

【變式3-2】（2024·四川·三模）正方體的棱長為2，分別是的中點.

??????1?1?1?1?,?,???1,??,??

(1)求證：面；

(2)求點到??平面//?1?的?距離.

??1??

【變式3-3】（2025·陜西渭南·三模）如圖，在四棱錐中，底面ABCD是平行四邊形，平面ABCD，

，，且M，N?分?別??為??PD，AC的中點．??⊥

4??=4??=3??=12?